Integração por partes

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Integração por partes 
 
 
 
Cálculo 2– Prof. Aline Paliga 
Introdução 
Para cada regra da diferenciação tem uma regra correspondente de 
integração. Vimos que a Regra da Substituição corresponde a Regra da 
Cadeia. A regra que corresponde à Regra do Produto para a diferenciação 
é chamada de Integração por Partes. 
A Regra do Produto estabelece que se f e g são diferenciáveis, então: 
 
 
 
 
Na notação de integrais indefinidas essa equação torna-se: 
 
 TFC1 
 
[ ( ) ( )] ( ) '( ) ( ) '( )
d
f x g x f x g x g x f x
dx
 
( ) ' '
d
uv uv vu
dx
 
 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x g x f x dx f x g x  f dx F
( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x dx g x f x dx f x g x  
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x g x dx f x g x g x f x dx  udv uv vdu  
EXEMPLO 1: 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
xsenxdx
( cos ) ( cos )xsenxdx x x x dx    
 
 v=-cosx
u x dv senxdx
du dx
 

udv uv vdu  
u
dv
u
du
v
v
cosx x senx C   
Objetivo: encontrar uma integral mais simples que a integral de partida. 
Se tivéssemos escolhido u=senx e dv=xdx: 
2
 
x
cos v=
2
u senx dv xdx
du xdx
 

2
21 cos
2 2
x
xsenxdx senx x xdx  
mais complicada! 
EXEMPLO 2: 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
2 xx e dx
2 2 2x x xx e dx x e e xdx  
2
x
 
2 v=e
xu x dv e dx
du xdx
 

udv uv vdu  
u
dv
u
du
v
v
2 2x xx e xe dx   Mais simples! Mas não imediata. 
x
 
 v=e
xu x dv e dx
du dx
 

x x xxe dx xe e dx  
Imediata! 
2 22 2 2 2x x x x x xx e xe e dx x e xe e C      
EXEMPLO 3: 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
ln xdx
ln ln
dx
xdx x x x
x
   
ln 
1
 v=x
u x dv dx
du dx
x
 

udv uv vdu  
u
dv
u
du
v v
lnx x dx   Simples e imediata! 
lnx x x C  
Se combinarmos a fórmula de integração por partes com a TFC2, podemos 
avaliar integrais definidas por partes: 
 
 
 
 ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b bb
aa a
f x g x dx f x g x g x f x dx  
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x g x dx f x g x g x f x dx  