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FAT – FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS – 2014.1
MECÂNICA 1 – Prof. Dr. A. Carlos
LISTA 7 – APLICAÇÕES 2: MOMENTOS DE INÉRCIA
1. Considere uma barra delgada de comprimento L e massa m, ao longo do eixo OX, com 0 ≤ x ≤ L, de
densidade linear λ = m/L constante. Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo OY vale
Iy =
∫
x2dm =
mL2
3
. Também, se E¯ é um eixo baricêntrico paralelo a OY , então I¯ =
mL2
12
.
2. Em cada caso, calcule o momento de inércia Ix =
∫
y2 dA.
(a) (b)
3. Calcule o momento de inércia ID de um retângulo em relação a uma sua diagonal.
4. Aplique o Teorema dos Eixos Paralelos (de Steiner) IE = I +Ad2 para calcular:
(a) o momento de inércia baricêntrico do retângulo e do triângulo do prob. 2;
(b) o momento de inércia de cada área em relação ao eixo horizontal E que passa no topo da área e
dista h da base.
5. Considere um aro delgado circular, dado por x2 + y2 = a2, de raio a, massa m e densidade linear
λ = m/2pia constante. Calcule o momento de inércia polar I0 = Iz =
∫
a2dm = ma2. Conclua que
Ix = Iy = ma
2/2.
6. Considere o círculo x2 + y2 ≤ a2.
(a) Verifique o momento de inércia polar I0 =
∫
r2 dA =
pia4
2
, escolhendo dA = 2pirdr;
(b) Conclua que Ix = Iy = I0/2 =
pia4
4
. Vale o mesmo resultado para qualquer eixo E do plano do
círculo que passe pelo seu centro.
7. Aplique o método da superposição para achar os momentos de inércia.
(a) barras delgadas de massa 1 kg cada, Iz; (b) Ix;
2
(c)(d) Ix;
8. Considere, novamente, as áreas do Prob. 7(b) e 7(d) acima. Em 7(b), ache o CM (x, y) e os momentos
baricênticos Ix e Iy. Em 7(d), calcule a ordenada y do baricentro e correspondente momento Ix.
9. Retome o cone do Prob. 11(b)–Lista 4, e calcule Iz; use o mesmo elemento de massa dm = ρdV =
ρpir2dz correspondente à fatia circular, cujo momento de inércia em relação a Oz vale dIz =
1
2
r2dm.
Tendo em conta que r = (a/h)z, conclua que Iz =
3
10
ma2.
10. Com o mesmo método do problema anterior, ache Iz do hemisfério x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ 0.
11. Com o mesmo método do problema 9, ache Iz do cilindro x2 + y2 ≤ a2, 0 ≤ z ≤ h.
12. No sólido dado, o cone e o cilindro são montados com um material homogêneo de densidade 7, 85Mg/m3.
Calcular Iz.
RESPOSTAS E SUGESTÕES
1. Iy =
∫
x2dm = σ
∫ L
0 x
2 dx = σL3/3 = mL2/3. Para o eixo E¯, use o teorema de Steiner I = I¯ +md2.
2. (a) Ix = bh3/3; (b) Ix = bh3/12. 3. ID = b3h3/6(b2 + h2).
4. (a) Ix = bh3/12; Ix = bh3/36; (b) IE = bh3/3; IE = bh3/4.
6. (b) Io = Ix + Iy = 2Ix, Ix =
I0
2
= Iy = pia
4/4.
7. (a) Iz = 0, 150kgm2; (b) Ix = 3a4/16; (c) Ix = 4, 05(106)mm4; (d) Ix = 165, 26(106)mm4.
8. (a) x¯ = y¯ = 5a/12 ; I¯x = I¯y = 11a4/192; (b) y¯ = 52, 5mm; Ix = 106(106)mm4.
10. Iz =
2
5
ma2.
11. Iz =
1
2
ma2.
12. Iz = 2, 25kgm2.
3