Sistemas de Equações Lineares

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A´lgebra Linear (e Geometria Anal´ıtica)
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Ineˆs Barbedo
Ineˆs Barbedo AL(GA) IC 1A Mtm 2A 1S 1 / 22
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Uma expressa˜o a1x1 + a2x2 + ·+ anxn = b onde a1, a2, ..., an sa˜o
nu´meros reais, a que se chama coeficientes , x1, x2, ..., xn sa˜o as
inco´gnitas e b e´ o termo independente e´ uma
equac¸a˜o do 1ograu ou linear .
Exemplo:
A equac¸a˜o linear 2x + 5y − 3z = 2 representa um plano em R3, e
pode escrever-se na forma 2x1 + 5x2 − 3x3 = 2.
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Um conjunto de equac¸o˜es lineares, definidas em R, constitui um
sistema de equac¸o˜es lineares e representa-se, na forma cano´nica, por


a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + ...+ a3nxn = b3
·
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
onde aij e bi com i = 1, ...,m e j = 1, ..., n sa˜o conhecidos e
x1, x2, ..., xn sa˜o as inco´gnitas a determinar.
Os n-uplos (x1, x2, · · · , xn) das inco´gnitas, em R
n, que verificam as
equac¸o˜es chamam-se soluc¸o˜es
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Exemplo:
Considere o seguinte sistema


2x1 − 3x2 + x3 = 4
x1 + x2 − x3 = −1
3x1 + 2x3 = 1
−x1 + 4x2 = 0
Identifique os coeficientes, as varia´veis e os termos independentes.
Verifique se o ponto (0, 1, 2) e´ soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es.
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Classificac¸a˜o dos SEL quanto ao conjunto de soluc¸o˜es
Sistemas Poss´ıveis
Determinados: uma so´ soluc¸a˜o
Indeterminados: infinitas soluc¸o˜es
Sistemas Imposs´ıveis: quando na˜o existe soluc¸a˜o
Exemplos:
{
x + y = 2
x − y = 0
e´ um sistema poss´ıvel e determinado;
{
x + y = 2
2x + 2y = 4
e´ um sistema poss´ıvel indeterminado;
{
x + y = 2
x + y = 0
e´ um sistema imposs´ıvel.
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Forma matricial
Um sistema de m equac¸o˜es lineares e n inco´gnitas pode ser
representado por uma “tabela” de nu´meros para a qual fixamos
mentalmente a posic¸a˜o das varia´veis e dos sinais de igual. A esta
tabela chama-se matriz ampliada ou completa do sistema de equac¸o˜es
linares e sera´ denotada por [A|B ] onde A e´ a matriz dos coeficientes
do sistema e B os termos independentes. Ou seja,
dado o sistema


a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + ...+ a3nxn = b3
·
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
a matriz ampliada e´


a11 a12 · a1n | b1
a21 a22 · a2n | b2
a31 a32 · a3n | b3
...
...
... |
...
am1 am2 · amn | bm


.
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Exemplo:
Consideremos o sistema


2x1 − 3x2 + x3 = 4
x1 + x2 − x3 = −1
3x1 + 2x3 = 1
−x1 + 4x2 = 0
A matriz ampliada e´


2 −3 1 | 4
1 1 −1 | −1
3 0 2 | 1
−1 4 0 | 0

.
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Dois sistemas dizem-se equivalentes se teˆm exatamente as mesmas
soluc¸o˜es. Dado um sistema de equac¸o˜es lineares obte´m-se um sistema
equivalente quando:
i. se trocam as equac¸o˜es entre si;
ii. se multiplicam ambos os membros da equac¸a˜o por uma constante
diferente de zero;
iii. se substitui uma equac¸a˜o pelo resultado da sua soma, membro a
membro, com outra multiplicada por uma constante diferente de
zero.
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Considere-se o sistema de m equac¸o˜es e n inco´gnitas represenrtado
pela matriz ampliada [A|B ] com m linhas e (n + 1) colunas. Usando
esta forma matricial de representar um sistema pode-se escrever
novamente as operac¸o˜es elementares de Gauss, que permitem obter
sistemas equivalentes, mas como operac¸o˜es sobre as linhas da matriz.
Assim, dado um sistema de equac¸o˜es lineares obte´m-se um sistema
equivalente quando:
i. se trocam linhas na matriz ampliada;
ii. se multiplica uma linha da matriz ampliada por uma constante
diferente de zero;
iii. substitui uma linha da matriz ampliada pela sua soma com outra
linha multiplicada por uma constante diferente de zero.
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Matriz escalona e matriz escalonada reduzida
Usando as operac¸o˜es sobre as linhas de uma matriz transforma-se a
matriz numa outra matriz, denominada matriz escalonada reduzida.
Um matriz desta forma verifica as seguintes propriedades:
Se uma linha na˜o for totalmente constituida por zeros, enta˜o o
primeiro elemento diferente de zero e´ 1 e chama-se pivot.
Se existirem linhas constituidas unicamente por zeros, enta˜o elas
sera˜o as linhas mais abaixo na matriz.
Em duas linhas consecutivas que na˜o sa˜o unicamente cosntituidas
por zeros, o pivot da linha abaixo encontra-se a` direita do pivot 1
da linha acima.
Em todas as colunas com pivot 1 os restantes elementos sa˜o
todos zero.
Uma matriz que verifique apenas as treˆs primeiras propriedades diz-se
matriz escalonada (mas na˜o reduzida).
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Exemplos:
As seguintes matrizes sa˜o escalonadas reduzidas
 1 0 0 40 1 0 7
0 0 1 −1

,

 1 00 1
0 0

,


0 1 −2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

 .
As seguintes matrizes sa˜o escalonadas
 1 4 −3 70 1 6 2
0 0 1 5

,

 1 1 00 1 0
0 0 1

,

 0 1 2 6 00 0 1 −1 0
0 0 0 0 1

.
Para encontrar o conjunto soluc¸a˜o do sistema basta partir da matriz
ampliada e recuperar o sistema de equac¸o˜es lineares.
Exerc´ıcio:
Indique o conjunto soluc¸a˜o para os sistemas representados pelas
matrizes escalonadas reduzidas apresentadas no exemplo anterior.
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Para resolver um sistema de equac¸o˜es lineares usando a matriz
ampliada e as operac¸o˜es de Gauss sobre as linhas da matriz, devem
seguir-se os seguintes passos:
Passo1: procurar a coluna mais a` esquerda com elementos na˜o nulos.
Passo2: trocar linhas, caso seja necessa´rio, de forma a colocar no topo da
coluna escolhida no passo anterior os elementos diferentes de zero.
Passo3: Multiplicar por um escalar na˜o nulo o elemento do topo da coluna
escolhida no Passo1 de forma a obter o pivot 1.
Passo4: Adicionar a`s restantes linhas a 1a linha multiplicada por um
escalar na˜o nulo de forma a obter zeros abaixo do pivot.
Passo5: marcar a primeira linha, voltar ao Passo1 e aplicar de novo todos
os passos a` restante submatriz (matriz que se obte´m da antetior
eliminando uma linha).
O Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss e´ portanto um processo para
encontrar matrizes escalonadas.
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Exerc´ıcios:
Usando o Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss transforme as seguintes
matrizes em matrizes escalonadas:
a.
[
1 2 −3
0 5 1
]
,
b.

 1 2 0 15 2 0 2
3 1 0 −1

.
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan
Se ao operarmos sobre as linhas de uma matriz o objetivo for obter
uma matriz escalonada (mas agora) reduzida, enta˜o aos cinco passos
descritos anteriormente acrescenta-se outro.
Passo6: Escolher a u´ltima linha da matriz que tem elementos diferentes de
zero e, de baixo para cima, adicionar a`s restantes linhas a u´ltima
linha multiplicada por um escalar diferente de zero de forma a
obter zeros acima do pivot.
Exerc´ıcio:
Considerando as matrizes escalonadas do exerc´ıcio anterior
transforme-as agora em matrizes escalonadas reduzidas.
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Caracter´ıstica de uma matriz
Numa matriz escalonada A o nu´mero de linhas na˜o nulas diz-se a
caracter´ıstica de A, e representa-se por r(A).
Exerc´ıcios:
Determine a caracter´ıstica das matrizes seguintes
a.
[
1 2
−1 0
]
,
b.

 1 2 −3 10 2 −1 2
3 1 0 −1

.
A caracter´ısticada matriz pode ser calculada usando os determinantes.
Seja A uma matriz. A caracter´ıstica r(A) e´ a ordem da maior matriz
quadrada que se pode extrair de A com determinante na˜o nulo.
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O teorema que se segue permite classificar um sistema quanto ao
conjunto soluc¸a˜o sem ter que o resolver.
Teorema:
Dado um sistema de m equac¸o˜es lineares e n inco´gnitas, onde A e´ a
matriz dos coeficientes e [A|B ] e´ a matriz ampliada, tem-se que:
se r(A) 6= r([A|B ]) enta˜o o sistema e´ imposs´ıvel;
se r(A) = r([A|B ]) enta˜o o sistema e´ poss´ıvel e
determinado se o nu´mero de inco´gnitas e´ igual a r(A), isto e´,
r(A) = n;
indeterminado se o nu´mero de inco´gnitas e´ maior que r(A), isto e´,
r(A) < n.
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Exerc´ıcios:
Classifique os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares quanto ao
conjunto de soluc¸o˜es sem os resolver.
a.


x + 2y − z = 1
y + 3z = 2
2x − z = −1
b.


x = 3y − 1
−4y + 3z = x
x = 2− z
A um sistema com m equac¸o˜es e n inco´gnitas cujos termos
independentes sa˜o todos nulos chama-se sistema homoge´neo.
Observac¸a˜o: Um sistema homoge´neo e´ sempre poss´ıvel, basta atribuir
a cada uma das varia´veis o valor zero e verificar que se obteˆm
identidades verdadeiras.
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Resoluc¸a˜o de SEL usando determinantes
REGRA DE CRAMER:
Consideremos o sistema

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
· · ·
an1x1 + an2x2 + ...+ annxn = bn
em que o nu´mero de equac¸o˜es lineares e´ igual ao nu´mero de inco´gnitas
e o determinante associado a` matriz A, dos coeficientes, e´ diferente de
zero (|A| 6= 0), isto e´, a caracter´ıstica da matriz dos coeficientes e´
ma´xima (r(A) = n). Enta˜o
x1 =
D1
|A| , x2 =
D2
|A| , x3 =
D3
|A| , · · · , xn =
Dn
|A|
onde Dj , j=1, · · · , n e´ o determinante da matriz que se obte´m de A
substituindo os elementos da coluna j pelos termos independentes do
sistema.
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Exemplo:
Considere o sistema


a + 2c = 1
b + c = 0
−a + b + 2c = 2
.
A matriz A associada a este sistema e´ A =

 1 0 20 1 1
−1 1 2

 . Assim,
D1 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 2
0 1 1
2 1 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −3; D2 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 2
0 0 1
−1 2 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −3 e D3 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 1
0 1 0
−1 1 2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 3.
Como |A| = 3, a = D1|A| = −1, b =
D2
|A| − 1 e c =
D3
|A| = 1.
Exerc´ıcio:
Como classifica os sistemas aos quais se pode aplicar a Regra de
Cramer? Justifique.
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Matriz inversa usando o Me´todo de Gauss-Jordan
Observe-se que determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A
e´ determinar a matriz X tal que A · X = I . Portanto, equivale a
resolver um sistema de equac¸o˜es lineares.
Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A invert´ıvel,
constroi-se a matriz [A|I ], onde I e´ a matriz identidade de ordem igual
a A. Aplicam-se as operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz, ja´
descritas anteriormente, ate´ se obter a matriz identidade do lado
esquerdo da matriz ampliada. A matriz inversa de A e´ a matriz do
lado direito, ou seja, [I |A−1].
Considerando A a matriz dos coeficientes, X a matriz das inco´gnitas e
B a matriz dos termos independentes de uma sistema de equac¸o˜es
lineares, o sistema pode ser escrito na forma
A · X = B ⇔ X = A−1 · B
que nos fornece uma outro me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas utilizando
a matriz inversa dos coeficientes do sistema.
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Matriz inversa usando determinantes
Seja A ∈ Mn em R. A matriz adjunta de A e´ a transposta da matriz
cujos elementos sa˜o os complementos alge´bricos de A e nota-se por
Adj(A). Assim, seja Cij o complemento alge´brico do elemento aij da
matriz A, Adj(A) = [Cij ]
T .
Exemplos:
Seja A =
[
1 2
3 4
]
enta˜o adj(A) =
[
(−1)1+1 |4| (−1)1+2 |3|
(−1)2+1 |2| (−1)2+2 |1|
]T
=
[
4 −3
−2 1
]T
=
[
4 −2
−3 1
]
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A matriz A so´ tem inversa se |A| 6= 0. Uma matriz nestas condic¸o˜es
diz-se regular. Caso contra´rio, como ja´ foi referido, a matriz diz-se
singular.
Teorema
A inversa de uma matriz regular A de ordem n e´ dada por
A−1 = 1|A|Adj(A).
Exemplo:
Seja A =
[
1 2
3 4
]
. |A| =
∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ = 4− 6 = −2 e
adj(A) =
[
4 −2
−3 1
]
portanto
A−1 = 1−2
[
4 −2
−3 1
]
=
[
−2 1
3
2 −12
]
.
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