Cálculo 1 - capitulo 10 Teoremas e Propriedades Operatórias - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 10
Teoremas e Propriedades Operato´rias
Como vimos no cap´ıtulo anterior, mesmo que nossa habilidade no ca´lculo de limites seja bastante boa, utilizar direta-
mente a definic¸a˜o para calcular derivadas de func¸o˜es e´ uma tarefa um tanto quanto trabalhosa, que pode se transformar
num processo penoso e cansativo. Para evitar este tipo de transtorno, precisamos estabelecer regras gerais que permi-
tam, a partir de umas poucas derivadas conhecidas, derivar qualquer func¸a˜o que possa ser obtida, a partir daquelas
outras, por meio de operac¸o˜es elementares, isto e´, adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o por constante, multiplicac¸a˜o e divisa˜o. Este e´
o objetivo das regras que iremos ver a seguir, que, uma vez demonstradas, transformam o processo de derivar func¸o˜es
em simples manipulac¸o˜es alge´bricas, o que torna esta tarefa menos penosa e ate´ mesmo fa´cil e agrada´vel.
10.1 Regras de derivac¸a˜o
10.1.1 Derivada de uma func¸a˜o constante
Teorema 1
Se f(x) = c, para todo x do seu domı´nio, enta˜o f e´ deriva´vel e f ′(x) = 0 para todo x do domı´nio de f.
Esta primeira regra de derivac¸a˜o diz que a derivada de uma func¸a˜o constante e´ identicamente igual a zero. Este
resultado se torna o´bvio se lembrarmos que a derivada de uma func¸a˜o pode ser interpretada como a declividade da
reta tangente ao seu gra´fico em cada ponto. O gra´fico de uma func¸a˜o constante e´ uma reta horizontal, que e´ sua
pro´pria tangente, cujo coeficiente angular e´ igual a zero em qualquer um de seus pontos. Veja a figura, onde tomamos
a func¸a˜o f(x) = c = 2:
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
–4 –2 0 2 4x
Observe que o quociente f(x)−f(x0)x−x0 =
c−c
x−x0 = 0, para x 6= x0. Veja que o Maple calcula este quociente corretamente:
> f:=x->c;
f := x→ c
> quoc:=(f(x)-f(x[0]))/(x-x[0]);
quoc := 0
Como a raza˜o incremental acima e´ zero, conclu´ımos que:
f ′(x) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = 0.
10.1.2 Derivada de uma constante vezes uma func¸a˜o
Seja f uma func¸a˜o deriva´vel e c uma constante qualquer. Defina g como o produto de c por f , isto e´,
g(x ) = (cf )(x ) = cf (x ).
143
144 Cap. 10. Teoremas e Propriedades Operato´rias
Podemos, agora, enunciar a segunda regra de derivac¸a˜o, dada pelo teorema a seguir.
Teorema 2
Seja g = c f . Se f e´ uma func¸a˜o deriva´vel enta˜o, g e´ deriva´vel e
g′(x) = cf ′(x).
Demonstrac¸a˜o
g(x+∆x)− g(x)
∆x
=
c f(x+∆x)− c f(x)
∆x
= c
(
(f(x+∆x)− f(x))
∆x
)
.
Assim, como por hipo´tese f e´ deriva´vel, segue que lim
∆ x→0
g(x+∆x)− g(x)
∆x
existe e, portanto, g e´ deriva´vel. Ale´m
disso, usando a definic¸a˜o de derivada e os ca´lculos acima,
g′(x) = lim
∆ x→0
g(x+∆x)− g(x)
∆x
= lim
∆ x→0
(c f)(x+∆x)− (c f)(x)
∆x
= lim
∆ x→0
c f(x+∆x)− c f(x)
∆x
= c ( lim
∆ x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
) = c f ′(x)
Simbolicamente, escrevemos simplesmente
(cf)′ = c f ′.
Exemplo
A func¸a˜o g(x ) = 5x pode ser vista como o produto da constante 5 pela func¸a˜o f (x ) = x. Assim, a derivada
g′(x) = (5x)′ = 5 (x)′ = 5.
10.1.3 Derivada da soma
Teorema 3: A regra da soma
Seja h a func¸a˜o definida como a soma de duas func¸o˜es deriva´veis f e g, isto e´,
h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x).
Enta˜o h e´ deriva´vel e,
h′(x) = (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x).
Demonstrac¸a˜o Como h(x) = f(x) + g(x), enta˜o:
h(x+∆x)− h(x)
∆x
=
(f + g) (x+∆x)− f + g(x)
∆x
= (
f(x+∆x)− f(x)
∆x
+
g(x+∆x)− g(x)
∆x
)
Assim, como f e g, por hipo´tese, sa˜o deriva´veis, existe o limite de cada uma das parcelas do lado direito da
expressa˜o acima. Logo, pela linearidade do limite (o limite da soma e´ igual a soma dos limites), a func¸a˜o h e´ deriva´vel
e segue, imediatamente, que:
h′(x) = (f + g)′(x) lim
∆ x→0
(f + g)(x+∆x)− (f + g)(x)
∆x
= lim
∆ x→0
(
f(x+∆x)− f(x)
∆x
+
g(x+∆x)− g(x)
∆x
)
= ( lim
∆ x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
) + ( lim
∆ x→0
g(x+∆x)− g(x)
∆x
) = f ′(x) + g′(x)
Quando na˜o ha´ du´vida sobre a varia´vel que estamos considerando nas derivadas, simplesmente escrevemos
(f + g)′ = f ′ + g′
ou seja, a derivada da soma de duas func¸o˜es e´ a soma das derivadas.
Usando a notac¸a˜o de Leibniz, podemos escrever esta regra como
d (f + g)
dx
=
df
dx
+
dg
dx
Observac¸a˜o Podemos aplicar a regra da soma, repetidamente, para achar a derivada da soma de treˆs ou mais
func¸o˜es deriva´veis. Por exemplo,
(f + g + h)′ = (f + g)′ + h′ = f ′ + g′ + h′.
As duas regras anteriores teˆm como consequ¨eˆncia imediata os corola´rios a seguir:
W.Bianchini, A.R.Santos 145
Corola´rio 1: Derivada de uma combinac¸a˜o linear
Se f e g sa˜o duas func¸o˜es deriva´veis e a e b sa˜o dois nu´meros reais fixos, enta˜o a func¸a˜o h = af + bg e´ deriva´vel e
h′ = (a f + b g)′ = a f ′ + b g′
Observac¸a˜o Se a e b sa˜o dois nu´meros reais quaisquer, a expressa˜o a f + b g e´ denominada uma combinac¸a˜o
linear de f e g .
Corola´rio 2: Derivada de um polinoˆmio
Para n inteiro positivo, ja´ vimos que (xn)′ = nxn−1. Aplicando este resultado e as regras obtidas acima ao polinoˆmio
p(x) = a0 + a1 x+ a2 x
2 + . . .+ an x
n,
obtemos imediatamente que
p′(x) = a1 + 2 a2 x+ . . .+ nan x(n−1)
Com este resultado fica muito fa´cil determinar a equac¸a˜o de uma reta tangente ao gra´fico de um polinoˆmio.
Exerc´ıcio 1 Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 5x3 − 3x2 + 10 no ponto (1, 12).
10.1.4 Derivada do produto
Seria natural pensarmos, tendo em vista a regra da soma para derivadas, que a derivada do produto de duas func¸o˜es
deriva´veis seria o produto das suas derivadas. Sera´ esta afirmac¸a˜o verdadeira? Considere, por exemplo, a func¸a˜o
f(x) = x2 = xx. Se, por um lado, (x2)′ = 2x, por outro x′ = 1. O que nos leva, no caso da afirmac¸a˜o acima ser
verdadeira, a concluir que 2x = 1!
O exemplo acima nos mostra que, de um modo geral, a derivada de um produto na˜o e´ o produto das derivadas.
Para descobrir qual e´ a regra que nos fornece a derivada que estamos procurando calcular, e´ preciso observar, com um
pouco mais de atenc¸a˜o, a raza˜o incremental da definic¸a˜o de derivada para o produto de duas func¸o˜es
(f g)(x+∆x)− (f g)(x)
∆x
=
f(x+∆x) g(x+∆x)− f(x) g(x)
∆x
e, a partir desta observac¸a˜o, tentar, de alguma maneira, relacionar esta expressa˜o com as derivadas de f e g. A
interpretac¸a˜o geome´trica do numerador como a´reas de retaˆngulos nos da´ uma pista de como isto pode ser feito:
III II
I
∆g(x+ x)
g(x)
∆f(x+ x)f(x)
A a´rea do retaˆngulo maior, formado pelos quatro menores, representa o produto f(x+∆x) g(x+∆x) e a a´rea do
retaˆngulo escuro, o produto de f(x) g(x). A diferenc¸a entre esses dois fatores e´ a soma das a´reas dos retaˆngulos I, II
e III, isto e´,
(f(x+∆x)− f(x)) g(x) + (f(x+∆x)− f(x)) (g(x+∆x)− g(x)) + f(x) (g(x+∆x)− g(x)).
Assim, podemos escrever a raza˜o incremental da derivada f g como:
f(x+∆x) g(x+∆x)− f(x) g(x)
∆x
=
(
f(x+∆x)− f(x)
∆x
)
g(x) + f(x)
(
g(x+∆x)− g(x)
∆x
)
+
+
(f(x+∆x)− f(x)) (g(x+∆x)− g(x))
∆x
146 Cap. 10. Teoremas e Propriedades Operato´rias
Como f e g sa˜o deriva´veis, existe o limite das duas primeiras parcelas do lado direito da expressa˜o acima. Ale´m
disso, como g e´ deriva´vel, enta˜o e´ cont´ınua (veja Diferenciabilidade e continuidade) e, portanto, lim
∆ x→0
g(x +∆x) =
g(x). Logo, supondo f e g deriva´veis, podemos concluir que o limite da terceira parcela da expressa˜o anterior tambe´m
existe, pois
lim
∆ x→0
(f(x+∆x)− f(x)) (g(x+∆x)− g(x))
∆x
=
(
lim
∆ x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
)
lim
∆ x→0
(g(x+∆x)−g(x)) = f ′(x) 0 = 0
Da´ı, conclu´ımos que
lim
∆ x→0
h(x+∆x)− h(x)
∆x
= lim
∆ x→0
f(x+∆x) g(x+∆x)− f(x) g(x)
∆x
existe e, portanto, h e´ deriva´vel. Calculando este limite temos que:
h′(x) = (f g)′(x) = lim
∆ x→0(f g)(x+∆x)− (f g)(x)
∆x
=
(
lim
∆ x→0
(f(x+∆x)− f(x)]
∆x
)
g(x) + f(x)
(
lim
∆ x→0
g(x+∆x)− g(x)
∆x
)
+ lim
∆ x→0
(f(x+∆x)− f(x)) (g(x+∆x)− g(x))
∆x
Como vimos, o limite da terceira parcela desta u´ltima expressa˜o e´ zero e, da´ı temos a fo´rmula
h′(x) = (f g)′(x) = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x).
Se na˜o houver possibilidade de du´vidas sobre qual e´ a varia´vel independente, podemos escrever simplesmente
(f g)′ = f ′ g + f g′.
Demonstramos, portanto, o seguinte teorema:
Teorema 4: Regra do produto
Se f e g sa˜o duas func¸o˜es deriva´veis, enta˜o h = f g e´ deriva´vel e
(f g)′(x) = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x).
Usando a notac¸a˜o de Leibniz, este resultado pode ser escrito da seguinte maneira
d (fg)
dx
=
(
df
dx
)
g + f
(
dg
dx
)
Observac¸a˜o Podemos aplicar a regra do produto, repetidamente, para achar a derivada do produto de treˆs ou
mais func¸o˜es deriva´veis. Por exemplo,
(f g h)′ = (f g)′ h+ (f g)h′ = (f ′ g + f g′)h+ f g h′ = f ′ g h+ f g′ h+ f g h′.
Exemplo
Calcule a derivada de f(x) = (20x5 − 3x4 + x3 + 4x2) (x7 − 8x5).
Soluc¸a˜o Podemos, primeiro, efetuar a multiplicac¸a˜o e depois derivar ou usar a regra do produto.
Usando a regra do produto, temos:
f ′(x) = ((20x5 − 3x4 + x3 + 4x2) (x7 − 8x5))′ =
= (20x5 − 3x4 + x3 + 4x2)′ (x7 − 8x5) + (20x5 − 3x4 + x3 + 4x2) (x7 − 8x5)′ =
= (100x4 − 12x3 + 3x2 + 8x) (x7 − 8x5) + (20x5 − 3x4 + x3 + 4x2) (7x6 − 40x4)
A regra do produto pode ser aplicada para determinarmos a derivada da poteˆncia de uma func¸a˜o. Este resultado
e´ estabelecido no corola´rio a seguir.
W.Bianchini, A.R.Santos 147
Corola´rio 3: Regra da poteˆncia generalizada (para n inteiro positivo)
Seja n um inteiro positivo, se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel, enta˜o
(fn)′(x) = n fn−1(x) f ′(x),
onde, como usualmente, por fn estamos denotando o produto de n fatores iguais a f.
Para demonstrar este corola´rio basta aplicar a regra da derivada, deduzida nesta sec¸a˜o, ao produto de n fatores
iguais a f.
Exemplo
Seja g(x) = (x3 − 17x+ 35)2. Vamos aplicar as regras de derivac¸a˜o ja´ estabelecidas para calcular g′(x).
Como g(x) = (f(x))n, onde f(x) = x3 − 17x + 35, pelo Corola´rio 3 , temos que g′(x) = 2 (x3 − 17x + 35) f ′(x).
Pelas regras da soma, da poteˆncia e da multiplicac¸a˜o por constante, sabemos que f ′(x) = 3x2 − 17.
Assim, g′(x) = 2(x3 − 17x+ 35) (3x2 − 17).
Exerc´ıcio 2
1. Mostre que e´ obtido o mesmo resultado se efetuarmos primeiro a operac¸a˜o (x3 − 17x+ 35)2 e depois derivarmos
a expressa˜o resultante.
2. Derive a func¸a˜o g(x) = (x4 − 2x3 + 18x2 + 14)100.
10.1.5 Derivada do quociente
Da mesma forma que na regra do produto, a derivada do quociente de duas func¸o˜es na˜o e´ o quociente das derivadas.
(Voceˆ consegue dar um exemplo que mostre a veracidade desta afirmac¸a˜o?). A regra do quociente e´ estabelecida no
teorema abaixo:
Teorema: Regra do quociente
Se f e g sa˜o duas func¸o˜es deriva´veis e g(x) 6= 0, enta˜o h(x) = (f
g
)(x) =
f(x)
g(x)
e´ deriva´vel e
h′(x) =
f ′(x) g(x)− f(x) g′(x)
(g(x))
2
Demonstrac¸a˜o
O numerador da raza˜o incremental apresenta a mesma dificuldade que apareceu no estudo da regra do produto. A
soluc¸a˜o e´ fazer o que fizemos naquele caso, ou seja, somar e subtrair determinados termos. Assim,
f(x+∆ x)
g(x+∆ x) − f(x)g(x)
∆x
=
f(x+∆x) g(x)− f(x) g(x+∆x)
∆x (g(x+∆x) g(x))
=
f(x+∆x) g(x)− f(x) g(x) + f(x) g(x)− f(x) g(x+∆x)
∆x (g(x+∆x) g(x))
=
(
f(x+∆x)− f(x)
∆x
) (
g(x)
g(x+∆x) g(x)
)
−
(
f(x)
g(x+∆x) g(x)
) (
g(x+∆x)− g(x)
∆x
)
Por hipo´tese f e g sa˜o deriva´veis e, observando que g e´ cont´ınua (por queˆ?), temos tambe´m que lim
∆ x→0
g(x+∆x) =
g(x). Logo o limite lim
∆ x→0
f(x+∆ x)
g(x+∆ x) − f(x)g(x)
∆x
existe e, consequ¨entemente, h e´ deriva´vel e
h′(x) = lim
∆ x→0
f(x+∆ x)
g(x+∆ x) − f(x)g(x)
∆x
= lim
∆ x→0
f(x+∆x) g(x)− f(x) g(x+∆x)
∆x (g(x+∆x) g(x))
= lim
∆ x→0
f(x+∆x) g(x)− f(x) g(x) + f(x) g(x)− f(x) g(x+∆x)
∆x (g(x+∆x) g(x))
148 Cap. 10. Teoremas e Propriedades Operato´rias
=
( lim
∆ x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
) g(x)− f(x) ( lim
∆ x→0
g(x+∆x)− g(x)
∆x
)
( lim
∆ x→0
g(x+∆x)) g(x)
=
f ′(x) g(x)− f(x) g′(x)
(g(x))
2
Usando a notac¸a˜o de Leibniz, podemos escrever esta regra como:
d
d x
(
f
g
)
=
(
d f
d x
)
g − f
(
d g
d,x
)
g2
.
Exemplo
Calcule a derivada de f(x) = 2−x
2
3+x3 .
Soluc¸a˜o
f ′(x) =
(2− x2)′ (3 + x3)− (2− x2) (3 + x3)′
(3 + x3)2
=
−2 (3 + x2)− (2− x2) 3x3
(3 + x3)2
.
Em particular, a regra do quociente nos permite obter os dois resultados expressos nos corola´rios abaixo.
Corola´rio 4: Derivada da rec´ıproca de uma func¸a˜o
Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel em x e f(x) 6= 0, enta˜o, a func¸a˜o g = 1f e´ diferencia´vel e
g′ =
(
1
f
)′
= − f
′
f2
.
Exerc´ıcio
Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 1√
x (b) f(x) =
1
x2
Corola´rio 5: Regra da poteˆncia para n inteiro qualquer
Se n e´ um nu´mero inteiro, enta˜o (xn)′ = nx(n−1).
Ja´ vimos como, consequ¨eˆncia direta da definic¸a˜o de derivada, que se n e´ um inteiro positivo enta˜o (xn)′ = nx(n−1).
- Utilizando o corola´rio anterior, prove que esta regra vale para n inteiro negativo.
- Se n = 0, como e´ poss´ıvel interpretar este corola´rio?
10.2 Exerc´ıcios adicionais
1. Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = (2x2 + 1) ( 1x2 + 4x+ 8)
(b) f(x) = (x3 + x2)
5
(x4 − 99)
(c) g(x) = 17 x+27
(d) g(x) = 2
√
x+x4
(x+1) x3
(e) f(x) = [x
3+1
x3+3 ] (x
2 − 2x−1 + 1)
(f) g(x) = 1+6 x+x
− 1
2
7 x−2
(g) y = x3 (x2 + 1) (x+ 1)
(h) y = (x5 + 1x ) (x
5 + 1)
(i) f(s) =
√
3 (s3 − s2)
(j) h(y) =
√
y−y− 12
y2
2. Ache uma func¸a˜o de x cuja derivada seja a func¸a˜o dada a seguir:
(a) f(x) = 3x2
(b) f(x) = 4x3 + 3x2
(c) f(x) = 3x2 + 2x− 5
(d) f(x) = − 1x2
(e) f(x) = an x
n + an−1 x(n−1) + . . .+ a0
W.Bianchini, A.R.Santos 149
(f) Nos ı´tens anteriores, ache outra func¸a˜o de x cuja derivada seja a func¸a˜o dada.
3. Calcule as quatro primeiras derivadas de:
(a) y = 8x− 3
(b) f(x) = 8x2 − 11x+ 2
(c) g(x) = 8x3 + 7x2 − x+ 9
(d) h(x) = x4 − 13x3 + 5x2 + 3x− 2
(e) y(x) = x(
5
2 )
4. Calcule a derivada indicada em cada caso:
(a) y′′ se y = x1−x
(b) y′′ se y = x2 − 1x2
(c) ∂
2
∂x2
1−x
1+x
(d)
d2 (x3+ 1
x3
)
dx2
(e) d
500 f(x)
dx500
, onde f(x) = x131 − 3x79 + 4
5. Determine uma fo´rmula geral para y(n), em cada caso:
(a) y = 11−x (b) y =
1
1+3 x (c) y =
x
1+x
6. Ache todas as derivadas na˜o nulas de f(x) = x6 − 2x4 + 3x3 − x+ 2
10.3 Problemas
1. Se f(x) = x−1x+1 , para x 6= −1, calcule f ′(1) e f ′′(1).
2. Sejam f e g duas func¸o˜es diferencia´veis cujos valores e os de suas derivadas nos pontos x = 1 e x = 2 sa˜o dados
na tabela abaixo.
x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)
1 3 2 5 4
2 2 pi 6 7
Determine o valor da derivada de:
(a) f + g em x = 2
(b) f g em x = 1 e em x = 2
(c) fg em x = 1
(d) gf em x = 2
(e) 4 f em x = 1
(f) g2 em x = 2
3. Sejam f e g as func¸o˜es cujos gra´ficos sa˜o mostrados abaixo e seja u(x) = f(x) g(x) e v(x) = f(x)g(x) .
(a) Calcule u′(1) (b) Calcule v′(6)
f
g
0
1
2
3
4
–2 2 4 6x
4. (a) Se f + g e´ deriva´vel em x0, f e g sa˜o necessariamente deriva´veis em x0?
(b) Se f g e f sa˜o deriva´veis em x0, que condic¸o˜es f deve satisfazer para que se possa garantir que g seja
diferencia´vel em x0?
5. Sejam g e h func¸o˜es diferencia´veis, definidas em toda a reta e que satisfazem as seguintes propriedades:
(i) g(x)2 + h(x)2 = 1 (ii) g′(x) = h(x)2 (iii) h(x) > 0, em todo o seu domı´nio.
Prove que h′(x) = −g(x)h(x).
150 Cap. 10. Teoremas e Propriedades Operato´rias
6. Mostre que astangentes a`s curvas y = x
2+45
x2 e y =
x2−4
x2+1 em x = 3 sa˜o perpendiculares entre si.
7. (a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o g(x) =
∣∣x2 − 4∣∣− ∣∣x2 − 9∣∣.
(b) Calcule g′(x) e explicite o seu domı´nio.
8. A seguir trac¸amos, em conjunto, o gra´fico da func¸a˜o y = x
n
1+x2 e da sua derivada, para n = 0, 1, 2 e 3.
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–4 –2 2 4x
n=0
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–4 –2 2 4x
n=1
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
–4 –2 2 4x
n=2
–4
–2
0
2
4
–4 –2 2 4x
n=3
(a) Identifique, em cada caso, qual o gra´fico da func¸a˜o e qual o gra´fico da sua derivada.
(b) Mostre que, para n = 0 e n = 2, existe um u´nico ponto no gra´fico da curva y = f(x) onde a reta tangente
e´ horizontal.
(c) Mostre que, para n = 1, ha´ dois pontos no gra´fico da curva y = f(x) em que a reta tangente e´ horizontal.
(d) Mostre que, para 3 ≤ n, (0, 0) e´ o u´nico ponto no gra´fico da curva y = xn1+x2 em que a reta tangente e´
horizontal.
(e) Parece haver dois pontos no gra´fico da curva y = x
3
1+x2 , em que a reta tangente tem coeficiente angular igual
a 1. Determine estes pontos.
(f) Seja y = x
3
1+x2 . Parece haver treˆs pontos no gra´fico da curva y = f
′(x) em que a reta tangente e´ horizontal.
Determine estes pontos.
9. (a) Se f(x) = 1x , obtenha uma fo´rmula para f
(n)(x), onde n e´ um inteiro positivo. Quanto vale f (n)(1) ?
(b) Se f(x) =
√
x, obtenha uma fo´rmula para f (n)(x), onde n e´ um inteiro positivo.
(c) Se f(x) e´ um polinoˆmio de grau n, mostre que, se n < k, f (k)(x) = 0.
10. (a) Se f(x) = 1x2+x , tente achar uma fo´rmula para f
(n)(x).
(Voceˆ deve se convencer de que, desta maneira, os ca´lculos sa˜o por demais trabalhosos tornando esta tarefa
quase imposs´ıvel! )
(b) Use a identidade 1x (x+1) =
1
x− 1x+1 para calcular as derivadas mais facilmente e, enta˜o, achar uma expressa˜o
para f (n)(x).
Observac¸a˜o: Este me´todo de dividir uma frac¸a˜o em frac¸o˜es mais simples e´ denominado decomposic¸a˜o em
frac¸o˜es parciais e sera´ visto em detalhes no Cap´ıtulo Te´cnicas de Integrac¸a˜o.
11. (a) Obtenha um polinoˆmio f(x) de grau 2, tal que f(0) = 5, f ′(0) = 3, f ′′(0) = −4.
(b) Obtenha um polinoˆmio f(x) de grau 2, tal que f(1) = 5, f ′(1) = 3, f ′′(1) = −4.
12. Sabendo que (1 + x)n e´ um polinoˆmio de grau n, isto e´,
(1 + x)n = a0 + a1 x+ a2 x
2 + . . .+ an x
n
prove a fo´rmula do Binoˆmio de Newton.
Sugesta˜o: Derive sucessivamente ambos os membros da equac¸a˜o acima e calcule o valor dos coeficientes fazendo
x = 0, em cada uma das expresso˜es encontradas.
W.Bianchini, A.R.Santos 151
13. Seja P (x) = (x− r) (x− s).
(a) Mostre que se r 6= s, enta˜o P (r) = P (s) = 0, mas P ′(r) 6= 0 e P ′(s) 6= 0.
(b) Mostre que se r = s , enta˜o P (r) = 0 e P ′(r) = 0
Observac¸a˜o: Os nu´meros r e s, soluc¸o˜es da equac¸a˜o P (x) = 0, sa˜o chamados ra´ızes do polinoˆmio P . Se r = s,
enta˜o r e´ uma raiz dupla. O problema acima mostra que r e´ uma raiz dupla se, e somente se, P (r) = 0 e
P ′(r) = 0. Assim, em um ponto que e´ raiz dupla, o gra´fico de P e´ tangente ao eixo dos x (Por queˆ?).
14. Considere o polinoˆmio P(x) = (x− r1) (x− r2) . . . (x− rm), onde r1, r2...rm sa˜o nu´meros reais chamados ra´ızes
de P .
(a) Mostre que se na˜o ha´ ra´ızes iguais, enta˜o P(rj) = 0 mas P
′(rj) 6= 0, para cada j.
(b) Mostre que se rj = rk e k 6= j, enta˜o P ′(rj) = 0 e (x− rj) e´ um fator tanto de P quanto de P ′.
10.4 Para voceˆ meditar: Uma “demonstrac¸a˜o” mais simples da regra
do quociente - o que esta´ faltando?
Usando a regra do produto, “demonstramos” a seguir a regra do quociente:
Sejam f e g duas func¸o˜es diferencia´veis e seja h =
f
g
, definida nos pontos onde g 6= 0. Enta˜o f = h g e, aplicando
a regra do produto a` func¸a˜o f, temos que:
f ′ = h′ g + h g′
Da´ı, obtemos:
h′ =
f ′ − h g′
g
.
Substituindo o valor de h nesta u´ltima expressa˜o, vem que
h′ =
f ′ − fg g′
g
=
f ′
g
− f g
′
g2
=
=
f ′ g − f g′
g2
o que demonstra a regra do quociente.
Voceˆ e´ capaz de descobrir o “erro” na demonstrac¸a˜o dada acima? Em outras palavras, se todos os algebrismos
aplicados na “demonstrac¸a˜o” acima esta˜o corretos, voceˆ e´ capaz de explicar por que o racioc´ınio acima na˜o demonstra
a regra do quociente?