Controle de siatemas lineares exercicios resolvidos

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faculdade de cieˆncia e tecnologia
de montes claros
revisa˜o
Sistemas de Controles Lineares
Lista de Exerc´ıcios de Revisa˜o para
Prova 1
Autor:
Jamilson Oliveira Prates
Prof. Hugo Andrei Mendes
Eng. Ele´trica
Maio de 2018
Montes Claros - MG
Engenharia e´ Facit 1 Sistemas de Controle
Suma´rio
1 Desenvolvimento 3
2 Questa˜o 1 - Defina de forma objetiva e deˆ exemplos pra´ticos, ou seja exem-
plos na industria de sistemas com essa configurac¸a˜o: 3
2.1 a) Sistema Causal x Na˜o Causal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 b)Sistema Esta´vel x Insta´vel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 c) Func¸a˜o de Transfereˆncia x Resposta do sistema a uma determinada entrada: . 3
2.4 d) Tempo de Pico, Tempo de acomodac¸a˜o, Percentual de Overshoot e erro em
estado estaciona´rio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Questa˜o 2 - Fac¸a e comprove matematicamente o diagrama equivalente do
sistema monovaria´vel 4
4 Questa˜o 3 - Analise o sistema abaixo e responda: 6
4.1 a) Qual a FT do sistema? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 b)Considerando y(0) = 2 e dy(0)/dt= 1, qual a resposta a` entrada x(t)=X(s) =
1/s+4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 c)Considerando o sistema em repouso, qual a resposta ao degrau? . . . . . . . . 8
5 Questa˜o 4 - Analise o circuito e responda: 8
6 Questa˜o 5 - Analise o sistema e responda: 11
6.1 a)A resposta temporal y(t) para uma entrada ao degrau de amplitude A. . . . . 12
6.2 b)Menor valor de K que garante que o pico da resposta a rampa seja A. . . . . 12
6.3 c)Erro em estado estaciona´rio em degrau unita´rio. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Questa˜o 6 - Calcule o erro em estado estaciona´rio (MF) para o sistema (MA)
G(s) = (s+0.5) /[s(s+0,1)(s+1)(s+10)] para entrada ao Degrau. Calcule
tambe´m a FT em MF. 13
Engenharia e´ Facit 2 Sistemas de Controle
1 Desenvolvimento
Este trabalho tem como objetivo revisar todas as caracter´ısticas de sistemas de controle lineares
estudadas ate´ o momento como por exemplo func¸a˜o de transfereˆncia, ganho e estabilizac¸a˜o.
2 Questa˜o 1 - Defina de forma objetiva e deˆ exemplos
pra´ticos, ou seja exemplos na industria de sistemas
com essa configurac¸a˜o:
2.1 a) Sistema Causal x Na˜o Causal:
R: Um sistema diz-se causal, se para cada instante, o valor da sa´ıda nesse instante apenas
depender do valor da entrada no mesmo instante ou em instantes passados. Como por exemplo
controladores de temperatura. Ja´ em um sistema na˜o causal a sua sa´ıda depende tambe´m
de valores futuros. Este tipo de sistema e´, tambe´m, chamado de Antecipativo. Um exemplo
poss´ıvel de um sistema Na˜o Causal e´ o que as varia´veis na˜o dependem do tempo, mas de
coordenadas de posic¸a˜o, como no caso de processamento de imagens. Outro exemplo que pode
ser citado e´ quando e´ feito o processamento digital de sinais que ja´ estejam armazenados no
computador, ou seja, que o experimento (ainda que ocorrido no tempo) na˜o seja em tempo-real;
e´ o caso de um processamento em batch.
2.2 b)Sistema Esta´vel x Insta´vel:
R:Um sistema diz-se esta´vel se entradas limitadas derem origem a sa´ıdas limitadas. O objetivo
da maioria dos sistemas e´ alcanc¸ar a estabilidade. Ja´ um sistema insta´vel, entradas limitadas
podem gerar sa´ıdas ilimitadas, ou seja a sa´ıda tende ao infinito. como por exemplo uma bomba.
2.3 c) Func¸a˜o de Transfereˆncia x Resposta do sistema a uma deter-
minada entrada:
R:Func¸a˜o de transfereˆncia e´ a relac¸a˜o entre as transformadas de Laplace do sinal de sa´ıda
(func¸a˜o resposta) e do sinal de entrada (func¸a˜o excitac¸a˜o). Aplica´vel a sistemas dinaˆmicos
lineares SISO, em condic¸o˜es iniciais nulas. A resposta do sistema e´ a relac¸a˜o entre a func¸a˜o de
transfereˆncia e um sinal de entrada.
2.4 d) Tempo de Pico, Tempo de acomodac¸a˜o, Percentual de Overshoot
e erro em estado estaciona´rio:
R:Tempo de pico: Tempo que a resposta leva a atingir o seu valor ma´ximo. Tempo de aco-
modac¸a˜o: Tempo ao fim do qual a resposta se encontra definitivamente dentro de determinada
margem em torno do valor final. Percentual de Overshoot: Diferenc¸a entre o valor ma´ximo e
o valor final da resposta, geralmente medida como percentagem ou fracc¸a˜o do valor final. Erro
estaciona´rio: E´ a diferenc¸a entre o setpoint e o valor final.
Engenharia e´ Facit 3 Sistemas de Controle
3 Questa˜o 2 - Fac¸a e comprove matematicamente o dia-
grama equivalente do sistema monovaria´vel
Figura 1: P.I.D
C(s) representa um controlador P.I.D, G(s) e´ a malha. GC(S) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia.
Como na˜o ha´ valores definidos as equac¸o˜es continuaram com todas as varia´veis, representando
um sistema gene´rico.
Modelando em malha aberta:
Figura 2: M.A
Engenharia e´ Facit 4 Sistemas de Controle
Modelando em Malha fechada:
Nesse tipo de malha e´ necessa´rio acrescentar na equac¸a˜o a parcela referente a realimentac¸a˜o.
Onde por padra˜o, a func¸a˜o de transfereˆncia da malha fechada fica a FT da malha aberta
dividido por 1+ FT da malha aberta = (FTMa/(1+FTMa)).
Figura 3: M.F
Engenharia e´ Facit 5 Sistemas de Controle
4 Questa˜o 3 - Analise o sistema abaixo e responda:
4.1 a) Qual a FT do sistema?
R: Para calcular a func¸a˜o de transfereˆncia de um sistema e´ necessa´rio considerar as condic¸o˜es
iniciais nulas. O exemplo apresentas sinais derivados, por tanto e preciso utilizar a tabela das
transformadas de Laplace para derivadas.
Figura 4: F.T
Engenharia e´ Facit 6 Sistemas de Controle
4.2 b)Considerando y(0) = 2 e dy(0)/dt= 1, qual a resposta a` en-
trada x(t)=X(s) = 1/s+4
Figura 5: Sinal de resposta
Engenharia e´ Facit 7 Sistemas de Controle
4.3 c)Considerando o sistema em repouso, qual a resposta ao de-
grau?
A sa´ıda do sistema e´ a relac¸a˜o entre a entrada e a func¸a˜o de transfereˆncia. O valor final e´
encontrado quando s tende a´ 0.
Figura 6: Valor Final
5 Questa˜o 4 - Analise o circuito e responda:
Figura 7: Sinal de resposta
O Circuito estava em repouso inicialmente (condic¸o˜es iniciais iguais a zero) e a chave SW1
e´ fechada, demonstre qual sera´ a equac¸a˜o da corrente na malha.
R: Com a chave sw1 fechada e a chave sw2 aberta, temos um circuito RLC serie. Utilizando a
analise de circuitos simples, vemos que a soma da queda de tensa˜o em cada componente e´ igual
a tensa˜o da fonte.
Engenharia e´ Facit 8 Sistemas de Controle
Como o circuito possui componentes derivativos e integrativos e´ poss´ıvel fazer relac¸a˜o do
circuito com as caracter´ısticas do controlador P.I.D
Figura 8: P.I.D
Considerando a fonte como um sinal de entrada e com os componentes devidamente relaci-
onados com o P.I.D, conseguimos encontrar a equac¸a˜o da corrente.
Engenharia e´ Facit 9 Sistemas de Controle
Figura 9: Equac¸a˜o da corrente
Utilizando a analise de circuitos veremos que a corrente tende a´ zero, pois a fonte que
alimenta o circuito e´ continua e nesta situac¸a˜o apos 5 esta´gios de tempo o indutor se comporta
como curto e o capacitor como uma chave aberta, impedindo a passagem de corrente
Figura 10: Valor Final
Abaixo dispomos o gra´fico obtido atrave´s do software Psim, que e´ uma simulador de circuitos
profissional. Nele podemos observar que apo´s alguns segundos a corrente se estabiliza em zero,
confirmando os calculos e a analise de circuitos utilizada.
Engenharia e´ Facit 10 Sistemas de Controle
Figura 11: Psim
6 Questa˜o 5 - Analise o sistema e responda:
Engenharia e´ Facit 11 Sistemas de Controle
6.1 a)A resposta temporal y(t) para uma entrada ao degrau de am-
plitude A.
R: Como temos duas varia´veis, a resposta devera´ ficar em func¸a˜o delas.
Figura 12: Resposta Temporal
6.2 b)Menor valor de K que garanteque o pico da resposta a rampa
seja A.
R:Considerando o sistema de primeira ordem (sem picos), esta´vel.
−(K + 1) <= 0
K + 1 => 0
K => −1
6.3 c)Erro em estado estaciona´rio em degrau unita´rio.
R: (A/s)− (A.K/K + 1)
Engenharia e´ Facit 12 Sistemas de Controle
7 Questa˜o 6 - Calcule o erro em estado estaciona´rio
(MF) para o sistema (MA)
G(s) = (s+0.5) /[s(s+0,1)(s+1)(s+10)] para entrada
ao Degrau. Calcule tambe´m a FT em MF.
R: Resolvendo em malha aberta Para resolver a indeterminac¸a˜o e´ necessa´rio derivar a equac¸a˜o.
Figura 13: M.a
Figura 14: M.a Derivada
Engenharia e´ Facit 13 Sistemas de Controle
Resolvendo em malha fechada
Figura 15: M.a Derivada
Para esse sistema vimos que tanto malha aberta ou fechada a sa´ıda se estabiliza em 1, sendo
assim o erro estaciona´rio nas duas ocasio˜es e´ 0.
Engenharia e´ Facit 14 Sistemas de Controle
	Desenvolvimento
	 Questão 1 - Defina de forma objetiva e dê exemplos práticos, ou seja exemplos na industria de sistemas com essa configuração: 
	a) Sistema Causal x Não Causal:
	b)Sistema Estável x Instável:
	c) Função de Transferência x Resposta do sistema a uma determinada entrada:
	d) Tempo de Pico, Tempo de acomodação, Percentual de Overshoot e erro em estado estacionário:
	Questão 2 - Faça e comprove matematicamente o diagrama equivalente do sistema monovariável
	Questão 3 - Analise o sistema abaixo e responda:
	a) Qual a FT do sistema?
	b)Considerando y(0) = 2 e dy(0)/dt= 1, qual a resposta à entrada x(t)=X(s) = 1/s+4
	c)Considerando o sistema em repouso, qual a resposta ao degrau? 
	Questão 4 - Analise o circuito e responda: 
	Questão 5 - Analise o sistema e responda: 
	a)A resposta temporal y(t) para uma entrada ao degrau de amplitude A.
	b)Menor valor de K que garante que o pico da resposta a rampa seja A. 
	c)Erro em estado estacionário em degrau unitário. 
	Questão 6 - Calcule o erro em estado estacionário (MF) para o sistema (MA) G(s) = (s+0.5) /[s(s+0,1)(s+1)(s+10)] para entrada ao Degrau. Calcule também a FT em MF.