Aula 23 Transformacoes Lineares

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Transformação Linear 
Definição: Sejam dois espaços vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) é denominada Transformação Linear de 
 se: 
a)
b)
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Exemplos
1) Transformação Linear Nula
2) Operador Linear Identidade
3) tal que
4) 			 dada por 
5) definida por
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Contra - Exemplo 
definida por
pois temos que:
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Propriedades 
Sejam dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles. Então: 
P1)
P2)
P3)
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Propriedades 
P4) Se é um subespaço de , então a imagem de pela transformação linear é um subespaço vetorial de , isto é, é subespaço vetorial real. 
P5)
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Propriedades 
P6) Sejam e espaços vetoriais reais e uma base de . 
Dados vetores arbitrários de , existe uma transformação linear tal que:
e
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Núcleo e Imagem 
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Núcleo da Transformação o subconjunto do domínio da função dado por:
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Núcleo e Imagem 
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles, denomina-se Imagem da Transformação o subconjunto do contra-domínio da função dado por:
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Exercícios
Exercício 01: Verificar se as funções abaixo são transformações lineares e determinar seus núcleos e imagens:
a)
b)
c)
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Núcleo e Imagem
Proposição: Dada uma transformação linear, temos que:
O núcleo da transformação é um subespaço vetorial do domínio da função.
A imagem da transformação é um subespaço vetorial do contra-domínio da função.
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Recordando
Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita:
Injetora se: 
Sobrejetora se:
*
Recordando
Definição: Uma função do conjunto A no conjunto B é dita bijetora se é injetora e sobrejetora simultâneamente. 
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Teoremas
Proposição: Uma transformação linear é injetora se e somente se . 
Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada uma transformação linear entre eles, então: 
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Resultados Importantes
Proposição: Dada uma transformação linear, temos que se
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Resultados Importantes
Corolário: Dada uma transformação linear de espaços vetoriais de dimensão iguais. Então as afirmações abaixo são equivalentes:
 (1) É sobrejetora
 (2) É bijetora
 (3) É injetora
 (4) Transforma base do domínio em base do contradomínio. 
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Isomorfismo
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). 
Notação: 
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Automorfismo
Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo de um espaço nele mesmo.
Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo. 
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Resultados Importantes
Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles. 
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Resultados Importantes
Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se 
Exercícios: Transformações Lineares