Questão 2 da AD2 2018.1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Questa˜o 2 (2,5 pontos) Um fazendeiro cria cabras e bodes em um pasto e deseja separar parte
deste pasto para os cabritos. Ele cercara´ uma a´rea retangular utilizando, como um dos lados, uma
cerca ja´ existente, como mostra a figura. A cerca a ser constru´ıda deve medir 80m de comprimento
total, isto e´, a soma das medidas dos treˆs lados que sera˜o constru´ıdos.
(a) Sendo ` o comprimento do lado da cerca paralelo a` cerca ja´ existente, como mostra a figura,
determine o comprimento dos outros lados.
(b) Determine a a´rea do pasto dos cabritos em func¸a˜o, dependendo do valor de `.
(c) Determine o(s) valor(es) de ` para que a a´rea do pasto dos cabritos seja de 672m2.
(d) Para quais valores de ` o pasto dos cabritos tem a´rea maior do que 750m ?
Soluc¸a˜o:
(a) O comprimento total de cerca a ser constru´ıdo e´ de 80m, logo, sendo ` a medida do lado
destacado na figura, restam 80 − ` para os dois outros. Como estes lados sa˜o iguais (lados
opostos de um retaˆngulo), cada um deles medira´
80− `
2
.
(b) A a´rea A do pasto, enta˜o, sera´ a de um retaˆngulo de dimenso˜es ` e
80− `
2
. Assim,
A = ` · 80− `
2
=
`(80− `)
2
=
80`− `2
2
.
(c) Para A = 672, teremos
80`− `2
2
= 672,
logo
80`− `2 = 1344,
Me´todos Determin´ısticos I Crite´rio de Correc¸a˜o da Questa˜o 2 da AD 2 – 2018-1 2
e, portanto,
`2 − 80`+ 1344 = 0.
Nesta equac¸a˜o quadra´tica, temos
∆ = (−80)2 − 4 · 1 · 1344 = 6400− 5376 = 1024.
Assim
` =
−(−80)±√1024
2 · 1 =
80± 32
2
,
logo ` = 56 ou ` = 24.
(d) Temos A > 750 se, e somente se,
80`− `2
2
> 750⇔ 80`− `2 > 1500⇔ −`2 + 80`− 1500 > 0⇔ `2 − 80`+ 1500 < 0.
A igualdade `− 80`+ 1500 = 0 ocorre quando
` =
80±√802 − 4 · 1 · 1500
2
=
80±√400
2
=
80± 20
2
,
isto e´, quando ` = 30 ou ` = 50.
Assim, podemos escrever
`2 − 80`+ 1500 = (`− 30)(`− 50).
Com isso,
A > 750⇔ `2 − 80`+ 1500 < 0⇔ (`− 30)(`− 50) < 0.
Para descobrir quando isto ocorre, recorremos a um quadro de sinais:
(−∞, 30) 30 (30, 50) 50 (50,+∞)
`− 30 − 0 + + +
`− 50 − − − 0 +
(`− 30)(`− 50) + 0 − 0 +
Assim,
A > 750⇔⇔ (`− 30)(`− 50) < 0⇔ 30 < ` < 50.
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