Cálculo 1 - capitulo 07 Polinômios e Funções Racionais - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 7
Polinoˆmios e Func¸o˜es Racionais
7.1 Polinoˆmios
Ao iniciarmos nosso estudo sobre func¸o˜es, consideramos o problema de construir uma caixa sem tampa a partir de um
pedac¸o quadrado de pla´stico malea´vel de lado igual a l cm. Naquela ocasia˜o, vimos que uma maneira de se fazer isto
era cortando pequenos quadrados nos cantos da folha e, enta˜o, dobrando na linha pontilhada.
O problema consistia em determinar o volume de a´gua que esta caixa pode conter, quando completamente cheia.
Vimos que uma expressa˜o matema´tica que fornece tal volume e´ dada por V(x) = x (20− 2x)2. Esta func¸a˜o e´ um
exemplo do que, em matema´tica, chamamos de polinoˆmio. Os polinoˆmios aparecem na resoluc¸a˜o de muitos problemas
na vida pra´tica, por isso e´ importante estuda´-los com um pouco mais de cuidado. Este cap´ıtulo e´ destinado a um
estudo mais aprofundado de polinoˆmios.
Um polinoˆmio de grau n e´ uma func¸a˜o da forma
p(x) = an x
n + an−1 x(n−1) + . . .+ a2 x2 + a1 x+ a0
onde n e´ um nu´mero natural, os coeficientes ao, a1,..., an sa˜o nu´meros reais conhecidos e an 6= 0.
A func¸a˜o linear afim y = a x+ b, cujo gra´fico e´ uma reta e a func¸a˜o quadra´tica y = a x2 + b x+ c, cujo gra´fico e´
uma para´bola , sa˜o exemplos de polinoˆmios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. O polinoˆmio de
grau zero e´ uma func¸a˜o constante. Cada uma das parcelas ai x
i de um polinoˆmio e´ chamada de monoˆmio de grau i .
Exerc´ıcio 1 Dado um polinoˆmio p(x) = an x
n+an−1 x(n−1)+ . . .+a2 x2+a1 x+a0, qual o significado geome´trico
da constante ao? O que se pode afirmar quando a0 = 0?
Os exemplos mais simples de polinoˆmios sa˜o as func¸o˜es poteˆncias da forma 1, x, x2,..., xn.
Ao lado esta˜o trac¸ados, em conjunto, os gra´ficos das
seguintes func¸o˜es poteˆncia de grau ı´mpar f(x) = x,
g(x) = x3 e h(x) = x5, respectivamente.
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
Exerc´ıcio 2
– Quais sa˜o as principais caracter´ısticas dos gra´ficos dessas func¸o˜es?
– Observando os gra´ficos acima, o que voceˆ pode concluir a respeito do lim
x→∞ x
n e do lim
x→−∞ x
n, se n e´ ı´mpar?
Exerc´ıcio 3
Observe os gra´ficos das func¸o˜es y = x9 e y = x9 + 3x6 + 7x4 − x, trac¸ados na mesma janela, para −3 ≤ x ≤ 3 e
−100 ≤ x ≤ 100, respectivamente.
99
100 Cap. 7. Polinoˆmios e Func¸o˜es Racionais
–30
–20
–10
10
20
30
40
y
–3 –2 –1 1 2 3x
–1e+18
–8e+17
–6e+17
–4e+17
–2e+17
2e+17
4e+17
6e+17
8e+17
1e+18
–100 –80 –60 –40 –20 20 40 60 80 100x
– O que se pode afirmar em relac¸a˜o ao comportamento dessas duas func¸o˜es quando x cresce, em valor absoluto?
Ou seja, o que se pode afirmar a respeito do limite dessas duas func¸o˜es quando x→ +∞ e quando x→ −∞?
– Verifique que este fato pode ser generalizado, isto e´, um polinoˆmio de grau ı´mpar se comporta como o seu
monoˆmio de maior grau quando x cresce em valor absoluto. Para isso, trace na mesma janela va´rios gra´ficos de
monoˆmios e polinoˆmios de mesmo grau para grandes valores de x.
A u´ltima afirmac¸a˜o do exerc´ıcio anterior pode ser facilmente demonstrada. Para isso, basta observar que:
lim
x→∞ a0 + a1 x+ a2 x
2 + . . .+ an x
n =
(
lim
x→∞ x
n
) (
lim
x→∞
a0
xn
+
a1
x(n−1)
+
a2
x(n−2)
+ an
)
Como o u´ltimo limite e´ igual a an, o limite do polinoˆmio e´ dominado pelo limite do monoˆmio de maior grau.
A mesma ana´lise pode ser feita para polinoˆmios de grau par.
Ao lado esta˜o trac¸ados em conjunto os gra´ficos
das seguintes func¸o˜es poteˆncia de grau par
f(x) = x2, g(x) = x4 e h(x) = x6, respec-
tivamente.
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y
–2 –1 1 2
x
Exerc´ıcio 4
– Quais sa˜o as principais caracter´ısticas dos gra´ficos dessas func¸o˜es?
– Observando os gra´ficos acima, o que voceˆ pode concluir a respeito do lim
x→∞ x
n e do lim
x→(−∞)
xn, se n e´ par?
Exerc´ıcio 5 Examine abaixo os gra´ficos das func¸o˜es y = x10 e y = x10 + 3x7 + 7x4, trac¸ados na mesma janela,
para −1 ≤ x ≤ 1 e −100 ≤ x ≤ 100, respectivamente. No segundo gra´fico, e´ poss´ıvel distinguir as duas func¸o˜es?
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
0
2e+19
4e+19
6e+19
8e+19
1e+20
–100 –80 –60 –40 –20 20 40 60 80 100x
– O que se pode afirmar quanto ao comportamento dessas duas func¸o˜es, a` medida em que x cresce, em valor
absoluto? Ou seja, qual o limite dessas duas func¸o˜es quando x→ +∞ e quando x→ −∞?
– Reforce a sua intuic¸a˜o trac¸ando, na mesma janela, va´rios gra´ficos de monoˆmios e polinoˆmios de mesmo grau para
valores grandes de x, para verificar que a afirmac¸a˜o acima pode ser generalizada, isto e´, um polinoˆmio de grau par se
comporta como o seu monoˆmio de maior grau quando x cresce em valor absoluto.
– Demonstre esta afirmac¸a˜o. (Esta demonstrac¸a˜o e´ a mesma que foi indicada para o caso n ı´mpar.)
7.2 Func¸o˜es racionais
Os polinoˆmios podem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtra´ıdos e multiplicados, e os
resultados sera˜o novamente polinoˆmios. No entanto, se dividirmos polinoˆmios nem sempre obteremos outro polinoˆmio.
W.Bianchini, A.R.Santos 101
Esse quociente e´ chamado de func¸a˜o racional, isto e´, uma func¸a˜o racional f(x) e´ do tipo
f(x) =
p(x)
q(x)
,
onde p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios. Se o denominador q(x) for uma constante na˜o nula, esse quociente sera´ ele pro´prio
um polinoˆmio. Assim, os polinoˆmios esta˜o inclu´ıdos entre as func¸o˜es racionais.
Evidentemente, nos pontos onde q(x) = 0 a func¸a˜o f na˜o esta´ definida, portanto, o maior domı´nio de uma func¸a˜o
racional e´ constitu´ıdo pelo conjunto de todos os nu´meros reais excetuando-se esses pontos. Os zeros de q(x) sa˜o
chamados de polos ou pontos singulares da func¸a˜o f .
Como os polinoˆmios, as func¸o˜es racionais apresentam um comportamento caracter´ıstico quando x cresce em valor
absoluto. Ale´m disso, e´ importante tambe´m estudar o comportamento dessas func¸o˜es em torno dos seus pontos
singulares, pois ao redor desses pontos podem ocorrer mudanc¸as bruscas de sinal e crescimentos ilimitados. Sa˜o esses
pontos que da˜o origem as ass´ıntotas verticais ao gra´fico de uma func¸a˜o, caso essas ass´ıntotas existam.
O objetivo desta sec¸a˜o e´ estudar o comportamento de uma func¸a˜o racional em torno de seus pontos singulares
e tambe´m o seu comportamento no infinito. Analisaremos, separadamente, os casos em que o grau do numerador e´
menor, igual e maior que o grau do denominador.
Exemplo 1 Ja´ estudamos o comportamento das func¸o˜es y = 1x2 e y =
1
x . Observe abaixo os seus gra´ficos:
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–3 –2 –1 1 2 3x
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–3 –2 –1 1 2 3x
Repare que, nos dois casos, o po´lo das duas func¸o˜es e´ o ponto x = 0 e que os valores das duas func¸o˜es se tornam
ilimitados quando x se aproxima de 0. (A reta y = 0 e´ uma ass´ıntota vertical ao gra´fico das func¸o˜es.) Ale´m disso, nos
dois casos, lim
| x |→∞
f(x) = 0 e, portanto, a reta x = 0 e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico dessas func¸o˜es.
Este comportamento e´ t´ıpico das func¸o˜es racionais cujo grau do numerador e´ menor do que o grau do denominador.
Para ilustrar esta afirmac¸a˜o, examinemos um outro exemplo.
Exemplo 2 Considere a func¸a˜o f(x) =
x
x2 − 1 . O seu maior domı´nio e´ o conjunto do todos os reais, excetuando-se
os pontos −1 e 1, que sa˜o os seus polos.
Para estudar o comportamento dessa func¸a˜o perto dos polos e´ suficiente calcular lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→−1+
f(x)
e lim
x→−1−
f(x).
Em todos esses casos, os valores da func¸a˜o crescem sem limite, em valor absoluto. Como ja´ vimos, este compor-
tamento se traduz, matematicamente, dizendo que a func¸a˜o tende a + ∞ ou a −∞e ocorre sempre que os valores
do denominador se aproximarem de zero e o limite do numerador existir e for diferente de zero. (Lembre-se de que
nada se pode afirmar a priori se o limite do numerador tambe´m for igual a zero.) O sinal dependera´ do sinal da frac¸a˜o
quando x se aproximar do polo pela esquerda ou pela direita.
No exemplo acima temos lim
x→1+
x
x2 − 1 = +∞, porque a frac¸a˜o assume valores positivos, cada vez maiores, a` medida
que x se aproxima de 1 por valores maiores que 1 e, lim
x→1−
x
x2 − 1 = −∞, porque a frac¸a˜o e´ negativa e assume valores
cada vez maiores, em valor absoluto, quando x se aproxima de 1, por valores menores que 1. Observe as tabelas
a seguir, onde se evidencia este comportamento numericamente. A primeira mostra o comportamento nume´rico da
func¸a˜o quando x se aproxima de 1, pela direita, e a segunda, quando x se aproxima de 1, pela esquerda.
102 Cap. 7. Polinoˆmios e Func¸o˜es Racionais

x
x
x2 − 1
1.500000000 1.200000000
1.250000000 2.222222222
1.125000000 4.235294118
1.062500000 8.242424242
1.031250000 16.24615385
1.015625000 32.24806202
1.007812500 64.24902724
1.003906250 128.2495127
1.001953125 256.2497561
1.000976563 512.2498780


x
x
x2 − 1
1.000488281 1024.249939
1.000244141 2048.249969
1.000122070 4096.249985
1.000061035 8192.249992
1.000030518 16384.25000
.5000000000 −.6666666667
.7500000000 −1.714285714
.8750000000 −3.733333333
.9375000000 −7.741935484
.9687500000 −15.74603175


x
x
x2 − 1
.9843750000 −31.74803150
.9921875000 −63.74901961
.9960937500 −127.7495108
.9980468750 −255.7497556
.9990234375 −511.7498779
.9995117188 −1023.749939
.9997558594 −2047.749969
.9998779297 −4095.749985
.9999389648 −8191.749992
.9999694824 −16383.75000

As retas x = 1 e x = −1 sa˜o ass´ıntotas verticais ao gra´fico dessa func¸a˜o. Da mesma forma lim
x→−1+
f(x) = +∞ e
lim
x→−1−
f(x) = −∞.
Estudaremos, agora, o comportamento desta func¸a˜o quando x cresce em valor absoluto. Para isso precisamos
calcular os limites da func¸a˜o quando x tende a + ∞ e quando x tende a −∞. Observe abaixo os gra´ficos desta func¸a˜o
e da func¸a˜o f(x) = 1x .
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–3 –2 –1 1 2 3x
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–3 –2 –1 1 2 3x
Compare o comportamento destas duas func¸o˜es quando |x | → +∞. Perceba que estas duas func¸o˜es se comportam
da mesma maneira quando x→ +∞ ou quando x→ −∞.
Para comprovar algebricamente este fato, basta colocar em evideˆncia os termos de maior grau no numerador e no
denominador da frac¸a˜o e simplificar. Assim, como
x
x2 − 1 =
x2 ( 1x )
x2 (1− 1x2 )
=
1
x (1− 1x2 )
,
tem-se
lim
x→∞
x
x2 − 1 = limx→∞
1
x (1− 1x2 )
= 0.
pois lim
x→∞
1
x
= 0 e lim
x→∞
1
1− 1x2
= 1, portanto, o limite do produto e´ zero. (Repare que esta operac¸a˜o e´ poss´ıvel porque
estamos estudando o comportamento da func¸a˜o para valores grandes de x, e, portanto, estamos considerando x 6= 0.)
Da mesma forma, lim
x→(−∞)
x
x2 − 1 = 0.
A reta y = 0 e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico dessa func¸a˜o.
Exerc´ıcio 1 Estude o comportamento da func¸a˜o f(x) =
1
x2 + 2x+ c
, no infinito e pro´ximo aos po´los, para
c = −1, 0, 1, 2 e 3, respectivamente. Determine tambe´m suas ass´ıntotas verticais e horizontais, caso existam. Confira
suas concluso˜es trac¸ando o gra´fico dessas func¸o˜es com a ajuda do Maple.
Exemplo 2 Considere a func¸a˜o f(x) =
2x+ 1
x− 3 . O domı´nio de f e´ o conjunto de todos os nu´meros reais,
excetuando-se x = 3. Este ponto e´ o seu po´lo. Para determinar o comportamento desta func¸a˜o nas proximidades deste
po´lo, e´ preciso calcular o lim
x→3+
f(x) e o lim
x→3−
f(x).
Para isto, observe que quando x se aproxima de 3, quer pela direita, quer pela esquerda, o numerador da frac¸a˜o se
aproxima de 7 e, portanto, e´ positivo nos dois casos. Mas, quando x se aproxima de 3 pela esquerda, o denominador
assume valores negativos cada vez mais pro´ximos de zero, de modo que o quociente e´ sempre negativo e cresce em
valor absoluto, ou seja, o quociente tende a −∞.
W.Bianchini, A.R.Santos 103
Por outro lado, quando x se aproxima de 3 pela direita, o quociente e´ um nu´mero positivo que se aproxima de
zero, de modo que a frac¸a˜o e´ positiva e crescente, ou seja, tende a + ∞.
Observe, mais uma vez, as tabelas a seguir, onde o comportamento desta func¸a˜o e´ evidenciado numericamente. A
primeira tabela mostra o comportamento da func¸a˜o quando x→ 3+. A segunda, quando x→ 3−.
x
2x+ 1
x− 3
2.500000000 −12.
2.750000000 −26.
2.875000000 −54.
2.937500000 −110.
2.968750000 −222.
2.984375000 −446.
2.992187500 −894.
2.996093750 −1790.
2.998046875 −3582.
2.999023438 −7166.


x
2x+ 1
x− 3
2.999511719 −14334.
2.999755859 −28670.
2.999877930 −57342.
2.999938965 −114686.
2.999969482 −229374.
3.500000000 16.
3.250000000 30.
3.125000000 58.
3.062500000 114.
3.031250000 226.


x
2x+ 1
x− 3
3.015625000 450.
3.007812500 898.
3.003906250 1794.
3.001953125 3586.
3.000976563 7170.
3.000488281 14338.
3.000244141 28674.
3.000122070 57346.
3.000061035 114690.
3.000030518 229378.

Estes limites indicam que a reta x = 3 e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico desta func¸a˜o.
Ale´m disso,
lim
| x |→∞
2x+ 1
x+ 3
= lim
| x |→∞
2 + 1x
1 + 3x
e, dessa u´ltima expressa˜o, e´ fa´cil concluir que este limite e´ 2. A reta y = 2 e´, portanto, uma ass´ıntota horizontal ao
gra´fico dessa func¸a˜o.
O gra´fico dessa func¸a˜o evidencia o seu comportamento caracter´ıstico.
–20
–10
0
10
20
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
Exemplo 4 Analisemos agora a func¸a˜o y = x
2−4
x . Essa func¸a˜o na˜o esta´ definida para x = 0. O seu comportamento
na vizinhanc¸a desse ponto e´ traduzido pelas expresso˜es lim
x→0−
f(x) =∞ e lim
x→0+
f(x) = −∞. A reta x = 0 e´, portanto,
uma ass´ıntota vertical ao gra´fico dessa func¸a˜o. Para analisar o comportamento desta func¸a˜o quando |x | → ∞, observe
que
x2 − 4
x
= x− 4
x2
.
Como lim
x→∞
4
x2
= 0, conclu´ımos que
lim
x→∞
x2 − 4
x
= lim
x→∞ x− limx→∞
4
x2
= +∞
De maneira ana´loga, conclu´ımos que lim
x→infty
x2 − 4
x
= −∞.
No entanto, a igualdade x
2−4
x = x− 4x implica que o
lim
| x |→∞
(
x2 − 4
x
− x
)
= 0.
Este limite indica que, a` medida que x cresce em valor absoluto, os valores da func¸a˜o se aproximam cada vez mais
da reta y = x, portanto, essa reta e´ uma ass´ıntota inclinada ao gra´fico dessa func¸a˜o. (Veja Problema 9 do Cap. 6 ).
Observe a seguir o comportamento dessa func¸a˜o evidenciado pelo seu gra´fico trac¸ado em conjunto com o da func¸a˜o
y = x.
104 Cap. 7. Polinoˆmios e Func¸o˜es Racionais
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
Este comportamento e´ t´ıpico das func¸o˜es racionais cujo grau do numerador e´ maior do que o grau do denominador.
Quando o grau do numerador e´ uma unidade maior que o grau do denominador, a func¸a˜o racional tem uma ass´ıntota
inclinada. Para determinar a equac¸a˜o dessa ass´ıntota basta dividir o numerador pelo denominador, como fizemos no
exemplo anterior.
De um modo geral, dada uma func¸a˜o racional do tipo
f(x) =
n(x)
d(x)
,
se o grau de n(x) for maior ou igual ao grau de d(x), podemos dividir o numerador pelo denominador para obter
n(x) = d(x) q(x) + r(x), onde o grau do resto da divisa˜o r(x) e´ menor que o grau do divisor d(x). Assim, podemos
escrever
f(x) = q(x) +
r(x)
d(x)
.
Esta forma de exprimir a func¸a˜o e´ ideal para estudarmoso seu comportamento no infinito. Como o grau de d(x)
e´ maior do que o grau de r(x), temos que lim
| x |→∞
r(x)
d(x)
= 0, o que nos leva a concluir que
lim
| x |→∞
(f(x)− q(x)) = 0,
isto e´, a func¸a˜o f se comporta como a func¸a˜o q para grandes valores de x, em valor absoluto. Dizemos, neste caso,
que o gra´fico de f(x) e´ assinto´tico ao gra´fico de q(x). Em outras palavras, a` medida que x cresce em valor absoluto,
o gra´fico de y = f(x) se aproxima cada vez mais do gra´fico de y = g(x), sem nunca chegarem a se interceptar. Se o
gra´fico de q(x) for uma reta, dizemos que esta reta e´ uma ass´ıntota ao gra´fico de f. (Veja Problema 9 do Cap. 6 e
Projeto Ass´ıntotas e Outras Func¸o˜es Limitantes.)
Exerc´ıcio 2
Fac¸a a mesma ana´lise dos exemplos anteriores para as seguintes func¸o˜es:
1. y = xx2−4
2. y = x
2
x+1
3. y = x
2+1
x2−1
4. y = x
3−1
x
7.2.1 Comportamento no infinito de func¸o˜es racionais - Conclusa˜o
Os exemplos anteriores indicam que o comportamento de uma func¸a˜o racional f(x) = p(x)q(x) e´ determinado pelo com-
portamento do quociente dos monoˆmios de mais alto grau do numerador p(x) e do denominador q(x). Este fato pode
ser justificado em cada caso particular, como voceˆ viu nos exemplos acima, colocando-se em evideˆncia a parcela de
maior grau do numerador e do denominador. Assim, deixamos para voceˆ mostrar que, se p(x) = a0+a1 x+ . . .+an x
n
e q(x) = b0 + b1 x+ . . .+ bm x
m, tem-se:
1. Se n < m, enta˜o, lim
| x |→∞
p(x)
q(x)
= 0 .
2. Se n > m, enta˜o, lim
| x |→∞
p(x)
q(x)
pode ser +∞ ou −∞, dependendo dos sinais de an e bm.
3. Se n = m, enta˜o, lim
| x |→∞
p(x)
q(x)
=
an
bm
.
W.Bianchini, A.R.Santos 105
7.3 Atividades de laborato´rio
Utilizando o Maple e um computador, fac¸a as atividades propostas no arquivo lab3.mws da versa˜o eletroˆnica deste
texto.
7.4 Para voceˆ meditar: N-e´sima diferenc¸a
Considere o polinoˆmio y = x
2
2 − 3x+ 52 . Vamos calcular os seus valores para x = 0, 1, 2, 3 e 4 .
> f:=x->x^2/2-3*x+5/2;
f := x→ 1
2
x2 − 3x+ 5
2
> x[1]:=0;x[2]:=1;x[3]:=2;x[4]:=3;x[5]:=4;
x1 := 0
x2 := 1
x3 := 2
x4 := 3
x5 := 4
> for i from 1 to 5 do y[i]:=f(x[i]) od;
y1 :=
5
2
y2 := 0
y3 :=
−3
2
y4 := −2
y5 :=
−3
2
Vamos, agora, calcular as diferenc¸as entre dois valores consecutivos de y.
> for i from 1 to 4 do dif[i]:=y[i+1]-y[i] od;
dif 1 :=
−5
2
dif 2 :=
−3
2
dif 3 :=
−1
2
dif 4 :=
1
2
E´ fa´cil ver que os pontos (xi, dif i) esta˜o alinhados.
> plot([[x[1],dif[1]],[x[2],dif[2]],[x[3],dif[3]],[x[4],dif[4]]]);
–2.5
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
Isto indica que se formarmos as diferenc¸as das diferenc¸as obteremos constantes. De fato, temos:
> for i from 1 to 3 do dif2[i]:=dif[i+1]-dif[i] od;
dif2 1 := 1
106 Cap. 7. Polinoˆmios e Func¸o˜es Racionais
dif2 2 := 1
dif2 3 := 1
A diferenc¸a das diferenc¸as e´ chamada segunda diferenc¸a, e nesse exemplo e´ constante e igual a 1.
A questa˜o que surge e´ se isto ocorre por acaso ou se existe uma regra para as func¸o˜es quadra´ticas que garanta que
a sequ¨eˆncia formada pelas segundas diferenc¸as e´ uma constante.
1. Prove que, se os valores de x sa˜o igualmente espac¸ados, as primeiras diferenc¸as definem uma func¸a˜o linear e as
segundas diferenc¸as permanecem constantes.
2. Mostre que, para a func¸a˜o cu´bica f(x) = x3, se os valores de x sa˜o igualmente espac¸ados, as primeiras diferenc¸as
definem uma func¸a˜o quadra´tica de x, as segundas, uma func¸a˜o linear de x e as terceiras diferenc¸as sa˜o constantes.
3. Esta propriedade pode ser generalizada para um polinoˆmio de grau n?
Mais tarde voltaremos a este problema para mostrar como ele esta´ relacionado com o problema das retas tangentes
a uma curva.
7.5 Projetos
7.5.1 Ass´ıntotas e outras func¸o˜es limitantes
Vimos ao estudar as func¸o˜es racionais, que quando o grau do numerador e´ maior que o grau do denominador, a func¸a˜o
f(x) = p(x)q(x) na˜o tem nenhuma ass´ıntota horizontal, pois os valores da func¸a˜o crescem sem limite quando |x| → ∞.
No entanto, como vimos no Exemplo 4 , estas func¸o˜es podem apresentar ass´ıntotas inclinadas, isto e´, pode existir
uma reta y = ax + b tal que lim
| x |→∞
(f(x)− (ax + b)) = 0. Isto significa que, a` medida que os valores de x crescem, em
valor absoluto, os pontos do gra´fico da func¸a˜o f se aproximam cada vez mais do gra´fico da reta y = ax + b.
A questa˜o que se coloca agora e´ saber se existem outras func¸o˜es g(x), na˜o lineares, tais que lim
| x |→∞
(f(x)− g(x)) =
0. Nesse caso dizemos que o gra´fico da func¸a˜o g(x) e´ assinto´tico ao gra´fico da func¸a˜o f , ou que g determina o
comportamento assinto´tico de f .
O objetivo desse projeto e´ estudar o comportamento assinto´tico das func¸o˜es racionais determinando a equac¸a˜o da
func¸a˜o limitante.
1. Seja f(x) = x
3+5 x+8
x+3 .
(a) Determine a ass´ıntota vertical ao gra´fico dessa func¸a˜o.
(b) Existem ass´ıntotas horizontais?
(c) Escreva f(x) na forma f(x) = s(x) + r(x)q(x) e trace os gra´ficos de f(x) e s(x) na mesma janela para −10 ≤
x ≤ 10 e −10 ≤ y ≤ 100. O que voceˆ pode observar ?
(d) Prove que s(x) e´ uma ass´ıntota inclinada ao gra´fico de f .
2. Seja f(x) = 2 x
4+7 x+4
x+3 .
(a) Determine uma func¸a˜o g tal que lim
| x |→∞
(f(x)− g(x)) = 0.
(b) Trace na mesma janela os gra´ficos de g e de f .
3. Como e´ poss´ıvel reconhecer e determinar o comportamento assinto´tico de uma func¸a˜o racional?
4. Use a sua conclusa˜o para determinar a func¸a˜o limitante de f(x) = x
3−x2+6 x−2
2 x−2 e trace o gra´fico de f e de sua
func¸a˜o limitante na mesma janela.
5. Determine uma func¸a˜o f(x) que seja assinto´tica a q(x) = x + 1 e que tenha uma ass´ıntota vertical em x = 0.
Trace o gra´fico dessas duas func¸o˜es na mesma janela.
6. Determine uma func¸a˜o f(x) que seja assinto´tica a q(x) = x2 − 2x e tenha uma ass´ıntota vertical em x = 2.
Trace o gra´fico dessas duas func¸o˜es na mesma janela.
7. Determine as condic¸o˜es sobre uma func¸a˜o racional que garantam
(a) a existeˆncia de uma ass´ıntota inclinada.
(b) a existeˆncia de uma func¸a˜o assinto´tica na˜o linear.
(c) Deˆ exemplos de cada um dos casos.
W.Bianchini, A.R.Santos 107
7.5.2 Interpolac¸a˜o de Lagrange e ajuste de curvas
Nas atividades de laborato´rio aprendemos como utilizar o Maple para encontrar a equac¸a˜o do polinoˆmio que passa
por um certo conjunto de pontos. Como um polinoˆmio de grau n tem n+ 1 coeficientes, e´ necessa´rio conhecer, pelo
menos, n+ 1 pontos desse polinoˆmio para que possamos determinar a sua equac¸a˜o, isto e´, para determinar uma reta
precisamos conhecer dois de seus pontos, para determinar uma para´bola da forma y = a x2 + b x+ c sa˜o necessa´rios
treˆs pontos e assim por diante.
Nesse caso, para determinar os coeficientes do polinoˆmio, precisamos resolver um sistema linear de n+ 1 equac¸o˜es e
igual nu´mero de inco´gnitas. Se esse sistema for determinado, o problema esta´ resolvido. Entretanto, resolver sistemas
de equac¸o˜es e´ um processo muito caro computacionalmente, em termos de dispeˆndio de tempo e de memo´ria, por isso
outras abordagens sa˜o utilizadas.
O objetivo desse projeto e´ descrever a te´cnica chamada de Interpolac¸a˜o de Lagrange para resolver este problema.
Esta te´cnica foi desenvolvida por Joseph L. Lagrange (1736-1813), um dos primeiros matema´ticos a demonstrar o
Teorema do Valor Me´dio e um dos fundadores do Ca´lculo das Variac¸o˜es. A ide´ia e´ descrita a seguir.
Suponha que se deseja determinar o polinoˆmio de grau n que passa por n+ 1 pontos (xi, yi) dados. Para cada um
dos pontos xi e´ fa´cil construir um polinoˆmio pi tal que pi(xi) = yi e pi(xj) = 0 para todo j 6= i.
Esse polinoˆmio sera´ da forma pi(x) =
∏n+1
j=1 A (x− xj) , j 6= i onde a constante A e´ determinadapela condic¸a˜o
pi(xi) = yi. O polinoˆmio p =
n+1∑
i=1
pi(x) sera´ o polinoˆmio que procuramos. Os pontos usados nessa construc¸a˜o sa˜o
chamados de no´s. O exemplo a seguir ilustra essa te´cnica.
Problema : Determinar a para´bola que passa pelos pontos (1, 0.346), (2, 0.974) e (3, 0.141).
Primeiro vamos definir os valores dos pontos:
> valores_x:=[1,2,3]:
> valores_y:=[0.346,0.974,0.141]:
Qualquer polinoˆmio com zeros nos pontos x = 2 e x = 3 e´ mu´ltiplo de (x− 2)(x− 3). Assim temos:
> p[1]:=x->A[1]*(x-2)*(x-3);
p1 := x→ A1 (x− 2) (x− 3)
Para determinar o valor de A, usamos a condic¸a˜o p1(x1) = y1:
> A[1]:=solve(p[1](valores_x[1])=valores_y[1],A[1]);
A1 := .1730000000
Procedendo da mesma maneira para os outros pontos, obtemos:
> p[2]:=x->A[2]*(x-1)*(x-3);
p2 := x→ A2 (x− 1) (x− 3)
> A[2]:=solve(p[2](valores_x[2])=valores_y[2],A[2]);
A2 := −.9740000000
> p[3]:=x->A[3]*(x-1)*(x-2);
p3 := x→ A3 (x− 1) (x− 2)
> A[3]:=solve(p[3](valores_x[3])=valores_y[3],A[3]);
A3 := .07050000000
A para´bola que queremos e´ a soma dos treˆs polinoˆmios obtidos acima:
> p[1]:=A[1]*(x-2)*(x-3);
p1 := .1730000000 (x− 2) (x− 3)
> p[2]:=A[2]*(x-1)*(x-3);
p2 := −.9740000000 (x− 1) (x− 3)
> p[3]:=A[3]*(x-1)*(x-2);
p3 := .07050000000 (x− 1) (x− 2)
> Lagrange:=expand(sum(p[i],i=1..3));
Lagrange := −.7305000000x2 + 2.819500000x− 1.743000000
108 Cap. 7. Polinoˆmios e Func¸o˜es Racionais
Vamos verificar que este e´ o polinoˆmio que queremos:
> f:=unapply(Lagrange,x);
f := x→ −.7305000000x2 + 2.819500000x− 1.743000000
> f(1);
.346000000
> f(2);
.974000000
> f(3);
.141000000
1. Usando a Interpolac¸a˜o de Lagrange, ache a func¸a˜o polinomial de quarto grau determinada pelos pontos (−5, 1630),
(−2, 15), (0, 3), (3, 630) e (6, 7215).
2. O Maple faz interpolac¸o˜es automaticamente com o comando interp(valores x, valores y,x). Use esse comando
para conferir a resposta obtida para o item anterior.
Na verdade, as u´nicas func¸o˜es cujos valores sabemos calcular por meio de um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares
(adic¸o˜es, multiplicac¸o˜es e suas inversas) sa˜o os polinoˆmios, por isso eles sa˜o usados, em geral, para aproximar outras
func¸o˜es, tais como func¸o˜es trigonome´tricas e exponenciais, cujos valores na˜o podem ser calculados diretamente. Para
analisar como esse me´todo funciona, vamos comparar a func¸a˜o y = xx2+1 com diferentes interpolac¸o˜es por polinoˆmios.
Em primeiro lugar, vamos definir a func¸a˜o f :
> f:=x->x/(x^2+1);
f := x→ x
x2 + 1
A seguir, escolhemos os pontos que sera˜o os no´s da interpolac¸a˜o e calculamos o valor de f nesses pontos:
> valores_x:=[0,2,4];
valores x := [0, 2, 4]
> valores_y:=map(f,valores_x);
valores y := [0,
2
5
,
4
17
]
> L2:=interp(valores_x,valores_y,x);
L2 := − 6
85
x2 +
29
85
x
Vamos agora, comparar as duas func¸o˜es trac¸ando os seus gra´ficos na mesma janela:
> plot([f(x),L2],x=-1..5);
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
–1 1 2 3 4 5x
Aumentando o nu´mero de pontos havera´ mais valores onde a func¸a˜o f e a sua interpolac¸a˜o polinomial coincidira˜o:
> valores_x:=[0,1,2,3,4];
valores x := [0, 1, 2, 3, 4]
> valores_y:=map(f,valores_x);
valores y := [0,
1
2
,
2
5
,
3
10
,
4
17
]
W.Bianchini, A.R.Santos 109
> L4:=interp(valores_x,valores_y,x);
L4 := − 2
85
x4 +
41
170
x3 − 73
85
x2 +
97
85
x
> plot([f(x),L4],x=-1..5,y=-1..1,color=black);
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
–1 1 2 3 4 5x
Essa parece ser uma aproximac¸a˜o melhor para a func¸a˜o f definida acima?
Aumentando o nu´mero de pontos considerados na interpolac¸a˜o, podemos melhorar a aproximac¸a˜o produzida. Desta
vez, em vez de considerarmos os no´s igualmente espac¸ados, vamos aumentar o nu´mero de no´s, no intervalo onde a
func¸a˜o muda mais rapidamente:
> valores_x:=[0,0.3,0.6,1,1.3,1.6,2,3,4];
valores x := [0, .3, .6, 1, 1.3, 1.6, 2, 3, 4]
> valores_y:=map(f,valores_x);
valores y := [0, .2752293578, .4411764706,
1
2
, .4832713755, .4494382022,
2
5
,
3
10
,
4
17
]
> L8:=interp(valores_x,valores_y,x);
L8 := .005211224118x8 − .07569373843x7 + .4527348679x6 − 1.438481276x5
+ 2.562033154x4 − 2.306532380x3 + .3346833462x2 + .9660448014x
Veja o resultado obtido, graficamente:
> plot([f(x),L3],x=-1..5,y=-1..1);
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
–1 1 2 3 4 5x
1. Tendo em vista que a func¸a˜o f , definida acima, tem uma ass´ıntota horizontal, o que se pode esperar de uma
interpolac¸a˜o polinomial para essa func¸a˜o para grandes valores, positivos ou negativos, de x?
2. A u´ltima aproximac¸a˜o obtida e´ consideravelmente melhor que a anterior? Para responder a essa pergunta trace
va´rios gra´ficos da func¸a˜o y = |f(x)− Lk| para estimar o erro ma´ximo que cometemos no caso de aproximarmos
f por polinoˆmios de grau 2, 4, 8 e 12, respectivamente e conclua se L12 e´ uma aproximac¸a˜o significativamente
melhor que L7 ou L4. Essa medida para o erro e´ chamada norma do supremo.
3. Por meio desse processo, sempre e´ poss´ıvel obter uma boa aproximac¸a˜o para qualquer func¸a˜o sobre um intervalo
fixado. Escolha criteriosamente os no´s para obter uma aproximac¸a˜o polinomial para a func¸a˜o y = cos(2pi x),
com erro menor que 0, 01, no intervalo [0, 5]. Use a norma do supremo para estimar o erro cometido.