exercicios 1 comentado area 1 mecanica vetorial

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Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
Escola de Engenharia  Departamento de Engenharia Civil 
Exercícios Comentados 
ENG01035  2017/2  Prof. Inácio B. Morsch 
Força de Atrito 
Uma cunha é usada para nivelar o elemento ilustrado na figura (1). Determine a força horizontal P 
necessária para movimentar a cunha para a direita. O coeficiente de atrito estático entre a cunha e as duas 
superfícies de contato vale 0,25. Considere o tamanho e o peso da cunha desprezíveis. 
Solução: O primeiro passo é fazer o diagrama de corpo livre da cunha e escrever as suas correspondentes 
equações equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
085cos5cos0 =−°−°−→=∑ BAAx HNFPF
 (1) 
085sen5sen0 =°−°+→=∑ AABy NFVF 
(2) 
O próximo passo é fazer o diagrama de corpo livre 
da estrutura e escrever as suas correspondentes 
equações de equilíbrio. 
050sen156,0
825,075,02,10
=°⋅−
⋅−+⋅→=∑ xyA EEM
 
894,875,02,1 =+ xy EE (3) 
0885cos
5cos50cos150
=−°+
°+°−→=∑
A
Axx
N
FEF
 
642,1710x715,8996,0 2 =++ − AAx NFE (4) 
085sen
5sen50sen150
=°+
°+°−→=∑
A
Ayy
N
FEF
 
491,1110x715,8996,0 2 =−+ − AAy FNE (5) 
 
Como as forças HB e FA são forças de atrito, pode-se escrever para a situação limite que BB VH 25,0= e 
AA NF 25,0= . Substituindo-se estes resultados nas equações (1) a (2) e operando-se, tem-se 
20,996 0,25 8,715x10 0, 25 0,336 0, 25A A B A BP N N V P N V
−
= ⋅ + + → = + (6) 
P
A
B
5o
0,6 0,6
15 kN
0,
5
0,
25
8 kN
C
D
E
50o
(m)
P
A
5o VB
HB
NA
FA
A
B
5o
0,6 0,6
15 kN
0,
5
0,
25
8 kN
C
D
E
50o
(m)
Ex
Ey
NA
FA
AAAB NNNV 974,025,010x715,8996,0
2
=⋅−=
−
 (7) 
Substituindo-se (7) em (6) tem-se ANP 5796,0= . 
Operando-se agora nas equações (3) a (5) tem-se 





=+
=+
=++
491,11974,0
642,17336,0
894,82,175,0
Ay
Ax
yx
NE
NE
EE
 
que pode ser reescrito em notação matricial como 










=










⋅










491,11
642,17
894,8
974,010
336,001
02,175,0
A
y
x
N
E
E
 Resolvendo-se o sistema de equações resultantes obtém-se 
Ex = 13,35 kN , Ey = -0,935 kN , NA = 12,76 kN e P = 7,4 kN 
 
A cunha em questão é autobloqueante? Em outras palavras, a cunha uma vez instalada permanece na 
posição? Para responder essa questão basta inverter o sentido da força P. Nesse caso as forças de atrito HB 
e FA também tem os seus sentidos trocados. 
Com isso as equações de equilíbrio da cunha resultam em: 
20,996 0,25 8,715x10 0,25 0,162 0,25A A B A BP N N V P N V
−
= ⋅ − + → = + 
20,996 8,715x10 0,25 1,018B A A AV N N N
−
= + ⋅ = 0,416 AP N= 
Das equações de equilíbrio da estrutura tem-se: 
894,875,02,1 =+ xy EE 
20,996 8,715x10 17,642 0,162 17,642
x A A x AE F N E N
−
− + = → − = 
20,996 8,715x10 11,491 1,018 11,491y A A y AE N F E N
−+ + = → + = 
0,75 1,2 0 8,894
1 0 0,162 17,642
0 1 1,018 11, 491
x
y
A
E
E
N
     
     
− ⋅ =     
     
     
 
Ex = 20,3 kN , Ey = - 5,28 kN , NA = 16,48 kN e P = 6,86 kN 
Portanto para a cunha ser retirada da posição é necessário aplicar uma força de 6,86 kN, logo basta não 
aplicar essa força para que a cunha permaneça na posição. A conclusão é que a cunha é autobloqueante.