Derivadas estacio de sa

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Derivada 
Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Prof.: Marcia Miranda Azeredo 
marcia.azeredo@estacio.br 
Derivada 
• O conceito de derivada está intimamente relacionado à 
taxa de variação instantânea de uma função; 
• Exemplos: taxa de crescimento de uma certa população, 
taxa de crescimento econômico do país, taxa de redução da 
mortalidade infantil, taxa de variação de temperaturas, 
velocidade de corpos ou objetos em movimento ... 
• A noção de função derivável é uma das noções 
fundamentais da Matemática ; 
• Constitui em uma ferramenta indispensável para o estudo 
do comportamento de funções e do consequente esboço 
de seus gráficos, bem como para o estudo de máximos e 
mínimos de funções. 
Definição Matemática 
Obs.: 
Exemplo 1 
• Usando a definição por limite, determine a 
derivada da função: 
Notação 
• Notações mais comuns para a derivada de y=f(x): 
 
 
 
 
 
• A notação dy/dx é devida a Leibnitz. O uso dessa 
notação pode ser explicado da seguinte forma: O 
acréscimo da variável x, produz um acréscimo da 
variável y. A idéia é que, ao se tornarem 
“infinitamente pequenos”, esses acréscimos 
passavam a ser denotados por dx e dy, 
respectivamente, e operavam-se com eles 
formalmente como com dois números quaisquer. 
Interpretação Geométrica 
? 
Inclinação da reta secante : Inclinação da reta r: 
 
• Uma função só é derivável em um ponto de seu 
domínio se existir uma reta tangente ao seu gráfico 
por este ponto, ou seja, o gráfico da função neste 
ponto não apresenta comportamento pontiagudo. 
O coeficiente angular da reta tangente à curva no 
ponto (x,f(x)) é igual a derivada de f em x. 
Se f é derivável em 𝑎 ∈ 𝐼, então a 
equação da reta tangente ao gráfico 
de f no ponto (𝑎, 𝑓 𝑎 ) é 
𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑎 𝑥 + 𝑏 
Exemplo 2 
• Determine a equação da reta tangente ao 
gráfico de 𝑓 𝑥 = 𝑥2 no ponto de abscissa 1 
( 𝑥 = 1 ). Esboce o gráfico de f e da reta 
tangente. 
Derivadas Importantes 
Exercícios 
1) Calcule as derivadas das funções abaixo: 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 
d) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
 
e) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥2
 
f) 𝑓 𝑥 = 𝑥 
g) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
3
 
h) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 
i) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 
j) 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 
l) 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 
Regras de Derivação 
Exercícios 
Função Composta 
x u = g(x) y=f(u)=f(g(x)) 
Exemplos: 
 
a) 𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥2+1, 𝑓 𝑢 = cos 𝑢 
 𝑓 𝑔 𝑥 = cos(𝑥2 + 1) 
 
b) 𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥3, 𝑓 𝑢 = 𝑒𝑢 
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥
3
 
 
Obs.: Notação 
f(g(x))=fog(x) 
Regra da cadeia 
 Se f(u) é derivável no ponto u = g(x) e g(x) é 
 derivável em x, então 
 
 (f o g)’ (x) = f ’(g(x)) . g’(x) 
 
Exemplo: Calcular a derivada de: 
 
a) f(x)=𝑐𝑜𝑠(𝑥2 + 1) 
b) f(x)=𝑒𝑥
3
 
Exercício 
Respostas 
Derivadas de Ordem Superior 
Exercício 
Interpretação Física 
• A derivada de uma função f num ponto 𝑥0 fornece a 
taxa de variação instantânea de f em 𝑥0. 
Taxa de variação média: 
Taxa de variação instantânea: 
Aplicação Física: Velocidade e 
Aceleração 
 
• Se uma função s(t) descreve a posição de um 
objeto em movimento no instante t, então s´(t) 
fornece a taxa de variação instantânea do 
movimento, ou seja, a velocidade deste objeto no 
instante t. O que seria então, a segunda derivada 
de s(t)? Pelo mesmo raciocínio, s´´(t) fornece a 
taxa de variação instantânea de s´(t) , ou seja, a 
taxa de variação da velocidade, que é conhecida 
como aceleração instantânea. 
Exemplo 
 
• Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que 
no instante t a posição x é dada por x(t)= 𝑡4, t≥0, 
onde x é dado em metros e t em segundos. 
a)Determine as posições ocupadas pela partícula nos 
instantes t = 0, t = 1 e t = 2. 
b)Qual a velocidade no instante t? 
c)Qual a aceleração no instante t? 
 
Exercícios 
Gabarito 
Máximos e mínimos 
Definições 
EXERCÍCIOS 
EXERCÍCIOS 
1) 
2) 
3) 
Diferenciação Implícita 
Exercícios 
Gabarito 
Taxas Relacionadas 
Exercícios