Lista de Exercícios 3

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LISTA 3
UFSCar CCET DM
Ca´lculo 1 - Limite e Continuidade
Profa. Dra. Selma H.J. Nicola
1. Suponha que limx→4 f(x) = 0 e limx→4 g(x) = −3. Determine
(a) limx→4(g(x) + 3)
(b) limx→4 xf(x)
(c) limx→4(g(x))2
(d) limx→4
g(x)
f(x)−1
2. Suponha que limx→c f(x) = 5 e limx→c g(x) = −2. Determine
(a) limx→c f(x)g(x)
(b) limx→c 2f(x)g(x)
(c) limx→c(f(x) + 3g(x))
(d) limx→c
f(x)
f(x)−g(x)
3. Calcule os limites abaixo.
(a) limx→−7(2x+ 5)
(b) limx→6 8(x− 5)(x− 7)
(c) limy→2
y+2
y2+5y+6
(d) limh→0 3√3h+1+1
(e) limr→−2(r3 − 2r2 + 4r + 8)
(f) limx→2 x+3x+6
(g) limy→−3(5− y)4/3
(h) limθ→5 θ−5θ2−25
(i) limt→−5 t
2+3t−10
t+5
(j) limx→−2 −2x−4x3+2x2
(k) limy→1
y−1√
y+3−2
(l) limx→3 sin( 1x − 12)
(m) limx→−1
√
x2+8−3
x+1
(n) limθ→1 θ
4−1
θ3−1
(o) limt→9 3−
√
t
9−t
(p) lims→pi s cos(pi−s2 )
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4. Esboce uma func¸a˜o y = f(x) com domı´nio o intervalo (-1,3) e responda quais das seguintes
afirmac¸o˜es sobre a func¸a˜o y = f(x) sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas.
(a) limx→2 f(x) na˜o existe.
(b) limx→2 f(x) = 2 .
(c) limx→1 f(x) na˜o existe.
(d) limx→x0 f(x) existe no ponto x0 no intervalo (-1,1).
(e) limx→x0 f(x) existe no ponto x0 no intervalo (1,3).
5. Se f(1) = 5, limx→1 f(x) deve existir? Em caso positivo, limx→1 f(x) deve ser igual a 5?
Podemos concluir alguma coisa sobre limx→1 f(x)? Explique.
6. Seja f(x) = (x2 − 9)/(x+ 3).
(a) Fac¸a uma tabela com os valores de f nos pontos x = −3, 1,−3, 01,−3, 001 e assim por
diante, ate´ onde sua calculadora permitir. Em seguida, estime limx→−3 f(x). A que
estimativa voceˆ chegaria se calculasse f em −2, 9,−2, 99,−2, 999, · · · ?
(b) Fundamente as concluso˜es do item (a) esboc¸ando o gra´fico de f pro´ximo de x0 = −3.
(c) Encontre limx→−3 f(x) algebricamente.
7. Em cada exerc´ıcio abaixo e´ dado uma func¸a˜o f(x) e os nu´meros L, x0 e ε. Em cada caso,
encontre um intervalo aberto em torno de x0 no qual a desigualdade |f(x)−L| < ε valha. Deˆ
enta˜o um valor para δ > 0 tal que para todo x satisfazendo 0 < |x− x0| < δ a desigualdade
|f(x)− L| < ε seja verdadeira.
(a) f(x) = x+ 1, L = 5, x0 = 4, ε = 0, 01.
(b) f(x) =
√
x+ 1, L = 1, x0 = 0, ε = 0, 1.
(c) f(x) = 1/x, L = 1/4, x0 = 4, ε = 0, 05.
8. Esboce uma func¸a˜o y = f(x) com domı´nio (-2,3) e que satisfac¸a as afirmac¸o˜es abaixo.
(a) limx→−1+ f(x) = 1 (b) limx→0− f(x) = 0
(c) limx→0− f(x) = 1 (d) limx→0− f(x) = limx→0+ f(x)
(e) limx→0 f(x) existe (f) limx→0 f(x) = 0
(g) limx→0 f(x) = 1 (h) limx→1 f(x) = 1
(i) limx→1 f(x) = 0 (j) limx→2− f(x) = 2
(k) limx→−1− f(x) na˜o existe (l) limx→2+ f(x) = 0
9. Resolva os limites abaixo.
(a) limx→−0.5−
√
(x+ 2)/(x+ 1).
(b) limh→0+
√
h2+4h+5−√5
h
.
(c) limx→−2+(x+ 3)
|x+2|
x+2
.
(d) limx→−2−(x+ 3)
|x+2|
x+2
.
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10. Suponha que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para qualquer x 6= 2 e suponha que
lim
x→2
g(x) = lim
x→2
h(x) = −5.
Podemos concluir alguma coisa sobre os valores de f, g e h em x = 2? Seria poss´ıvel f(2) = 0?
Seria poss´ıvel limx→2 f(x) = 0? Justifique suas respostas.
11. Se limx→−2
f(x)
x2
= 1, calcule limx→−2 f(x) e limx→−2
f(x)
x
.
12. Dado ε > 0, ache um intervalo I = (5, 5+δ), δ > 0 tal que se x esta´ em I, enta˜o
√
x− 5 < ε.
De que limite se esta´ verificando a existeˆncia e qual e´ seu valor?
13. Esboce o gra´fico da func¸a˜o dada e determine os pontos em que a func¸a˜o e´ cont´ınua.
(a) f(x) = x+ 1 (b) f(x) = x2 + 2
(c) f(x) =

1
x2
, se |x| > 1
2, se |x| < 1
(d) f(x) =
{
x2, se x 6 1
2, se x > 1
(e) f(x) = [x] (func¸a˜o maior inteiro).
14. A func¸a˜o f(x) =
{
2x, se x 6 1
1, se x > 1
e´ cont´ınua em x0 = 1? Justifique.
15. Prove, pela definic¸a˜o, que a func¸a˜o dada e´ cont´ınua no ponto dado.
(a) f(x) = 4x− 3 em p = 2.
(b) f(x) = x+ 1 em p = 2.
(c) f(x) = 3
√
x em p = 1.
16. Mostre que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em x0 ∈ Df se, e somente se, lim
h→0
f(x0 + h) = f(x0).
17. Determine o valor de L, caso exista, para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua em x0.
(a) f(x) =

x2 − 4
x− 2 se x 6= 2
L, se x = 2
em x0 = 2
(b) f(x) =

x2 − x
x
se x 6= 0
L, se x = 0
em x0 = 0.
(c) f(x) =

|x|
x
se x 6= 0
L, se x = 0
em x0 = 0.
(d) f(x) =

x2 − 9
x− 3 , se x 6= 3
L, se x = 3
em x0 = 3.
(e) f(x) =

x, se x < 1
L se x = 1,
1
x
, se x > 1
em x0 = 1.
4
18. A func¸a˜o f(x) =

x2 + x
x+ 1
, se x 6= −1
2, se x = −1
e´ cont´ınua em x0 = −1? E em x0 = 0? Justifique.
19. A afirmac¸a˜o “ lim
x→x+0
f(x) = lim
x→x−0
f(x)⇒ f cont´ınua em x0” e´ falsa ou verdadeira? Justifique.
20. Dada a func¸a˜o f(x) =
x2 − 3x+ 2
x− 1 , verifique que limx→1+ f(x) = limx→1− f(x). A func¸a˜o f e´
cont´ınua em 1? Justifique.
21. Calcule
(a) lim
x→5
3
√
3x2 − 4x+ 9 (b) lim
x→2+
1 +
√
x− 2 (c) lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x+ 1
(d) lim
x→+∞
1
x2
(e) lim
x→−∞
(
5 +
1
x
+
3
x2
)
(f) lim
x→−∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
(g) lim
x→4−
1
(x− 4)3 (h) limx→4+
1
(x− 4)3 (i) limx→4
1
(x− 4)3
(j) lim
x→+∞
(x4 − 3x+ 2) (k) lim
x→+∞
(5− 4x+ x2 − x5) (l) lim
x→+∞
5x3 − 6x+ 1
6x2 + x+ 3
(m) lim
x→+∞
5x3 − 6x+ 1
6x3 + 2
(n) lim
x→3+
5
3− x (o) limx→3−
5
3− x
(p) lim
x→ 1
2
+
4
2x− 1 (q) limx→0−
3
x2 − x (r) limx→−∞
x4 − 2x+ 3
3x4 + 7x− 1
(s) lim
x→−1+
2x+ 1
x2 + x
(t) lim
x→1
x− 1√
x− 1.
22. Calcule:
(a) lim
x→0
tan(3x)
x
(b) lim
x→0
7x
6 sinx
(c) lim
x→
pi
2
cosx
x− pi
2
(d) lim
x→
pi
4
cosx− sinx
tanx− 1
(e) lim
x→2
tan(pix)
x− 2 (f ) limx→0
1− cosx
x2
(g) lim
x→p
tan(x− p)
x2 − p2 , p 6= 0 (h) limx→0
sin
(
x2 +
1
x
)
− sin
(
1
x
)
x
(i) lim
x→p
sinx− sin p
x− p (j) limx→p
tanx− tan p
x− p .
23. Seja f uma func¸a˜o definida em R e suponha que exista M > 0 tal que |f(x)−f(p)| 6M |x−p|
para todo x. Prove, usando a definic¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua, que f e´ cont´ınua em p.
24. Seja f definida em R. Suponha que lim
x→0
f(x)
x
= 1. Calcule:
(a) lim
x→0
f(3x)
x
(b) lim
x→0
f(x2)
x
(c) lim
x→1
f(x2 − 1)
x− 1 (d) limx→0
f(7x)
3x
5
25. Seja f uma func¸a˜o definida em R tal que −x2 + 3x 6 f(x) < x
2 − 1
x− 1 , para todo x 6= 1.
Calcule lim
x→1
f(x) e justifique.
26. Em cada dos ı´tens abaixo, determine o maior conjunto onde a func¸a˜o f e´ cont´ınua.
(a) f(x) =
3x− 5
2x2 − x− 3 (b) f(x) =
x2 − 9
x− 3
(c) f(x) =
√
2x− 3 + x2 (d) f(x) = x− 1√
x2 − 1
(e) f(x) =
x
x2 + 1
(f) f(x) =
√
9− x√
x− 6.
27. Se f(x) =

|x− 3|
x− 3 , se x 6= 3
1, se x = 3
, enta˜o f e´ cont´ınua em x = 3? Justifique sua resposta.
28. Determine as constantes A, B de modo que a func¸a˜o f(x) =

3x, se x 6 2
Ax+B, se 2 < x < 5
−6x, se x > 5
seja
cont´ınua em R.
29. Encontre exemplos de func¸o˜es tais que:
(a) f + g e´ cont´ınua em x0, mas f e g na˜o sa˜o.
(b) f ◦ g e´ cont´ınua em x0, mas g e´ descont´ınua em x0 e f e´ descont´ınua em g(x0).
(c) f e´ cont´ınua em g(x0), g na˜o e´ cont´ınua em x0, mas f ◦ g e´ cont´ınua em x0.
30. Sejam f , g : R → R func¸o˜es cont´ınuas em R tais que f(3) = g(3). Verifique se a func¸a˜o
h(x) =
{
f(x), se x 6 3
g(x), se x > 3
e´ cont´ınua em R. Justifique sua resposta.
31. Prove que lim
x→x0
f(x) = L⇔ lim
x→x0
[f(x)− L] = 0⇔ lim
x→x0
|f(x)− L| = 0.
32. Calcule:
(a) lim
x→0
cos
(
x
sinx− 2x
)
(b) lim
x→0
sin
(
cos
(
pi
2
− 3x)
x
)
.
33. Suponha que |f(x)− f(1)| 6 (x− 1)2 para todo x ∈ R. Mostre que f e´ cont´ınua no ponto
x0 = 1.
6
34. (a) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o definida em R que seja cont´ınua em todos os pontos de
R, exceto nos pontos−1, 0, 1.
(b) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o definida em R que seja cont´ınua em todos os pontos de
R, exceto nos nu´meros inteiros.
(c) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o definida em R que na˜o seja cont´ınua em x = 2 mas que
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x).