1ª Lista Professor Armando Castro

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1a. lista de A´lgebra Linear- 10 de outubro de 2017
Professor: Augusto Armando de Castro Ju´nior (armandomat@pq.cnpq.br)
1. Abaixo, indique quais conjuntos sa˜o espac¸os vetoriais. Entre os espac¸os
vetoriais, diga quais teˆm dimensa˜o finita. Como um extra, exiba uma
base destes.
a) O conjunto das matrizes 3 por 3 cuja primeira linha seja igual a`
sua soma com a segunda coluna.
b) O conjunto das matrizes n por n iguais a` sua transposta, isto e´,
tais que o termo ai,j = aj,i, para quaisquer i e j de 1 ate´ n.
c) A imagem da aplicac¸a˜o f : R2 → R2 dada por
f(x, y) :=
(
x −y
y x
)
×
(
1
1
)
d) O conjunto E := {p : N→ R, p(n+2) = p(n+1)+2 ·p(n)∀n ∈ N}.
e) O conjunto dos polinoˆmios de grau igual a 2, unidos com o conjunto
{0}.
f) O conjunto dos monoˆmios de grau igual a 2, unidos com o conjunto
{0}.
g) O conjunto dos polinoˆmios de grau menor ou igual a 2.
h) O conjunto das func¸o˜es f : R → R que sa˜o iguais a sua pro´pria
derivada.
i) O conjunto das func¸o˜es f : X → R que sa˜o limitadas, onde X e´ um
conjunto na˜o vazio. (Uma func¸a˜o f : X → R e´ dita ser limitada
se existe uma constante M tal que |f(x)| < M, ∀x ∈ X.)
2. Seja p ∈ E, onde E e´ o conjunto expresso no item d) da questa˜o
anterior. Se p(1) = 1 e p(2) = 2, calcule o termo geral de p.
3. Nos itens abaixo, identifique quais aplicac¸o˜es sa˜o lineares, explicando
o porqueˆ.
a) f : R2 → R dada por f(x, y) := x · y.
b) f : R2×2×R2×2 → R2×2 dada por f(X,Y ) := A×X+Y ×A, onde
A e´ uma matriz dada (fixa) e o produto na expressa˜o e´ o produto
de matrizes (ale´m disso, R2×2 e´ o espac¸o vetorial das matrizes 2
por 2.
1
c) f : R2 → R2 dada por
f(x, y) :=
(
x −y
y x
)
×
(
x
y
)
d) f : E → R dada por f(p) = ∫ ba p(t)dt, onde a < b e E := {p :
[a, b]→ R, p e´ func¸a˜o polinomial}.
e) f : E → R dada por f(p) = ∫ ba (p(t))2dt, onde a < b e E := {p :
[a, b]→ R, p e´ func¸a˜o polinomial}.
4. Escalone as seguintes matrizes. Diga qual o nu´mero ma´ximo de vetores
linhas linearmente independentes que elas possuem:
a) 
1 3 4
4 7 8
11 5 0
2 3 4

b) 
1 3 4 10 9
4 0 0 5 6
11 5 0 7 8
2 3 0 3 5

5. Abaixo, diga se existe soluc¸a˜o para os sistemas de equac¸o˜es, dadas por
Ax = b, onde A e b sa˜o respectivamente as matrizes e o vetor coluna
dados. Diga se a soluc¸a˜o e´ u´nica ou na˜o e calcule uma soluc¸a˜o, se
existir alguma.
a)
A =

0 3 4 10
4 0 0 5
11 5 0 7
2 3 0 3
 , b =

1
4
5
7

b)
A =
 9 3 4 104 1 3 5
11 5 0 7
 , b =
32
1

2