Lista1 Cálculo derivadas

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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
MAT 141 (Turma 1) – Ca´lculo Diferencial e Integral I – 2017/II
1a Lista de Derivadas (26/09/2017)
1) Calcule f ′(p), usando definic¸a˜o de derivada.
a) f(x) = x2 + x e p = 1.
b) f(x) =
1
x2
e p = 2.
c) f(x) = 2x3 − x2 e p = 1.
d) f(x) = 3
√
x e p = 2.
2) Verifique se f e´ deriva´vel em x = 1. Em caso afirmativo calcule f ′(1).
a) f(x) =
{
2x+ 1, se x < 1
−x+ 4, se x ≥ 1 b) f(x) =
{
x2 + 2, se x < 1
2x+ 1, se x ≥ 1
3) Seja f(x) =
{
x+ 1, se x < 2
x2 + 2, se x ≥ 2 . A func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = 2? E´ deriva´vel em x = 2? Justifique.
4) Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em (p, f(p)).
a) f(x) = x2 e p = 2 b) f(x) =
√
x e p = 9 c) f(x) = x2 − x e p = 1
5) Calcule
dy
dx
.
a) y = x8 + x6 + x5 + 3x
b) y − 2 = x−3 + 8x2
c) y = axn + 2xn−1 + kx
d) xb
2+a2 − 4x = y
6) Deˆ exemplo de uma func¸a˜o real f tal que f ′(1) = 0. O que este valor significa?
7) Encontre os pontos onde a reta tangente ao gra´fico de f definida por f(x) = x4 + 4x e´ paralela ao eixo x.
8) Ache as condic¸o˜es sobre b, c e d para que o gra´fico do polinoˆmio p(x) = x3 + bx2 + cx+ d tenha:
a) exatamente duas tangentes horizontais.
b) exatamente uma tangente horizontal.
c) na˜o tenha tangente horizontal.
9) A reta normal ao gra´fico de uma func¸a˜o f num ponto do gra´fico e´ a reta perpendicular a` reta tangente ao
gra´fico da func¸a˜o nesse ponto. Determine a reta normal ao gra´fico de f(x) = x3 + 2x− 1 em (1, f(1)).
10) Determine a func¸a˜o derivada de f .
a) f(x) = x2 + 3
√
x+ cos(x) + sen(x)
b) f(x) =
3
√
x
2
√
x
c) f(x) =
x2
ln(x)
+
ln(x)
x
d) f(x) = tg(x) + cotg (x)
e) f(x) = cos(40)x
f) f(x) = 4sec (x)− 2cossec (x)
g) f(x) = x2 sen(x) + 2x cos(x)
h) f(x) = sen(x) tg(x)
i) f(x) = sen(x) cos(x)sec (x)
j) f(x) =
x+ 1
2 cos(x)
k) f(x) =
tg(x)
cos(x)− 4
l) f(x) =
sen(x)− 1
cos(x) + 1
11) Sejam f, g e h func¸o˜es deriva´veis. Determine
[f(x)g(x)h(x)]′ e
[
f(x)g(x)
h(x)
]′
.
12) Determine a derivada de f(x) =
log2(x)
log4(x)
.
Dica: Para x > 0, loga x =
ln(x)
ln(a)
, com a > 0 e a 6= 1.
13) Esboce o gra´fico de f, f ′ e f ′′.
a) f(x) = x2|x|
b) f(x) =
{
x2 + 2x, se x ≥ −1
x, se x < −1
14) Encontre os valores de x tais que f ′(x) = 0.
a) f(x) = x2 − 3x+ 4 b) f(x) = ex
c) f(x) = − x
2
(x− 1)2
15) Dada a func¸a˜o f(x) = (x− 1)3, determine
a) x tal que f ′(x) = 0. b) intervalo em que f ′(x) > 0
16) Cada figura e´ o gra´fico de uma func¸a˜o f . Esboce o gra´fico de f ′ e determine onde f na˜o e´ deriva´vel.
a) −2 −1 1 2
x
y
1
b) −2 −1 1 2
x
y
1
17) Deˆ exemplo (por meio de um gra´fico) de uma func¸a˜o real f tal que f ′(x) > 0, para todo x ∈ R. O que esse
resultado parece indicar a respeito da func¸a˜o f?
18) Dada a func¸a˜o f(x) =
(1− x)3
3x− 2 determine:
a) Os valores de x para os quais f ′(x) = 0.
b) Os valores de x para os quais f ′′(x) = 0.
c) As ass´ıntotas verticais e horizontais ao gra´fico de f , se existirem.
d) Os intervalos em que f ′(x) > 0 e os intervalos em que f ′(x) < 0.
e) Os intervalos em que f ′′(x) > 0 e os intervalos em que f ′′(x) < 0.
19) Mostre que a func¸a˜o y = xe−x satisfaz a` equac¸a˜o xy′ = (1− x)y.
20) Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo onde bacte´rias estavam crescendo, a populac¸a˜o de bacte´rias
continuou a crescer por um tempo, mas depois comec¸ou a diminuir. O tamanho da populac¸a˜o no instante t
(em horas) foi dada por p(t) = 106 + 104t− 103t2 . Determine as taxas de crescimento para t = 5 h e t = 10 h.
23) Depois de aberta a va´lvula inferior de um tanque de armazenamento e´ necessa´rio esperar 12h para esvazia´-
lo. A profundidade y (em metros) do l´ıquido no tanque, t horas depois que a va´lvula foi aberta, e´ dada por
y = 6
(
1− t12
)2
metros.
a) Encontre a taxa dydt (m/h) de esvaziamento do tanque no instante t.
b) Quando a altura do l´ıquido no tanque diminuira´ mais rapidamente? E mais lentamente? Quais os valores
de dydt nesses instantes?
24) Seja f tal que f(x) = |x2 − 1|. Mostre que f na˜o e´ deriva´vel nos pontos , x = −1 e x = 1. Para tanto,
analise analiticamente (via definic¸a˜o de derivada) e, depois, geometricamente (exibindo o esboc¸o gra´fico de f e
localizando as quinas no gra´fico).
25) Considere o gra´fico da func¸a˜o real f .
a) Em quais pontos f na˜o e´ deriva´vel?
b) Em quais pontos f tem derivada nula?
c) Em quais intervalos f tem derivada negativa e/ou positiva? Por que?
26) Associe o gra´fico de cada func¸a˜o (a)–(d) com o gra´fico de sua derivada em (1)–(4).
27) Se a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto (4, 3) passa pelo ponto (0, 2), calcule f(4) e f ′(4).
28) Determine as constantes a e b tais que: f(x) = x2 + ax+ b, f(1) = −4 e f ′(2) = 5.
29) Mostre que a func¸a˜o f(x) = x3 + 7x− 3 na˜o possui uma reta tangente com inclinac¸a˜o igual a 4.
30) Encontre os pontos do gra´fico da func¸a˜o f definida por f(x) = x3 − x2 − x + 1 em que a reta tangente e´
horizontal.
31) Calcule a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo ABC, de aˆngulo reto em B, indicado na figura. Sabe-se que a reta r e´
normal a` curva f(x) = x2 − 1 no ponto C, cuja abscissa e´ 1.
32) A partir dos gra´ficos das func¸o˜es reais f e g, exibidos abaixo, esboce o gra´fico de f ′ e de g′.
33) Os gra´ficos das func¸o˜es f e g sa˜o dados abaixo. Se p(x) = f(x).g(x) e q(x) = f(x)/g(x), calcule p′(1) e q′(5).
34) Determine a func¸a˜o derivada de f definida por:
a) (x2 + 4x− 5)4
b) (2x4 − 7x3)e
c) (x2 + 4)−2
d) sec (6x)
e) cotg (10x)
f) cos(3x2 + 1)
g) 4x
1
2 + 5x−
1
2
h)
√
1 + 4x2
i) 3
√
2x
j) e
√
x
k) ln(x2 + 2x)
l) esen(x)
m) tg(ln(x))
n) ln(tg(x))
35) Determine
dy
dx
.
a)
1
x
+
1
y
= 1
b) x2y2 = x2 + y2
c) 3
√
x+ 3
√
xy = 4y2
d) 2x3y + 3xy3 = 5
36) Determine uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva 16x4 + y4 = 32 no ponto (1, 2).
37) Determine fn(x), em que:
a) f(x) = 2x4 + 3, n = 3.
b) f(x) =
(
1
x
)2
, n = 2.
c) f(x) = cos(x), n = 3.
d) f(x) = sen(2x), n = 50.
38) Seja y =
x3
x+
√
x
. Calcule
dy
dx
∣∣∣∣
x=1
.
39) Seja f : R −→ R deriva´vel e seja g(t) = f(t2 + 1). Supondo f ′(2) = 5, calcule g′(1).
40) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es
a) y = arcsen
√
x
b) y = (1 + arccos 3x)3
c) y = ln(arctgx2)
d) y = 3arcsenx
3
e) (tgx)arctgx
41) Assuma y em func¸a˜o de x e determine y′ por derivac¸a˜o impl´ıcita.
a) y = xsen y
b) ex cos y = xey
c) x2 + xarcsen y = yex
42) Verifique que y =
√
1 + x2
1− x2 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
(xy2 + x) + (x2y − y)y′ = 0.
43) Resolva os seguintes problemas de taxas relacionadas:
a) Uma escada de 6 m de comprimento esta´ apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada comec¸a a
deslizar horizontalmente, a` raza˜o de 0,6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando
esta´ a 4 m do solo?
b) Dois carros, um dirigindo-se para o leste a` taxa de 72 km/h e o outro para o sul a` taxa de 54 km/h esta˜o
viajando em direc¸a˜o ao cruzamento de duas rodovias. A que taxa os carros se aproximam um do outro, no
instante em que o primeiro estiver a 400 m e o segundo estiver a 300 m do cruzamento?
c) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diaˆmetro varia a` raza˜o de 0,01 cm/min. Determine a taxa
a` qual a a´rea de uma das faces varia quando o diaˆmetro esta´ em 30 cm.
d) Um inceˆndio em um campo aberto se alastra em forma de c´ırculo. O raio do c´ırculo aumenta a` raza˜o de
1 m/min. Determine a taxa a` qual a a´rea incendiada esta´ aumentando quando o raio e´ de 20 m.
e) Uma luz esta´ no alto de um poste de 5 m. Um menino de 1,6 m se afasta do postea` raza˜o 1,2 m/s. A que
taxa aumenta o comprimento de sua sombra quando ele esta´ a 6 m do poste? A que taxa se move a ponta
de sua sombra?
f) A areia que vaza de um depo´sito forma uma pilha coˆnica cuja altura e´ sempre igual ao raio. Se a altura
da pilha aumenta a` raza˜o de 15 cm/min, determine a velocidade com que a areia esta´ escoando quando a
altura da pilha e´ 25 cm.
g) Suponha que uma bola de neve esfe´rica e´ formada de tal maneira que seu volume aumenta a` taxa de 8
dm3/min. Determine a taxa a qual o raio e´ aumentado quando a bola de neve tem 4 dm de diaˆmetro.
h) As extremidades de um cocho horizontal de 8 m de comprimento sa˜o trape´zios iso´sceles de bases de 2 m
e 1 m. A altura do cocho e´ de 0,6 m. Se o n´ıvel da a´gua esta´ subindo a` raza˜o de 0,1 cm/min, quando a
profundidade da a´gua e´ de 0,3 m com que velocidade a a´gua esta´ entrando no cocho?
i) A`s 8 h o navio A esta´ a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A esta´ navegando para o oeste a uma velocidade
de 16 km/h e o navio B esta´ navegando para o sul a 20 km/h, determine a raza˜o em que a distaˆncia entre
os navios esta´ variando a`s 8h30min.
j) Um farol girato´rio completa uma volta a cada 15 segundos. O farol esta´ a 60 m de P, o ponto mais pro´ximo
em uma praia retil´ınea. Determine a raza˜o em que um raio de luz do farol esta´ se movendo ao longo da
praia em um ponto, Q, a 150 m de P .
44) Determine a func¸a˜o derivada de f definida por:
a) (5x3 + 2x)3(x− x2)2
b) 4
√
1 + 2x+ x3
c)
(x− 1)4
(x2 + 2x)5
d) cos(ex + 1)
e) 3
√
(1 + x4)2
f)
x√
x2 + 1
g) (x2 + 1) 3
√
x2 + 2
h) sen (sen (senx)))
i)
22x cos(3x)
sen (5x)
j)
sen (2x)
lnx2
k) 2sen (x2) cos(x+ 1)
l)
√
x+
√
x+
√
x
m)
√
x− 1
x+ 1
n) e
√
x(x3 − 5x)
o) ex cosx
p) ln
[
x2senx√
1 + x
]
q) tg 2(3x)
45) Sejam f e g duas func¸o˜es diferencia´veis. Se F (x) = f(g(x)), g(3) = 6, g′(3) = 4, f ′(3) = 2 e f ′(6) = 7, calcule
F ′(3).
46) Seja g uma func¸a˜o duas vezes deriva´vel e f dada por f(x) = g(x + 2 cos(3x)). Sabendo que g′(2) = 1 e que
g′′(2) = 8, determine f ′′(x) e f ′′(0).
47) Calcule as derivadas das func¸o˜es hiperbo´licas.
48) Determine f ′(3) sabendo-se que f(5 + 2x) + f(2x2 + 1) = 4x2 + 4x+ 2.
49) Mostre que as retas tangentes a`s curvas C1 : 4y
3 − x2y − x + 5y = 0 e C2 : x4 − 4y3 + 5x + y = 0 na origem,
sa˜o perpendiculares.
50) Considere a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e desenhe a reta tangente num ponto arbitra´rio qualquer (xp, yp) dessa curva.
Derivando implicitamente, mostre que a tangente, em qualquer ponto arbitra´rio (xp, yp) da elipse, tem equac¸a˜o
xpx
a2
+
ypy
b2
= 1.
51) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .
a) f(x) = x3 + 2x2 + x+ 1 b) f(x) = x+
1
x
Gabarito
1) a) 3 b) −1
4
c) 4 d)
1
3 3
√
4
2) a) A func¸a˜o f na˜o e´ deriva´vel em x = 1, pois lim
h→0+
f(1 + h)− f(1)
h
= −1 e lim
h→0−
f(1 + h)− f(1)
h
= 2.
b) A func¸a˜o f e´ deriva´vel em x = p.
3) A func¸a˜o f na˜o e´ cont´ınua em x = 2, pois na˜o existe o limite de f(x) quando x tende a 2. Portanto, f na˜o e´
deriva´vel em x = 2.
4) a) y = 4x− 4 b) x− 6y + 9 = 0 c) y = x− 1
5) a)
dy
dx
= 8x7 + 6x5 + 5x4 + 3
b)
dy
dx
= −3x−4 + 16x
c)
dy
dx
= anxn−1 + 2(n− 1)xn−2 + k
d)
dy
dx
= (b2 + a2)xb
2+a2−1 − 4
6) Considere a func¸a˜o f definida por f(x) = x2 − 2x. A tangente ao gra´fico de f que passa por (1, f(1)) e´
horizontal.
−2−2−2−2−2
x
y
7) −1
8) a) b2 > 3c, d ∈ R b) b2 = 3c, d ∈ R c) b2 < 3c, d ∈ R
9) y = −1
5
+
11
5
10) a) 2x+
1
3
x
−
2
3 − sen (x) + cos(x)
b) −1
6
x
−
7
6
c)
2x ln(x)− x
(ln(x))2
+
1− ln(x)
x2
d) sec 2(x)− cossec 2(x)
e) cos(40)
f) 4sec (x)tg (x) + 2cossec (x)cotg (x)
g) 2xsen (x) + x2 cos(x) + 2 cos(x)− 2xsen (x)
h) sen (x) + sen (x)sec 2(x)
i) cos(x)
j)
2 cos(x) + 2(x+ 1)sen (x)
4sen 2(x)
k)
sec 2(x)(cos(x)− 4) + tg (x)sen (x)
(cos(x)− 4)2
l)
1 + cos(x)− sen (x)
(cos(x) + 1)2
11) [f(x)g(x)h(x)]′ = f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x) + f(x)g(x)h′(x)[f(x)g(x)
h(x)
]′
=
f ′(x)g(x)h(x) + f(x)g′(x)h(x)− f(x)g(x)h′(x)
(h(x)2)
12) 0
13) a) f(x) =
{
x3, se x ≥ 0
−x3, se x < 0 , f
′(x) =
{
3x2, se x ≥ 0
−3x2, se x < 0 e f
′′(x) =
{
6x, se x ≥ 0
−6x, se x < 0
x
y
y = f(x)
x
y
y = f ′(x)
x
y
y = f ′′(x)
b) f(x) =
{
x2 + 2x, se x ≥ −1
x, se x < −1 , f
′(x) =
{
2x+ 2, se x > −1
1, se x < −1 e f
′′(x) =
{
2, se x > −1
0, se x < −1
x
y
−1
y = f(x)
x
y
−1
y = f ′(x)
x
y
−1
y = f ′′(x)
14) a) 3/2 b) na˜o existe c) 0
15) a) x = −1 b) f ′(x) > 0 para x 6= −1
16) a) f na˜o e´ deriva´vel em x = −1 e em x = −1.
x
y
−1 1
−1
1
b) f na˜o e´ deriva´vel em x = −1 e em x = −1.
x
−1 1
y
−1
1
17) A func¸a˜o e´ crescente.
x
y
18) a) x = 1 e x = 1/2
b) 1
c) Ass´ıntota vertical em x = 2/3. Na˜o tem ass´ıntota horizontal.
d) f ′(x) > 0 em (−∞, 1/2) e f ′(x) < 0 em (1/2, 2/3), (2/3, 1) e em (1,+∞).
e) f ′′(x) > 0 em (2/3, 1) e f ′′(x) < 0 em (−∞, 2/3) e em (1,+∞).
20) t = 5,
dp
dt
= 0 (parou o crescimento)
t = 10,
dp
dt
= −1000 bacte´rias/h (velocidade decrescente da populac¸a˜o de bacte´rias).
23) a)
dy
dt
=
t
12
− 1
b)
dy
dt
(0) = −1m/h (mais rapidamente) dy
dt
(12) = 0m/h (mais lentamente)
24) f ′−(−1) = −2 e f ′+(−1) = 2. Portanto, na˜o existe f ′(−1).
f ′−(1) = −2 e f ′+(1) = 2. Portanto, na˜o existe f ′(1).
25) a) Em x0 = −1 e em x0 = 8 pois o gra´fico de f tem uma quina nestes pontos. Em x0 = 4 pois f e´ descont´ınua
neste ponto. E, em x0 = 11 pois a reta tangente ao gra´fico de f e´ vertical neste ponto, ou seja, o limite da
definic¸a˜o de derivada e´ infinito.
b) Em x0 = 9 e em x0 = 10 pois, nestes pontos, a reta tangente e´ paralela ao eixo x.
c) f ′(x) < 0 nos intervalos (−∞,−1), (8, 9) e (10,+∞), pois nestes intervalos a func¸a˜o e´ decrescente.
f ′(x) > 0 nos intervalos (−1, 4), (4, 8) e (9, 10) pois nestes intervalos a func¸a˜o e´ crescente.
26) (a)-(2); (b)-(4); (c)-(1); (d)-(3).
27) f(4) = 3 e f ′(4) = 1/4
28) a = 1 e b = −6
29) Mostre que a equac¸a˜o f ′(p) = 3p2 + 7 = 4 na˜o tem soluc¸a˜o em R.
30) Resolva a equac¸a˜o f ′(x) = 0. Os pontos sa˜o (−1/3, 32/27) e (1, 0).
31) Determine a equac¸a˜o da reta normal para obter o ponto A(−3/2, 5/4) (intersec¸a˜o entre a reta e a func¸a˜o). O
ponto B(−3/2, 0) tem abscissa igual a do ponto A. Com isso, a a´rea e´ igual a 25/16u.a.
33) p′(1) = 0 e q′(5) = −2/3.
34) a) 4(x2 + 4x− 5)3(2x+ 4)
b) e(2x4 − 7x7)e−1(8x3 − 21x2)
c) −2(x2 + 4)−3(2x)
d) 6sec (6x)tg (6x)
e) −10cossec (10x)
f) −6xsen (3x2 + 1)
g) 2x
−
1
2 − 5
2
x
−
3
2
h) 4x(1 + 4x2)
−
1
2
i)
2
3
(2x)
−
2
3
j)
1
2
x
−
1
2 e
√
x
k)
2x+ 2
x2 + 2
l) cos(x)esen (x)
m)
1
x
sec 2(ln(x))
n)
1
cos(x)sen (x)
35) a)
dy
dx
= −y
2
x2
b)
dy
dx
=
x(1− y2)
y(x2 − 1)
c)
dy
dx
=
y + 3
√
y2
24 3
√
y5.
3
√
x2 − x
d)
dy
dx
= −3y(y
2 + 2x2)
x(2x2 + 9y2)
36) y = −2x+ 4
37) a) f ′′′(x) = 48x
b) f ′′(x) =
6
x4
c) f ′′′(x) = sen (x)
d) f (50)(x) = −250 sen(2x)
38)
dy
dx
∣∣
x=1
=
9
8
39) g′(1) = 10
40) a)
1
2
√
1− x√x
b)
−9(1 + arccos 3x)3√
1− 9x2
c)
2x
(1 + x4)arctgx2
d)
3 ln 3x2 3arcsenx
3
√
1− x6
e) (tgx)arctgx
(
cotgxsec xarctgx+
ln(tgx)
1 + x2
)
41) a)
sen y
1− x cos y
b)
ex cos y − ey
exsen y + xey
c)
√
1− y2(yex − arcsen y − 2x)
x− ex
√
1− y2
43) a)
−3√5
10
m/s
b) Os carros se aproximam a uma taxa
de 90 Km/h (
dz
dx
= −90).
c) 0, 15pi cm2/mind) 40pi m2/min
e) velocidade do comprimento da sombra: 0, 564m/s
velocidade da ponta da sombra: 1, 764 m/s
f) 9375pi cm3/min
g) 0.5pi dm/min
h) 0, 84 dm/min
i) Os barcos se aproximam a uma taxa
de
172
17
km/h (
dz
dt
= −172
17
)
j) 3480pi m/min
44) a) (5x3 + 2x)2(x− x2)(−65x4 + 55x3 − 14x2 + 10x)
b)
2 + 3x2
4 4
√
(1 + 2x+ x3)3
c)
2(x− 1)3(5 + 4x− 3x2)
x2 + 2x)6
d) −2xsen(x2 + 1)
e)
8x3
3 3
√
1 + x4
f)
1√
(1 + x2)3
g) 2x 3
√
x2 + 2
(
1 +
x2 + 1
3x2 + 6
)
h) cos[sen (sen (x))] cos[sen(x)] cos(x)
i)
22x ln(4) cos(3x)− 3 22xsen (3x)sen (5x)− 5 22x cos(3x) cos(5x)
sen 2(5x)
j)
2x cos(2x) ln(x2)− 2sen (2x)
2sen (2x)x ln2(x2)
k) 4x cos(x2) cos(x+ 1)− 2sen (x2)sen (x+ 1)
l)
4
√
x
√
x+
√
x+ 2
√
x+ 1
8
√
x
√
x+
√
x
√
x+
√
x+
√
x
m)
1
(x+ 1)
√
x2 − 1
n) e
√
x[x
3−5x
2
√
x
+ 3x2 − 5]
o) ex cosx[cosx− xsen (x)]
p) 2x + cotgx+
1
2+2x
q) 6tg (3x)sec 2(3x)
45) F ′(3) = 28
46) f”(x) = g”(x+ 2 cos(3x))(1− 6sen (3x))2 − 18 cos(3x)g′(x+ 2cos(3x)) e f”(0) = −10.
47) [senh (x)]′ = cosh(x)
[cosh(x)]′ = senh (x)
[tgh (x)]′ = sech2(x)
[coth(x)]′ = − cosech2(x)
[sech(x)]′ = − sech(x).tgh (x)
[cosech(x)]′ = − cosech(x) coth(x)
48) 2
51) a) estritamente crescente em ]−∞,−] e [−1
3
,+∞[
estritamente decrescente em [−1, 1
3
]
b) estritamente crescente em ]−∞,−] e [1,+∞[
estritamente decrescente [−1, 0[ e ]0, 1].