Apostila Concreto Armado

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UUDDEESSCC –– UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDEE DDOO EESSTTAADDOO DDEE SSAANNTTAA 
CCAATTAARRIINNAA 
 
 
CCCCTT –– CCEENNTTRROO DDEE CCIIÊÊNNCCIIAASS TTEECCNNOOLLÓÓGGIICCAASS 
 
 
DDEECC –– DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE EENNGGEENNHHAARRIIAA CCIIVVIILL 
 
 
 
 
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE CCOONNCCRREETTOO AARRMMAADDOO II –– CCAARR II 
 
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FFoonnee:: ((4477)) 44000099--77999922 
 2 
1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS PARA A CONCEPÇÃO E O 
DESENVOLVIMENTO DA SENSIBILIDADE ESTRUTURAL 
 
 Na engenharia estrutural existem basicamente duas fases: a fase de concepção do 
projeto, e a fase do desenvolvimento propriamente dito. O objetivo principal é obter soluções 
adequadas, simples e econômicas para o problema proposto, exigindo do engenheiro experiência 
e sensibilidade para encontrar estas respostas. 
 Deve-se lembrar que: 
 
“A engenharia é a arte de tratar de maneira simples e adequada o complexo. A qualidade de um 
projeto se mede pela adequação da sua solução, pelo seu método construtivo, pela qualidade do 
detalhamento com vistas à facilidade executiva, e pelo seu dimensionamento através de 
modelos que simulem corretamente a estrutura, propiciando um grau de segurança adequado” 
 
 
1.1 ANÁLISE CONCEITUAL 
 
 A análise conceitual é formada por várias etapas, como: 
- visualização do caminhamento das cargas nos diversos elementos estruturais; 
- desenho esquemático em escala adequada; 
- indicação das cargas atuantes; 
- análise dos diversos caminhos que as cargas atuantes devem percorrer até chegar à 
fundação. Isto depende da disposição e rigidez dos vários elementos que compõe a estrutura, 
lembrando-se que a estrutura que permite o menor caminhamento das cargas até a fundação é 
a mais econômica; 
- visualização da seqüência construtiva. 
 
 
1.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
 
 Nesta etapa é feita uma análise simplificada em seções críticas, para que se 
tenha idéia das ordens de grandeza envolvidas. Depois de definidas as dimensões dos 
elementos estruturais, é feito um cálculo detalhado da estrutura envolvendo muitas vezes 
programas computacionais. Aconselha-se não prosseguir o cálculo se houver muita discrepância 
entre o pré-dimensionamento e o definitivo, pois é nesta fase que muitos engenheiros se 
sentem confiantes demais por disporem de um programa teoricamente muito eficaz, podendo 
acontecer muitos erros. 
 
 
1.3 REGRAS ÚTEIS 
 
 Lembrando-se que projetar não é calcular, e sim prever e resolver problemas, deve-se: 
- entender o projeto como um todo (arquitetura, implantação, estrutura, elétrico, hidráulico, 
etc); 
- prever os problemas ao longo de todas as etapas construtivas, ou seja, procurar uma solução 
de fácil execução; 
 3 
- separar o principal do secundário; 
- pensar! Pensar no problema, levantar todos os aspectos possíveis, gerar um modelo 
simplificado levando em conta os aspectos essenciais, etc. 
 
 
1.4 MEMORIAL DE CÁLCULO, DESENHOS E ESPECIFICAÇÕES 
 
 O produto final de um projeto estrutural é constituído por memorial de cálculo, 
desenhos e especificações. 
 O memorial de cálculo é um documento de auxílio e esclarecimento de dúvidas 
sobre um determinado projeto, contendo descrição da concepção, do cálculo e do 
detalhamento do mesmo. Ele deve ser auto-explicativo, claro (bom entendimento) e conter 
todos os dados que irão para o desenho final, uma vez que é o documento fundamental para o 
controle da qualidade. 
 A estrutura da memória de cálculo deve conter: 
a) índice: utilização de regras para os diversos itens (letras maiúsculas, minúsculas, números) e 
paginação; 
b) conteúdo: 
 - hipóteses preliminares (carregamentos, características dos materiais empregados, 
características do solo de fundação, condicionantes construtivas, método executivo, etc); 
 - memorial justificativo e descritivo (descrever a obra e justificar a solução adotada em 
comparação com outras alternativas); 
 - sistema estrutural (desenho esquemático); 
 - implantação e geometria; 
 - cálculo principal (lajes, vigas, pilares, fundação, detalhes gerais); 
 - desenhos gerados (anexos); 
 Por outro lado, as informações dos desenhos e especificações devem também ser 
completas, claras, -em escalas apropriadas, consistentes entre si e corretas. 
 
 
1.5 QUALIDADE NO PROJETO ESTRUTURAL 
 
 A NBR 6118:2003 procura inserir novos conceitos de qualidade dentro do projeto 
estrutural, muito além do que simplesmente a garantia da estabilidade da obra. Assim, uma 
estrutura deve apresentar requisitos relativos à sua capacidade resistente, bom 
desempenho em serviço (não pode haver fissuração excessiva, deformações inconvenientes 
e vibrações indesejáveis) e durabilidade. 
 A vida útil de projeto deve ser de 50 anos, e a qualidade passa pela sistematização 
segundo padrões internacionais de qualidade, proporcionalmente ao porte e ao risco da 
construção em análise. Isto exige constante atualização do nível de conhecimento do 
projetista e cuidados com os processos de automatização envolvidos no projeto. 
 Todas as normas técnicas internacionais apresentam uma grande preocupação 
com a qualidade, englobando economia na execução da obra, melhor aproveitamento da 
tecnologia dos materiais, da metodologia da análise numérica, da garantia de durabilidade e 
vida útil das construções e da segurança, não apenas imediata das estruturas, mas também a 
longo prazo, evitando-se acidentes desnecessários. O projeto deve ser compatível desde o 
 4 
atendimento ao projeto arquitetônico até o ajuste com as instalações, apresentando uma 
garantia de uma execução correta daquilo que foi projetado. 
 Ainda dentro dos conceitos de qualidade de um projeto estrutural, evitando 
envelhecimento prematuro da estrutura e garantindo sua durabilidade, devem ser observados: 
a) drenagem eficiente; 
b) formas arquitetônicas e estruturais adequadas; 
c) garantia de concreto com qualidade apropriada; 
d) garantia de cobrimentos de concreto apropriados para proteção da armadura; 
e) detalhamento adequado das armaduras; 
f) controle de fissuração; 
g) uso de revestimentos protetores nas peças sob condições ambientais agressivas; 
h) definição de um plano de inspeção e manutenção preventiva; 
i) análise cuidadosa e atenta do projeto arquitetônico; 
j) contatos com os proprietários para saber dos objetivos da obra, durabilidade 
estimada, padrão de revestimentos e acabamentos; 
k) conhecimento do construtor e suas obras anteriores; 
l) lançamento de um sistema estrutural compatível com a arquitetura, com o projeto de 
instalações, com a tecnologia executiva disponível, etc; 
m) pré-dimensionamento da estrutura com verificação da compatibilidade dos esforços e 
deformações do sistema criado; 
n) desenvolvimento do projeto propriamente dito, incluindo detalhamento de cada 
elemento da estrutura, combinando os resultados obtidos das análises e dos programas 
utilizados com a experiência profissional; 
o) desenhos claros e detalhados; 
p) implementação nos desenhos de informações complementares (resistência dos 
materiais utilizados, módulos de elasticidade, hipóteses consideradas, etc); 
q) supervisão da execução da obra pelo projetista, com visitas eventuais à obra nas 
fases críticas da execução dos projetos, como por exemplo antes das concretagens. 
 Deve-se lembrar ainda que as condições deequilíbrio e de compatibilidade 
devem ser sempre respeitadas, e podem ser estabelecidas com base na geometria 
indeformada da estrutura (teoria de primeira ordem), ou com base na geometria 
deformada (teoria de segunda ordem), nos casos em os deslocamentos alterem de 
maneira significativa os esforços internos. 
 5 
2. INTRODUÇÃO AO CONCRETO ARMADO 
 
 
2.1 COMPOSIÇÃO DO CONCRETO ARMADO 
 
O concreto armado é composto de concreto simples mais um material de boa resistência à 
tração, como por exemplo, aço ou bambu, que devem estar convenientemente colocados 
(armadura passiva). O concreto por sua vez, é formado por um material aglomerante 
(cimento Portland, cimento de pega rápida, etc), materiais inertes (agregados graúdos ou 
miúdos), água e eventualmente aditivos. 
 
 
2.2 VANTAGENS DO USO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 As principais vantagens em se utilizar estruturas de concreto armado são: 
- facilidades e rapidez na construção, principalmente no caso de se utilizar peças pré-
moldadas; 
- economia em função do baixo custo dos materiais e da mão-de-obra envolvida; 
- adaptabilidade a qualquer forma construtiva, em função da boa trabalhabilidade; 
- processos construtivos bastante conhecidos em qualquer lugar do país; 
- boa resistência a diversas solicitações, incluindo-se a resistência ao fogo e ao choque; 
- materiais de fácil obtenção; 
- conservação fácil e de baixo custo, desde que a estrutura tenha sido 
convenientemente projetada e construída; 
- boa transmissão de esforços, em função da obtenção de estruturas monolíticas (concretagem 
in loco) 
- boa aderência entre os materiais. 
 
 
2.3 DESVANTAGENS DO USO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 Da mesma forma, as principais desvantagens são: 
- encarecimento das fundações (peso próprio elevado); 
- reformas e demolições trabalhosas; 
- exigências construtivas (escoramento, concreto bem executado, cura, etc); 
- baixa resistência à tração do concreto, havendo a necessidade de colocação de 
armadura corretamente posicionada; 
- problemas de fissuração e de corrosão das armaduras. 
 
 
2.4 NORMAS BRASILEIRAS REFERENTES AO CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO 
 
 As principais normas brasileiras relacionadas ao projeto estrutural são: 
 
NBR 6118/2003 – Projeto de estruturas de concreto – procedimento (revisão da NBR 6118/80, 
sendo conhecida como nova NB1); 
 6 
NBR 6120/1980 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações – procedimento; 
NBR 6123/1987 – Forças devido ao vento em edificações – procedimento; 
NBR 8681/2003 – Ações e segurança nas estruturas – procedimento; 
NBR 7187/1987 – Cálculo e execução de pontes de concreto armado; 
NBR 14931/2003 – Execução de estruturas de concreto – procedimento. 
 
 Também relacionadas ao concreto armado tem-se as seguintes normas: 
 
NBR 7808 – Símbolos gráficos para projetos de estruturas; 
NBR 5732/1991 – Cimento Portland comum – especificação; 
NBR 5733/1991 – Cimento Portland de alta resistência inicial – especificação; 
NBR 5735/1991 – Cimento Portland de alto forno – especificação; 
NBR 5736/1991 – Cimento Portland pozolânico – especificação; 
NBR 5738/1994 – Moldagem e cura de corpos-de-prova cilíndricos ou prismáticos de concreto 
– método de ensaio; 
NBR 5739/1994 – Concreto – ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos – método de 
ensaio; 
NBR 6004/1984 – Arames de aço – ensaio de dobramento alternado – método de ensaio; 
NBR 6122/1996 – Projeto e execução de fundações – procedimento; 
NBR 6152/1992 - Materiais metálicos – determinação das propriedades mecânicas à 
tração – método de ensaio; 
NBR 6153/1988 – Produto metálico – ensaio de dobramento semi-guiado – método de ensaio; 
NBR 6349/1991 – Fios, barras e cordoalhas de aço para armaduras de protensão – ensaio de 
tração – método de ensaio; 
NBR 7190/1977 – Projeto de estruturas de madeira – procedimento; 
NBR 7222/1994 – Argamassa e concreto – determinação da resistência à tração por 
compressão diametral de corpos de prova cilíndricos – método de ensaio; 
NBR 7477/1982 – Determinação do coeficiente de conformação superficial de barras e fios de 
aço destinados a armaduras de concreto armado – método de ensaio; 
NBR 7480/1996 – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado – 
especificação; 
NBR 7482/1991 – Fios de aço para concreto protendido – especificação; 
NBR 7483/1991 – Cordoalhas de aço para concreto protendido – especificação; 
NBR 7484/1992 – Fios, barras e cordoalhas de aço destinados a armaduras de 
protensão – ensaios de relaxação isotérmica – método de ensaio; 
NBR 8522/1984 – Concreto – Determinação do módulo de deformação estática e 
diagrama – tensão - deformação – método de ensaio; 
NBR 8548/1984 – Barras de aço destinadas a armaduras para concreto armado com emenda 
mecânica ou por solda – determinação da resistência à tração – método de ensaio; 
NBR 8953/1992 – Concreto para fins estruturais – classificação por grupos de resistência – 
classificação; 
NBR 8965/1985 – Barras de aço CA 42S com características de soldabilidade destinadas a 
armaduras para concreto armado – especificação; 
NBR 9062/1985 – Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado – procedimento; 
NBR 11578/1991 – Cimento Portland composto – especificação; 
 7 
NBR 11919/1978 – Verificação de emendas metálicas de barras de concreto armado – método 
de ensaio; 
NBR 12142/1992 – Concreto – determinação da resistência à tração na flexão em corpos de 
prova prismáticos método de ensaio; 
NBR 12519/1991 – Símbolos gráficos de elementos de símbolos, símbolos qualitativos e outros 
símbolos de aplicação geral; 
NBR 12654/1992 – Controle tecnológico de materiais componentes do concreto – 
procedimento; 
NBR 12655/1996 – Concreto: preparo, controle e recebimento – procedimento; 
 
Obs.: 
- como toda norma está sujeita a revisões, deve-se verificar qual é norma vigente (vide 
www.abnt.gov.br ou entre em contato com algum órgão representante da ABNT); 
 
- desde que seja devidamente justificado, pode-se também utilizar alguns regulamentos 
internacionais, sendo os principais: 
 
• Builiding Code Requirements for Reinforced Concrete (ACI – American 
Concrete Institute); 
• CEB-FIP Model Code (Comitê Euro-Internacional du Beton); 
• EUROCODE. 
 
- como sugestão para consulta nesta disciplina, indica-se o site 
www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu. 
 
 
2.5 UNIDADES 
 
 Na disciplina de CAR-I serão utilizadas unidades do Sistema Internacional (SI), e 
em virtude do grande problema que alguns profissionais ainda tem ao lidar com diversos 
sistemas de unidades, mostra-se a seguir as equivalências mais comuns com o sistema MKS: 
 
 1 N = 0,1 kgf 
 1 kN = 100 kgf = 0,1tf 
 1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 
 1 Mpa = 10 kgf/cm2 = 1000kN/m2 = 100 tf/m2 = 0,1 kN/cm2 
 8 
3 PROPRIEDADES DO CONCRETO 
 
 
3.1 CLASSES DE CONCRETO 
 
 Os concretos utilizados para fins estruturais subdividem-se em grupos de 
acordo com a resistência característica à compressão ( ckf ). Assim, têm-se concretos C15, 
C20, C25, C30, C35, C40, C45 e C50, onde os números indicadores da classe representam por 
exemplo concretos com 
ckf = 15 Mpa, 20 Mpa, e assim por diante. O valor mínimo da 
resistência à compressão deve ser de 20 Mpa para concretos apenas com armadura 
passiva (concreto armado) e 25 Mpa para concretos com armadura ativa (concreto 
protendido). O valor de 15 Mpa pode ser usado apenas em fundações e eventualmente em obras 
provisórias (obras com até quatro pavimentos, vãos de no máximo 4 m, sem utilização de laje 
plana, e desde que o proprietário esteja de acordo). 
 
 
3.2 CONCRETO ARMADO E CONCRETOPROTENDIDO 
 
 O concreto armado é obtido por meio da associação entre concreto simples e uma 
armadura convenientemente posicionada, chamada de armadura passiva, de tal modo que os 
dois materiais resistam de forma solidária aos esforços solicitantes. Por sua vez, o concreto 
protendido é obtido por meio da associação entre o concreto simples e a armadura ativa, para a 
qual é aplicada uma força de protensão com a finalidade principal de neutralizar as tensões de 
tração. A armadura neste caso é composta de cabos (armadura ativa) e barras (armadura 
passiva). 
 
 
3.2 MASSA ESPECÍFICA 
 
 Para concretos simples pode-se adotar para massa específica o valor de 2400 
kg/m3 e para o concreto armado o valor de 2500 kg/m3. Para concretos leves (que utilizam 
argila expandida, escórias, EPS, vermiculita, etc) pode-se adotar valores entre 1200 e 
1600 kg/m3 e para concretos pesados (usados por exemplo para blindagens de material de 
radiação) o valor de 3300 a 4000 kg/m3. 
 
 
3.3 PROPRIEDADES DO CONCRETO FRESCO 
 
 As principais propriedades do concreto fresco dizem respeito à trabalhabilidade, 
consistência e homogeneidade. Na moldagem da estrutura torna-se particularmente importante 
a consideração do processo de cura, que deve começar logo após o adensamento e o início da 
pega. Estes itens foram devidamente estudados na disciplina de MCC, e não serão aqui 
abordados. 
 
 9 
3.4 CARACTERÍSTICAS REOLÓGICAS 
 
 As características reológicas a serem consideradas para o concreto são: 
 
3.4.1 RETRAÇÃO - é a diminuição de volume que ocorre na peça de concreto, mesmo 
que não estejam atuando solicitações ou efeitos de temperatura, provocando fissuras e 
esforços adicionais. Basicamente, a retração pode ser de três tipos: 
- retração química – quando ocorre evaporação da água quimicamente não associada durante o 
processo de endurecimento do concreto; 
- retração capilar – ocorre por evaporação parcial da água capilar e perda da água adsorvida, 
fazendo com que apareçam tensões superficiais e fluxos de água nos capilares; 
- retração por carbonatação: é o tipo de retração que ocorre quando há diminuição de 
volume com o processo 
 
 A retração será tanto maior quanto mais seco for o ambiente, menos espessa for a 
peça em questão, e maior for o fator água-cimento. Para proteger quanto aos danos 
devido à retração deve-se proceder uma boa “cura”, evitando peças de grande 
comprimento e usando juntas de dilatação ou de concretagem apropriadas. Para casos 
correntes das obras de concreto armado, com peças de dimensões usuais entre 10 cm e 100 cm 
e umidade ambiente não inferior a 75%, pode-se adotar o valor de deformação específica axial 
devido à retração como 
 
 ε cs = 15 x 10-5 
 
 Para casos especiais deve-se consultar a norma. 
 
3.4.2 EXPANSÃO - é o aumento de volume de peças de concreto submersas, quando o fluxo 
de água é de fora para dentro da peça. 
 
3.4.3 DEFORMAÇÃO IMEDIATA E FLUÊNCIA DO CONCRETO (“creep”) – deformação 
lenta pode ser entendida como sendo a deformação que acontece logo após a aplicação do 
carregamento, devido à acomodação dos cristais que formam o material. A fluência 
corresponde a um acréscimo de deformação com o tempo ( ccε ), com a permanência da carga 
aplicada. Após a acomodação dos cristais com a aplicação das cargas, há uma diminuição do 
diâmetro dos capilares e conseqüentemente um acréscimo da tensão superficial nestes 
capilares, provocando a fluência. A consideração da deformação lenta e da fluência tem 
muita importância para projetos de estruturas de concreto protendido, sendo proporcional à 
deformação imediata 0cε : 
 
 
cocc εϕε .= 
 
onde ϕ é o coeficiente de fluência. 
 10 
 A deformação lenta é parcialmente reversível, sendo que parte desta deformação 
é eliminada quando do descarregamento. Os fatores que mais influenciam a deformação 
lenta são: 
- condições ambientais (maior umidade relativa do ar, então menor deformação lenta); 
- espessura da peça (maior espessura, então menor deformação lenta); 
- fator água cimento (maior a/c, maior deformação lenta); 
- idade do concreto quando do carregamento (idade menor, então deformação lenta maior). 
 A partir destes fatores é possível calcular o coeficiente de fluência “ϕ ”, para 
casos em que não é necessária muita precisão: 
 
Umidade (%) 40% 55% 75% 90% 
Esp. Equivalente 20 60 20 60 20 60 20 60 
0t = 5 dias 
 
4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 
0t = 30 dias 
 
3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 
0t = 60 dias 
 
3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 
 
 
 Espessura Equivalente = )(.2 cm
u
Ac 
 
Sendo: 
cA - área da seção transversal da peça em contato com a atmosfera; 
u - perímetro da seção transversal da peça em contato com a atmosfera; 
ot - tempo antes do primeiro carregamento. 
 Na prática, para casos de estruturas “simples” em que o número de pavimentos é 
menor ou igual a 4 (quatro), o valor da sobrecarga de utilização é de no máximo 3 KN/m2, o 
pé direito não excede 4 m, os vão são no máximo de 6m e os balanços são de no máximo 2 m, 
pode-se usar para concreto armado ao ar livre o valor médio do coeficiente de fluência de 
5,2=ϕ . 
 
3.4.4 TEMPERATURA - aumentos ou diminuições de temperatura podem provocar 
variações nas dimensões das peças de concreto. Para minimizar estes problemas, deve-se 
usar juntas de dilatação ou de concretagem, minimizar a inércia dos pilares na direção da 
deformação imposta ou aumentar o comprimento livre dos pilares nos níveis inferiores. Tem-se 
que: 
 
tct ∆= αε , onde ctε é a deformação específica axial devido à temperatura; 
 
Co510−=α , onde α é o coeficiente de dilatação térmica do concreto. 
 
 A variação da temperatura ∆t a ser considerada é (segundo NBR 6118/80): 
 11 
 
- CtC oo 1510 ±≤∆≤± se a menor dimensão da peça for ≤ 50 cm; 
- ∆≤± Co5 t Co10±≤ se a menor dimensão da peça for ≥ 70 cm, considerando peças 
maciças ou ocas com os espaços vazios inteiramente fechados; 
- para dimensões entre 50 e 70 cm os valores acima devem ser interpolados; 
- ∆ t = 0 para peças permanentemente envolvidas por terra ou água, ou para peças com 
comprimento de até 30m. 
 A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da 
diferença entre temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra. 
 Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição 
significativamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa 
distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre 
os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre 
uma face e outra da estrutura não seja inferior a cinco graus centígrados. 
Obs.: estas recomendações não são válidas para muros, paredes estruturais ou pilares 
robustos rigidamente ligados às fundações. Cuidados especiais também devem ser 
tomados no caso de projetos de chaminés, fornos, etc, onde há um grande gradiente 
térmico. 
 
 
3.5 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS 
 
 As principais características mecânicas do concreto a serem consideradas são a 
resistência à compressão, resistência à tração e módulo de elasticidade, propriedades 
estas que são determinadas por ensaios normatizados pela ABNT. 
 
3.5.1 RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO 
 
 A resistência à compressão é a característica mais importante do concreto, e é obtida 
em ensaios de cilindros moldados segundo a NBR 5738/1994 e NBR 5739/1994. Esta 
resistência,quando não for indicada a idade, refere-se à idade de 28 dias. Admite-se que para 
o dimensionamento, pode-se admitir uma relação linear entre tensões e deformações, 
adotando-se o módulo de elasticidade secante, e podendo-se empregar no estado limite 
último o diagrama simplificado tensão-deformação específica, conforme figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Segundo este diagrama, tem-se que: 
3,5%
o
 
2%
o
 
cσ 
0,85f
cd 
cε 
 12 
 
Se 0 ≤ 0%2<cε => ( )[ ]2002,0/1185,0 ccdc f εσ −−= 
Se 
o
%2 cε≤ 0%5,3≤ => cdc f85,0=σ 
 
Observações gerais: 
 
a) define-se como ckf a resistência característica do concreto à compressão, valor este obtido 
pela estatística do rompimento de corpos de prova; 
 
b) define-se como 
cdf a resistência de cálculo do concreto à compressão (resistência 
de projeto ou resistência última do concreto), para verificações em data t igual ou superior a 
28 dias, como sendo 
 
 
c
ck
cd
ff
γ
= 
 
onde cγ é o coeficiente de segurança do concreto, tomado normalmente como 1,4. 
 Quando a verificação se faz em data t inferior a 28 dias, a expressão de cdf deve 
ser modificada (consultar norma). 
 
c) a resistência medida no concreto depende de modo geral da forma dos corpos de 
prova e duração da solicitação; 
 
d) o coeficiente 0,85, estudado pelo eng. Hubert Rüsch, que reduz a resistência de cálculo do 
concreto leva em conta a superposição de três fatores, cuja ordem de grandeza é dada a 
seguir: 
- perda de resistência sob carga mantida igual a 0,72; 
- ganho de resistência com o tempo entre 28 dias e o final de vida da estrutura (para cimento 
CPI) igual a 1,23; 
- coeficiente que corrige a influência da forma do corpo de prova padrão (15x30) e a 
resistência na estrutura, igual a 0,96. 
 Assim, como 0,72 x 1,23 x 0,96 = 0,85, justifica-se o valor descrito. 
 O exposto acima também implica que a resistência do concreto para fins de segurança 
deve ser tomada na idade de referência de 28 dias, não cabendo a consideração do ganho de 
resistência após esta data, esmo que existam teorias de que após um período de dois anos e 
meio, haja um ganho de 23%. 
 
 
3.5.2 MÓDULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO 
 
 Para melhor entendimento deste item, torna-se necessário a descrição dos dois 
métodos de cálculo do módulo de elasticidade, relativos aos diagramas tensão x 
deformação: 
 
 13 
- módulo de elasticidade tangente ou inicial: é dado pela declividade de uma reta tangente à 
curva em sua origem, sendo que sua obtenção é fornecido pela NBR 8522/1984: 
 
 
 
- módulo secante: é conhecido através da declividade de uma reta traçada da origem, a um 
ponto da curva correspondente a 40% da tensão relativa a carga de ruptura. 
 
 Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto 
usado na idade de 28 dias, o valor do módulo de elasticidade inicial do concreto, a ser 
especificado em projeto e controlado na obra, pode ser estimado usando-se a expressão: 
 
 E
ci = 5600 fck (Mpa) 
 
 O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de 
projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de 
estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão: 
 
 E cs = 0,85 E ci (Mpa) 
 
3.5.3 COEFICIENTE DE POISSON - o coeficiente de Poisson (ν) do concreto, que é a 
relação entre a deformação unitária transversal e longitudinal, é desprezado na maioria dos 
cálculos usuais mas é utilizado por exemplo na análise de túneis e barragens. Para os casos em 
que as tensões de compressão são menores que 0,5 
cf e as tensões de tração são menores que 
ctf , o seu valor pode ser tomado como 0,2. 
 
3.5.4 MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL - para as mesmas condições do 
item anterior, o módulo de elasticidade transversal do concreto é dado por 
 
G c = 0,4 E cs (Mpa) 
 
3.5.5 RESISTÊNCIA À TRAÇÃO DO CONCRETO - apesar do concreto ser um material 
pouco resistente à tração, a consideração desta resistência pode estar relacionada com a 
capacidade resistente da peça, como no caso de esforço cortante, e ser importante na 
consideração da fissuração. A curva da tensão x deformação específica para a tração é 
 14 
semelhante à curva de compressão, não existindo nenhuma relação direta entre elas. Para 
efeito de cálculo e considerando-se concreto não fissurado, pode-se utilizar o diagrama 
abaixo, onde 
ctkf é a resistência característica do concreto à tração. 
 
 
 
 A partir de ensaios apropriados (NBR 7222/1994 e NBR 12142/1991), pode-se 
medir a resistência à tração indireta ( spctf , ) e a resistência à tração na flexão ( fctf , ). A 
resistência à tração direta ( ctf ) pode ser considerada igual a spctf ,9,0 ou fctf ,7,0 , e na falta 
de ensaios apropriados, pode-se utilizar o valor da resistência à tração direta média 
(
ctnf ), que pode ser calculada por meio da expressão: 
 
 )(3,0 3/2 Mpaff ckctm = 
 
 Dependendo da situação a ser utilizada, deve-se levar em conta os seguintes limites: 
 
- resistência característica superior do concreto à tração: 
 
 ctmsup, 3,1 ff ctk = 
 
- resistência característica inferior do concreto à tração: 
 
 ctmctk ff 7,0inf, = 
 
Obs.: de modo simplificado pode-se considerar que a resistência do concreto à tração é em 
torno de 10% da resistência à compressão. 
 
3.6 OBSERVAÇÕES QUANTO À COMPOSICÃO DO CONCRETO 
 
 De acordo com os ensinamentos vistos na disciplina de MCC-I e MCC-II e sugestões da 
norma NBR 6118/2003, deve-se dar preferência a certos tipos de cimento Portland, adições e 
aditivos mais adequados para resistir à agressividade ambiental, em função da natureza 
 15 
dessa agressividade. Do ponto de vista da maior resistência à lixiviação são preferíveis os 
cimentos com adições tipo CP III e CP IV; para minimizar o risco de reações álcali-agregado 
são preferíveis os cimentos pozolânicos tipo CP IV; para reduzir a profundidade de 
carbonatação são preferíveis os cimentos tipo CP I e CP V; para reduzir a penetração 
de cloretos são preferíveis os cimentos com adições de tipo CP III e CP IV assim como adição 
extra de microssílica e cinza de casca de arroz. 
 A tabela abaixo fornece a resistência do concreto em Mpa em função da relação a/c 
para vários tipos de cimento, considerando agregados de origem granítica com diâmetro 
máximo de 25 mm, batimento “slump” entre 50 e 70 mm e concreto com aditivo plastificante 
normal: 
 
 
RELAÇÃO A/C TIPO DE 
CIMENTO 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 
CP I 32 28 32 37 41 47 
CP II 32 24 28 31 35 39 
CP II 40 28 32 36 41 46 
CP III 32 23 27 31 36 41 
CP III 40 27 32 37 42 49 
CP IV 32 24 28 32 36 41 
CP V – 
ARI/RS 
30 33 38 42 46 
CP V - ARI 33 38 42 47 53 
 
 16 
4. PROPRIEDADES DO AÇO 
 
 
4.1 DENOMINAÇÃO 
 
 O aço é uma liga metálica composta principalmente de ferro e de pequenas quantidades 
de carbono, podendo ser acrescido de outros materiais como Pb, Si, Mg, S, P ou Cr, e 
apresentando boa resistência e ductilidade. A principal diferença entre aço e ferro diz 
respeito ao teor de carbono: o aço possui um teor inferior a 2,04% e o ferro, possui um teor 
entre 2,04% e 6,7%. O aço estrutural utilizado na construção civil possui teores de 
carbono da ordem de 0,08% a 0, 5%. 
 A armadura que é colocada dentro do concreto livre de tensão (sem ser previamente 
alongada) é chamada de armadura passivas e o concreto neste caso é chamado de concreto 
armado. Esta armaduraé constituída de fios e barras (vide NBR 7480/1996), e na sua 
designação é usado o prefixo CA (concreto armado). Para estruturas de concreto 
protendido, o aço é denominado CP. 
 Classificam-se como barras os produtos de diâmetro nominal igual ou superior a 5,0 mm 
obtidos por laminação a quente, sem posterior deformação a frio, e como fios os produtos com 
dimensão nominal igual ou inferior a 10,0 mm obtidos por trefilação ou outro processo 
equivalente, como por exemplo estiramento. As barras são classificadas nas categorias CA-25 
e CA-50, e os fios na categoria CA-60. É importante salientar que a revisão da normalização 
NBR 7480/1996, omite a classificação dos aços em classe “A” (barras obtidas por laminação à 
quente sem posterior deformação à frio) e “B” (barras e fios obtidos por deformação à frio), 
mas realça a existência de duas classes de aços. 
 A nomenclatura dos aços usados em estruturas de concreto armado, é dada em função 
da sua tensão de escoamento ykf dada em kgf/mm2. Assim, para um aço CA-50, a tensão de 
escoamento é de 50 kgf/mm2. 
 Deve-se lembrar que o aço mais utilizado nas obras correntes é o CA-50, cujas 
barras são obtidas por laminação a quente de tarugos de lingotamento contínuo. 
 As barras de aço (CA50) são fornecidas normalmente com comprimentos de 
12m, em feixes amarrados de 1000kg ou 2000kg, e devem ser fabricadas segundo 
especificações da NBR 7480, sendo considerados diâmetros nominais maiores ou iguais a 
5,0 mm e obtidos exclusivamente por laminação a quente. 
 O aço CA-60 é obtido por trefilação de máquina, e se caracteriza pela alta 
resistência, o que proporciona estruturas de concreto armado mais leves, e pelos 
entalhes, que aumentam ligeiramente a aderência do aço ao concreto. Estes aços são 
normalmente empregados para fabricação de lajes, tubos concreto, lajes treliçadas, 
estribos de vigas e pilares, estruturas pré-moldadas de pequena espessura, etc.. São 
fornecidos em bitolas finas e em rolos com peso aproximado de 170 kg, barras de 120 m de 
comprimento, em feixes amarrados de 1000 kg, em estocadores e bobinas de 1500kg para uso 
industrial fornecido em bitolas finas, e é mais usado em lajes e estribos de vigas e pilares. 
 O aço CA-25, por ser bastante dúctil, é normalmente usado quando se requer grandes 
diâmetros ou quando o detalhamento exige dobramentos sucessivos. 
 Sempre que houver perigo de confusão no canteiro de obras, é proibido o emprego 
simultâneo de diferentes categorias de aço. Entretanto, esse emprego é permitido desde 
que uma das categorias seja empregada na armadura longitudinal e a outra na armadura 
 17 
transversal das vigas e pilares. A armadura deve ser identificada quanto ao produtor, a 
categoria do material e o seu respectivo diâmetro nominal, através de marcas em relevo ou 
etiquetas. 
 
 
4.2 BITOLAS COMERCIAIS 
 
 As barras de aço CA 50 são fornecidas normalmente com comprimento de 12 
metros, em feixes amarrados de 1000 kg ou 2000 kg, e devem ser fabricadas segundo 
especificações da NBR 7480/1996, sendo considerados diâmetros nominais maiores ou 
iguais a 5,0 mm e obtidos exclusivamente por laminação a quente. Os fios são aço CA-60. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Obs.: apesar de normalizado, o diâmetro de 22 mm não é comercializado!!! 
 
 Para efeito de detalhamento, serão consideradas as seguintes bitolas e respectivas 
áreas: 
 
BITOLA (MM) TIPO DE AÇO AREA ( 2cm ) 
5,0 CA-60 0,2 
6,3 CA-50 0,315 
8,0 CA-50 0,5 
10,0 CA-50 0,8 
12,5 CA-50 1,25 
16,0 CA-50 2,0 
20,0 CA-50 3,15 
25,0 CA-50 5,0 
32,0 CA-50 8,0 
 
 
4.3 PROPRIEDADES GERAIS 
 
4.3.1 TIPOS DE SUPERFÍCIE – os fios e as barras podem ser lisos ou providos de saliências 
ou mossas. As barras lisas não possuem saliências suficientes em sua superfície, portanto 
elas têm pouca aderência ao concreto quando comparadas com as nervuradas. As 
propriedades mecânicas exigidas para barras e fios de aço destinados para as armaduras de 
concreto armado são especificadas na tabela a seguir: 
 
 
Ensaio de tração (valores mínimos) 
 
 
Categoria Limite de 
Escoamento 
LE (Mpa) 
Limite de 
resistência 
LR (Mpa) 
Alongamento em 
10 φ (%) 
CA-25 
(barra lisa) 
 
250 
 
1,20 LE 
 
18 
CA-50 
(barra de alta 
aderência) 
 
500 
 
1,10 LE 
 
8 
CA-60 
(barra entalhada) 
 
600 
 
1,05 LE 
 
5 
 
Obs.: na tabela anterior, define-se limite de resistência (LR) como sendo a força máxima 
suportada pelo material na qual ele se rompe, ou seja, é o ponto máximo da resistência de uma 
barra, valor este que é obtido pela leitura direta na máquina de tração. 
 Para ensaios de dobramento, os corpos de prova são submetidos a um dobramento de 
180º em pino de diâmetro padronizado, sendo considerado aprovado quando não apresenta 
quebra ou fissura na região dobrada. Este ensaio tenta reproduzir as condições em que os 
 19 
materiais serão utilizados nas obras. Os diâmetros dos pinos exigidos pelo ensaio são indicados 
na tabela abaixo, conforme Anexo B da NBR 7480 e são: 
 
 Diâmetro Mínimo do Pino por Categoria 
Bitola a dobrar CA 25 CA 50 CA60 
φ < 20 2φ 4φ 5φ 
φ ≥ 20 4φ 6φ - 
 
 
 
 Quando da execução de armaduras nas obras, a utilização da Norma NBR 7480 e os 
pinos anteriormente citados não é correta, já que ela só é aplicada para liberação do produto 
nos laboratórios das usinas ou no controle tecnológico de obras. Então, neste caso deve-se 
adotar como referência as recomendações da NBR 6118 onde são determinadas as condições a 
obedecer no projeto, na execução e no controle de obras de concreto armado. De acordo com 
esta norma os diâmetros dos pinos a serem utilizados no dobramento de barras devem ser: 
 
 Diâmetro Mínimo do Pino por Categoria 
Bitola a dobrar CA 25 CA 50 CA60 
φ < 20 4φ 5φ 6φ 
φ ≥ 20 5φ 8φ - 
 
 O dobramento em obra é realizado em uma mesa de dobra, normalmente uma bancada 
de madeira conforme esquematizado abaixo: 
 
 20 
 
4.3.2 MASSA ESPECÍFICA - pode-se assumir para massa específica do aço para concreto 
armado o valor de 7850 kg/m 3 . 
 
 4.3.3 COEFICIENTE DE DILATAÇÃO TÉRMICA – pode-se utilizar o mesmo valor 
utilizado para o concreto, que é de α = 10 5− o C 1− para intervalos de temperatura entre –20 
graus a 150 graus. 
 
4.3.4 MÓDULO DE ELASTICIDADE – para qualquer tipo de aço admite-se que o módulo de 
elasticidade é E s = 210 Gpa = 210.000 Mpa. 
 
4.3.5. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA – as características dos 
aços são verificadas mediante ensaios de resistência à tração, dobramento e aderência. Para 
os cálculos no estado limite último e no estado limite de serviço, a normalização recomenda 
que se empregue o diagrama simplificado abaixo, considerando-se comportamentos iguais na 
compressão e na tração. O valor ukε representa o valor da deformação na ruptura, e para 
aços sem patamar de escoamento o valor de ykf é o valor da tensão correspondente à 
deformação permanente de 2%o. 
 O valor máximo da deformação à tração é tomado como 10%o (alongamento de 
ruptura), e o valor máximo da deformação à compressão é de 3,5 %o (encurtamento de 
ruptura), para que haja coerência com o encurtamento máximo do concreto. Assim: 
 
 Diagrama εσx característico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sσ
 
 
sε 
 
f yck 
f yk 
yckε 
-3,5% o 
10%o yk
ε 
 21 
 
 Diagrama εσx de cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 São definidos: 
ykf = resistência característica de escoamento do aço à tração; 
ydf = resistência de cálculo de escoamento do aço à tração;sγ = coeficiente de segurança do aço, normalmente tomado como 1,15. 
 
 Tem-se então: 
 
 sykyd ff γ/= 
 
 Sendo ykε a deformação que dá início ao escoamento, tem-se: 
 
 sykyk Ef /=ε 
 
sendo que no dimensionamento, a favor da segurança, deve-se tomar os valores minorados de 
resistência: 
 
sydyd Ef /=ε 
 
e onde sE é o módulo de elasticidade longitudinal do aço. Na compressão, considera-se que o 
comportamento é igual à tração, ou seja: 
 
yckyk ff = 
 
ydf = ycdf 
 
 Pelos diagramas apresentados, observa-se o comportamento elástico (reta inclinada) e 
o comportamento plástico (reta “paralela”) do aço. 
 
 
sσ
 
sε 
 
f ycd 
 
f yd 
 
ycdε
-3,5% o 
 
10% o 
 
ydε
 22 
4.4 PROTEÇÃO DA ARMADURA 
 
 Qualquer barra de armadura deve ter cobrimento nominal de concreto pelo 
menos igual ao seu diâmetro, e de acordo com a agressividade do meio ambiente ao 
qual a estrutura está exposta, referido à superfície da armadura externa, em geral a 
face externa do estribo, devendo-se prever uma espessura de sacrifício ou um 
revestimento protetor em regiões sob condições ambientais muito agressivas. 
 Para garantir o cobrimento mínimo ( minc ) o projeto e a execução devem 
considerar o cobrimento nominal ( nomc ), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de 
execução ( c∆ ). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os 
cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela abaixo para c∆ = 10mm , que é o valor 
mínimo de c∆ a ser considerado nas obras correntes. No caso de haver em obra um 
adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas 
durante a execução, pode ser adotado um valor c∆ = 5mm, mas esta exigência deve 
estar bem explicitada nos desenhos de projeto. 
 
Classe de agressividade ambiental PEÇA ESTRUTURAL. 
Cobrimento nom. p/ 
c∆ =10 mm 
Classe I Classe II Classe 
III 
Classe IV 
LAJE 20 25 35 45 
VIGA/PILAR 25 30 40 50 
CONC. 
PROTENDIDO 
35 35 45 55 
 
 Tem-se que o cobrimento nominal (a ser especificado em projeto) é 
 
 cccnom ∆+= min barraφ≥ 
 
No caso de feixes de barras, além de se considerar os valores acima, deve-se verificar: 
 
 c nom feixeφ≥ = nφ = nφ 
 
onde φ é o diâmetro da barra utilizado e n é o número de barras do feixe. 
 Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de 
contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de 
revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos 
asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser simplificadas para 
cobrimento maior ou igual ao diâmetro da barra, com cobrimento mínimo de 15 mm. 
 Para faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento 
de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes 
química e intensamente agressivos o cobrimento nominal deve ser de pelo menos 45 mm. 
 Deve-se lembrar ainda que a dimensão máxima característica do agregado 
graúdo, utilizado no concreto, não pode superar 20% da espessura nominal do cobrimento, ou 
seja: 
 23 
 d max ≤ 1,2 c nom 
 
 Quanto à agressividade ambiental, esta pode ser classificada conceitualmente de 
acordo com o apresentado a seguir: 
 
CLASSE DE 
AGRESSIVIDADE 
AMBIENTAL (CAA) 
 
AGRESSIVIDADE 
 
RISCO DE DETERIORAÇÃO 
DA ESTRUTURA 
I Fraca Insignificante 
II Média Pequeno 
III Forte Grande 
IV Muito forte Elevado 
 
 Esta classificação da agressividade do meio ambiente às estruturas pode ser 
avaliada simplificadamente segundo as seguintes condições: 
 
Micro clima 
Ambientes internos Ambientes externos e obras em geral 
 
 
Macro clima Seco(1) com 
UR ≤ 65% 
Úmido ou 
ciclos(2) de 
molhagem e 
secagem 
Seco(3) com 
UR≤ 65% 
Úmido ou ciclos(4) 
de molhagem e 
secagem 
Rural I I I II 
Urbana I II I II 
Marinha II III - III 
Industrial II III II III 
Especial (5) II III ou IV III III ou IV 
Respingos de 
Maré 
- - - IV 
Submersa ≥3m - - - I 
Solo - - Não agressivo Úmido e agressivo 
II, III ou IV 
 
Obs.: 
(1) Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos, 
residências e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e 
pintura. 
(2) Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens. 
(3) Obras em regiões secas, como o nordeste do país, partes protegidas de chuva em 
ambientes predominantemente secos. 
(4) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em 
indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 
(5) Macro clima especial significa ambiente com agressividades bem conhecida, que 
permitirá definir a classe de agressividade III ou IV nos ambientes úmidos. Se o ambiente 
for seco, a classe de agressividade será sempre II, nos ambientes internos e III nos externos. 
 24 
Obs.: No caso de alta contaminação por cloretos, a estrutura deve ser enquadrada na 
classe IV. Para projetos no litoral, pode-se de maneira geral utilizar CAA = II para peças no 
interior, e CAA = III para peças expostas à intempérie. 
 Para garantir a qualidade dos componentes e elementos estruturais de concreto 
armado segundo a classe de agressividade, deve-se utilizar o fator água/cimento e classe de 
concreto abaixo relacionado: 
 
 
Classe de agressividade Concreto tipo CA 
I II III IV 
Fator 
água/cimento em 
massa 
≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 
Classe de concreto ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 
Consumo de 
cimento por metro 
cúbico de concreto 
(kg/m3) 
 
≥ 260 
 
≥ 280 
 
≥ 320 
 
≥ 360 
 
 Uma outra observação muito importante é que se pode especificar dois recobrimentos 
diferentes para uma peça estrutural, dependendo se esta peça é interna ou externa, ou seja, 
menos ou mais sujeita à agressividade. 
 25 
5. COMPORTAMENTO CONJUNTO DO AÇO E DO CONCRETO 
 
5.1 ADERÊNCIA 
 
 O concreto e o aço atuam em conjunto, formando o concreto armado, devido à 
aderência (bond, em inglês) entre estes dois materiais, que impede o deslizamento entre eles, 
permitido assim a transferência de esforços. A verificação da aderência se faz usualmente 
através da tensão de aderência no estado limite último. 
O comportamento da aderência é influenciado pelo diâmetro da barra, tipo e disposição 
das nervuras, posição das barras durante a concretagem, fator água-cimento, adensamento e a 
idade do carregamento. 
 A aderência pode ser de três tipos: 
 
- aderência por adesão: surge como sendo uma resistência à separação do material concreto 
e do material aço, devido às ligações físico-químicas, na interface das barras com a pasta, 
geradas durante as reações de pega do cimento. Para pequenos deslocamentos relativos entre 
a barra e a massa de concreto que a envolve, essa ligação é então destruída. Por exemplo, para 
separar o bloco de concreto de uma placa de aço conforme figura abaixo é necessário que se 
aplique uma força de intensidade 1bF . 
 
- aderência por atrito: quando se tenta arrancar uma barra de um bloco de concreto, a força 
de arrancamento 2bF é maior que a força mobilizada pela aderência à adesão ( 1bF ). Isto ocorre 
devido ao atrito entre a barra e o concreto, surgindo também tensões de aderência ( bτ ) 
distribuídas ao longo da barra, em oposição à esta força 2bF . 
 
- aderência mecânica: esta aderência surge devido à conformação superficial que existe nas 
barras. Nas barras de alta aderência, por exemplo,as saliências mobilizam forças localizadas, 
aumentando significativamente a aderência. 
 
 26 
 
 
 
5.2 TENSÃO DE ADERÊNCIA 
 
 A tensão de aderência depende de inúmeros fatores, como rugosidade da barra, 
posição da barra dentro da peça durante a concretagem, diâmetro da barra usado, resistência 
do concreto, porosidade do concreto, etc. 
 
 
 Segundo a figura dada anteriormente, a expressão da tensão de aderência fica sendo: 
 
 
b
s
bd l
Rf
..φpi= 
 
sendo: 
 
sR - força atuante na barra 
φ - diâmetro da barra 
bl - comprimento de ancoragem 
 
 
5.3 POSIÇÃO DAS BARRAS DURANTE A CONCRETAGEM 
 
 De acordo com a posição das barras durante a concretagem pode-se dizer que existem 
regiões favoráveis ou desfavoráveis quanto à aderência: 
a) para o caso de concretagens sobre formas fixas considerar-se-á em região de boa 
aderência os trechos onde o concreto é cuidadosamente vibrado e adensado. Segundo a 
norma, consideram-se as seguintes posições das barras: 
- com inclinação maior que 45 graus sobre a horizontal (figura a); 
- horizontais ou com inclinação menor que 45 graus sobre a horizontal, desde que: 
 27 
- para peças com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior da peça ou da 
junta de concretagem mais próxima (figuras b e c), e para peças com h ≥ 60 cm, localizadas no 
mínimo 30 cm abaixo da face superior da peça ou da junta de concretagem mais próxima 
(figura d); 
- em regiões de má aderência consideram-se os trechos das barras em posições diferentes das 
citadas. 
 
 
b) no caso de se usar formas deslizantes, considera-se zona de boa aderência apenas os 
trechos de barras com inclinação maior que 45 graus sobre a horizontal. Todos os demais são 
de má situação. 
 
 
5.4 RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA 
 
 A tensão de aderência de ruptura é o valor registrado por ocorrência da macro-
ruptura, identificada no momento em que a armadura perde a capacidade de ancorar-se no 
concreto. 
A resistência de aderência de cálculo entre a armadura passiva e o concreto, deve ser 
obtida segundo a seguinte expressão: 
 
ctdbd ff ... 321 ηηη= 
 
onde:. 
- ctdf = valor de cálculo da resistência à tração do concreto (igual a inf,ctkf / cγ ) 
- 1η = 1,0 para barras lisas (CA 25); 
- 1η = 1,4 para barras dentadas ou barras entalhadas (CA-60); 
- 1η = 2,25 para barras nervuradas de alta aderência (CA-50); 
- 2η = 1,0 para situação de boa aderência e 2η = 0,7 para má aderência; 
- 3η = (132 -φ )/100 onde φ é dado em mm para φ > 32 mm e 3η = 1,0 para φ ≤ 32 mm. 
 
 
 28 
5.5 ANCORAGEM DAS ARMADURAS 
 
 A ancoragem das armaduras é necessária para que seja feita a transferência de 
esforços para o concreto, e assim seja possível a interrupção da armadura em um determinado 
ponto da peça estrutural. Esta ancoragem pode ser feita por aderência ou por dispositivos 
mecânicos, sendo que estes últimos devem ser usados somente com controle rigoroso. 
 
 
5.5.1 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BASICO PARA BARRAS TRACIONADAS – 
define-se bl como sendo o comprimento mínimo necessário para que a barra não seja 
“arrancada” da peça de concreto, ou seja, o comprimento reto necessário para ancorar a força 
limite ydss fAR .= . Admite-se que ao longo deste comprimento de ancoragem a resistência de 
aderência é uniforme e igual a bdf . 
O comprimento de ancoragem básico pode ser calculado igualando-se a força última de 
aderência: 
 
 ydsbdb fAfl .... =φpi 
 
Como 
 
4/. 2φpi=sA 
 
obtém-se então: 
 
 l b = 
bd
yd
f
f
4
φ
 
 
 
5.5.2 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM NECESSÁRIO PARA BARRAS TRACIONADAS - 
quando da escolha da armadura a ser utilizada em função das bitolas disponíveis no mercado, 
utiliza-se normalmente uma quantidade de armadura diferente (na maior parte dos casos, uma 
armadura ligeiramente superior) àquela efetivamente calculada. Desta forma há uma diminuição 
da tensão nas barras, e o comprimento de ancoragem básico pode ser modificado usando-se o 
comprimento de ancoragem necessário, dado pela expressão: 
 
 l necb, = 1α . bl .
efts
calcs
A
A
,
, ≥ min,bl 
onde: 
1α = 1,0 para barras sem gancho; 
1α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho 
≥ 3φ ; 
A calcs , = área de armadura calculada para resistir ao esforço solicitante; 
 29 
eftsA , = área de armadura existente (efetiva). 
 
 O valor mínimo da ancoragem ( min,bl ) deve ser o maior valor entre 0,3 bl , 10φ e 10 cm. 
 O valor de l
necb , pode ser calculado simplificadamente para diversos tipos de concreto. 
Assim, considerando aço CA-50, barras nervuradas ( 1η =2,25), sem gancho ( )11 =α , diâmetros 
não superiores a 32 mm ( 3η =1) tem-se: 
 
 min,
,
,
,
.. b
efets
cals
necb lA
A
Kl ≥= φ 
 
onde o valor da constante K pode ser obtido pela tabela a seguir: 
 
 
VALORES DE K PARA DIVERSOS FCK (MPA)- 
Aço CA-50 
 
15 20 25 30 35 40 45 50 
Boa Ader. 53 44 38 34 30 28 25 24 
Má Ader. 76 62 54 48 43 40 37 34 
 
Obs.: em casos especiais de redução do comprimento de ancoragem, e no caso de 
utilização de feixes de barras, deverá ser consultada a NBR 6118/2003. 
 
5.5.3 ANCORAGEM DE BARRAS COMPRIMIDAS – a ancoragem de barras comprimidas 
acontece basicamente no caso de existir armadura dupla em vigas ou no caso de pilares. As 
barras de armadura que estão exclusivamente compridas ou que tenham alternância de 
solicitações (tração e compressão) devem ser ancoradas em trecho reto, sem gancho, 
conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
bd
ycd
b f
f
l
4
´
φ
= 
 
 30 
 No caso de utilizar armadura diferente da calculada, tem-se: 
 
 
cm
l
l
A
A
K
A
A
ll
b
b
usados
cals
usados
cals
bnecb
20
15
6,0
´
min,'
,
'
,
'
,
'
,´´
,
φφ ≥≥== 
 
Quando se compara o comportamento da ancoragem de barras tracionadas e 
comprimidas, deve-se lembrar que quando o concreto está comprimido numa região de 
ancoragem, o mesmo apresenta maior integridade (menos fissuração), fazendo com que os 
comprimentos de ancoragem de barras comprimidas possam teoricamente ser menores. Um 
segundo aspecto a ser considerado é o efeito de ponta (observado na figura anterior), fator 
este que se reduz significativamente com o tempo, por causa do efeito de fluência do 
concreto. Como na prática é possível desprezar estes dois fatores, calcula-se a ancoragem de 
barras comprimidas da mesma forma que para barras tracionadas, porém, não se utilizando 
ganchos para armaduras comprimidas. Para as barras comprimidas, considera-se sempre zona 
de boa aderência. 
 
5.5.4 ANCORAGEM NOS APOIOS – este item será melhor estudado no capítulo referente 
ao detalhamento da armadura longitudinal de vigas. 
 
5.5.5 UTILIZAÇÃO DE GANCHOS – a ancoragem por aderência acontece por meio de um 
comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho. O gancho é 
obrigatório no caso de barras lisas, mas no caso de existirem barras que estejam comprimidas 
ou que tenham alternância de esforços (tração e compressão) o uso de ganchos não deve 
existir. Não se recomenda o uso de ganchos para barras em feixes ou com diâmetro superior a 
32 mm, e no caso de barras lisas os ganchos devem ser semi-circulares. 
 Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem 
ser: 
- semi-circulares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ (caso a); 
- em ângulo de 45 graus (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4 φ (caso 
b); 
- em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ (caso c). 
 
 
 
O diâmetro dos pinos de dobramento deve ser pelo menos igual aos valores da tabela a 
seguir: 
 
 
 31 
 
BITOLA 
(mm) 
CA-25 CA-50 CA-60 
<20 4φ 5φ 6φ 
≥ 20 5φ 8φ - 
 
No caso de estribos com diâmetro tφ , os ganchos podem ser: 
- semi-circulares ou em ângulo de 45 graus (interno) com ponta reta de comprimento igual a 
5 tφ , porém não inferior a 5 cm; 
- em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 tφ , porém não inferior 
a 7 cm (não é permitido para barras ou fios lisos). 
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser no mínimo, igual aos valores abaixo: 
 
BITOLA DO 
ESTRIBO tφ (mm) 
 
CA-25 
 
CA-50 
 
CA-60 
≤10 3 tφ 3 tφ 3 tφ 
10<φ < 20 4 tφ 5 tφ - 
≥20 5 tφ 8 tφ - 
 
 
Obs.: 
- com exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência devem 
ser confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concreto, considerando-se este 
caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3φ e a distância entre as 
barras ancoradas também for maior ou igual a 3φ ; 
- nas regiões situadas sobre apoios diretos, a armadura de confinamento não é necessária 
devido ao aumento da aderência por atrito com a pressão do concreto sobre a barra; 
 - a NBR 6118/2003 permite também a ancoragem de estribos através de barras transversais 
soldadas (vide norma); 
- na disciplina de CAR-I será utilizado o detalhamento com gancho semi-circular, com 5 cm 
para cada lado. 
 
 
5.6 EMENDAS DAS BARRAS 
 
 Como as barras de armadura são fornecidas em comprimentos entre 10m e 12m, muitas 
vezes torna-se necessário emendá-las. Estas emendas podem ser de diversos tipos: 
- por traspasse (transferência indireta); 
- por luvas com preenchimento metálico ou rosqueadas (transferência direta, sem 
participação do concreto); 
- por solda (idem); 
- por outros dispositivos devidamente justificados. 
 32 
Na disciplina de CAR-I será somente estudada a emenda por traspasse, devendo-se 
recorrer à norma para as outras situações. 
 
5.6.1 EMENDAS POR TRASPASSE - este tipo de emenda não é permitido para barras 
isoladas de bitola maior que 32 mm e nem para tirantes e pendurais. No caso de feixes, o 
diâmetro do círculo de mesma área, para cada feixe, não poderá ser superior a 45 mm. 
 As emendas são supostas na mesma seção transversal de acordo com a figura abaixo: 
 
 
 
 A proporção máxima de barras tracionadas emendadas numa mesma seção está indicada 
na tabela a seguir: 
 
TIPO DE CARREGAMENTO TIPO DE BARRA 
 
SITUAÇÃO 
ESTÁTICO DINÂMICO 
Em uma camada 100% 100% 
ALTA ADERÊNCIA Em mais de uma 
camada 
50% 50% 
φ < 16 mm 50% 25% BARRA LISA 
φ ≥ 16 mm 25% 25% 
 
 
5.6.2 COMPRIMENTO DE TRASPASSE PARA BARRAS TRACIONADAS, ISOLADAS – 
quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 0 e 4φ , o 
comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser 
 
 otl = otα . ≥necbl ,
cm
lbot
20
15
..3,0
φ
α
 
 
onde otα é o coeficiente função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção, 
segundo a tabela abaixo: 
 
Porcentagem de barras emendadas na mesma seção – 
valor de otα 
≤20 % 25% 33% 50% >50% 
1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 
 33 
 Quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4φ , ao comprimento 
calculado anteriormente deve ser acrescida a distância livre entre barras emendadas. A 
armadura transversal na emenda deve ser justificada, considerando o comportamento conjunto 
concreto-aço. 
 
5.6.3 COMPRIMENTO POR TRASPASSE DE BARRAS COMPRIMIDAS, ISOLADAS – 
neste caso, todas as barras podem ser emendadas numa mesma seção, e em se tratando de 
barras comprimidas, não faz diferença se as mesmas estão posicionadas em zona de boa ou de 
má aderência, podendo-se então adotar: 
 
 
cm
l
ll
b
necbo
20
15
6,0 '
'
,
' φ≥= 
 
ou seja, o comprimento de emenda tem o mesmo valor da ancoragem de compressão, não 
havendo necessidade de majoração. 
 
 
5.6.4 EMENDAS DE BARRAS CONSTRUTIVAS (CRITÉRIO PRÁTICO) - no caso de se 
precisar emendar barras que tenham somente funções construtivas, ou seja, que estejam fora 
de regiões de tração ou de compressão (armadura dupla), pode-se adotar o maior valor entre 
15 vezes o diâmetro da barra utilizada ou 20 cm. 
 
 l consto, ≥ 15φ ou 20 cm. 
 
Obs.: 
- barras exclusivamente comprimidas ou de distribuição (construtivas), podem ser todas 
emendadas na mesma seção; 
- como exemplo de barras construtivas, tem-se barras de armadura de pele, barras 
superiores de vigas bi-apoiadas sem armadura de compressão (função somente de porta- 
estribos) etc; 
- pilares que estão eventualmente sujeitos a esforços de tração (por exemplo, devido ao 
vento), não podem ter armadura emendada por traspasse. 
 
5.6.5 EMENDAS DE FEIXES DE BARRAS - no caso de se ter que emendar feixes de 
barras, deve-se utilizar as prescrições da norma, tomando-se cuidado com a utilização de 
armadura transversal nas emendas por traspasse. 
 34 
6. ESTADOS LIMITES 
 
 
Diz-se que uma estrutura ou parte dela atinge um estado limite quando, de modo 
efetivo ou convencional, se torna inutilizável ou quando deixa de satisfazer às condições 
previstas para sua utilização. Os critérios de segurança a serem verificados no projeto 
estrutural são os indicados na NBR 8681:2003 (Ações e Segurança em Estruturas). O método 
dos estados limites é fundamentado em análises estatísticas com relação às ações e às 
resistências. 
 
 
6.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 
 
O estado limite último (ELU) está relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de 
ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. Trata-se de uma situação na 
qual espera-se que uma estrutura nunca atinja, tanto é que se faz o uso de diversos 
coeficientes de segurança, sendo as resistências dos materiais minoradas e os esforços 
solicitantes majorados. 
A segurança das estruturas de concreto deve ser verificada em relação aos seguintes 
estados limites últimos: 
- estado limite último de perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; 
- estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou 
em parte, devido às solicitações normais e tangenciais; 
- estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou 
em parte, considerando os efeitos de segunda ordem (flambagem); 
- estado limite último provocado por solicitações dinâmicas. 
 
 
6.2 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 
 
É aquele relacionado à durabilidade da estrutura, aparência, conforto do usuário e a 
boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários, às máquinas e aos 
equipamentos utilizados. Este assunto será melhor discutido no capítulo final desta apostila. 
De forma geral, no caso de estruturas de concreto armado, devem ser considerados: 
- estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – é atingido quando a tensão de tração 
máxima na seção transversal for igual a fctf , ; 
- estado limite de abertura de fissuras, quando as fissuras se apresentam com aberturas 
iguais aos máximos especificados para a utilização normal da estrutura (ELS-W); 
- estado limite de deformações excessivas, quando as deformações atingem limites 
estabelecidos para a utilização normal da construção (ELS-DEF); 
- estado limite de vibrações excessivas, quando as vibrações atingem os limites 
estabelecidos para a utilização normal da construção (ELS-VE); 
Para estruturas de concreto protendido verifica-se também o estado de descompressão 
(ELS-D), o estado de descompressão parcial (ELS-DP) e o estado de compressão excessiva 
(ELS-CE). 
 35 
7 AÇÕES 
 
 
 Na análise estrutural devem ser consideradas as influências de todas as ações que 
possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura, levando-se em conta os 
possíveis estados limites últimos e de serviço. Deve-se lembrar que ações são definidas comocausas que provocam esforços ou deformações nas estruturas, sendo que, de modo geral, as 
forças são chamadas de ações diretas e as deformações impostas são chamadas de ações 
indiretas. 
 
 
7.1 AÇÕES PERMANENTES 
 
São as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da 
construção, podendo crescer no tempo tendendo a um valor limite constante. Estas ações 
devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança 
da estrutura, e podem ser: 
 
- ações permanentes diretas – constituídas pelo peso próprio da estrutura, dos elementos 
construtivos fixos (paredes, esquadrias, etc )e das instalações permanentes. Os empuxos de 
terra e outros materiais granulosos quando considerados não removíveis, também devem ser 
considerados como uma ação permanente. 
- ações permanentes indiretas – são constituídas pelas deformações impostas por retração do 
concreto, fluência do concreto, deslocamentos de apoio (para estruturas hiperestáticas e 
muito rígidas), imperfeições geométricas (globais ou locais) ou protensão. 
 
 
7.2 AÇÕES VARIÁVEIS 
 
 São aquelas que não são constantes durante a vida da construção, e podem ser: 
 
- ações variáveis diretas - são as ações acidentais previstas para o uso da construção (peso 
de equipamentos, depósitos provisórios, de pessoal, etc), pela ação do vento (obrigatório 
segundo a NBR 6123) e da água (chuva). As ações acidentais correspondem a ações verticais 
de uso da construção, ações móveis considerando inclusive o impacto vertical, impacto lateral, 
força longitudinal de frenagem ou aceleração e força centrífuga. Estas forças devem estar 
dispostas nas posições mais desfavoráveis, sem que se esqueça de levar em conta o processo 
construtivo. 
 
- ações variáveis indiretas – são aquelas relativas à variação da temperatura (uniforme ou não 
uniforme), ações dinâmicas. 
 
Obs.: as ações dinâmicas devem ser verificadas quando a estrutura está sujeita a choques ou 
vibrações, verificando-se a possibilidade de ressonância e/ou fadiga. 
 
 
 36 
7.3 AÇÕES EXCEPCIONAIS 
 
 São as ações que tem duração extremamente curta e uma probabilidade muito baixa de 
ocorrência durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas em algumas 
situações, como por exemplo a ocorrência de um terremoto junto à construção de uma represa. 
 
 
7.4 COMBINAÇÕES DE AÇÕES 
 
 As combinações de carregamento devem ser feitas de diferentes maneiras, de forma 
que possam ser determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura. A verificação 
quanto à segurança da estrutura deve ser feita em função de combinações últimas e 
combinações de serviço. Em todas as combinações, as ações permanentes devem ser tomadas 
em sua totalidade, e para as ações variáveis devem ser tomadas apenas as parcelas que surtam 
efeitos desfavoráveis para a segurança. 
 As ações incluídas em cada uma das combinações devem ser consideradas com seus 
valores representativos, multiplicados pelos respectivos coeficientes de ponderação. 
 
 
7.4.1 COMBINAÇÕES ÚLTIMAS – as combinações últimas podem ser classificadas como: 
 
- combinações últimas normais – aparecem as ações permanentes e as ações variáveis 
principais, admitindo-se que elas atuem com seu valor característico ( kF ) e as demais ações 
variáveis, consideradas como secundárias, atuem com seus valores reduzidos de combinação 
( ). ko Fψ : 
 
 eqkoeeqqikojkqqegkeggkgd FFFFFF ..)..(.. 1 ψγψγγγ ++++= ∑ 
 
Onde: 
 
dF – valor de cálculo das ações para combinação última; 
gkF – ações permanentes diretas; 
ekF - ações indiretas permanentes (pode ser a retração egkF , ou uma carga permanente como a 
temperatura eqkF ); 
qkF – ações variáveis diretas, das quais kqF 1 é escolhida como principal (pode ser por exemplo 
uma carga acidental ou a carga devido ao vento); 
ψγ , - definidos no item a seguir. 
 
 Para a disciplina de CAR-I será utilizada simplificadamente a expressão: 
 
 qkqgkgd FFF .. γγ += 
 
 37 
Obs.: - quando for o caso, deverão ser consideradas combinações onde o efeito favorável das 
cargas permanentes seja reduzido pela consideração de um fator apropriado, conforme será 
visto no próximo item. 
 
- combinações últimas especiais ou de construção – aparecem as ações permanentes e as 
ações variáveis especiais, quando existirem, atuando com valor característico, e as demais 
ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores 
reduzidos de combinação. A diferença é que oψ pode ser substituído por 2ψ , quando a atuação 
da ação principal kqF 1 tiver duração muito curta. 
 
 eqkoeeqqjkojkqqegkeggkgd FFFFFF ..)..(.. 1 ψγψγγγ ++++= ∑ 
 
- combinações últimas excepcionais – neste caso, também oψ pode ser substituído por 2ψ , 
quando a atuação da ação principal excqF 1 tiver duração muito curta. Da mesma maneira, sempre 
devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, comseus 
valores representativos, e as demais ações variáveis, com probabilidade não desprezível de 
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação. Nesse caso, se enquadram, 
entre outros, sismo, incêndio e colapso progressivo. A combinação é dada por: 
 
 eqkoeeqqikojqexcqegkeggkgd FFFFFF ...... 1 ψγψγγγ ++++= ∑ 
 
7.4.2 COMBINAÇÕES DE SERVIÇO (UTILIZAÇÃO) – as combinações últimas de serviço 
(ou utilização) são classificadas de acordo com seu tempo de permanência na estrutura: 
 
- combinações quase-permanentes – podem atuar durante grande parte do período de vida da 
estrutura, e são mais utilizadas na verificação do estado limite de deformações excessivas. 
Nestas combinações todas as ações variáveis são consideradas com seus valores quase-
permanentes qkF.2ψ : 
 
 ∑∑ += kqjjkgiserd FFF ,2,, .ψ 
 
em que serdF , é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço. 
 
- combinações freqüentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura, 
e são mais utilizadas na verificação dos estados limites de compressão excessiva, abertura de 
fissuras e vibrações excessivas. Nestas combinações, a ação variável principal 1qF é tomada 
com seu valor freqüente kqF 12 .ψ e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus 
valores quase permanentes qkF.2ψ : 
 
 
 
 38 
 ∑∑ ++= kqjjkqkgiserd FFFF ,2,11,, .. ψψ 
 
onde kqiF , é o valor característico das ações variáveis principais diretas. 
 
- combinações raras – neste caso, as ações podem atuar no máximo algumas vezes durante o 
período de vida da estrutura, e são mais utilizadas na verificação dos estados limites de 
formação de fissuras e descompressão. Nestas combinações, a ação variável principal 1qF é 
tomada com seu valor característico kqF ,1 e todas as demais ações são tomadas com seus 
valores frequentes qkF.1ψ : 
 
 ∑∑ ++= kqjjkqkgiserd FFFF ,1,1,, .ψ 
 
 
7.5 SOLICITAÇÕES 
 
 Define-se solicitação como sendo qualquer esforço (momento fletor, força normal, força 
cortante, torção) ou um conjunto de esforços decorrente das ações e aplicado a uma ou mais 
seções de um elemento de estrutura. As solicitações de cálculo são obtidas para a combinação 
de ações considerada, de acordo com a análise estrutural e para cada estado-limite a ser 
considerado, ou seja, as ações é que são majoradas, para então serem determinadas as 
solicitações. 
 
7.6 COEFICIENTES DE MAJORAÇÃO E DE MINORAÇÃO 
 
 Numa análise estrutural de dimensionamento, visando a segurança final, costuma-se 
majorar os esforços e minorar as resistências, ou seja, “existe mais carga do que realmente 
existe”, e os materiais “agüentam menos do que realmente agüentam”. Assim: 
 
7.6.1 MAJORAÇÃO DAS AÇÕES - no dimensionamento de uma peça de concreto armado, 
considerando o estado limite último, deve-se trabalhar com cargas majoradas. Assim: 
 
 kFd SS .γ= 
 
onde:dS = esforço de cálculo (momento fletor, esforço cortante, esforço normal, etc); 
Fγ = coeficiente de ponderação (segurança) das solicitações ; 
kS = esforço característico (real) atuante na peça (momento fletor, esforço cortante, esforço 
normal, torção, etc) 
 
 O coeficiente de ponderação Fγ de majoração das cargas deve ser tomado como 
 
 Fγ = 1Fγ . 2Fγ . 3Fγ 
 39 
 
onde: 
1Fγ - considera a variabilidade das ações; 
2Fγ - considera a simultaneidade de atuação das ações; 
3Fγ - considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do 
ponto de vista das solicitações. 
 Os valores de Fγ = 1Fγ . 3Fγ , podem ser obtidos pela tabela: 
 
Valores do coeficiente Fγ = 1Fγ . 3Fγ 
 
Permanentes 
diretas 
 
Variáveis 
diretas 
 
Protensão 
Recalque de 
apoio e 
retração – 
permanente 
indireta 
 
 
Ações 
D F G T D F D F 
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 
Especiais ou de 
construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 
 
 Da tabela anterior, tem-se: 
 
D – ação desfavorável; 
F – ação favorável; 
T – ação temporária; 
G – ação geral. 
 Por outro lado, o valor de 2Fγ é tomado como: 
 
 2Fγ = 0ψ , 1ψ ou 2ψ 
 
com a seguinte definição: 
 
0ψ - fator de redução de combinação para estado limite último; 
1ψ - fator de redução de combinação freqüente para estado limite de serviço; 
2ψ - fator de redução de combinação quase permanente para estado limite de serviço. 
 
 Os valores do coeficiente 2Fγ , isto é, dos fatores de combinação ( 0ψ ) e de redução 
( 1ψ e 2ψ ) para as ações variáveis diretas, estão tabelados abaixo: 
 
 
 
 
 40 
Ações 
0ψ 1ψ 2ψ 
Cargas acidentais de edifícios: 
-Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas 
concentrações de pessoas (edifícios residenciais); 
- Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que 
permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada 
concentração de pessoas (edifícios comerciais e de escritórios); 
- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens; 
 
0,5 
 
 
 
0,7 
 
0,8 
 
0,4 
 
 
 
0,6 
 
0,7 
 
0,3 
 
 
 
0,4 
 
0,6 
Vento: 
- Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 
 
0,6 
 
0,3 
 
0 
Temperatura: 
- Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 
 
0,6 
 
0,5 
 
0,3 
 
 Para verificações no estado limite de serviço, o coeficiente de ponderação das ações 
é dado pela expressão: 
 
 Fγ = 1 x 2Fγ 
 
Devendo-se adotar: 
 
2Fγ = 1 para combinações raras; 
2Fγ = 1ψ para combinações freqüentes; 
2Fγ = 2ψ para combinações quase permanentes. 
 
 Os valores de 1ψ e 2ψ referentes às combinações de serviço são dados na tabela 
anterior. 
 
7.6.2 MINORAÇÃO DAS RESISTÊNCIAS - de um modo geral, diz-se que a resistência de 
cálculo df de um material é dada pela expressão: 
 
 f d = 
m
kf
γ
 
 
onde f k é a resistência característica inferior e mγ é o coeficiente de ponderação (minoração) 
da resistência do material, definido como 
 
 mγ = m321 .. γγγ mm 
 
 Onde: 
 
1mγ – considera a variabilidade da resistência efetiva dos materiais envolvidos; 
 41 
2mγ – considera a diferença entre a resistência do material no corpo de prova e na estrutura; 
3mγ – considera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do 
ponto de vista das resistências. 
 No caso da resistência de cálculo do concreto, quando a verificação se faz em data t 
igual ou superior a 28 dias, adota-se: 
 
 cdf = ckf / cγ 
 
Obs.: quando o concreto é verificado antes dos 28 dias, cuidados especiais devem ser tomados 
(vide norma). 
 No caso da resistência de cálculo do aço (tensão de escoamento), deve-se utilizar: 
 
 ydf = ykf / sγ 
 
 Os valores de 
cγ e sγ são indicados na tabela abaixo: 
 
COMBINAÇÕES CONCRETO ( cγ ) AÇO ( sγ ) 
Normais 1,4 1,15 
Especiais ou de construção 1,2 1,15 
Excepcionais 1,2 1,0 
 
 
 No caso de execução de peças em condições desfavoráveis (transporte, adensamento 
manual, concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente cγ deve ser 
multiplicado por 1,1, e nos casos em que se deseja fazer uma verificação em data inferior a 28 
dias, deve-se analisar a norma para outros valores dos coeficientes de segurança. 
 Para elementos estruturais pré-moldados e pré-fabricados, deve ser consultada a 
NBR 9062. 
 
 
7.7 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA 
 
 Diz-se que uma estrutura é segura quando ela atende as condições construtivas e 
analíticas de segurança, ou seja, quando existem condições para que a estrutura suporte todas 
as ações possíveis de ocorrer na sua vida útil, e sem que se atinja algum estado limite 
anteriormente descrito. Desta forma, a estrutura deve obedecer aos critérios de 
detalhamento, controle de materiais e execução da obra conforme normas específicas. 
Também se deve estabelecer que as resistências não podem ser menores que as solicitações 
(para todos os estados limites). Assim: 
 
 dR ≥ dS 
 
ou 
 
 42 
 kR ≥ kS 
 
 Para a verificação da segurança, usam-se métodos probabilísticos (probabilidade de 
ruína) e métodos semi-probabilísticos (utilização de números empíricos e introdução de dados 
estatísticos e probabilísticos), que não serão estudados neste curso. 
 43 
8 INTRODUÇÃO AO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS (FLEXÃO 
SIMPLES) 
 
 
8.1 DENOMINAÇÃO 
 
 Diz-se que viga é um elemento estrutural linear (elemento de barra), com 
comprimento longitudinal de pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, e 
onde o esforço solicitante de flexão é preponderante (momento fletor e força cortante), 
podendo eventualmente ocorrer esforços devido à torção. 
 As vigas têm como finalidade servir de apoio para as lajes, suportar paredes ou 
servir de apoio para outras vigas ou pilares que porventura nela “nasçam”, absorvendo as ações 
a elas transmitidas e distribuindo-as para os seus apoios. A importância das vigas se dá 
também pelo fato de formarem pórticos rígidos juntamente com os pilares, sendo estes 
pórticos importantes para garantir a segurança estrutural do edifício, pois eles, além de 
absorverem a ação do vento, contribuem para garantir a estabilidade global do edifício. 
 Obs.: denomina-se viga parede um elemento de superfície plana sujeito 
principalmente a ações contidas em seu plano, em que o vão é menor que três vezes a maior 
dimensão da seção transversal. 
 
 
8.2 DIMENSÕES DE VIGAS ( hxbw ) 
 
 A seção transversal de uma viga não deve apresentar largura ( wb ) menor que 12 cm 
(15 cm para vigas parede), podendo-se utilizar 10 cm no caso em se verificar adequadamente as 
condições de alojamento das armaduras, interferência com as armaduras de outros elementos 
estruturais e um correto lançamento e vibração do concreto. De preferência, a base da viga 
deve ser definida de modo que fique embutida na parede, considerando-se também o 
revestimento (0,5cm a 1,5cm). Cuidados também devem ser tomados com relação às aberturas 
(janelas, portas) e com a posição das vigas invertidas (para cima da laje). Para vigas em contato 
com o solo (vigas baldrame), sugere-se que a largura das mesmas não seja menor que 15 cm. 
 As paredes podem ser de tijolos cerâmicos ou de blocos de concreto, sendo que 
estes possuem normalmente espessuras de 9 cm, 14 cm ou 19 cm, devendo-se sempre 
consultar o construtor para saber qual o tipo de vedação que vai ser realmente utilizado. 
 Com relação à fixação da altura da viga, pode-se adotar um critério para anteprojeto 
supondo que no caso de vãos internos a altura seja da ordem de L/13 a L/11 do vão livre, e no 
caso de vãos externos L/11 a L/9 do vão livre. Nas vigas contínuas de