QUANTIFICAÇÃO DE INCERTEZAS NÃO PARAMÉTRICAS EM SISTEMAS DINÂMICOS

•

UNIP

Gustavo Citton

04/05/2018

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Luciana Bernardo Justino
(1)
(lucimec@yahoo.com.br), José Juliano de Lima Junior
(2)

(limajr@unifei.edu.br)

(1) Universidade Federal de Itajubá (UNIFEI); Departamento de Engenharia Mecânica
(2) Universidade Federal de Itajubá (UNIFEI); Departamento de Engenharia Mecânica

RESUMO: Incertezas são inevitáveis em projetos de engenharia e neste trabalho é detalhado um
procedimento para a sua quantificação. Aqui, o foco será dado às incertezas epistêmicas e o objetivo
é quantificar essas incertezas utilizando a abordagem não paramétrica, a mais adequada para este
tipo de problema estocástico. A primeira fase de desenvolvimento é a modelagem estocástica que
envolverá a obtenção da função densidade de probabilidade de um sistema linear dinâmico
amortecido com n graus de liberdade, utilizando o Método de Máxima Entropia e a Teoria da Matriz
Aleatória. Com a obtenção de tal função, pode-se proceder a fase de simulação estocástica através
da Simulação de Monte Carlo. Neste trabalho, será estudado um exemplo de um sistema dinâmico
linear amortecido com dois graus de liberdade, e, em adição ao cálculo da incerteza, poderá ser visto
como é importante o cálculo do parâmetro de dispersão adequado para as análises. Espera-se que a
quantificação destas incertezas aumente o grau de confiabilidade e, consequentemente, a
credibilidade dos projetos estruturais dinâmicos.

PALAVRAS-CHAVE: Modelos Dinâmicos, Incertezas Epistêmicas, Incertezas de Modelo,
Abordagem Não Paramétrica, Quantificação de Incertezas.

QUANTIFICATION OF NON PARAMETRIC UNCERTAINTIES IN DYNAMICS
SYSTEMS
(deixar uma linha em branco)
ABSTRACT: Uncertainties are inevitable in engineering projects and in this work is detailed a
procedure for its quantification. Here the focus will be given to epistemic uncertainties and the goal is
to quantify these uncertainties using the nonparametric approach, the most appropriate for this type
of stochastic problem. The first stage of development is the stochastic modeling that will involve
obtaining the Probability Density Function for a dynamic linear damped system with degrees of
freedom by using the Maximum Entropy Method and the Random Matrix Theory. With the attainment
of such a function, one can proceed to the stage of the stochastic simulation by Monte Carlo
Simulation. In this work, will be studied an example of a dynamic linear damped system with two
degrees of freedom, and in addition to calculating the uncertainty, may be seen how it is important
the calculation of appropriate dispersion parameter for the analyses. It is hoped that the
quantification of these uncertainties increase the degree of reliability and, consequently, the
credibility of dynamic structural projects.

KEYWORDS: Dynamic Models, Epistemic uncertainties, Model Uncertainty, Non Parametric
Approach, Non Parametric Uncertainties, Uncertainty Quantification.

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1. INTRODUÇÃO
O estudo das incertezas tem sido alvo de constantes pesquisas devido a sua
importância em diversas áreas na engenharia principalmente quando se trata de projetos
complexos como em caso de aeronaves, automóveis, dentre outros. Sistemas reais complexos
são difíceis e caros de serem ensaiados. Segundo Soize (2005b), “[...] para sistemas reais
complexos, apenas um sistema manufaturado pode ser considerado como disponível para se
realizar experimentos de modo a reduzir o nível de incertezas”. Além disso, mesmo que tais
experimentos sejam possíveis de serem realizados, tendo em vista os sistemas complexos,
apenas algumas informações ou conclusões podem ser deduzidas destes experimentos.
Contudo, modelos matemáticos mecânicos são construídos para que seja possível
simular situações reais em softwares adequados considerando que tal simulação possa
substituir experimentos reais que seriam realizados por sistemas manufaturados a partir de
sistemas projetados. Nesse processo pode-se distinguir três tipos de modelos considerados na
análise. São eles: (a) Sistema projetado, que corresponde ao sistema concebido por
engenheiros projetistas. (b) Sistema real, que se refere ao sistema fabricado a partir do sistema
projetado. Neste caso, têm-se diferenças em parâmetros geométricos, condições de contorno,
materiais etc. entre os dois sistemas, projetado e real. (c) Modelo médio que diz respeito ao
sistema modelado a partir do sistema projetado, ele representa o sistema real.
A intenção, portanto é fazer com que o modelo médio possa representar com
fidelidade máxima o modelo real, e nesse processo de modelagem média do sistema projetado
são introduzidas incertezas, que por sinal devem ser quantificadas para que se possa aumentar
a credibilidade do modelo numérico construído.
Então, no caso de sistemas dinâmicos lineares podem ser identificados principalmente
três tipos de incertezas. (1) A incerteza em carga: está relacionada com as incertezas das
forças de excitação a qual o sistema é submetido. (2) A incerteza nos parâmetros: está
relacionada com as incertezas dos parâmetros físicos do sistema, tais como a geometria e o
material. (3) A incerteza no modelo (condições de contorno, modelo de viga, modelo de
placa, dentre outros) está relacionada às aproximações feitas no modelo matemático (Sampaio
e Ritto, 2008).
Considerando os últimos dois tipos descritos e caracterizados de forma generalizada
por Adhikari (2007) como incertezas do modelo, são colocadas pelo autor duas abordagens
para quantifica-las: a paramétrica e a não paramétrica. A primeira é utilizada para a
quantificação das incertezas relativas aos parâmetros do sistema tais como o módulo de
elasticidade, a densidade, o coeficiente de Poisson, o coeficiente de amortecimento e os
parâmetros geométricos. A segunda abordagem trata da quantificação das incertezas
decorrentes principalmente devido à falta de conhecimento do sistema e não dependem de

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seus parâmetros. Como exemplos podem ser citados os erros associados com a equação de
movimento (linear ou não linear), e o modelo de amortecimento (viscoso ou não-viscoso),
entre outros.
Ainda de acordo com Adhikari (2007) a importância de considerar tanto as incertezas
paramétricas quanto as não paramétricas em um projeto dinâmico também depende da
frequência de excitação do sistema. Em resumo, pode-se dizer que, em problemas de
vibrações de baixa frequência as incertezas paramétricas são consideradas usando o Método
dos Elementos Finitos Estocástico, no caso de problemas de vibrações de alta frequência é
utilizada a Análise Estatística de Energia considerando incertezas não paramétricas e,
finalmente, ao lidar com problemas de média frequência de vibração os dois tipos de
incertezas, paramétricas e não paramétricas, devem ser consideradas.É de extrema importância que os dois tipos de incertezas citadas no parágrafo anterior
sejam quantificadas, porém, inicialmente, neste artigo será estudado um sistema estrutural
dinâmico linear com graus de liberdade cuja incerteza a ser quantificada é a incerteza não
paramétrica, também denominada incerteza de modelo ou incerteza epistêmica. Para tal
quantificação a abordagem não paramétrica será utilizada.
Os princípios de construção da abordagem não paramétrica de incertezas aleatórias
foram definidos por Soize (1998) e Soize (2000) para que fosse possível a propagação das
incertezas epistêmicas das matrizes aleatórias de massa, amortecimento e rigidez de sistemas
dinâmicos não lineares. O autor mostra todos os passos para a quantificação de incertezas
aleatórias através desta construção que tem por base o Princípio da Máxima Entropia (PME) e
da Teoria da Matriz Aleatória (TMA). Análises e validações em torno dessa nova abordagem
foram realizadas em alguns artigos pelo mesmo autor, além de um overview a respeito da
abordagem em Soize (2005b). O PME faz uso das informações disponíveis que se tem para
análise e, neste caso, tais informações são referentes às matrizes médias de massa,
amortecimento e rigidez e ao parâmetro de dispersão. As matrizes médias para cada uma das
três matrizes aleatórias citadas podem ser obtidas de duas maneiras, a primeira é considerando
o modelo de elemento finito médio e a segunda é através da construção do modelo de matriz
reduzida média. Já o parâmetro de dispersão pode ser determinado por experiência do analista
ou ensaios em laboratório por exemplo. Então, com as informações disponíveis em mãos, um
problema de otimização é resolvido, nele ocorre a maximização da entropia sujeita às
restrições que são determinadas em torno das informações disponíveis. Mais adiante cada
uma dessas restrições é mostrada em detalhes. Por fim, através desse processo, Soize (2005a)
obteve a FDP apropriada para propagação da incerteza nas matrizes de massa, amortecimento
e rigidez de sistemas dinâmicos lineares para uma ampla faixa de frequência e mencionou em
seu trabalho que sob certas condições tal distribuição se tornaria a Wishart. Segundo Adhikari

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a propagação de incertezas é feita pelo Método de Monte Carlo (MMC) que possibilita a
obtenção da Função Resposta em Frequência (FRF) correspondente a cada uma das matrizes
consideradas, seguindo assim à análise de resultados.
Contudo, pode-se dizer que um problema estocástico deve ser resolvido e, de
maneira geral, ele pode ser dividido em três fases. São elas: Fase 1: Modelagem Estocástica;
Fase 2: Simulação Estocástica e Fase 3: Análise de Resultados. A Modelagem Estocástica
corresponde à entrada de dados, onde é necessária á obtenção da FDP apropriada a cada
matriz aleatória considerada. Neste caso, a TMA e o PME são utilizados. A Simulação
Estocástica corresponde a obtenção de amostras em um número de simulações apropriado, o
que será realizado através do MMC. Programas em Matlab foram desenvolvidos para este
propósito. É importante mencionar que é neste estágio que as FRF são obtidas. Na verdade,
serão construídos gráficos com o valor médio da matriz aleatória juntamente com seu
Intervalo de Confiança (IC) de 95% correspondente à análise. A última fase, referente à
Análise de Resultados, conclui o processo de quantificação de incertezas epistêmicas.
A seguir serão apresentados cada uma dessas fases em detalhe, mais antes
disso, algumas nomenclaturas a serem utilizadas no decorrer deste trabalho devem ser
definidas:
(1) Variáveis determinísticas serão representadas por letras itálicas minúsculas.
Exemplo: .
(2) Variáveis aleatórias serão representadas por letras itálicas maiúsculas. Exemplo: .
(3) Vetores determinísticos serão representados por letras itálicas minúsculas em
negrito. Exemplo: .
(4) Vetores determinísticos médios serão representados por letras itálicas minúsculas
em negrito com traço sobrescrito. Exemplo: ̅.
(5) Vetores aleatórios serão representados por letras minúsculas em negrito. Exemplo:
.
(6) Matrizes determinísticas serão representadas por letras itálicas maiúsculas em
negrito. Exemplo: .
(7) Matrizes determinísticas médias serão representadas por letras itálicas maiúsculas
em negrito com traço sobrescrito. Exemplo: ̅.
(8) Matrizes aleatórias serão representadas por letras maiúsculas em negrito. Exemplo:
.

2. MODELAGEM ESTOCÁSTICA
Na construção do modelo estocástico, o primeiro passo a se tomar está relacionado à
escolha das variáveis aleatórias que serão analisadas e que, neste caso, trata-se de matrizes

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aleatórias a serem randomizadas. No caso deste artigo, as matrizes de massa, amortecimento e
rigidez serão consideradas como matrizes aleatórias nas quais a incerteza será propagada para
que seja possível a sua quantificação em cada uma dessas matrizes. Depois disso, o espaço
amostral deve ser definido, ele identifica os valores que podem ser assumidos pelas matrizes
aleatórias. A definição desse espaço amostral corresponde à construção da Função Densidade
de Probabilidade (FDP) para cada uma das matrizes consideradas anteriormente.
Convém dizer também que, nesta fase de modelagem, o sucesso do processo depende
da utilização da FDP apropriada para cada uma das matrizes aleatórias, portanto, é
imprescindível que a correta FDP de cada uma dessas matrizes seja encontrada para que
sejam também eliminados os erros na análise decorrentes da utilização de uma FDP errada.
Um erro neste ponto, ou seja, um erro na escolha da FDP a ser utilizada leva a sérios erros de
modelagem, além do mais, cometer erros tão grosseiros não faria sentido já que a intenção é
aumentar a confiabilidade do modelo adotado. Tais erros devem ser evitados
independentemente da abordagem adotada ser a paramétrica ou a não paramétrica.
É de extrema importância citar neste momento que já existe na literatura a proposta da
utilização da matriz Wishart como a correta FDP para as matrizes aleatórias de massa,
amortecimento e rigidez em sistemas dinâmicos, e é esta distribuição que será adotada neste
trabalho. Ela foi encontrada, no contexto da abordagem não paramétrica, por Cristian Soize
em Soize (2001), e mais tarde passou a ser estudada por Adhikari que escreveu alguns artigos
na tentativa de validar tal distribuição de maneira que ela pudesse ser utilizada na
quantificação de sistemas dinâmicos lineares. Os dois autores citados compões a bibliografia
básica deste capítulo, já que ele tem por objetivo apresentar detalhes referentes à abordagem
não paramétrica proposta por Soize (2000) e Soize (2001), além da formulação em que se
obteve a distribuição Wishart como a correta FDP para as matrizes aleatórias de massa,
amortecimento e rigidez de sistemas dinâmicos lineares amortecidos. Tais assuntos, é claro, já
foram estudados pelos autores citados porém, serão apresentados de maneira um pouco mais
detalhada no capítulo atual.

2.1 Conjunto positivo-definido
De acordo com Soize (2005a), o maisimportante ensemble em aplicações físicas é o
Conjunto Ortogonal Gaussiano (GOE – Gaussian Orthogonal Ensemble). Nele, “os elementos
são constituídos de matrizes aleatórias reais simétricas com entradas independentes
estatisticamente e as quais são invariantes sob transformações lineares ortogonais”. Mais a
TMA pode ser utilizada em domínios diferentes do citado anteriormente. No caso deste
trabalho, como já dito anteriormente, o domínio utilizado na TMA corresponde ao chamado
Conjunto Positivo-Definido (CPD) , que por sua vez é construído a partir do ensemble

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(Conjunto Positivo-Definido Normalizado) definido e estudado por Soize (2003a) e
Soize (2005a). Com relação às matrizes aleatórias pertencentes ao domínio , segundo o
próprio autor Soize, é quase certo que sejam positiva-definidas e seus valores médios são
dados por matrizes positiva-definidas. Deve-se lembrar também que a matriz aleatória neste
caso é definida com valores em
( ) (matrizes reais simétricas positiva-definidas), num
espaço probabilístico definido, cuja distribuição de probabilidade é construída utilizando-se o
PME. Além disso, tal conjunto é utilizado para construir o modelo probabilístico das matrizes
generalizadas de massa, amortecimento e rigidez considerando-se o modelo reduzido para
sistemas dinâmicos sem deslocamentos de corpo rígido. As propriedades, colocadas em Soize
(2005a), de tal conjunto são dadas a seguir para uma matriz aleatória . Deve-se considerar
para entender as propriedades que o conjunto de matrizes
( ) , definido em Soize
(2005b), corresponde ao conjunto de matrizes reais simétricas e positiva-definidas.
Além disso, outros conjuntos definidos pelo autor citado devem ser descritos aqui: ( ) é
o conjunto de todas as matrizes reais; ( ) é o conjunto de todas as matrizes
quadradas reais;
( ) corresponde ao conjunto de todas as matrizes reais simétricas e

( ) é o conjunto de todas as matrizes reais simétricas semipositiva-definida. Então
neste caso vale a relação:

( )
( )
( ) ( ) (1)
Segue então as propriedades do CPD:
(a) A matriz aleatória é real, simétrica e positiva-definida:

( ) (2)
Vale a pena recordar que uma matriz real simétrica é sempre quadrada, não
necessariamente tem inversa e é igual a sua transposta, ou seja, .
Além disso, uma matriz positiva-definida tem seus autovalores maiores que zero, é
sempre quadrada, tem seu determinante diferente de zero e sempre tem inversa, ou seja,
existe, pois para que a matriz tenha inversa, basta que seu determinante seja diferente de
zero, ou o posto desta matriz coincida com sua ordem. Logo, esta propriedade representada
pela Eq. (3) determina que a matriz tem uma inversa que também é positiva-definida.
(b) A matriz aleatória é de segunda ordem:
{‖ ‖
} (3)
(c) O valor médio da matriz aleatória é tal que:
{ } ̅
( ) (4)
(d) A matriz aleatória é tal que
{‖ ‖ } {‖ ‖
} (5)

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2.2 Definição do problema a ser estudado
Para a construção da FDP será considerada a equação de movimento de um sistema
estrutural dinâmico linear com graus de liberdade e que pode ser representado no domínio
do tempo como a seguir:
{ ̈( )} { ̇( )} { ( )} ( ) (6)
ou no domínio da frequência:
{ ̈( )} { ̇( )} { ( )} ( ) (7)
em que os vetores { ( )}, { ̇( )}, { ̈( )} e { ( )} representam respectivamente o vetor de
deslocamento, velocidade e aceleração da massa e o vetor de força externa aplicada no
sistema, todos em função do tempo. Já os vetores { ( )} , { ̇( )} , { ̈( )} e ( )
representam respectivamente o vetor de deslocamento, velocidade e aceleração da massa e
o vetor de força externa aplicada no sistema, todos em função da frequência de vibração.
, e são respectivamente as matrizes aleatórias de massa, amortecimento e rigidez.
Tais matrizes são reais, simétricas e positivo-definidas, elas pertencem ao Conjunto Positivo-
Definido (abordado na seção anterior) proposto por Soize (2000) e estudado em Soize (2003a)
e Soize (2005a).
No decorrer deste artigo, as matrizes aleatórias , e , por simplicidade serão
representadas por uma matriz aleatória geral denominada com dimensão . Isto pode
ser considerado visto que, de acordo com Adhikari (2007), as matrizes aleatórias do sistema
dinâmico acima têm características probabilísticas similares.
Será considerado também ( ) como sendo a FDP da matriz aleatória , que deve
ser encontrada, e ̅ a matriz média de que deve ser calculada, já que, como será verificado
nas seções a seguir, corresponde a um dado do problema.

2.3 Definição do modelo médio
O modelo médio corresponde à representação do modelo real que ser quer estudar. Ele
é representado pela seguinte equação no domínio do tempo:
̅{ ̈̅( )} ̅{ ̇̅( )} ̅{ ̅( )} ( ) (8)
ou no domínio da frequência:
̅{ ̈̅( )} ̅{ ̇̅( )} ̅{ ̅( )} ( ) (9)
em que os vetores { ̅( )}, { ̇̅( )}, { ̈̅( )} e { ( )} representam respectivamente o vetor de
deslocamento, velocidade e aceleração médios da massa e o vetor de força externa
aplicada no sistema, todos em função do tempo. Já os vetores { ̅( )}, { ̇̅( )}, { ̈̅( )} e
{ ( )} representam respectivamente o vetor de deslocamento, velocidade e aceleração
médios da massa e o vetor de força externa aplicada no sistema, todos em função da
frequência de vibração. As matrizes ̅ , ̅ e ̅ , correspondem, respectivamente, às

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matrizes médias de massa, amortecimento e rigidez. Elas são reais, simétricas e positivo-
definidas.
Tendo em vista que as matrizes médias definidas acima são dados de entrada para o
sistema dinâmico em estudo, elas devem ser calculadas para que seja possível a quantificação
de incertezas de modelo através da abordagem não paramétrica. Como dito em Soize (2000),
dependendo da metodologia utilizada para construção do modelo médio das matrizes
aleatórias de massa, amortecimento e rigidez, uma faixa menor ou maior de frequência pode
ser considerada na análise. Neste caso, têm-se duas formas propostas para a construção de tal
modelo médio, ou ele é construído por um modelo de elementos finitos que limita a faixa de
frequência estudada ou ele é construído por um modelo de matriz reduzida onde o modelo
definido pode ser usado para prever a resposta para todo em . Os detalhes sobre a
construção do modelo médio nessas duas abordagens não será detalhado neste trabalho,
porém deve-se mencionar que a abordagem não paramétrica para quantificação de incertezas
proposta inicialmente em Soize (2000) considera a obtenção do modelo médio por matriz
reduzida já que aintenção é validar a abordagem para a mais ampla faixa de frequência
possível. Vale esclarecer também que procedimentos de cálculo para obtenção de modelos de
matrizes reduzidas médias são propostas considerando-se a faixa de frequência adotada na
análise. Contudo, para faixas de baixa frequência (BF) de vibração, deve-se utilizar a
metodologia proposta em Soize (2000), já para faixas de média frequência (MF) o modelo
apresentado em Soize (1998) deve ser utilizado.

2.4 Definição da banda de frequência
Neste item será definida a banda de frequência considerada para a análise do modelo.
Logo, para um sistema dinâmico amortecido com vibração linear na sua posição de equilíbrio
estático e sem pré-tensão será definida uma banda de frequência dada por:
[ ] (10)
onde é a freqüência mínima e corresponde à freqüência máxima considerada.

2.5 Resposta do sistema dinâmico
Aplicando a Transformada de Laplace na Equação 7, resulta
{ ̈( )} { ̇( )} { ( )} ( ) ( ){ ( )}
( ) { ( )}
( )
( )

{ ( )}
( )
( ) ( ) ( )
(11)
em que ( ) corresponde à FRF do sistema estudado definida para a faixa de frequência
considerada.

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2.6 Resposta do sistema dinâmico médio
Como já dito anteriormente, segundo Soize (2000), o modelo médio de elementos
finitos só pode prever a resposta para uma faixa de frequência natural específica para a qual
o modelo foi determinado, já o modelo reduzido médio permite a previsão da resposta para
qualquer , o que torna este modelo mais adequado para ser trabalhado na abordagem não
paramétrica, já que o objetivo é obter um modelo de quantificação para a maior faixa de
frequência possível. Portanto, o modelo não paramétrico das incertezas aleatórias será
construído utilizando-se o MME com base nas informações disponíveis caracterizadas pelos
modelos de matriz reduzida média.
̅( ) ( ̅ ̅ ̅) (12)
sendo ̅( ) uma matriz complexa simétrica que corresponde à FRF do modelo médio,
̅ ̅ e ̅ são as matrizes reduzidas médias de massa, amortecimento e rigidez. Elas devem
pertencer a
( ), ou seja, devem ser matrizes reais, simétricas e positivo-definidas.

2.7 Restrições do problema de otimização
A quantificação de incertezas de modelo presentes em sistemas dinâmicos lineares é
possível através da abordagem não paramétrica, cujo “[...] modelo de incertezas aleatórias é
baseado na construção direta do modelo probabilístico das matrizes generalizadas de massa,
amortecimento e rigidez” (Soize, 2000). Tal abordagem não paramétrica, na sua fase de
modelagem estocástica, resolve um problema de otimização em que a entropia de Shannon,
que neste caso significa incerteza, é maximizada sujeita a restrições provenientes de
informações disponíveis que se tem sobre o sistema em estudo.
A primeira informação que se tem diz respeito ao fato de que as matrizes aleatórias
possuem sua distribuição de probabilidade definida por uma FDP de
( ) para
[ ] (Soize, 2000). Isso dá origem à primeira restrição – Equação 15, correspondente à
condição de normalização.
Outra informação imprescindível na abordagem corresponde as matrizes de massa,
amortecimento e rigidez médias do modelo de matriz reduzida média. Essas matrizes médias
devem pertencer ao Conjunto Positivo-Definido, sendo assim reais, simétricas e positivo-
definidas. Esta informação dá origem à segunda restrição – Equação 16 - do problema de
otimização em que a matriz média de deve ser igual a esperança matemática da mesma
matriz aleatória.
A terceira restrição está relacionada com a existência do momento das matrizes
aleatórias inversas de massa, amortecimento e rigidez. A existência dessas matrizes possibilita
o cálculo de suas inversas, se existirem. Soize (2000) afirma que é necessário se introduzir
uma restrição relativa à existência de momentos nas matrizes aleatórias inversas de massa,

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amortecimento e rigidez ( ) para que seja possível obter um modelo
probabilístico consistente e uma propriedade de convergência da resposta transiente
estocástica quando a dimensão das matrizes se aproximarem do infinito. O mesmo autor ainda
afirma que “como as matrizes aleatórias são quase certamente positivo-definidas, suas
inversas quase certamente existem, mais esta propriedade não implica na existência de
momentos”. Então, uma última restrição foi introduzida com o objetivo de se garantir a
existência do momento das matrizes aleatórias inversas. Neste caso, para um sistema
amortecido, esta condição proposta e descrita logo abaixo garante a existência dos momentos
da função resposta em frequência (FRF) da matriz. Logo, pode-se fazer, segundo Soize
(2000):
{‖ ‖
} {‖ ‖
} {‖ ‖
} (13)
em que e são inteiros positivos e ‖ ‖ é a norma de Frobenius
da matriz considerada.
Para a obtenção da restrição segundo esta informação disponível são necessários
alguns cálculos algébricos que resultam na terceira restrição – Equação 17.
Logo, o problema de otimização que deve ser resolvido para obtenção da correta FDP
a ser utilizada na quantificação de incertezas de modelo em sistemas estruturais dinâmicos é
dado por:
Maximizar:
( ) ∫ ( ) [ ( )]

(14)
Sujeito às restrições:
∫ ( )

(15)
( ) ∫ ( )

(16)
[ | | ] ∫ | | ( )

(17)
onde { } é a esperança matemática de { } e ( ) é a entropia de Shannon. O termo
[ ( )] é o logaritmo natural de , ( ) é a esperança matemática de e | | é o
determinante de .
Com a resolução do problema de otimização colocado acima pode-se obter a seguinte
equação

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( )
| ̅| { ( )}
| | { ̅ } (18)
que corresponde à correta FDP a ser utilizada para quantificação da incerteza epistêmica. A
principal conclusão que se tem a partir deste resultado é que o FDP de uma matriz aleatória só
depende de sua média e da ordem da sua matriz (ou graus de liberdade do sistema).
Por outro lado, esta equação ainda pode passar por alguns cálculos e simplificações
algébricas que resultam em
( ) {( )

(

) | |

}

| |

( ) {

} (19)
que, por sua vez corresponde à distribuição Wishart. Portanto, pode-se fazer a seguinte
afirmação: considerando que o momento inverso de ordem exista e apenas a média de , ou
seja, ̅ é disponível, resulta que a FDP de máxima entropia/incerteza de tem a mesma
distribuição da matriz Wishart com os parâmetros ótimos dados por Adhikari (2008) erepresentados pelas equações seguintes:
(20)

(21)
em que

̃
{
{ ( )}

(

)
} ( ) (22)
A obtenção da terceira restrição e a resolução do problema de otimização para a
obtenção da FDP Wishart e seus parâmetros não serão mostrados aqui, mais podem ser vistos
em detalhe em Soize (2005), Adhikari (2007), Adhikari (2008), Adhikari (2009), Justino e
Lima Junior (2012a) e Justino e Lima Junior (2012b).

3. SIMULAÇÃO ESTOCÁSTICA
Uma vez construído o modelo probabilístico, a próxima fase do trabalho será a
simulação estocástica. É a fase onde se gera amostras das matrizes aleatórias que foram
randomizados juntamente com suas respostas. O resultado é um problema determinístico para
cada realização gerado e que deve ser resolvido, e é com estes resultados que as estatísticas ou
aproximações da distribuição de probabilidade da resposta são encontradas. O Método de
Monte Carlo será utilizado para tal finalidade.
A simulação de Monte Carlo é usada em problemas que envolvem variáveis aleatórias
com distribuições de probabilidade conhecida (ou assumida). É um processo iterativo, no qual
em cada simulação amostras de valores de variáveis aleatórias são geradas de acordo com a
distribuição de probabilidade correspondente. A amostra obtida a partir de uma simulação de
Monte Carlo é semelhante ao de uma amostra de observações experimentais. Por esta razão,

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São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012

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os resultados da simulação podem ser tratados estatisticamente, estes resultados podem
também ser apresentados sob a forma de histogramas, e métodos de estimação e de inferência
estatística são aplicáveis (Castanheira (2004) apud Ang e Tang (1984)).
O principal problema neste momento é determinar quantas simulações são necessários
para construir uma aproximação da resposta para um erro pré-definido. Para isso, é utilizado o
método de convergência média quadrática. Neste caso, quando o número de simulação
aumenta, a curva de convergência tem o seu valor estabilizado. Além disso, o número de
simulações deve ser limitado a um erro que precisa ser especificado.
Segundo Soize (2005b), a convergência de acordo com a dimensão das matrizes
aleatórias e o número de realizações necessárias na SMC é dada por:
( ) {

∑∫ ‖ ( )‖

}
⁄
(23)
em que: é a ordem das matrizes aleatórias; corresponde ao número de SMC
utilizado para se construir as estatísticas da resposta; é a freqüência na banda ; ( )
corresponde à resposta do sistema estocástico calculada para cada simulação com resultado
correspondente .

3.1 Parâmetro de dispersão
O parâmetro de dispersão, identificado como , é um parâmetro de extrema
importância no processo de quantificação de incertezas epistêmicas através da abordagem não
paramétrica proposta por Soize (1998) e Soize (2000). Ele é a única informação que se tem a
respeito da incerteza de modelo no sistema.
Os estudos sobre o parâmetro de dispersão começaram em Soize (2000) quando o
autor propõe a abordagem não paramétrica para resolução de problemas relacionados à
quantificação de incertezas epistêmicas considerando-se modelo de matriz reduzida das
matrizes aleatórias e faixas de média frequência de vibração. Porém, o estudo esse parâmetro,
neste caso, também é válido para faixas de baixa e altas frequências.
Contudo, de acordo com Soize (2000), o parâmetro de dispersão é definido, já
considerando as matrizes aleatórias de massa, amortecimento e rigidez, por
{
{‖ ̅‖
}
‖ ̅‖
}
⁄
{
{‖ ̅‖
}
‖ ̅‖
}
⁄
{
{‖ ̅‖
}
‖ ̅‖
}
⁄
(24)
ou
{

(
( )
( )
)}
⁄
(25)

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São João del-Rei, Minas Gerais, 02 a 05 de Outubro de 2012

(
( )
( )
)}
⁄

{

(
( )
( )
)}
⁄

é um número real positivo e está relacionado com o parâmetro de dispersão do
sistema (Sampaio, Ritto e Cataldo, 2007).
Se os parâmetros , então, e consequentemente
̅ ̅ ̅ em probabilidade. O que se conclui disso é que os parâmetros
permitem com que a dispersão do modelo probabilístico seja controlada.
A Eq. (24) permite que a dispersão do modelo probabilístico seja fixo por um
parâmetro o qual deve ser independente da ordem da matriz aleatória e deve ser dado pelo
seguinte intervalo de valores possíveis segundo Soize (2003a):
{
( )
( )
}
⁄
(20)
em que é um inteiro que é dado e fixo e, neste caso, independe de . O limite
superior do parâmetro é necessário para a Equação 24 se manter. Pode-se afirmar ainda que,
em geral, as dimensões do modelo considerado são grandes e, por vezes acima de 100. Se a
título de exemplo, considerar-se , se terá então que, aplicado na Equação 3
corresponderá a um alto nível de incerteza (0,856) e que, geralmente não é alcançado nas
aplicações (Soize, 2003a), logo deve ser determinado com cuidado.

3.2 Exemplo
Neste ponto, um simples exemplo será simulado para que se possa perceber a
importância em se determinar corretamente o parâmetro de dispersão para o sistema em
estudo. Tal exemplo consiste em um sistema dinâmico amortecido de 2 gdl (graus de
liberdade) cuja equação de movimento no domínio da frequência é representado pela Equação
7. A resposta do modelo médio do sistema também será calculada e sua equação de
movimento, também no domínio da frequência é representada pela Equação 9. A banda de
frequência é definida pela Equação 10, em que e .
As matrizes médias de massa, amortecimento e rigidez são as respectivamente:
̅ [

] ̅ [

] (23)
Os valores das massas, amortecimentos e rigidezes foram retirados do artigo Sampaio,
Ritto e Cataldo (2007) e correspondem a:
⁄ ⁄
⁄ ⁄
(24)

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A quantificação de incertezas é realizada para cinco valores de parâmetros de
dispersão e a FRF, bem como o gráfico de convergência, é construída para cada um deles.
Somente a matriz de rigidez terá sua incerteza propagada. As quantificações serão realizadas
considerando-se a FDP Wishart e as simulações serão realizadas pelo MMC. Um programa
em Matlab foi construído para tal objetivo. Contudo, tem-se que:
(25)
O modelo médio corresponde à representação do modelo real estudado, portanto ele
não tem incertezas. A consequência disso é que não se faz necessária nenhuma simulação
referente a tal modelo, já que sem incertezas os resultados seriam os mesmos.
Os resultadosdas simulações são representados pela Equação 1 até a Equação 5. As
figuras resultantes da SMC mostram o intervalo de confiança com probabilidade de 95% de
conter a resposta correta para o problema estocástico estudado. É clara a diferença existente
na quantificação da incerteza quando se usa diferentes valores de parâmetros de dispersão, a
região de confiança é mais larga para valores mais elevados desses parâmetros.

4. CONCLUSÃO
No presente artigo é mostrada a sequência de cálculo para quentificação de incertezas
epistêmicas em sistemas estruturais dinâmicos lineares com gdl além de um importante
estudo sobre o parâmetro de dispersão, que corresponde à única informação sobre a incerteza
que se tem na análise. A principal conclusão referente à modelagem estocástica corresponde
ao fato de que a FDP para propagação de incertezas de modelo nas matrizes aleatórias de
massa, amortecimento e rigidez seguem a distribuição Wishart com parâmetros apropriados e
a propagação depende apenas da ordem dessas matrizes e das suas matrizes médias. Porém,
na simulação estocástica, além da determinação correta do número de simulações necessárias
para obtenção de respostas confiáveis e dentro de erros pré-determinados obtida pelo método
dos mínimos quadrados, uma análise do parâmetro de dispersão foi realizado e a conclusão é
que a região de confiança é mais larga para valores mais elevados dos parâmetros de
dispersão, portando tal parâmetro deve ser determinado cuidadosamente, e só então, a
incerteza quantificada correspondeá à realidade do problema estudado.
Contudo, o sucesso de um projeto, seja ele aeronáutico, mecânico, civil, etc, está
relacionado à confiabilidade do modelo construído, e na intenção de aumentar tal
confiabilidade, todos os tipos possíveis de incertezas devem ser quantificados, já que não
existe modelagem sem que elas estejam presentes, e neste contexto, recursos estatísticos tem
sido de grande valia. Esta é, então, a tendência moderna de se usar a estatística em normas
técnicas e projetos de engenharia.

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FIGURA 1. (a)-Convergência, (b)-FRF (receptância) para IC 95%. .

0 50 100 150 200 250 300 350 400
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
Convergência para parâmetro de dispersão = 0,05
Número de Simulações ns
co
nv
(n
s)
0 1 2 3 4 5 6 7
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0 FRF - parâmetro de dispersão = 0,05
frequência (Hz)
dB
x

Modelo Médio
Intervalo de Confiança de 95%

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FIGURA 2. (a)-Convergência, (b)- FRF (receptância) para IC 95%. .

0 100 200 300 400 500 600
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
Convergência para parâmetro de dispersão = 0,1
Número de Simulações ns
co
nv
(n
s)
0 1 2 3 4 5 6 7
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0 FRF - parâmetro de dispersão = 0,1
frequência (Hz)
dB
x

Modelo Médio
Intervalo de Confiança de 95%

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FIGURA 3. (a)-Convergência, (b)- FRF (receptância) para IC 95%. .

0 100 200 300 400 500 600 700 800
0.1
0.105
0.11
0.115
0.12
0.125
0.13
0.135
0.14
0.145
0.15
Convergência para parâmetro de dispersão = 0,2
Número de Simulações ns
co
nv
(n
s)
0 1 2 3 4 5 6 7
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0 FRF - parâmetro de dispersão = 0,2
frequência (Hz)
dB
x

Modelo Médio
Intervalo de Confiança de 95%

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FIGURA 4. (a)-Convergência, (b)- FRF (receptância) para IC 95%. .

0 200 400 600 800 1000
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
Convergência para parâmetro de dispersão = 0,3
Número de Simulações ns
co
nv
(n
s)
0 1 2 3 4 5 6 7
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0 FRF - parâmetro de dispersão = 0,3
frequência (Hz)
dB
x

Modelo Médio
Intervalo de Confiança de 95%

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FIGURA 5. (a)-Convergência, (b)- FRF (receptância) para IC 95%. .

5. REFERÊNCIAS
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Journal, v. 45, no. 7, p. 1748-1762, 2007.
ADHIKARI, S. Wishart random matrices in probabilistic structural mechanics. Journal of
Engineering Mechanics, v. 134, no. 12, p. 1029-1044, 2008.
0 200 400 600 800 1000 1200
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
Convergência para parâmetro de dispersão = 0,65
Número de Simulações ns
co
nv
(n
s)
0 1 2 3 4 5 6 7
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0 FRF - parâmetro de dispersão = 0,65
frequência (Hz)
dB
x

Modelo Médio
Intervalo de Confiança de 95%

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pela NBR 8800. Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil - Escola de Minas,
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JUSTINO, L. B., LIMA JUNIOR, J. J. A Nonparametric Approach for Uncertainty
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6. AGRADECIMENTOS
Gostaríamos de agradecer a CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior) e FAPEMIG (Fundação de Apoio à Pesquisa de Minas Gerais) para o apoio
financeiro.