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Fundamentos de Geometria I Aula 1 Conteúdo Programático desta aula: Origens da Geometria; As noções primitivas:Ponto,Reta e Plano; Geometria Plana e Geometria Espacial; Figuras Geométricas. Pontos Colineares; Estudo da Reta; Estudo do Plano. Posições Relativas: entre ponto e plano; entre reta e plano; entre dois planos. 2 Introdução à Geometria Plana Significado: do grego “medir a terra”. Origens da Geometria: partilhar terras férteis às margens dos rios. Construir casas, observar e prever os movimentos dos astros... https://sites.google.com 3 Definir um conceito é expressar seu significado através de outras palavras ou símbolos já conhecidos. 4 http://4.bp.blogspot.com As Noções Primitivas Conceito primitivo: impossível de ser definido, visto que não existe nenhum outro anterior. Noções primitivas ou entes primitivos são aceitos sem definição. 5 http://www.humaniversidade.com.br r A Ponto A R Reta r Plano α α Noções primitivas da Geometria: Ponto Reta Plano 6 O Ponto É representado por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B, C, ... Notação: B . (ponto B) A. (ponto A) C . (ponto C) O ponto é um lugar concebido sem extensão no espaço,logo, o ponto não tem dimensão, isto é, é um ente de Dimensão Zero. 7 Horizontal Vertical Diagonal ou Inclinada A Reta A mais simples de todas as linhas. Sua imagem está associada, por exemplo, a de um fio bem esticado. 8 A Reta Representada por letras minúsculas do alfabeto latino: a , b , ...,r , s , ... r A reta tem uma dimensão: o comprimento, logo é um ente de DIMENSÃO 1. A reta é infinita, não tem origem(começo) nem extremidade (fim). Notação: r (reta r) 9 O Plano é a mais simples de todas as superfícies. sua imagem está associada , por exemplo, a do tampo de uma mesa, ao quadro da sala de aula, a uma parede lisa, etc. representado por letras gregas minúsculas: α (alfa) , β (beta) , etc. 10 O plano tem duas dimensões: o comprimento e a largura, logo o plano é um ente de Dimensão Dois. Plano α α 11 Para relacionarmos: Ponto e Reta e Ponto e Plano: utilizamos os símbolos e . Reta e Plano: utilizamos os símbolos ou . α A B C r 12 Figura geométrica é qualquer representação de linhas, de superfícies ou de volumes. 13 Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. A B C r A, B e C são colineares. A, B e C não são colineares. A B C r 14 Postulados da existência Numa reta , bem como fora dela, há infinitos pontos. Num plano há infinitos pontos. A B r D A B C α 15 Postulados da determinação Da Reta Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. A B r 16 Postulados da determinação II. Do Plano Três pontos não colineares determinam um plano que passa por eles. A B C α 17 Postulados da determinação III. Da inclusão Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse mesmo plano. β A B r 18 Estudo da reta Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. A B r 19 Posições relativas Entre ponto e reta 1ª) O ponto pertence à reta. 2ª) O ponto não pertence à reta. A B C P Q S R T r 20 Posições relativas II. Entre duas retas 1ª) Paralelas – quando não têm ponto comum. r s r//s 21 Posições relativas II. Entre duas retas 2ª) Concorrentes – quando possuem apenas um ponto em comum. s r P 22 OU Posições relativas II. Entre duas retas 3ª) Coincidentes – quando têm todos os pontos em comum. s r A B 23 Retas coplanares ou complanares São retas que estão contidas num mesmo plano. α s r 24 Retas reversas São retas que não estão contidas num mesmo plano. α r s 25 Semirreta O ponto A é denominado origem das semirretas opostas. A B B A C C AC AB r 26 Segmento de reta: Observação: A B 27 Segmentos colineares São segmentos contidos numa mesma reta. Os segmentos AB , AC e BC são colineares A B C r 28 Segmentos consecutivos: São segmentos que possuem uma extremidade comum. A B C D 29 Segmentos adjacentes São segmentos colineares e consecutivos ao mesmo tempo, que possuem em comum somente uma extremidade (não têm pontos internos comuns). A B C 30 Segmentos congruentes São segmentos que têm a mesma medida em relação a uma mesma unidade. Note que: AM=2u e MB=2u A M B u u u u 31 Estudo do plano. Como se determina um plano? Três pontos não colineares. A B C A B C 32 Estudo do plano. Como se determina um plano? 2. Uma reta e um ponto fora dela. P α r r P 33 Estudo do plano. Como se determina um plano? 3. Duas retas concorrentes. r α r s s 34 Estudo do plano. Como se determina um plano? 4. Duas retas paralelas distintas. α s r s r 35 Posições relativas entre ponto e plano. Podemos dizer que um ponto pertence ou não pertence a um plano. α A B C Q P R 36 Posições relativas entre reta e plano A reta está contida no plano. α r 37 Posições relativas entre reta e plano 2. A reta é paralela ao plano. α r 38 Posições relativas entre reta e plano 3. A reta é concorrente ou secante ao plano. A reta “fura” o plano. α r P 39 Posições relativas entre dois planos Paralelos α β 40 Posições relativas entre dois planos 2. Coincidentes α = β 41 Posições relativas entre dois planos 3. Secantes ou concorrentes α β r 42 Fundamentos de Geometria I Kléber A. Rangel Atividade 1 Exercícios 1. É comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo sendo apoiadas em um piso plano balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas, se a quisermos firmes. Explique, usando argumentos de Geometria, por que isso não acontece com uma mesa de três pernas. 44 2. Considerando os pontos A, B e C não colineares, trace AB , BC e CA. 45
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