CAP 1 MATRIZES E VETORES

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MATRIZES E VETORES 
CONCEITOS BÁSICOS 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
ÁLGEBRA MATRICIAL 
 
 Três das quantidades mais comumente utilizadas em engenharia são: escalares, vetores e 
tensores. 
 
i. Uma quantidade escalar é aquela que pode ser completamente definida por sua magnitude 
somente. 
 Exemplos: temperatura, comprimento, energia. 
 
 
ii. Um vetor é uma quantidade que tem direção e magnitude. Um vetor necessita de três 
quantidades para sua completa definição, por exemplo as três componentes do vetor ao longo 
dos eixos X, Y e Z, 
 Exemplos: força, velocidade, aceleração, distância. 
 
 
iii. Um tensor é uma quantidade mais geral que um vetor, já que necessita mais do que três 
componentes para sua definição completa. Para o tensor de tensão, seis componentes devem 
ser conhecidas para que a tensão seja definida especificamente. Três desses valores são 
quantidades vetoriais, direção e magnitude, e os outros três são as componentes necessárias 
para definir um plano de referência ao qual a tensão é referida. 
 
 
 
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VETORES 
 
 Um vetor a, como mostrado na figura, pode ser expresso na seguinte equação: 
 
 
 
 As quantidades a1, a2 e a3 são escalares (componentes de a) e i, j, k são vetores unitários nas 
direções dos eixos coordenados x, y e z, respectivamente. O comprimento ou magnitude ou 
módulo do vetor a é: 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
a3 k 
a2 j 
a1 i 
a 
x 
y 
z 
O 
 O cosseno do ângulo que um vetor, com origem na origem dos eixos coordenados x, y, z, faz com 
outro vetor é denominado cosseno diretor. 
 cos, cos, cos - cossenos diretores do vetor a em relação ao sistema coordenado x, y, z. 
 , ,  - ângulos diretores 
 
 
 
 
 
 
 Se det|a| 0, a razão define um vetor unitário (módulo igual a 1) na direção do vetor a. 
 
 como então: 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
a 
x 
y 
z 
O 
 
 
 
i 
j 
k 
u 
 O produto interno ou produto escalar de dois vetores a e b é definido por: 
 
 
 
 em que, a e b são os módulos de a e b, respectivamente, e  é o ângulo entre os vetores. 
 
 
 Se e 
 
 então 
 
 
 Se 
 
 então 
 
 
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 Considerando os vetores unitários i, j, k: 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EXEMPLO 
 
 Determinar o ângulo entre os vetores: 
 
 e 
 
 Módulos de a e de b: 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
MATRIZES 
 
Uma matriz é um conjunto de números agrupados de determinada forma. 
 
 A. Uma matriz retangular com m linhas e n colunas é representada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Os valores aij são denominados coeficientes ou elementos da matriz. O elemento aij está 
posicionado na linha i e na coluna j 
 
 Se m=n, a matriz Ann é dita quadrada de ordem n. 
 













mn3m2m1m
n2232211
n1131211
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
nmAA
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 A matriz pode consistir de somente uma linha, denominada vetor linha: 
 
 
 
 ou de somente uma coluna, denominada vetor coluna: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Simbolicamente, uma matriz pode ser escrita na forma: Aij i = 1, m ; j=1,n 
 
 
 Por exemplo, na matriz o elemento a23 é igual a 7. 
 
 n11312111 a...aaanA



















1m
21
11
1m
a
.
.
.
a
a
A
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 










265
743
921
 
 B. Os elementos aii de uma matriz quadrada são os elementos da diagonal principal da 
matriz. 
 Se todos os elementos, com exceção daqueles da diagonal principal, são nulos, a matriz é 
denominada matriz diagonal. 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz diagonal. 
 
 
 Uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais é 
denominada matriz escalar, isto é, aii = a para todos os valores que i tomar. 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz escalar. 










100
040
002












3000
0300
0030
0003
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 Uma matriz escalar em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 é 
denominada matriz unitária, isto é, aii=1 para todos os valores que i tomar. Uma matriz 
unitária é geralmente denominada como In, em que o subscrito n é a ordem da matriz. 
 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz unitária. 
 
 
 
 Se todos os elementos de uma matriz são nulos (a matriz pode ou não ser quadrada), isto é, 
se todos os elementos aii=0, a matriz é denominada matriz nula. 
 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz nula. 
 











100
010
001
3I
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 











000
000
000
O
Soma e subtração de matrizes 
 
 Se duas matrizes A e B têm o mesmo número de linhas e de colunas, então: 
 
A  B = [aij  bij] 
 
 A soma ou subtração de matrizes é efetuada somando-se ou subtraindo-se cada elemento 
correspondente da matriz. Para se somarem (ou subtraírem), as duas matrizes devem ter a 
mesma dimensão (ordem): 
 
Bmn + Cmn = Amn 
 
 
 
 
 A soma e a subtração de matrizes são comutativas e associativas: 
 
 a) A + B = B + A 
 
 b) A + (B + C) = (A + B) + C 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 Por exemplo, se e então: 
 
 
 
 
 
 
 
 Duas matrizes são ditas iguais se A - B = 0, em que as matrizes A e B e a matriz nula 0 têm o 
mesmo número de linhas e de colunas. 
 
 







43
21
A 






76
53
B















33
32
119
74
BABA
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
Multiplicação escalar de matrizes 
 
 
 Por exemplo, 
 
 
 






















9183
6150
306
361
250
102
3
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Transposta de uma matriz 
 
 A transposta de uma matriz A, escrita AT, é obtida trocando linhas por colunas em A. Isto é, se 
em A=[aij], então em A
T=[aji]. 
 
 Se [aij] = [aji], a matriz em A é denominada matriz simétrica, isto é, a matriz A é idêntica à sua 
transposta AT.Por exemplo, a matriz é uma matriz simétrica. 
 
 
 
 Se [aij] = [-aji], ou seja, se A
T = -A, a matriz é denominada matriz antissimétrica. Nesse caso, aii=0. 
 
 
 Por exemplo, a matriz é uma matriz antissimétrica. 
 













524
261
413
A













024
202
420
D
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 Produto de matrizes 
 
 O produto C de duas matrizes A e B é possível somente quando o número de colunas de A 
iguala o número de linhas de B na expressão: 
 
Cmn = Amk . Bkn 
 
 ou seja: [m x n] = [m x k] . [k x n] 
 
 
 Portanto, os elementos cij na matriz C são: 
 
 
 
 
 A matriz C terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B. Um 
elemento de C, por exemplo, o elemento cij, é obtido pela soma dos produtos dos elementos 
correspondentes da linha aik e da coluna bkj. 



n
1k
jkkiji bac
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 Por exemplo, seja o produto das matrizes A e B igual a C: 
 
 
 
 
 
 O elemento c22 da matriz C é definido de modo que: 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
[a21 a22 a23] [c22] 










23
22
12
b
b
b
32232222122122 bababac 
 
 A definição de multiplicação visa facilitar a representação matricial de um sistema de 
equações algébricas: 
 
 
 
 
 
 Representando os coeficientes, as incógnitas e os termos independentes do sistema na forma 
de matrizes: 
 
 
 
 
 pode-se escrever o sistema de equações na forma matricial: 
 
 
 
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 A multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa. Isto é, A . B é geralmente diferente 
de B . A (lembrar que [m x n] = [m x k] . [k x n]). 
 
 A multiplicação de matrizes é associativa e distributiva, então: 
 
 
 não comutativa 
 
 
 associativa 
 
 
 distributiva 
 
 
 
ABBA 
CBACBA )()( 
CABACBA  )(
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Determinante de uma matriz 
 
 i) Para uma matriz de ordem 2: 
 
 
 
 
 
 
 ii) Para uma matriz de ordem 3: 
 
 
 
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 iii) Para matrizes de ordem maior: 
 
A explicação para a determinação do determinante é dada com base em um exemplo, 
utilizando o TEOREMA DE LAPLACE. 
 
Antes, porém, definem-se menor complementar e cofatores de uma matriz quadrada. 
 
 
 Menor complementar: Menor complementar de um elemento de uma matriz é o 
 determinante dessa matriz da qual foram eliminadas a linha e a coluna a que pertence 
 esse elemento. 
 
 Cofator: dá-se um sinal (-1)i+j ao menor complementar de um elemento de uma 
 matriz. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 OBS: É possível calcular o menor complementar se a matriz for quadrada e de ordem maior ou 
igual a 2. 
 
 Cada elemento de uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a dois possui seu menor 
complementar, portanto, pode-se concluir que: 
 
 - uma matriz de ordem 2 possui quatro valores de menor complementar. 
 - uma matriz de ordem 3 possui nove valores de menor complementar. 
 - uma matriz de ordem 4 possui dezesseis valores de menor complementar, etc. 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
COMO CALCULAR O MENOR COMPLEMENTAR DE UM ELEMENTO DE UMA MATRIZ 
 
 Dada uma matriz de ordem 3, por exemplo: 
 
 
 
 
 Para se calcular o menor complementar (A21 ) do elemento a21 = - 2 deve-se eliminar a linha e a 
coluna a que esse elemento pertence, ou seja, eliminar a segunda linha e a primeira coluna. 
 
 
 
 
 Eliminadas a segunda linha e a primeira coluna da matriz A forma-se um determinante do 
elemento a21. 
 
 o menor complementar do elemento a21 é A21 = - 2. 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
COMO CALCULAR O COFATOR DE UM ELEMENTO DE UMA MATRIZ 
 
 
 
 
 Para o elemento d21 = - 2, o COFATOR correspondente é: 
 
 ou, 
 
 O cofator de cada elemento de uma matriz quadrada qualquer, A, é calculado por meio da 
expressão: 
 
 
 Aij - menor complementar do elemento aij (linha i e coluna j) da matriz A; 
 Dcij - cofator do elemento aij (linha i e coluna j) da matriz A. 
 
 
 
 
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Teorema de Laplace para o cálculo do determinante de uma matriz 
 
 O teorema de Laplace utiliza o conceito de cofator no cálculo do determinante de qualquer 
matriz quadrada. 
 Inicialmente, escolhe-se uma das filas (linha ou coluna) da matriz, de preferência a que 
contiver maior número de zeros. O determinante da matriz é obtido somando-se os produtos 
dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores. 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
COMO CALCULAR DETERMINANTE DE UMA MATRIZ PELO TEOREMA DE LAPLACE 
 
 Seja a matriz A: 
 
 
 
 
 a) Escolhe-se uma linha ou coluna, de preferência a que tiver maior número de zeros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 b) Determinam-se os cofatores dos elementos da coluna escolhida: 
 Da equação: 
 
 
 
 - para o elemento a12 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 - cálculo do determinante da matriz 3 x 3 pelo método de Sarrus 
 
 
 
 
 
 
 
 menor complementar do elemento a12 
 
 cofator do elemento a12 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
0 -12 
6 
0 -6 
-48 
 - para o elemento a22 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 menor complementar do elemento a22 
 
 cofator do elemento a22 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
0 -12 
4 
0 9 
-32 
 - para o elemento a32 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 menor complementardo elemento a32 
 
 cofator do elemento a32 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
0 12 
-4 
0 -9 
-8 
 - para o elemento a42 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 menor complementar do elemento a42 
 
 cofator do elemento a42 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
-9 6 
-16 
-6 -36 
-4 
Determinante da matriz A 
 
 O valor do determinante da matriz dada A é dado por: 
 
 
 
 
 
 Como os elementos a22 e a32 são nulos, estes termos se anulam. Por isso, escolheu-se a coluna 
com maior número de zeros, já que não é necessário calcular os cofatores de elementos nulos 
da matriz A. 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EXERCÍCIO 1: 
 
 
 Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: det C = 24 
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Solução: 
 
 Pode-se escolher a segunda ou a quarta linha, a primeira ou a segunda coluna para calcular o 
determinante da matriz através do teorema de Laplace. Escolhe-se a primeira coluna. 
 
 
 
 
 Determinação dos cofatores dos elementos da coluna 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 - para o elemento c11 = - 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 menor complementar do elemento c11 
 
 cofator do elemento c11 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
5 0 8 -8 -2 0 
 - para o elemento c21 = 0 
 
 
 
 
 
 como o elemento c21 é nulo, não é necessário calcular o seu cofator, já que o produto do valor 
deste elemento pelo seu cofator será nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 - para o elemento c31 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 menor complementar do elemento c31 
 
 cofator do elemento c31 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
-6 0 14 -1 6 0 
 - para o elemento c41 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 menor complementar do elemento c41 
 
 cofator do elemento c41 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
6 -4 
-35 
1 -15 56 
 
 O valor do determinante da matriz dada C é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EXERCÍCIO 2: 
 
 
 Calcule o determinante da matriz B, utilizando o teorema de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: det B = 65 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Solução: 
 
 Pelo teorema de Laplace: 
 
 i. Escolha da linha/coluna segunda coluna por conter mais zeros. 
 
 
 
 
 ii. Determinação dos cofatores dos elementos da coluna escolhida e do determinante de B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
para determinar o determinante 
da matriz B, bastou encontrar 
o cofator Dc22 
Transposta do produto de duas matrizes 
 
 A transposta do produto de duas matrizes é o produto de suas transpostas na ordem reversa, 
isto é: 
 
 
 
 Por exemplo: 
 
 
TTT)( ABBA 



















4333
1915
76
53
43
21
BA







4319
3315
)( TBA







4319
3315T TAB
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Inversa de uma matriz 
 
 A matriz inversa é definida como aquela que pós-multiplicada ou pré-multiplicada pela matriz 
original A fornece a matriz identidade I. 
 
 i. determina-se a matriz de cofatores da matriz A: 
 
 
 em que: 
 
 
 ii. determina-se a matriz adjunta, Da, que é a transposta da matriz de cofatores, (Dc)T
 
 
 
 iii. A inversa da matriz A é: 
 
 se 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Propriedades da matriz inversa: 
 
 
 i) 
 
 ii) 
 
 iii) 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EXERCÍCIO 3: 
 
 
 Calcule a inversa da matriz B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Solução: 
 i) matriz de cofatores de B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 ii) matriz adjunta 
 
 
 
 iii) inversa da matriz AMÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Para verificar se a matriz inversa está correta: multiplica-se a matriz inversa pela matriz 
original e o resultado deve ser a matriz identidade, I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
Matriz singular: não tem inversa e seu determinante é nulo: 
 
Matriz ortogonal: é uma matriz quadrada cuja inversa é igual à transposta: 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Seja o sistema de equações de ordem n: 
Matriz de coeficientes Vetor de incógnitas Vetor de termos 
independentes 
 
 A. Método da substituição: 
 
 
 B. Solução por inversão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esse método tem pouca efetividade para sistemas com muitas incógnitas. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 C. Regra de Cramer: 
 
 Seja um sistema linear com número de equações igual ao número de incógnitas: 
 
 
 
 Se o det A 0, então o sistema será possível e terá solução única: 
 
 
 
 Em que (det Ai ) é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima coluna de 
A pela coluna dos termos independentes das equações do sistema. Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ou seja: para determinar o valor da incógnita xi , substitui-se na matriz A a coluna i pelo vetor 
b e divide-se o determinante da matriz resultante pelo determinante de A. 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Coluna i 
 Exemplo: 
 
 Seja o sistema de equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 como det A 0, o sistema tem solução única. 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Determinação das incógnitas: 
 
 
 
 i) x1 
 
 
 
 
 
 
 ii) x2 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 iii) x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A única solução do sistema é (1,3,2). 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO