03 VETORES

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PROF. OSCAR
VETORES CAPITULO 3
A formiga do deserto
Cataglyphis fortis vive
nas planícies do
deserto do Saara.
Quando saem para
procurar comida
seguem um caminho
aleatório como mostra
a figura. Ela percorre
até 500m em uma
superfície arenosa,
sem qualquer ponto de
referência, mesmo
assim consegue voltar
para casa.
Como uma formiga 
consegue encontrar 
o caminho de casa 
senão há pontos de 
referência no 
deserto?
BAC


)( vetordomóduloCC 

MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES
1.Um vetor possui um módulo e uma orientação, uma grandeza vetorial é uma 
grandeza que possui um módulo uma direção e uma orientação e pode ser 
representado por um vetor.
2. O Vetor Deslocamento – Grandeza que dá a direção e a distância retilínea 
entre dois pontos no espaço.
ADIÇÃO DE VETORES DESLOCAMENTOS:
 O vetor deslocamento depende, exclusivamente,
do ponto inicial e final. Para somar dois vetores
faz-se coincidir o ponto inicial do segundo vetor
com o final do primeiro.
A

B

C A B é o vetor deslocamento 
REGRA DO PARALELOGRAMO: 
Faz-se coincidir os pontos iniciais dos vetores,
traçando-se linhas paralelas aos vetores. A
diagonal do paralelogramo será o vetor
deslocamento.
2 2 2 2 . .cosC A B AB   
222 BAC 
A

EXEMPLO 1: 
Imagina que você caminha 3 km para o leste e depois 4km para o norte. Qual o 
deslocamento resultante?
33,1
3
4
tan 
km
km
o1,5333,1tan 1  
A direção do vetor:
1.PROPRIEDADES GERAIS DOS VETORES:
•Grandezas físicas Vetoriais – São aquelas que podem ser 
representadas por vetores: velocidade, aceleração, momento, 
força, etc.
•Grandezas Escalares – Grandezas que ficam bem definidas 
apenas com o módulo, sem estarem associadas a qualquer 
direção: distância, massa, trabalho, etc. 
•Multiplicação de Vetor por Escalar – Tem-se como 
resultado, um vetor cujo módulo será um múltiplo do vetor 
original.
A
3.A
y
x
yyy
xxx
BAC
BAC


A

B

C

xC
yC
xA
yA
xB
yB
Componentes do Vetor Resultante:
DETERMINAÇÃO DE UMA EXPRESSÃO
MATEMÁTICA PARA A VELOCIDADE
vx = v cos θ 
vy = v sen θ 
v

yv

xv

θ
EXEMPLO - 2:
2 - Um carro desloca-se 20 km na direção 30o ao
norte do oeste. Seja x o eixo oeste-leste e y o eixo
sul-norte. Calcular as componentes x e y do vetor
deslocamento do carro.
kmA
kmA
y
x
1030sen20
32,1730cos20
0
0


EXEMPLOS - 3:
Numa gincana, foi fornecido um “mapa do tesouro” e algumas solicitações em
seguida para encontrar por sua equipe que são: caminhar 3km no sentido
oeste e, em seguida, 4km 60o a nordeste. Qual a distância que deve ser
percorrida de forma a terminar rapidamente a prova? Esboce um gráfico
indicando os vetores deslocamentos, encontre as respostas utilizando
componentes vetoriais.
03  yx AekmA
(4 )cos60 2 (4 ) 60 3,46o ox yB km km e B km sen km   
kmkmBAC
kmkmkmBAC
yyy
xxx
46,346,30
123


kmkmC
kmkmkmCCC yx
61,313
13)46,3()1(
2
22222


Pelo teorema de Pitágoras: 
o
x
y
tg
C
C
tg 74
1
46,31  
N
O 3km
4km
600
S
L
Cx
Cy
A direção será dada por:
C
VETORES UNITÁRIOS:
keji

;
Vetor unitário é um vetor adimensional cujo módulo é igual a
um. Eles são geralmente designados por orientados
nos eixos x; y e z respectivamente. Assim, um vetor pode ser
expresso como uma soma de três vetores, cada um paralelo a
um dos eixos coordenados:
x y zA A i A j A k  
ADIÇÃO DE DOIS VETORES:
kBAjBAiBABA
kBjBiBkAjAiABA
zzyyxx
zyxzyx


)()()(
)()(


jmimA

)3()4( 
jmimB

)3()2( 
BA

BA


Exemplo4: Dados dois vetores e
, determine:
a) Módulo de A; (b) módulo de B; (c) ; d) .
EXEMPLO-5
São dados os seguintes vetores: 
Determine o vetor D, em notação de vetores unitários ,tal que 
.ˆ)1,9(ˆ4,5ˆ2,3ˆ)7,7(,ˆ7,4ˆ4,3 jiCejiBjiA 

.0432  BCAD

EXEMPLO-6
Um pequeno avião decola de
um aeroporto em um dia
nublado e é avistado mais
tarde a 215km de distância, em
um curso que faz um ângulo de
220 a leste do norte. A que
distância a leste e ao norte do
aeroporto está o avião no
momento em que é avistado?