Cálculo 1 - capitulo 21 Introdução à Integral Cálculo de Áreas e Integrais Definidas - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 21
Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e
Integrais Definidas
21.1 Introduc¸a˜o
Os dois conceitos principais do ca´lculo sa˜o desenvolvidos a partir de ide´ias geome´tricas relativas a curvas. A derivada
prove´m da construc¸a˜o das tangentes a uma dada curva. O assunto deste e dos pro´ximos cap´ıtulos, a integral, tem
origem no ca´lculo de a´rea de uma regia˜o curva.
Como vimos no in´ıcio deste livro, o problema de calcular a´reas ja´ despertava, por suas aplicac¸o˜es pra´ticas, grande
interesse nos gregos da Antiguidade. Apesar de va´rias fo´rmulas para o ca´lculo de a´reas de figuras planas serem
conhecidas desde esta e´poca, e ate´ mesmo problemas do ca´lculo de a´reas de regio˜es limitadas por segmentos de retas
e algumas curvas, como a para´bola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, ate´ o se´culo XVII,
quando foram estabelecidos os fundamentos do Ca´lculo Diferencial e Integral como uma teoria matema´tica digna de
cre´dito, na˜o se conhecia nenhuma fo´rmula ou me´todo geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular
a´reas de regio˜es limitadas por curvas quaisquer.
Nos meados do se´culo XVII, va´rios estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seus
trabalhos o me´todo da exausta˜o, empregado por Arquimedes no ca´lculo de a´reas de segmentos parabo´licos (veja o
projeto Arquimedes e a Quadratura da Para´bola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este me´todo estava
relacionado com o Ca´lculo Diferencial. Este importante resultado e´ denominado teorema fundamental do ca´lculo e e´
um dos resultados mais importantes de toda a matema´tica.
Como vimos, a derivada tem aplicac¸o˜es que transcendem a sua origem geome´trica. Nos pro´ximos cap´ıtulos, veremos
que o mesmo acontece com a integral.
A fim de tornar clara a discussa˜o sobre a´reas, vamos introduzir na pro´xima sec¸a˜o uma notac¸a˜o matema´tica padra˜o
usada para abreviar somas que envolvem um nu´mero muito grande de parcelas.
21.2 A notac¸a˜o de somato´rio: uma abreviac¸a˜o para somas
As somas dos n primeiros termos de uma uma progressa˜o geome´trica (PG) de raza˜o r, bem como de uma progressa˜o
aritme´tica (PA) de raza˜o d, podem ser escritas, respectivamente como:
Sn = a+ ar + ar
2 + ar3 + . . .+ ar (n−1)
Tn = a+ (a+ d) + (a+ 2 d) + . . .+ (a+ (n− 1) d)
Existe uma notac¸a˜o abreviada para escrever somas desse tipo, que ale´m de tornar mais fa´cil escreveˆ-las, facilita
enormemente va´rias manipulac¸o˜es alge´bricas. Considere, por exemplo, a soma Sn = a1 + a2 + a3 +.... + an. Podemos
escreveˆ-la usando a notac¸a˜o abaixo:
Sn =
n∑
i=1
ai
(Leˆ-se: somato´rio de ai para i variando de 1 ate´ n.) Essa notac¸a˜o significa que devemos substituir todos os valores
inteiros de i, de 1 ate´ n, na expressa˜o envolvendo i, no caso ai, que segue o sinal de somato´rio Σ e enta˜o adicionar os
resultados.
Note que a fo´rmula depois do sinal de somato´rio fornece o i-e´simo termo da soma; para i = 1 temos o primeiro,
para i = 2 o segundo e, assim por diante. Assim, as somas acima das progresso˜es geome´trica e aritme´tica podem ser
reescritas como
Sn =
n∑
i=1
ar (i−1) e Tn =
n−1∑
i=0
(a+ id)
277
278 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
Uma soma infinita de termos pode ser representada assim
a1 + a2 + a3 + . . . =
∞∑
i=1
Logo, a soma dos termos de uma PG infinita de raza˜o r e´ assim representada
a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ ar (n−1) + . . . =
∞∑
i=1
ar (i−1)
Exemplo 1 Considere a soma Rn = 1
2 + 22 + 32 + . . . + n2. Usando a notac¸a˜o de somato´rio, podemos escrever
Rn =
n∑
i=1
i2.
Exemplo 2 Considere a soma
5∑
i=2
(i2 − 1). Escrevendo por extenso essa soma, obtemos:
5∑
i=2
(i2 − 1) = 22 − 1 + 32 − 1 + 42 − 1 + 52 − 1 = 22 + 32 + 42 + 52 − 4 = 50.
Exerc´ıcios
1. Converta cada uma das somas indicadas em notac¸a˜o de somato´rio:
(a) 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 + (n+ 1)2
(b) 32 + 42 + . . .+ k2
(c) k2 + (k + 1)2 + (k + 2)2 + . . .+ (n− 1)2
(d) 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− . . .
2. Escreva por extenso cada uma das somas abaixo :
(a)
5∑
i=3
(bi + 2 ci) (b)
n∑
i=m
i7
3. Com a expressa˜o 0, 99999 . . . queremos representar a soma 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . .. Escreva essa soma usando
a notac¸a˜o de somato´rio.
4. E´ verdade que:
(a)
n∑
i=1
kai = k (
n∑
i=1
ai)? Justifique sua resposta.
(b)
n∑
i=1
(
hi
n
)2
h
n
=
h3
n3
n∑
i=1
i2? Justifique sua resposta.
21.3 O ca´lculo de a´reas como limites
Em geral, a definic¸a˜o formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes dificuldades. Por exemplo, tivemos grandes
dificuldades ao tentarmos formalizar uma definic¸a˜o para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. A
formalizac¸a˜o do conceito de a´rea apresenta dificuldades semelhantes.
Em geometria elementar, sa˜o deduzidas fo´rmulas para a´reas de muitas figuras planas, mas se pararmos para
pensar um pouco, chegaremos a` conclusa˜o de que uma definic¸a˜o, matematicamente aceita´vel de a´rea, raramente nos
e´ fornecida.
A a´rea de uma regia˜o e´ definida, a`s vezes, como o nu´mero de quadrados de lados de comprimento um que “cabem”
numa dada regia˜o. Desse modo, obtivemos fo´rmulas para a´reas de figuras planas tais como quadrados, retaˆngulos,
triaˆngulos, trape´zios, etc. Basta, no entanto que a regia˜o seja um pouco mais complicada para que esta definic¸a˜o
se mostre inadequada. Como poder´ıamos calcular, por exemplo, o nu´mero de quadrados de lado 1, ou 12 , ou
1
4 , que
cabem em um c´ırculo unita´rio?
Neste cap´ıtulo, tentaremos definir a´reas de regio˜es com fronteiras curvas. A maior parte do nosso trabalho se
concentrara´ num caso particular desse problema geral. Mais especificamente, tentaremos achar a a´rea de uma regia˜o
limitada pelo gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como mostra a
figura para a func¸a˜o y = x2.
W.Bianchini, A.R.Santos 279
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
O conhecimento de um me´todo de resoluc¸a˜o deste problema particular e´ suficiente para tratar regio˜es mais com-
plicadas. O ca´lculo da a´rea de uma regia˜o cuja fronteira seja uma curva pode, com frequ¨eˆncia, ser reduzido a este
problema mais simples.
No Cap. 3 vimos que soluc¸o˜es aproximadas deste problema podem ser obtidas dividindo-se o intervalo [0, 1] em
subintervalos e calculando-se a soma das a´reas de retaˆngulos inscritos ou circunscritos a` figura, como e´ mostrado a
seguir.
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
A` medida em que aumentamos o nu´mero de subdiviso˜es do intervalo e, consequ¨entemente, o nu´mero de retaˆngulos
considerados, a soma das a´reas desses retaˆngulos se aproxima cada vez mais da a´rea da regia˜o dada. Veja esta afirmac¸a˜o
ilustrada na figura seguinte a` esquerda, onde consideramos retaˆngulos inscritos. Observe, tambe´m, a figura a` direita,
considerando retaˆngulos circunscritos. (Execute na versa˜o eletroˆnica as animac¸o˜es correspondentes.)
2.087962964
x
2.209490741
x
2.040000000
x
2.198347107
x
1.968750000
x
2.227040816
x
2.185000000
x
2.168724280
x
1.851851852
x
2.148437500
x
2.122448981
x
2.218934911
x
2.502057613
x
2.523437500
x
2.551020409
x
2.449704142
x
2.587962964
x
2.640000000
x
2.718750000
x
2.441326531
x
2.459490741
x
2.471074380
x
2.485000000
x
2.851851852
x
No primeiro caso, a estimativa obtida para a a´rea da regia˜o e´ menor do que o seu valor exato; no segundo, maior.
Assim, podemos afirmar que o valor exato da a´rea esta´ entre os dois valores obtidos usando-seas aproximac¸o˜es acima.
Desta maneira, o erro cometido e´ menor do que a diferenc¸a entre estes dois valores.
Vamos provar que, a` medida que aumenta o nu´mero n de retaˆngulos considerados nestes ca´lculos, o erro diminui,
e tanto a soma das a´reas dos retaˆngulos inscritos quanto a soma das a´reas dos retaˆngulos circunscritos se aproximam
de um mesmo valor. Definiremos, enta˜o, a a´rea da regia˜o dada como sendo igual ao valor deste limite u´nico.
Vamos executar passo a passo o procedimento descrito acima para entender como o me´todo funciona e obter um
valor aproximado para a a´rea da regia˜o limitada pela func¸a˜o f(x) = x2, pelas retas x = 1 e x = 2 e pelo eixo x.
Primeiro dividimos o intervalo [1, 2] em n partes. Assim, temos que
{1= xo < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = 2} .
Em matema´tica, uma divisa˜o deste tipo e´ chamada de partic¸a˜o do intervalo [1, 2]. No nosso caso, vamos considerar
uma partic¸a˜o ou divisa˜o do intervalo dado em n partes iguais. Deste modo, os comprimentos dos subintervalos da
forma [xi−1, xi], para 1 ≤ i ≤ n, sa˜o iguais e a partic¸a˜o do intervalo e´ dita regular. Usaremos o s´ımbolo ∆x para
denotar este comprimento, isto e´,
∆x = x1 − x0 = x2 − x1 = x3 − x2 = . . . = xi − xi−1 = . . . = xn − xn−1 = 2− 1
n
=
1
n
.
280 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
A soma das a´reas dos retaˆngulos inscritos, chamada soma inferior, sera´ dada por:
SI = f(c0)∆x+ f(c1)∆x+ . . .+ f(cn−1)∆x =
n−1∑
i=0
f(ci)∆x
onde f(ci) e´ o menor valor da func¸a˜o f em cada subintervalo [xi−1, xi]. No exemplo que estamos estudando, este
valor ocorre em xi, extremo inferior de cada subintervalo, portanto, a soma inferior sera´ dada por
SI = f(x0)∆x+ f(x1)∆x+ . . .+ f(xn−1)∆x =
n−1∑
i=0
f(xi)∆x
A soma das a´reas dos retaˆngulos circunscritos, chamada soma superior, sera´ obtida calculando-se:
SS = f(w1)∆x+ . . .+ f(wn)∆x =
n∑
i=1
f(wi)∆x
onde f(wi) e´ o maior valor da func¸a˜o f no intervalo [xi−1, xi]. No nosso exemplo, este valor extremo ocorre em xi,
que e´ o extremo superior de cada um dos subintervalos considerados. Neste caso particular, portanto, a soma superior
sera´ dada por
SS = f(x1)∆x+ . . .+ f(xn)∆x =
n∑
i=1
f(xi)∆x
Assim,
SI ≤ a´rea da figura ≤ SS
Para obtermos estimativas para a a´rea da figura dada, nossa tarefa se reduz agora, a calcular os valores de SI e
SS. Do modo como foi definida a partic¸a˜o, temos que:
x1 = 1 +
1
n
; x2 = x1 +
1
n
= 1 +
2
n
; x3 = 1 +
3
n
; ...; xn = 1 +
n
n
= 2 .
Lembrando que neste exemplo particular, f(x) = x2, o valor da soma inferior sera´ dado por:
SI :=
n−1∑
i=0
(1 +
i
n
)2
n
Veja o diagrama a seguir, onde foram constru´ıdos retaˆngulos inscritos para n = 3, 5, 8, 11, 14, e 17, sucessivamente.
Lembre-se de que o valor de n define o nu´mero de subintervalos e, consequ¨entemente, de retaˆngulos determinados pela
partic¸a˜o.
Raciocinando da mesma maneira, para a soma superior obtemos a seguinte expressa˜o
SS :=
n∑
i=1
(1 +
i
n
)2
n
que fornece o valor da soma das a´reas de n retaˆngulos circunscritos a` figura.
Nesse ponto, vamos usar o Maple para mostrar que a` medida em que n cresce, a diferenc¸a entre SS e SI tende
a zero e a soma das a´reas, quer dos retaˆngulos inscritos, quer dos retaˆngulos circunscritos, converge para o mesmo
limite.
Para isso, primeiro definimos a func¸a˜o f e o valor de ∆x
W.Bianchini, A.R.Santos 281
> f:=x->x^2;
f := x→ x2
> Delta_x:=1/n;
Delta x :=
1
n
A seguir, usamos o comando sum para calcular o valor de SI e de SS e o comando simplify para simplificar as
expresso˜es obtidas
> SI:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=0..n-1)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i
> =0..n-1);
SI :=
n−1∑
i=0
(1 +
i
n
)2
n
=
7
3
− 3
2
1
n
+
1
6
1
n2
> simplify(SI);
1
n3
n−1∑
i=0
(n+ i)2 =
1
6
14n2 − 9n+ 1
n2
> SS:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1..n)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1
> ..n);
SS :=
n∑
i=1
(1 +
i
n
)2
n
=
n+ 1
n
+
(n+ 1)2
n2
− n+ 1
n2
+
1
3
(n+ 1)3
n3
− 1
2
(n+ 1)2
n3
+
1
6
n+ 1
n3
− 1
n
> simplify(SS);
1
n3
n∑
i=1
(n+ i)2 =
1
6
14n2 + 9n+ 1
n2
• Voceˆ e´ capaz de provar que as fo´rmulas obtidas acima para SI e SS sa˜o verdadeiras? (Veja o projeto O Maple e o
princ´ıpio da induc¸a˜o matema´tica.)
Calculando a diferenc¸a SS − SI,
> Erro:=SS-SI;
Erro :=
n+ 1
n
+
(n+ 1)2
n2
− n+ 1
n2
+
1
3
(n+ 1)3
n3
− 1
2
(n+ 1)2
n3
+
1
6
n+ 1
n3
+
1
2
1
n
− 7
3
− 1
6
1
n2
> simplify(Erro);
3
1
n
verificamos facilmente que esta expressa˜o tende a zero, quando n→∞ e, consequ¨entemente, SI e SS convergem para
o mesmo valor, neste caso 73 . (Examine as expresso˜es de SI e SS e comprove que realmente limn→∞ SI = limn→∞ SS =
7
3
.)
No exemplo estudado, a func¸a˜o f e´ crescente e, geometricamente, podemos ver que o valor da diferenc¸a SS − SI
e´ dada por
( f(x1)− f(x0) + f(x2)− f(x1) + ... + f(xn−1) + f(xn)) ∆x = f(2)−f(1)n .
Esta u´ltima expressa˜o torna fa´cil verificar que, para func¸o˜es crescentes (ou decrescentes!), quando n → ∞, o erro
cometido na aproximac¸a˜o por somas superiores ou inferiores realmente tende a zero (Veja problema 1).
Podemos repetir o processo acima, considerando retaˆngulos cuja altura seja o valor da func¸a˜o em qualquer ponto
do subintervalo [xi−1, xi], por exemplo, o ponto me´dio de cada subintervalo. (Veja a figura abaixo.)
282 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
2.331018519 2.331632654
2.328125000 2.330000000
2.332304526
2.324074074
2.3326446282.332500000
2.332031250
A soma das a´reas dos retaˆngulos assim constru´ıdos converge para o mesmo limite anterior, como mostramos a
seguir.
Considere a soma, SM, das a´reas dos retaˆngulos cujas alturas sa˜o o valor da func¸a˜o f , calculada no ponto me´dio
de cada subintervalo [xi−1, xi], isto e´, no ponto 1 + i∆ x2 . Com a ajuda do Maple, obtemos
SM :=
n−1∑
i=0
(1 +
i
n
+
1
2
1
n
)2
n
=
7
3
− 1
12
1
n2
(Para provar a fo´rmula acima veja o projeto O Maple e o princ´ıpio da induc¸a˜o matema´tica.)
Calculando o limite desta expressa˜o quando n→∞, temos
lim
n→∞
7
3
− 1
12
1
n2
=
7
3
.
Destes ca´lculos, podemos concluir que, a` medida em que n aumenta, quaisquer das somas acima tende a um mesmo
nu´mero, que sera´ o valor da a´rea da regia˜o considerada.
Note que a partic¸a˜o do intervalo [1, 2] considerada tem a propriedade de que a` medida que n cresce o valor de
∆x tende a zero. Esta propriedade e´ fundamental para que as somas SS, SI e SM convirjam para a a´rea da regia˜o.
Considere, por exemplo, a seguinte partic¸a˜o em 20 partes (n = 20) do intervalo [ 1, 2 ]:
> particao:=[seq(2-1/i,i=1..n)];
particao := [1,
3
2
,
5
3
,
7
4
,
9
5
,
11
6
,
13
7
,
15
8
,
17
9
,
19
10
,
21
11
,
23
12
,
25
13
,
27
14
,
29
15
,
31
16
,
33
17
,
35
18
,
37
19
,
39
20
, 2]
O diagrama ilustra o que pode acontecer para va´rias partic¸o˜es deste tipo (n = 3, 5, 8 e 11, respectivamente):
1.367606481
1.558049983 1.658122331
1.106481481
4.
3.
2.
1.
2.1.51..50
4.
3.
2.
1.
2.1.51..50
4.
3.
2.
1.
2.1.51..50
4.
3.
2.
1.
2.1.51..50
Observe que, neste caso,mesmo considerando valores de n cada vez maiores, a soma das a´reas dos retaˆngulos
inscritos, jamais se aproximara´ da a´rea da regia˜o em questa˜o. Como mostra este exemplo, o importante na˜o e´ a
divisa˜o em partes iguais, mas o fato do comprimento de cada um dos subintervalos [xi, xi+1] tender a zero a` medida
quese aumenta o nu´mero de diviso˜es do intervalo.
Chegamos, assim, a` seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o
Considere a regia˜o limitada pelo gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua e positiva y = f(x), pelas retas verticais x = a e
x = b e pelo eixo x. Considere uma partic¸a˜o do intervalo [a, b]
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b ,
W.Bianchini, A.R.Santos 283
tal que, para todo i, ∆xi → 0 quando n → ∞, onde ∆xi = xi − xi−1 e´ o comprimento de cada subintervalo da
partic¸a˜o. Enta˜o, a a´rea da regia˜o e´ dada por
lim
n→∞
n−1∑
i=0
f(ci)∆x
onde ci e´ um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi].
Vamos ilustrar esta definic¸a˜o com outro exemplo. Considere a func¸a˜o g(x) = sen(x), para x no intervalo [0, pi] .
Queremos calcular a a´rea hachurada mostrada na figura:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Primeiro dividimos o intervalo [0, pi] em n partes iguais. Neste caso, ∆x = pin . Considerando retaˆngulos cujas
alturas sa˜o iguais ao valor da func¸a˜o na extremidade xi−1 de cada subintervalo [xi−1, xi], obtemos as seguintes
aproximac¸o˜es para a a´rea, quando dividimos o intervalo [0, pi] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes, respectivamente:
1.9337655981.8961188981.813799365
1.966316679 1.9742316031.954097234
Considerando retaˆngulos cujas alturas sa˜o o valor da func¸a˜o na extremidade xi de cada subintervalo [xi−1, xi],
obtemos as aproximac¸o˜es mostradas na figura, a` esquerda. Da mesma maneira, tomando retaˆngulos cujas alturas sa˜o
o valor da func¸a˜o no ponto me´dio de cada subintervalo [xi, xi+1], obtemos as aproximac¸o˜es mostradas na figura a`
direita.
1.9742316031.9663166791.954097234
1.8961188981.813799365 1.933765598
2.012909086
2.052344307
2.016884178
2.094395102
2.023030320
2.033281478
As estimativas observadas nas figuras parecem indicar que a a´rea procurada deve ser igual a 2. Vamos usar o
Maple para calcular as somas que aparecem nos treˆs casos considerados e calcular o seu limite quando o nu´mero
de retaˆngulos cresce sem limite (tende a infinito). Seja SN1 a soma das a´reas dos retaˆngulos cujas alturas sa˜o as
extremidades inferiores dos subintervalos. Assim,
SN1 :=
pi
(
n−1∑
i=0
sen(
i pi
n
)
)
n
284 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
Simplificando a soma acima obte´m-se:
pi
(
n−1∑
i=0
sen(
i pi
n
)
)
n
= −
sen(
pi
n
)
n (cos(
pi
n
)− 1)
Calculando o limite desta expressa˜o, quando n→∞, tem-se que
lim
n→∞
n−1∑
i=0
sin(
i pi
n
)pi
n
= 2
Da mesma maneira, considerando-se retaˆngulos cujas alturas sa˜o o valor da func¸a˜o na extremidade xi1 de cada
subintervalo [xi−1, xi], obte´m-se:
pi
(
n∑
i=1
sen(
i pi
n
)
)
n
= −
pi sen(
pi
n
)
n (cos(
pi
n
)− 1)
e
lim
n→∞
pi
(
n∑
i=1
sin(
i pi
n
)
)
n
= 2
Considerando retaˆngulos cujas alturas sa˜o o valor da func¸a˜o no ponto me´dio de cada subintervalo [xi−1, xi], temos
tambe´m
pi
n−1∑
i=0
sen
(i+ 12)pi
n


n
= −
pi sen(
pi
n
)
n (cos(
pi
n
)− 1)
e
lim
n→∞
pi
n−1∑
i=0
sen
(i+ 12)pi
n


n
= 2
O valor do limite sera´ o mesmo para qualquer soma do tipo
∑
i
f(ci)∆xi escolhida, onde ci ∈ [xi−1, xi]. Este
limite u´nico e´, por definic¸a˜o, a a´rea da regia˜o R limitada pelo gra´fico de uma func¸a˜o f cont´ınua e positiva, pelo eixo
x e pelas retas x = a e x = b.
21.4 A Integral Definida
21.4.1 Definic¸a˜o
Vimos na sec¸a˜o anterior como calcular a a´rea A de uma regia˜o limitada por uma func¸a˜o positiva, pelas retas x = a,
x = b e pelo eixo x. O que fizemos foi dividir o intervalo fechado [a, b] em n partes iguais e aproximar o valor da a´rea
por somas do tipo
n∑
i=1
f(ci)∆x. Vimos que, a` medida que n cresce, o valor da soma se aproxima do valor de A. Esta
definic¸a˜o para a´reas de regio˜es motiva a extensa˜o deste procedimento a outras func¸o˜es que na˜o sejam necessariamente
positivas. Deste modo, vamos definir o que chamamos de integral de uma func¸a˜o f , onde f e´ uma func¸a˜o qualquer
definida em um intervalo fechado [a, b]. Para isso, considere uma divisa˜o do intervalo [a, b], em n partes
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < ... < xn−1 < xn = b .
Esta divisa˜o, como ja´ vimos, define uma partic¸a˜o do intervalo a, b], que chamaremos de P . Seja ∆xi = xi − xi−1,
tal que, para todo i, ∆xi → 0 quando n → +∞. Formemos a soma
W.Bianchini, A.R.Santos 285
Sn =
n∑
i=1
f(ci)∆xi,
onde ci e´ um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi]. Esta soma e´ chamada soma de Riemann para f associada a`
partic¸a˜o P . (O nome soma de Riemann foi dado em homenagem ao matema´tico alema˜o Bernhard Riemann (1826-
1866), que, em seus trabalhos, estabeleceu o conceito de integral em bases matema´ticas rigorosas.)
Se existir o limite
I = lim
n→∞ Sn = limn→∞
n∑
i=1
f(ci)∆xi = lim
∆ xi→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi
para toda soma de Riemann associada a` partic¸a˜o P de [a, b], dizemos que a func¸a˜o f e´ integra´vel em [a, b] e que a
integral definida de f , de a ate´ b, denotada por
∫ b
a
f(x) dx, e´ este limite, isto e´,
I =
∫ b
a
f(x) dx = lim
n→∞ Sn = lim∆ xi→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi .
O maior dos nu´meros ∆xi e´ chamado norma da partic¸a˜o P e denotado por ||P ||. Usando esta notac¸a˜o e a definic¸a˜o
rigorosa de limite, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que se P e´ uma partic¸a˜o de
[a, b] sendo ||P || < δ, enta˜o ∣∣∣∣∣
(
n∑
i=1
f(ci)∆xi
)
− I
∣∣∣∣∣ < ε
para qualquer escolha dos nu´meros ci nos subintervalos [xi−1, xi].
A notac¸a˜o para integrais foi introduzida pelo matema´tico alema˜o G. W. Leibniz (1646-1716). O s´ımbolo
∫
e´
uma estilizac¸a˜o da letra S da palavra Summa e e´ chamado sinal de integral. Os nu´meros a e b sa˜o chamados,
respectivamente, limite inferior e limite superior da integral. A func¸a˜o f e´ chamada de integrando, e o s´ımbolo dx
indica que a func¸a˜o esta´ sendo integrada com respeito a varia´vel independente x, que neste contexto na˜o deve ser
confundido com a diferencial de x. A varia´vel x na integral e´ o que chamamos de uma varia´vel muda. Ela pode ser
substitu´ıda por qualquer outra letra sem afetar o valor da integral. Assim, se f e´ integra´vel em [a, b], podemos escrever∫ b
a
f(y) dy =
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(z) dz . . . etc.
Na definic¸a˜o de integral, temos que a < b, mas e´ conveniente tambe´m definirmos integral no caso em que b < a.
Neste caso, definimos ∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx,
desde que esta u´ltima integral exista.
Ale´m disso, se f(a) existe, enta˜o
∫ a
a
f(x) dx = 0.
Na definic¸a˜o de integral na˜o impomos restric¸o˜es sobre a func¸a˜o f , apenas sobre a partic¸a˜o do intervalo [a, b]. Isto
nos leva a` questa˜o de saber quais func¸o˜es sa˜o integra´veis. O exemplo a seguir mostra que existem func¸o˜es que na˜o o
sa˜o.
Exemplo 1
Considere a func¸a˜o f definida em [0, 1] por:
f(x) =
{
0 , para x racional
1 , para x irracional
.
Qualquer que seja a partic¸a˜o do intervalo [0, 1], os subintervalos associados a essa partic¸a˜o sempre contera˜o pontos
racionais e irracionais. Se considerarmos duas somas de Riemann, uma do tipo
n∑
x=1
f(ci)∆x, onde cada ci seja racional
e outra onde cada ci seja irracional, teremos, para a primeira delas, o valor zero; para a outra, o valor 1, o que mostra
que o limite depende da soma particular considerada, portanto, f na˜o e´ integra´vel.
Exemplo 2
286 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
Considere a func¸a˜o f definida em [0, 1] por
f(x) =

1
x
, se x 6= 0
1 , se x = 0
.
Temos que lim
x→0+
f(x) =∞. Enta˜o, no primeiro subintervalo [0, x1], de qualquer partic¸a˜oP de [0, 1], podemos
achar um nu´mero ci, tal que f(ci)∆xi supera qualquer nu´mero dado M . Assim, para qualquer partic¸a˜o P podemos
encontrar uma soma de Riemann arbitrariamente grande. Logo, qualquer que seja o nu´mero real I, existem somas
de Riemann Rp associadas a qualquer partic¸a˜o P do intervalo [0, 1], tais que |Rp − I | e´ arbitrariamente grande. Isto
implica que f na˜o e´ integra´vel. Por argumentos ana´logos, podemos mostrar que qualquer func¸a˜o que se torne ilimitada
em qualquer ponto de um intervalo [a, b] na˜o e´ integra´vel. Assim:
Se f e´ integra´vel em [a, b], enta˜o e´ limitada em [a, b], isto e´, existe um nu´mero real M tal que | f(x) | ≤M , para
todo x em [a, b].
Observac¸o˜es
1. Repare que | f(x) | ≤M significa, geometricamente, que o gra´fico de f esta´ entre as duas retas horizontais y =M
e y = −M . Em particular, se f tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b], enta˜o f
na˜o e´ limitada e, portanto, na˜o e´ integra´vel, como foi mostrado no Exemplo 2.
2. Um conjunto bastante amplo de func¸o˜es que sa˜o integra´veis e´ o conjunto das func¸o˜es cont´ınuas, isto e´, se f e´
uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b], enta˜o f e´ integra´vel em [a, b].
3. Se f e´ descont´ınua em [a, b], enta˜o
∫ b
a
f(x) dx pode existir, ou na˜o. Se f tem somente um nu´mero finito de
descontinuidades no intervalo [a, b] e todas elas sa˜o descontinuidades de salto, enta˜o f e´ dita cont´ınua por partes
e e´ integra´vel em [a, b]. (Veja Problema 5.)
4. Repare ainda, que se f e´ integra´vel em [a, b], enta˜o o limite das somas de Riemann existe qualquer que seja a
escolha dos pontos ci em cada subintervalo [xi−1, xi]. Este fato permite que particularizemos a escolha dos ci,
se isto for conveniente. Por exemplo, podemos escolher ci sempre como o extremo direito, ou como o extremo
esquerdo, ou como o ponto me´dio de cada subintervalo, ou como o nu´mero onde ocorre o ma´ximo ou o mı´nimo
da func¸a˜o em cada intervalo [xi−1, xi]. Ale´m disso, como o limite independe da partic¸a˜o considerada (desde que
sua norma seja suficientemente pequena), a definic¸a˜o de integral pode ser simplificada pela utilizac¸a˜o de somas
de Riemann associadas a partic¸o˜es regulares, isto e´, constitu´ıdas de subintervalos de mesmo comprimento. Neste
caso,
||P || = ∆x = b− a
n
e quando n→∞, ∆x→ 0. A integral de f e´ dada por
I =
∫ b
a
f(x) dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(ci)∆x = lim||P ||→0
n∑
i=1
f(ci)∆x .
Em particular, como toda func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e´ integra´vel em [a, b], esta observac¸a˜o se aplica a func¸o˜es
cont´ınuas.
21.4.2 Interpretac¸a˜o geome´trica da integral definida
Como aplicac¸a˜o imediata da definic¸a˜o de integral, quando f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, positiva, definida em [a, b], a∫ b
a
f(x) dx nos fornece o valor da a´rea da regia˜o limitada pelo gra´fico de f , pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. Se a
func¸a˜o f for uma func¸a˜o cont´ınua que assume valores positivos e negativos no intervalo [a, b], enta˜o o valor da integral
sera´ a diferenc¸a entre o valor da a´rea da regia˜o que esta´ acima do eixo x e o valor da a´rea da regia˜o que esta´ abaixo do
eixo x. Este fato torna-se claro observando-se a figura a seguir e lembrando que, por definic¸a˜o, a integral e´ o limite de
somas de Riemann. As parcelas f(ci)∆x que correspondem aos retaˆngulos que esta˜o abaixo do eixo x sa˜o negativas,
e seus valores absolutos fornecem o valor das a´reas de cada um destes retaˆngulos.
W.Bianchini, A.R.Santos 287
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–3 –2 –1 1 2 3x
21.4.3 Propriedades da integral definida
A partir da definic¸a˜o de integrais como limite de somas de Riemann podemos demonstrar algumas de suas propriedades
fundamentais.
Propriedade 1
Se f e´ uma func¸a˜o constante definida por f(x) = k, para todo x em [a, b], enta˜o f e´ integra´vel e∫ b
a
k dx = k (b− a) .
Demonstrac¸a˜o Seja P uma partic¸a˜o de [a, b]. Enta˜o, para toda soma de Riemann de f ,
n∑
i=1
f(ci)∆xi =
n∑
i=1
k∆xi = k (
n∑
n=1
∆xi) = k (b− a) ,
pois a soma dos comprimentos de todos os subintervalos da partic¸a˜o e´ o comprimento do intervalo [a,b], independente
do valor de n. Consequ¨entemente,
lim
∆ xi→0
n∑
i=1
f(ci)∆xi = k (b− a) ,
isto e´, ∫ b
a
k dx = k (b− a) .
Esta igualdade esta´ de acordo com a discussa˜o de a´rea feita anteriormente, pois se k > 0, enta˜o o gra´fico de f e´
uma reta horizontal k unidades acima do eixo dos x, e a regia˜o limitada por esta reta, pelo eixo x e pelas retas x =
a e x = b e´ um retaˆngulo de lados k e (b − a). Logo, sua a´rea e´ dada por k (b− a). No caso especial em que k = 1,
temos que
∫ b
a
1 dx = b− a, que e´ igual ao comprimento do intervalo [a, b].
Propriedade 2
Se f e´ integra´vel em [a, b] e k e´ um nu´mero real arbitra´rio, enta˜o kf e´ integra´vel em [a, b] e∫ b
a
k f(x) dx = k
∫ b
a
f(x) dx .
Demonstrac¸a˜o Se k = 0, o resultado se verifica trivialmente. Suponhamos, enta˜o, que k 6= 0. Como f e´ integra´vel,
temos que existe um nu´mero I tal que I =
∫ b
a
f(x) dx.
Seja P uma partic¸a˜o de [a, b]. Enta˜o, toda soma de Riemann para a func¸a˜o k f tem a forma
n∑
i=1
k f(ci)∆xi, onde
para cada i, ci esta´ no subintervalo [xi−1, xi]. Seja ε > 0 dado. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se
||P || < δ, enta˜o | (∑i k f(ci)∆xi)− k I | < ε, para todo ci em [xi−1, xi].
Se observarmos que ∣∣∣∣∣
(∑
i
k f(ci)∆xi
)
− k I
∣∣∣∣∣ = | k |
∣∣∣∣∣
(∑
i
f(ci
)
∆xi)− I
∣∣∣∣∣ ,
288 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
a conclusa˜o se verifica imediatamente, pois, como f e´ integra´vel, tem-se que, qualquer que seja ε1 >0, existe um δ >
0 tal que, se ||P || < δ, enta˜o | (
∑
i
f(ci)∆xi)− I | < ε1.
Assim, basta escolhermos ε1 =
ε
|k| para obter o resultado desejado.
Costuma-se enunciar a conclusa˜o desta propriedade dizendo-se que constantes “podem ser retiradas do sinal de
integral”.
Propriedade 3
Se f e g sa˜o integra´veis em [a, b], enta˜o f + g e´ integra´vel em [a, b] e∫ b
a
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx .
Demonstrac¸a˜o Por hipo´tese, existem nu´meros reais I1 e I2, tais que
∫ b
a
f(x) dx = I1 e
∫ b
a
g(x) dx = I2.
Seja P uma partic¸a˜o de [a, b] e seja Rp uma soma de Riemann arbitra´ria para f + g associada a` partic¸a˜o P , isto e´,
Rp =
n∑
i=1
(f(ci) + g(ci))∆xi = (
n∑
i=1
f(ci)∆xi) + (
n∑
i=1
g(ci)∆xi) ,
onde ci esta´ em [xi−1, xi] para cada i.
Seja ε > 0. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se ||P || < δ, enta˜o |Rp − (I1 + I2)| < ε .
Por hipo´tese (f e g integra´veis), sabemos que qualquer que seja ε1> 0, existem δ1 e δ2 positivos tais que, se ||P ||
< δ1 e ||P || < δ2, enta˜o ∣∣∣∣∣
(∑
i
f(ci)∆xi
)
− I1
∣∣∣∣∣ < ε1 e
∣∣∣∣∣
(∑
i
g(ci)∆xi
)
− I2
∣∣∣∣∣ < ε1 ,
Seja ε1 =
ε
2 e seja δ o menor dos nu´meros δ1 e δ2. Assim, se ||P || < δ, as duas desigualdades acima se verificam, e
da´ı, como
|Rp − (I1 + I2)| =
∣∣∣∣∣
(∑
i
f(ci)∆xi
)
− I1 +
(∑
i
g(ci)∆xi
)
− I2
∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣
(∑
i
f(ci)∆xi
)
− I1
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
(∑
i
g(ci)∆xi
)
− I2
∣∣∣∣∣
tem-se |Rp − (I1 + I2)| < ε2 + ε2 = ε, que e´ o resultado que quer´ıamos demonstrar.
Observac¸o˜es
1. Vale um resultado ana´logo para diferenc¸as, isto e´, se f e g sa˜o integra´veis em [a,b], tem-se∫ b
a
(f(x)− g(x)) dx =
∫ b
a
f(x) dx−
∫ b
a
g(x) dx
2. A Propriedade 3 pode ser estendida a uma soma finita de func¸o˜es. Especificamente, se f1, f2, . . . , fn sa˜o in-
tegra´veis em [a, b], sua soma g = f1 + f2 + . . .+ fn tambe´m o e´ e∫ b
a
g(x) dx =
∫ b
a
f1(x) dx+
∫ b
a
f2(x) dx+ ...+
∫ b
a
fn(x) dx .
3. Se f e g sa˜o func¸o˜es integra´veis em [a, b] e se k1 e k2 sa˜o reais arbitra´rios,pelas Propriedades 2 e 3 temos que∫ b
a
(k1 f(x) + k2 g(x)) dx = k1
∫ b
a
f(x) dx+ k2
∫ b
a
g(x) dx .
Ale´m disso, se k1, k2,..., kn sa˜o reais arbitra´rios e se f1, f2, . . . , fn sa˜o func¸o˜es integra´veis em [a, b], o resultado
ana´logo vale para a func¸a˜o g = k1 f1 + k2 f2 + . . .+ kn fn.
W.Bianchini, A.R.Santos 289
Como ja´ vimos, se f e´ cont´ınua e positiva em [a, b], enta˜o
∫ b
a
f(x) dx e´ a a´rea sob o gra´fico de f limitada pelas
retas x = a e x = b. De modo ana´logo, se a < c < b, enta˜o as integrais
∫ c
a
f(x) dx e
∫ b
c
f(x) dx sa˜o as a´reas sob o
gra´fico de f de a ate´ c e de c ate´ b, respectivamente. Segue, imediatamente, que∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx .
A pro´xima propriedade mostra que esta igualdade tambe´m e´ verdadeira sob hipo´teses mais gerais.
Propriedade 4
Se a < c < b e f e´ integra´vel tanto em [a, c], como em [c, b], enta˜o f e´ integra´vel em [a, b] e∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx .
Demonstrac¸a˜o Por hipo´tese, existem nu´meros reais I1 e I2 tais que
∫ c
a
f(x) dx = I1 e
∫ b
c
f(x) dx = I2.
Sejam P1 uma partic¸a˜o de [a, c], P2 uma partic¸a˜o de [c, b] e P uma partic¸a˜o de [a, b]. Denotaremos por RP1 , RP2
e RP as somas de Riemann arbitra´rias associadas a P1, P2 e P , respectivamente. Devemos mostrar que dado um ε >
0, existe um δ >0 tal que, se ||P || < δ, enta˜o |RP − (I1 + I2)| < ε.
As hipo´teses sobre f implicam que, dado ε1 =
ε
4 , existem nu´meros positivos δ1 e δ2 tais que, se ||P1|| < δ1 e ||P2||
< δ2, enta˜o
|RP1 − I1| <
ε
4
e |RP2 − I2| <
ε
4
.
Seja δ o menor dos nu´meros δ1 e δ2. Enta˜o ambas as desigualdades acima sa˜o verdadeiras, desde que tenhamos
||P || < δ. Ale´m disso, como f e´ integra´vel tanto em [a, c] como em [c, b], e´ limitada em ambos os intervalos e, assim,
existe um nu´mero M , tal que | f(x) | ≤M para todo x em [a, b].
Suponhamos agora que ale´m da exigeˆncia anterior feita sobre δ, tenhamos tambe´m que δ < ε4M .
Seja P uma partic¸a˜o de [a, b], tal que ||P || < δ, como escolhido acima. Se as subdiviso˜es que determinam P sa˜o
a = x0, x1, x2,..., xn = b, enta˜o existe um u´nico intervalo semi-aberto da forma (xk−1, xk] que conte´m c.
Se RP =
n∑
i=1
f(wi)∆xi, podemos escrever
RP =
(
k−1∑
i=1
f(wi)∆xi
)
+ f(wk)∆xk +
(
n∑
i=k+1
f(wi)∆xi
)
.
Seja P1 a partic¸a˜o de [a, c] determinada por {a, x1, x2, . . . xk−1, c} e P2 a partic¸a˜o de [c, b] determinada por
{c, xk, . . . , xn−1, b}. Consideremos agora as somas de Riemann
RP1 =
(
k−1∑
i=1
f(wi)∆xi
)
+ f(c) (c− xk−1) e RP2 = f(c) (c− xk) +
(
n∑
i=k+1
f(wi)∆xi
)
.
Enta˜o, como ||P || < δ, temos
(*) |RP − (RP1 +RP2) | = |f(wk)− f(c)| ∆xk ≤ |f(wk)|+ |f(c)| ∆xk ≤ (M+M) ε4M = ε2
e
(**) |RP1 +RP2 − (I1 − I2)| ≤ |RP1 − I1| − |RP2−I2 | < ε2 .
Como
|RP − (I1 + I2)| = |RP − (RP1 +RP2) + (RP1 +RP2)− (I1 + I2)|
≤ |RP − (RP1 +RP2)|+ |RP1 +RP2 − (I1 + I2)|
Se ||P || < δ, as desigualdades (*) e (**) implicam que
|RP − (I1 + I2)| < ε2 + ε2 = ε
para toda soma de Riemann RP , o que completa a demonstrac¸a˜o.
290 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
Esta propriedade pode ser generalizada para o caso em que c na˜o esta´ necessariamente entre a e b. (Veja Problema
8 ).
Propriedade 5
Se f e´ integra´vel em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], enta˜o
0 ≤
∫ b
a
f(x) dx
Demonstrac¸a˜o Seja I =
∫ b
a
f(x) dx e suponhamos por absurdo que I < 0.
Seja P uma partic¸a˜o de [a, b] e seja RP =
n∑
i=1
f(ci)∆xi, uma soma de Riemann qualquer, associada a P . Como,
por hipo´tese, f(ci) ≥ 0, para todo ci no intervalo [xi−1, xi], temos que RP ≥ 0.
Seja ε = − I2 > 0, enta˜o, como f e´ integra´vel em [a, b], desde que ||P || seja suficientemente pequena, temos que
|RP − I | < ε = − I2 . Da´ı, RP < I − I2 = I2 < 0, o que e´ uma contradic¸a˜o. Portanto, a suposic¸a˜o I < 0 e´ falsa, e temos
que I ≥ 0.
Uma consequ¨eˆncia imediata desta propriedade e´ expressa na propriedade a seguir, cuja demonstrac¸a˜o e´ deixada a
cargo do leitor. (Veja Problema 9.)
Propriedade 6
Se f e g sa˜o integra´veis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], enta˜o∫ b
a
g(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx .
21.5 Valor me´dio de uma func¸a˜o e o teorema do valor me´dio para inte-
grais definidas
A me´dia aritme´tica de n nu´meros a1, a2, ... , an e´ definida por:
am =
(a1 + a2 + . . .+ an)
n
=
1
n
n∑
i=1
ai
Agora, pense no seguinte problema:
Suponha que voceˆ tenha uma barra de ferro de comprimento L e conhece a temperatura T (x), que varia em cada
ponto x da barra. Como calcular a temperatura me´dia Tm da barra?
A dificuldade, neste caso, e´ que existem infinitos pontos na barra a serem considerados. A ide´ia e´ estabelecer um
sistema de coordenadas na barra, de tal modo que as suas extremidades coincidam com os pontos 0 e L deste sistema
e aproximar a temperatura me´dia pela me´dia das temperaturas de n pontos da barra, a saber,
0 = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = L
tomados como refereˆncia, isto e´,
Tm ≈ 1
n
n∑
i=1
T (xi)
Claramente, a` medida que aumentamos o nu´mero n de pontos considerados neste ca´lculo, o valor do lado direito
da expressa˜o anterior se aproximara´ cada vez mais da temperatura me´dia Tm da barra.
Observe, agora, que a soma anterior e´ muito parecida com a soma de Riemann para a func¸a˜o T (x). Para transformar
esta expressa˜o na soma de Riemann para a func¸a˜o T , basta multiplicar e dividir, a soma obtida por ∆x = Ln . Assim,
temos
1
n
1
∆x
(
n∑
i=1
T (xi)
)
∆x =
1
n
n
L
(
n∑
i=1
T (xi)
)
∆x =
1
L
n∑
i=1
T (xi)∆x
Agora sim! O u´ltimo somato´rio e´ a soma de Riemann para a func¸a˜o T no intervalo [0, L]. Assim,
Tm =
1
L
lim
n→∞
n∑
i=1
T (xi)∆x =
1
L
∫ L
0
T (x) dx
W.Bianchini, A.R.Santos 291
De um modo geral, define-se o valor me´dio de uma func¸a˜o y = f(x), cont´ınua em um intervalo [a, b], como
fm =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx
ou ∫ b
a
f(x) dx = fm (b− a) .
Se f(x) ≥ 0 em [a, b], esta u´ltima igualdade significa, geometricamente, que a a´rea sob o gra´fico de f , desde a ate´
b, e´ igual a` a´rea de um retaˆngulo de altura fm e base b-a.
Exemplo
Se a temperatura de uma barra de comprimento 3 cm e´ dada por T (x) = x, em cada ponto x da barra, calcule a
sua temperatura me´dia.
Soluc¸a˜o:
Tm =
1
3
∫ 3
0
x dx =
3
2
No gra´fico a seguir a a´rea hachurada tem o mesmo valor da a´rea do retaˆngulo escuro.
Tm
0
1
2
3
4
1 2 3x
Note que o valor Tm e´ atingido em algum ponto c de [a, b]. Neste exemplo, precisamente em c =
3
2 . O teorema do
valor me´dio para integrais definidas, que veremos a seguir, garante que, se f e´ cont´ınua, isto e´ sempre verdade.
21.5.1 O teorema do valor me´dio para integrais definidas
Teorema
Se f e´ cont´ınua em um intervalo fechado [a, b], enta˜o existe um nu´mero c no intervalo aberto (a, b), tal que∫ b
a
f(x) dx = f(c)(b− a)
Observac¸o˜es Se f(x) ≥ 0 em [a, b], o teorema admite uma interpretac¸a˜o geome´trica interessante. Neste caso,
como ja´ vimos, S =
∫ b
a
f(x) dx e´ a a´rea limitada pelo gra´fico de f , o eixo x e as retas x = a e x = b. O teorema
garante a existeˆncia de um nu´mero c, abscissa de um ponto P do gra´fico de f , tal que a a´rea da regia˜o retangular
limitada pela reta horizontal que passa por P , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, dada pela expressa˜o, f(c) (b− a),
e´ igual a S. Veja as figuras.
3.6
3.7
3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 z
O nu´mero c na˜o e´ necessariamente u´nico. Por exemplo, se f e´ uma func¸a˜o constante, todos os nu´meros c do
intervalo [a, b] satisfazem a conclusa˜o do teorema. Oteorema garante a existeˆncia de pelo menos um nu´mero c em
[a, b] com a propriedade enunciada.
Demonstrac¸a˜o Sejam m = f(d) o mı´nimo de f em [a, b] e M = f(e) o ma´ximo de f em [a, b]. Pela Propriedade 6,∫ b
a
mdx ≤
∫ b
a
f(x) dx e
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
M dx,
292 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
isto e´,
m ≤ 1
b− a
∫ b
a
f(x) dx e
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx ≤M .
Como f e´ cont´ınua e y = 1b−a
∫ b
a
f(x) dx e´ um nu´mero entre m e M , pelo teorema do valor intermedia´rio existe um
nu´mero c entre a e b, tal que,
f(c) =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx
Exemplo
Seja v(t) a velocidade de um objeto em cada instante t num intervalo de tempo [a, b]. Enta˜o, a velocidade me´dia
do objeto e´ dada por
vm =
1
b− a
∫ b
a
v(t) dt
O teorema do valor me´dio para integrais definidas nos diz que a velocidade me´dia vm e´ atingida pelo objeto em algum
instante c de [a, b], isto e´, vm = v(c).
O teorema do valor me´dio para integrais definidas pode ser usado na demonstrac¸a˜o de va´rios outros teorema
relevantes. Um dos mais importantes e´ o teorema fundamental do ca´lculo, que sera´ visto no pro´ximo cap´ıtulo.
21.6 Atividades de laborato´rio
Usando um computador e o Maple, fac¸a as atividades propostas no arquivo labint.mws da versa˜o eletroˆnica deste
texto.
21.7 Exerc´ıcios
1. (a) Mostre a identidade
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
Sugesta˜o: Some as equac¸o˜es
n∑
i=1
i = 1 + 2 + . . .+ n e
n∑
i=1
i = n+ (n− 1) + (n− 2) + . . .+ 1.
(b) Escreva as n equac¸o˜es que se obte´m substituindo os valores de k = 1, 2, 3, . . . , n na identidade (k+1)3−k3 =
3 k2 + 3 k + 1. Adicione essas equac¸o˜es e use sua soma para deduzir, da identidade dada em (a), a fo´rmula
n∑
i=1
i2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
2. Para cada uma das func¸o˜es abaixo
(a) Calcule aproximadamente a a´rea da figura limitada pela curva y = f(x), as retas x = a, x = b e o eixo x,
utilizando os comandos leftbox e rightbox do Maple.
(b) Calcule aproximadamente o valor destas a´reas com os comandos leftsum e rightsum.
(c) monte uma tabela com os valores obtidos para va´rias partic¸o˜es do intervalo.
(d) Use o comando limit para calcular exatamente o valor da a´rea.
(e) Compare os resultados obtidos.
i. f(x) =
√
x para x ∈ [0, 1] ii. f(x) = sen(x) para x ∈ [0, 2pi]
iii. f(x) =
√
4− x2 para x ∈ [−2, 2].
3. Use a definic¸a˜o para calcular cada uma das integrais abaixo. Use primeiro o seu racioc´ınio e a interpretac¸a˜o
geome´trica da integral; depois, se ainda for necessa´rio use os comandos leftsum e rightsum do Maple para
ajuda´-lo nos ca´lculos.
(a)
∫ 5
−2 3 dx
(b)
∫ 4
−1 2x dx
(c)
∫ 2
−2 x
3 dx
(d)
∫ pi
2
−pi2 sen(x) dx
(e)
∫ 2pi
0
cos(x) dx
(f)
∫ pi
0
cos(x) dx
(g)
∫ 2
0
4x2 + 1 dx
W.Bianchini, A.R.Santos 293
4. Interprete geometricamente e calcule a integral
∫ 2
−2
√
4− x2 dx.
5. O gra´fico da equac¸a˜o x
2
a2 +
y2
b2 = 1 para 0 < b < a e´ uma elipse. Esboce este gra´fico e use o valor da integral∫ a
−a
√
a2 − x2 dx para achar a a´rea limitada por uma elipse.
6. Sabendo-se que o valor me´dio de y = f(x) no intervalo [0, 7] e´ igual a 4, qual o valor de
∫ 7
0
f(t) dt?
7. Ache o valor me´dio de f(x) =
√
1− x2 no intervalo [0, 1].
21.8 Problemas
1. Mostre que se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua e mono´tona em um intervalo [a, b], o erro na aproximac¸a˜o da
∫ b
a
f(x) dx
pela soma de Riemann inferior ou superior com n subintervalos e´ limitado por
| f(b)− f(a) | (b− a)
n
2. Para cada integral dada abaixo, seja
∫ b
a
f(x) dx = L. Levando-se em conta a definic¸a˜o de integral, dada neste
cap´ıtulo, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um inteiro positivo N tal que∣∣∣∣∣
(
n∑
k=1
f(ck)∆xk
)
− L
∣∣∣∣∣ < ε ,
para todo n > N. Seja ∆xk =
b−a
n e ε = 0, 01. Considere ck como sendo a extremidade direita do k -e´simo subin-
tervalo da partic¸a˜o do intervalo [a, b] considerada. Ache o menor valor de n para o qual | (∑nk=1 f(ck)∆xk)− L | <
ε, para n > N.
(a)
∫ 3
1
x2 + 1 dx (b)
∫ pi
6
0
cos(x) dx (c)
∫ 1,75
0,5
sen(x2) dx
3. (a) Mostre que
∫ pi
2
0
sen2 x dx =
∫ pi
2
0
cos2 x dx.
Sugesta˜o: Mostre que as duas a´reas em questa˜o sa˜o congruentes usando uma reflexa˜o em torno da reta
x = pi4 .
(b) Mostre que
∫ pi
2
0
1− sen2 x dx = pi2 −
∫ pi
2
0
sen2 x dx.
Sugesta˜o: Use a interpretac¸a˜o geome´trica das duas integrais e use uma reflexa˜o em torno da reta y = 12
para mostrar que as duas a´reas em questa˜o sa˜o iguais.
(c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que
∫ pi
2
0
sen2 x dx =
∫ pi
2
0
cos2 x dx = pi4 .
(d) Calcule
∫ pi
0
sen2 x dx e
∫ 2pi
0
cos2 x dx.
4. Obtenha uma fo´rmula para
∫ x
0
| t | dt, va´lida para
(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0
(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.
(d) Esboce um gra´fico que represente geometricamente esta questa˜o.
5. Considere a func¸a˜o sn(t) (sinal de t ) definida por sn(t) =
{−1 , se t < 0
0 , se t = 0
1 , se 0 < t
.
E´ claro que a func¸a˜o sn(t) na˜o e´ cont´ınua em zero, mas
∫ b
a
sn(t) dt pode ser definida da mesma maneira que
para func¸o˜es cont´ınuas. Por exemplo,
∫ 1
0
sn(t) dt, e´ a a´rea limitada pelo gra´fico da func¸a˜o, pelo eixo x e pelas
retas t = 0 e t = 1 (um quadrado de lado 1). Assim,
∫ 1
0
sn(t) dt = 1. Da mesma maneira,
∫ 0
−1 sn(t) dt = −1;∫ 3
0
sn(t) dt = 3;
∫ 3
−3 sn(t) dt = 0 e, assim por diante. Obtenha uma fo´rmula va´lida para
∫ x
0
sn(t) dt quando
(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0
(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.
6. Explique por que
(a)
∫ 1
−1 x
273 dx = 0 (b) 0 <
∫ 3
1
1
t dt <
14
12
294 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
7. (a) Deˆ exemplo de uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo (0, 1) tal que
∫ 1
0
f(x) dx na˜o exista.
(b) Deˆ exemplo de uma func¸a˜o que na˜o seja cont´ınua em [0, 1], tal que exista
∫ 1
0
f(x) dx .
8. Mostre que se f e´ integra´vel em um intervalo fechado e se a, b e c sa˜o treˆs nu´meros quaisquer deste intervalo,
enta˜o
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx.
9. (a) Se f(x) ≤M para todo x em [a, b], prove que ∫ b
a
f(x) dx ≤M (b− a). Ilustre o resultado graficamente.
(b) Se m ≤ f(x) para todo x em [a, b], prove que m (b− a) ≤ ∫ b
a
f(x) dx. Ilustre o resultado graficamente.
(c) Mostre que se f e g sa˜o integra´veis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], enta˜o ∫ b
a
g(x) dx ≤ ∫ b
a
f(x) dx.
(d) Seja f integra´vel em [a, b]. Mostre que
∣∣∣ ∫ ba f(x) dx ∣∣∣ ≤ ∫ ba |f(x)| dx
10. Seja f(x) = 1 + x4. Ache o valor me´dio de f no intervalo de 0 ate´ 0,001, com dez casas decimais exatas.
Sugesta˜o: A resposta deve ser dada rapidamente. Se voceˆ na˜o consegue perceber como isto pode ser feito, calcule
a resposta usando forc¸a bruta. O nu´mero obtido sugere como os ca´lculos poderiam ter sido evitados.
11. Se f(x ) = k para todo x em [a, b], prove que todo nu´mero c em [a, b] satisfaz a conclusa˜o do teorema do valor
me´dio para integrais definidas. Interprete este resultado geometricamente.
12. Se f(x) = x e 0 < a < b, determine (sem integrar) um nu´mero c em (a,b) tal que
∫ b
a
f(x) dx = f(c) (b− a).
21.9 Um pouco de histo´ria
Parece que o primeiro a calcular a a´rea exata de uma figura
limitada por curvas foi Hipo´crates de Chios, o mais famoso
matema´tico grego do se´culo V A.C.. Ele calculou a a´rea da figura
em forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Esta
figura, constru´ıda por dois c´ırculos (o c´ırculo centrado em (0, 0)
e raio unita´rio e o c´ırculo centrado em (0,−1) e passando pelos
pontos (1, 0) e (−1, 0)) recebeu o nome de lu´nula de Hipo´crates,
em homenagem a`quele que descobriuque a sua a´rea e´ igual a` a´rea
do quadrado cujo lado e´ o raio do c´ırculo.
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
x
O problema da quadratura de um c´ırculo, isto e´, de achar um quadrado de a´rea equivalente a` de um c´ırculo de raio
dado, e´ um dos problemas cla´ssicos da Geometria a que muitos matema´ticos dedicaram atenc¸a˜o, desde a Antiguidade.
Hipo´crates “quadrou a lu´nula”, embora fosse incapaz de resolver o problema da quadratura do c´ırculo.
Os geoˆmetras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um problema e´ construir a sua soluc¸a˜o utilizando
somente uma re´gua na˜o graduada e um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do c´ırculo e´ imposs´ıvel
de resolver utilizando-se apenas re´gua e compasso.
A` primeira vista parece que o problema de calcular a´reas e´ um assunto de interesse apenas para geoˆmetras, sem
aplicac¸o˜es na vida pra´tica fora da Matema´tica. Isto na˜o e´ verdade. No transcorrer dos pro´ximos cap´ıtulos, veremos
que muitos conceitos importantes de F´ısica, tais como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a forc¸a
total que age sobre uma barragem em virtude da pressa˜o de a´gua no reservato´rio, por exemplo, dependem das mesmas
ide´ias utilizadas neste cap´ıtulo para o ca´lculo de a´reas.
21.10 Projetos
21.10.1 Somas de Riemann aleato´rias
Uma soma de Riemann de uma func¸a˜o f definida em um intervalo [a, b] tem a forma geral
S = f(c1) (x2 − x1) + f(c2) (x3 − x2) + . . .+ f(cn−1) (xn − xn−1) ,
onde a = x1 < x2 < .... < xn = b e´ uma partic¸a˜o do intervalo [a, b] e cada ci e´ tal que xi−1 ≤ ci ≤ xi.
O objetivo deste projeto e´ calcular somas de Riemann para a func¸a˜o f(x) = x3 + 3x2 + 2x − 5, definidas por
meio de uma partic¸a˜o do intervalo [0, 1] em 15 partes, geradas aleatoriamente. Para obter nu´meros aleato´rios, vamos
utilizar o comando rand() do Maple. Cada vez que este comando e´ executado, um nu´mero entre 1 e 1012 e´ escolhido
ao acaso. Assim, a linha de comando abaixo gera uma sequ¨eˆncia de 31 = 2.15 + 1 nu´meros aleato´rios, entre 1 e 1012.
Execute-o va´rias vezes!
W.Bianchini, A.R.Santos 295
> numeros:=[seq(rand(),k=1..31)]; k:=’k’:
numeros := [97396414947, 780422731613, 987785640265, 674198272844,
134050365811, 754869582636, 140810856859, 347877704841, 433599229456,
898724880795, 485531802023, 255050614524, 952922474293, 642065329619,
154912668026, 856069438450, 681407641506, 962917791070, 874166946435,
905950292905, 549552888716, 84125842236, 67060541266, 621757734462,
223575905687, 273574099511, 410424381304, 659501247275, 887974857856,
234450269247, 606386273485]
Como queremos pontos pertencentes ao intervalo [0, 1], vamos converter os pontos gerados pelo comando acima
para este intervalo, por uma mudanc¸a de escala:
> pts:=map(x->evalf(x/10^12),numeros);
pts := [.09739641495, .7804227316, .9877856403, .6741982728, .1340503658,
.7548695826, .1408108569, .3478777048, .4335992295, .8987248808,
.4855318020, .2550506145, .9529224743, .6420653296, .1549126680,
.8560694385, .6814076415, .9629177911, .8741669464, .9059502929,
.5495528887, .08412584224, .06706054127, .6217577345, .2235759057,
.2735740995, .4104243813, .6595012473, .8879748579, .2344502692,
.6063862735]
Para formar os pontos da partic¸a˜o, precisamos colocar esta u´ltima sequ¨eˆncia em ordem crescente. Isto e´ feito
utilizando-se o comando sort:
> part:=sort(pts);
part := [.06706054127, .08412584224, .09739641495, .1340503658, .1408108569,
.1549126680, .2235759057, .2344502692, .2550506145, .2735740995,
.3478777048, .4104243813, .4335992295, .4855318020, .5495528887,
.6063862735, .6217577345, .6420653296, .6595012473, .6741982728,
.6814076415, .7548695826, .7804227316, .8560694385, .8741669464,
.8879748579, .8987248808, .9059502929, .9529224743, .9629177911,
.9877856403]
Podemos agora, calcular a soma de Riemann associada a esta partic¸a˜o do intervalo [0, 1], como se segue.
> f:=x->x^3+3*x^2+2*x-5;
f := x→ x3 + 3x2 + 2x− 5
> S:=sum(f(part[2*j])*(part[2*j+1]-part[2*j-1]),j=1..15);
S := −2.403062293
1. Repita este processo mais cinco vezes e guarde os resultados. Calcule a me´dia das suas 6 tentativas e descreva
como este processo forma uma soma de Riemann geral e como por meio dele se chega a uma aproximac¸a˜o do
valor da integral da func¸a˜o no intervalo [0, 1]. Ilustre geometricamente.
2. Explique como e´ poss´ıvel melhorar a precisa˜o do resultado e aplique as suas concluso˜es para melhorar o resultado
obtido acima.
3. Ache por este processo uma aproximac¸a˜o para a integral da func¸a˜o f(x) = x3 + x+ 2 no intervalo [0, 1].
21.10.2 Somas de Riemann e func¸o˜es mono´tonas
O objetivo deste projeto e´ calcular integrais de func¸o˜es mono´tonas por meio de somas de Riemann com um erro
ma´ximo prefixado.
1. Considere a func¸a˜o f(x) = x3 + x+ 2.
(a) Mostre que f e´ mono´tona no intervalo [0, 2].
296 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
(b) Use os comandos leftbox e rightbox do pacote student para ilustrar como podemos aproximar a integral
da func¸a˜o dada no intervalo [0, 2] por meio da soma das a´reas de retaˆngulos inscritos ou circunscritos na
regia˜o delimitada pela func¸a˜o, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2.
(c) Determine o menor valor de n (nu´meros de retaˆngulos) que garanta uma estimativa para a integral da
func¸a˜o com erro ma´ximo de 0,1.(Veja Problemas 1 e 2.)
(d) Use o comando sum para obter uma estimativa a maior e uma estimativa a menor para a a´rea da regia˜o
limitada por y = f(x), y = 0, x = 0 e x = 2.
(e) Use o comando sum para obter estas mesmas estimativas como func¸a˜o do nu´mero n de retaˆngulos usados.
(f) Use o comando limit(...,n=infinity) e a expressa˜o que voceˆ encontrou no item anterior para obter o valor
exato da a´rea da regia˜o.
2. Considere a func¸a˜o g(x) = cos(x2 ).
(a) Mostre que g e´ mono´tona em [0, 1].
(b) Obtenha uma expressa˜o geral para uma subestimativa para a a´rea limitada pela curva y = g(x), pelo eixo
x e pelas retas x = 0 e x = 1.
(c) Calcule o erro ma´ximo que se comete ao aproximar a a´rea da regia˜o descrita acima pela soma das a´reas de
10 retaˆngulos inscritos na regia˜o.
(d) Obtenha o valor exato desta a´rea.
(e) Use as concluso˜es obtidas nos itens anteriores e a func¸a˜o f(x) =
√
1− x2, definida em [a, b] = [0, 1] , para
obter aproximac¸o˜es de pi4 com erro menor que
1
10 .
3. Nem todas as func¸o˜es sa˜o mono´tonas, entretanto, as ide´ias estudadas aqui podem ser estendidas a func¸o˜es que
na˜o sa˜o mono´tonas. Descreva como e´ poss´ıvel estender as ide´ias estudadas neste cap´ıtulo a func¸o˜es cont´ınuas
mais gerais a fim de garantir que as aproximac¸o˜es de
∫ b
a
f(x) dx, obtidas por meio de somas de Riemann, tenham
uma precisa˜o fixada.
4. As somas de Riemann obtidas considerando-se o ponto me´dio de cada subintervalo de uma partic¸a˜o P do intervalo
[a, b] tambe´m fornecem uma aproximac¸a˜o para a a´rea da regia˜o delimitada por uma func¸a˜o f , positiva, definida
em [a, b], pelo eixo x e pelas retas x = a e x= b. Para func¸o˜es mono´tonas, a aproximac¸a˜o obtida utilizando-se o
ponto me´dio de cada subintervalo pode conduzir a subestimativas ou a superestimativas.
(a) Deˆ exemplos de func¸o˜es para as quais a aproximac¸a˜o obtida considerando-se o ponto me´dio de cada subin-
tervalo fornece uma subestimativa para a a´rea de uma regia˜o delimitada pela func¸a˜o dada, pelo eixo x e
por duas retas verticais.
(b) Deˆ exemplos de func¸o˜es para as quais a aproximac¸a˜o obtida considerando-se o ponto me´dio de cada subin-
tervalo fornece uma superestimativa para a a´rea da regia˜o descrita acima.
5. Podemos obter aproximac¸o˜es para regio˜es do tipo descrito nos itens anteriores considerando o extremo inferior
e o extremo superior de cada subintervalo considerado em uma partic¸a˜o do intervalo [a,b]. A me´dia aritme´tica
das aproximac¸o˜es assim obtidas e´ conhecida como regra do trape´zio para o ca´lculo destas a´reas.
(a) Explique o porqueˆ deste nome e estabelec¸a um crite´rio geome´trico que permita afirmar quando a regra do
trape´zio fornece uma subestimativa para a a´rea da regia˜o e quando esta regra fornece uma superestimativa.
21.10.3 O Maple e o princ´ıpio da induc¸a˜o matema´tica
O princ´ıpio da induc¸a˜o e´ uma das mais importantes (e u´teis) te´cnicas de demonstrac¸a˜o em matema´tica. Este princ´ıpio,
em geral, e´ usado quando precisamos demonstrar que uma determinada fo´rmula vale para todos os nu´meros naturais.
Por exemplo, podemos observar que 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16. A partir destes dados, poder´ıamos
conjecturar que a soma dos primeiros n nu´meros ı´mpares e´ igual a n2, isto e´, 1 + 3 + ...+ ( 2n− 1) = n2. O princ´ıpio
da induc¸a˜o matema´tica afirma que uma fo´rmula, P(n), e´ verdadeira para todo nu´mero natural n se
1. P (1) e´ verdadeira.
2. Considerando P (k) verdadeira, conseguirmos mostrar que P (k + 1) e´ verdadeira.
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Estas duas condic¸o˜es garantem que P (n) e´ verdadeira para todo n. De fato, se P (1) e´ verdade, enta˜o (usando
(2) no caso particular em que k =1), segue que P (2) e´ verdade. Agora, como P (2) e´ verdade (usando (2) no caso
particular em que k =2), segue que P (3) e´ verdade, assim por diante.
Desta maneira, fica claro que qualquer que seja o nu´mero n, ele sera´ alcanc¸ado por um nu´mero suficiente de passos,
como descrito acima.
Para ilustrar o racioc´ınio que se esconde por tra´s do princ´ıpio da induc¸a˜o, imagine uma linha infinita de pessoas
numeradas da seguinte maneira P (1), P (2), P (3),... Um segredo e´ contado a` primeira pessoa da fila (P (1) conhece o
segredo) e cada pessoa tem a instruc¸a˜o de contar qualquer segredo para a pessoa que a segue na fila, aquela com o
nu´mero seguinte ao seu pro´prio (se P (k) conhece o segredo, P (k+ 1) conhece o segredo). Enta˜o, esta´ claro que cada
pessoa da fila acabara´ conhecendo o segredo!
Para provar a conjectura feita acima, isto e´,
n∑
i=1
(2 i− 1) = n2, precisamos, portanto,
1. Provar que esta fo´rmula vale para n = 1. (O que e´ o´bvio, pois 1 = 1.)
2. Supondo que esta fo´rmula valha para n = k, mostrar que ela e´ verdadeira para n = k + 1.
O objetivo deste projeto e´ mostrar como usar o Maple para obter fo´rmulas do tipo anterior e ainda verificar a
validade de P (1) e fazer as contas necessa´rias para estabelecer que a validade de P (k) implica na validade de P (k+1).
Vamos realizar esta tarefa com a ajuda do Maple. O comando sum e a sua forma inerte Sum podem ser usados
para obter as fo´rmulas a serem provadas. Assim,
> Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);
n∑
i=1
(2 i− 1) = (n+ 1)2 − 2n− 1
> simplify(%);
n∑
i=1
(2 i− 1) = n2
Agora, podemos construir a func¸a˜o que a cada n associa esta soma:
> P:=n->Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);
P := n→
n∑
i=1
(2 i− 1) =
n∑
i=1
(2 i− 1)
Deste modo, podemos calcular o valor de P (n), qualquer que seja o nu´mero natural n, simplesmente calculando o
valor da func¸a˜o P , neste ponto:
> P(3);
3∑
i=1
(2 i− 1) = 9
> P(7);
7∑
i=1
(2 i− 1) = 49
Assim, fica claro que P (1) e´ verdade pois,
> P(1);
1∑
i=1
(2 i− 1) = 1
> value(%);
1 = 1
Suponhamos agora que P (k) seja verdade para algum inteiro positivo k. Vamos considerar, portanto, que
> P(k);
k∑
i=1
(2 i− 1) = (k + 1)2 − 2 k − 1
298 Cap. 21. Introduc¸a˜o a` Integral: Ca´lculo de A´reas e Integrais Definidas
> simplify(P(k));
k∑
i=1
(2 i− 1) = k2
seja verdadeira. Precisamos provar que P (k + 1) e´ verdadeira. Para isto, vamos somar (2k+1) (o pro´ximo nu´mero
ı´mpar) a ambos os lados desta equac¸a˜o, o que na˜o altera a igualdade. Assim, temos:
> lhs(P(k))+(2*k+1)= rhs(P(k))+(2*k+1);
(
k∑
i=1
(2 i− 1)) + 2 k + 1 = (k + 1)2
E´ o´bvio que o lado esquerdo da equac¸a˜o acima e´ a soma 1 + 3 + 5 + . . .+ (2 k − 1) + (2 k + 1) =
k+1∑
i=1
(2 i− 1).
Assim, mostramos que a validade da fo´rmula para n = k, isto e´,
k∑
i=1
(2 i− 1) = k2 implica na validade da fo´rmula
para n = k+1, isto e´,
k+1∑
i=1
(2 i− 1) = (k + 1)2 e, portanto, a fo´rmula e´ va´lida para todo inteiro positivo.
Num exemplo mais complicado, poder´ıamos usar o Maple para mostrar que o lado direito da u´ltima equac¸a˜o
obtida e´ igual a P (k+1) e assim estabelecer que a validade de P (k) (se a fo´rmula e´ va´lida para os primeiros k nu´meros
ı´mpares) implica na validade de P (k+ 1) (a fo´rmula sera´ va´lida para os primeiros k+ 1 nu´meros ı´mpares). Para isto,
basta calcular
> P(k+1);
k+1∑
i=1
(2 i− 1) = (k + 2)2 − 2 k − 3
simplificar a expressa˜o resultante e comparar com o resultado obtido anteriormente.
> simplify(%);
k+1∑
i=1
(2 i− 1) = k2 + 2 k + 1
> factor(%);
k+1∑
i=1
(2 i− 1) = (k + 1)2
1. Use o Maple e obtenha fo´rmulas, va´lidas para os primeiros n inteiros positivos, para as somas indicadas abaixo
e verifique, usando induc¸a˜o matema´tica, que estas fo´rmulas sa˜o va´lidas para todos os inteiros positivos:
(a)
∑
i3 (b)
∑
i4 (c)
∑
1
i (i+1) (d)
∑
1
i (i+1) (i+2)
2. Vamos usar induc¸a˜o para “provar” que 1+ 2 + 3 + ...+ n = n
2+n+1
2 .
Seja P (n) = n
2+n+1
2 . Supondo va´lida esta afirmac¸a˜o para n = k, vamos mostrar que a mesma e´ va´lida para n
= k+1.
Assim, temos: 1 + 2 + 3 ...+ k = k
2+k+1
2 .
Somando k+ 1 a ambos os membros desta igualdade, vem que:
1 + 2 + 3 + ...k+ (k+ 1) =
k2 + k + 1
2
+ (k + 1) =
k2 + k + 1
2
+
2 k + 2
2
=
k2 + 3 k + 3
2
=
[k2 + 2 k + 1] + (k + 1) + 1
2
=
(k + 1)2 + (k + 1) + 1
2
e, portanto, P (k + 1) e´ verdade. Assim, como a validade de P (k) implica na validade de P (k + 1), temos que
P (n) e´ verdadeira para todos os nu´meros naturais.
• Evidentemente, como a soma dos n primeiros nu´meros naturais na˜o e´ dada por n2+n+12 (qual a fo´rmula
verdadeira?), existe uma falha na demonstrac¸a˜o acima. Que falha e´ esta?
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