aula 01. Calculo II 1

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Cálculo II
Danielly Oliveira
Cronograma de Atividades
Atividade
Data
P1
P2
2A Chamada
P3
Cálculo II
Dany Oliveira
Integral Indefinida
Aula 1
No final desta aula você será capaz de:
Compreender a relação entre integral indefinida e derivada;
Calcular a integral indefinida;
Conhecer algumas integrais imediatas;
Calcular alguns problemas envolvendo integrais.
Derivada de uma função 
Dada uma função y=F(x), se ela é derivável, sua derivada é única.
Exemplos
6
	Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a própria função. Por exemplo:
Se a taxa de crescimento de uma determinada população é conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro;
Conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento qualquer; 
Conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços.
	
Derivada de uma função 
Integral indefinida
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida.
Primitiva de uma função 
 		Conhecendo-se a derivada f’ de uma função f, é possível descobrir a lei da função f ?
Por exemplo:
Se f’(x)=1, qual seria a função f(x)?
Se g’(x)= 2x, qual seria a função g(x)? 
9
Primitiva de uma função 
Tomando F’(x) = f(x) = x2 , determine sua primitiva F(x). 
Exemplos
10
Primitiva de uma função 
Logo a primitiva mais geral de f(x) = x2
Com C є R
 
11
Primitiva de uma função 
Definição: 
		Dizemos que uma função F é uma Primitiva da função em um intervalo (ou apenas uma Primitiva de f), se tivermos 
12
Integral indefinida
Definição: Integral indefinida de uma função f(x) é a expressão F(x) + C de todas as primitivas de f(x).
Denotamos integral indefinida de por :
Logo:
13
Integral indefinida
A derivada de F(x) = x3 é a função f(x)=3x2. 
Escrevemos assim:
 
Exemplos
14
Integral indefinida
A derivada de F(x) = cos(x) é a função f(x) = -sen(x). 
Escrevemos assim:
 
Exemplos
15
Mais alguns exemplos...
1)
2)
3)
 
16
Algumas integrais imediatas
1)
2)
3)
17
Propriedades de integração
	 Sejam e K uma constante, então:
 
1)
2)
18
Exercícios:
Calcular as integrais: 
a) 
b) 
c) 
19
Outras integrais imediatas
1)
2)
3)
4)
20
Calcule as integrais indefinidas a seguir:
Exercícios
b)
a) 
21
Exercícios
Encontre uma primitiva F(x) da função que satisfaça F(1)=1 :
22
Resolução de problemas
3. Um corpo se move, em linha reta, de modo que sua aceleração é dada por a = 2t. Considere que no instante t=0, a velocidade do corpo é de 20 m/seg e o deslocamento é zero. Determine a velocidade e a posição do corpo após 10 seg.
Exemplos
Tabela de integrais imediatas:
Estudos independentes
Assistir os vídeos
O método da substituição da variável. 
http://www.youtube.com/watch?v=PqJuIoQtZyc
integração por partes
http://www.youtube.com/watch?v=O2q45TzlsSM
E resolva: 
Integração por substituição
Ou mudança de variável
No final desta aula você será capaz de:
 Aplicar a técnica da integração por substituição 	
Consideremos o problema de calcular a seguinte integral:
Ela nem é tabelada nem posso aplicar as propriedades. E agora? 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
29
Se F é uma primitiva de f e g é uma função derivável, então:
Fazendo , temos , e então:
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
30
Exemplos...
Calcule . 
Solução
31
Observação!!!
Quando mudamos a variável de uma integral, é importante que seja realmente trocado todas as variáveis!!!!
32
 Mais exemplos...
Calcule . 
33
 Mais exemplos...
Calcule . 
34
Faça você mesmo:
a)
d)
b)
c)
35
Exercícios
Com funções trigonométricas:
a)
d)
b)
c)
37
Integrais do tipo 
Na resolução de integrais envolvendo funções trigonométricas podemos utilizar artifícios de cálculo com auxílio das identidades trigonométricas.
1.
2.
3.
Exemplo
Integrais do tipo 
Integração por partes
No final desta aula você será capaz de:
 Aplicar a técnica da integração por partes 	
	
 Algumas integrais não podem ser resolvidas pelo método de substituição de variáveis, ou seja, o método de substituição não funciona. 
Exemplo:
 
 Integração por Partes
Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos o método de Integração por Partes que é estabelecido da seguinte forma:
Se f e g são duas funções diferenciáveis, então
Ou equivalente
 Integração por Partes
Resolvendo: 
Fazemos u = x e dv = ex dx. Logo, temos du = dx e v = ex
Usando a fórmula
 temos: 
 Integração por Partes
Esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em termos de outra que pode ser fácil de calcular escolhendo adequadamente u e dv.
 
 
 Integração por Partes
47
 Integração por Partes
Exemplo:
 
 Integração por Partes
Exemplo:
 
 
 Integração por Partes
Exemplo:
 
 
 Integração por Partes
 
 A integral é resolvida integrando-se por partes 2 vezes.
 
 
 
 Integração por Partes
 
 Nem sempre um só método de integração é suficiente para se calcular uma integral. Usaremos o método de substituição e depois por partes.
 
 Integração por Partes
 Resolva as integrais:
1. 
2.
3.
4.
 
 
 
 
 Integração por Partes
Estudos independentes
Assistir os vídeos
Integração de funções racionais
http://www.youtube.com/watch?v=XSzkumAC0p8
http://www.youtube.com/watch?v=MXWVDjjflUE
Integração de funções racionais 
No final desta aula você será capaz de:
 Aplicar a técnica de integração por decomposição em frações parciais. 	
 	
	
Definições
	 Uma função racional é uma função da forma 
 
 	 são funções polinomiais e q(x)≠ 0
	
Definições
Quando f(x) é imprópria, isto é, grau de p(x)  grau de q(x), podemos reescrever f(x) como soma de um polinômio e uma fração racional própria. 
Definições
Integração de funções racionais pelo método de frações parciais 
	Esse método consiste em escrever uma função racional própria como soma de frações parciais que dependem, principalmente, da fatoração do denominador da função racional em R.
Caso 1: Os fatores de q(x) são lineares e distintos.
Neste cado podemos escrever q(x) na forma: 
q(x) = (x-a1)(x-a2)…(x-an) 
Exemplo
Caso 2: Os fatores de q(x) são lineares, e alguns deles se repetem.
Se um fator linear x-a de q(x) tem multiplicidade m, a esse fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma a seguir: 
Continuação
Exemplo
Caso 3: Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, e os fatores quadráticos não se repetem.
A cada fator quadrático x2 + bx + c de q(x) corresponderá uma fração parcial da forma:
 
Exemplo
Exercícios
Determinar 
Exemplo
70
Integral definida
Integral definida
Propriedades
Exercícios
Cálculo de área
Aula 10
 
 Exemplo: 
 Encontre o valor exato da integral definida interpretando geometricamente o resultado obtido.
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA
 
Graficamente:
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA
 
 CÁLCULO DE ÁREA
		 Devemos ter cuidado, pois, se não levarmos em conta a extensão da curva, podemos ser levados a uma resposta incorreta ou a um número negativo para a medida de uma área o que não tem sentido.
 CÁLCULO DE ÁREA
 
 CÁLCULO
DE ÁREA
 Se a região R é limitada pelos gráficos de f(x) e g(x) , sendo f e g funções contínuas em [a,b]; e pelas retas x = a; x = b e f(x) ≥ g(x), a área entre as curvas é dada por:
 CÁLCULO DE ÁREA
 Atenção!
 O resultado vale mesmo que as funções assumam valores negativos. 
 CÁLCULO DE ÁREA
 Se f(x) ≥ 0, para a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ 0 para c ≤ x ≤ b então a área entre f(x) para a ≤ x ≤ b , é dada por:
 CÁLCULO DE ÁREA
 Se f(x) ≥ g(x), para a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ g(x) para c ≤ x ≤ b então a área entre f(x) e g(x), a ≤ x ≤ b , é dada por:
 
 CÁLCULO DE ÁREA
 Exemplo 1:
 É fácil visualizar então que
 CÁLCULO DE ÁREA
 Exemplo 2:
 
 
 No entanto, a área da região é
 CÁLCULO DE ÁREA
 Exercícios:
 Calcule a área da região
 1) Limitada pela curva y = x2 e o eixo Ox no intervalo [1,1].
 
 2) Limitada pelas curvas 
 
 3) Limitada pelas curvas xy = 4 e x + y = 5.
 
 4) Limitada pelas curvas y = 2  x2 e y = x.
 CÁLCULO DE ÁREA
 Resposta:
 1) Região limitada pela curva y = x2 e o eixo Ox no intervalo [1,1].
 
 
 CÁLCULO DE ÁREA
 Resposta: 
 2) Região limitada pelas curvas 
 
 CÁLCULO DE ÁREA
 Resposta: 
 3) Região limitada pelas curvas y = 4/x e y = 5 - x.
 
 
 CÁLCULO DE ÁREA
 Resposta:
 4) Região limitada pelas curvas y = 2  x2 e y = x.
 CÁLCULO DE ÁREA
Cálculo de Volume
Volume de sólidos de revolução
Quando rotacionamos uma região do plano xy em torno de uma reta (o eixo) realizando
uma volta completa, o lugar geométrico descrito pelo pontos da região é o que
chamamos um sólido de revolução.
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido, que e chamado solido de revolução. A reta ao redor da qual a região gira e chamada eixo de revolução.
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e x = 4 girar em torno do eixo dos x, o solido de revolução obtido e um cone.
Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo dos y, obtemos um cilindro .
Método do disco circular e do anel circular
Suponhamos que um sólido de revolução é obtido rotacionando-se, em torno do eixo
x, uma região R delimitada pela curva y = f(x), sendo f uma função contínua num intervalo
[a, b], f(x) ≥ 0, e pelas retas verticais x = a e x = b, como mostra a figura abaixo.
 
Seja y = f(x) uma função continua não negativa em [a, b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a ate b. O volume do solido T, gerado pela revolução de R em torno do eixo dos x, e definido por
A soma que aparece em é uma soma de Riemann da função [ f(x) ] 2. Como f á contínua, o limite na expressão acima existe, e então, pela definição da integral definida, temos
Exemplo
 
 
Exercícios
1) Calcule o volume gerado a partir da rotação das funções y = x² e y=x em torno do eixo ox.
Exemplo
 
Suponhamos que um sólido de revolução é obtido, rotacionando em torno do eixo y, uma região R delimitada pela curva x = g(y), sendo f uma função contínua em um intervalo [c, d], g(y) ≥ 0, e pelas retas horizontais y = c e y = d.
Neste caso, temos
Exemplo
A região limitada pela parábola cúbica y = x 3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido.
Resolução
Quando rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos
Se o eixo de revolução for a reta x = M , temos
Exemplo
Determinar o volume do sólido gerado pela
y = 4, da região limitada por y = 1/x , y = 4 e x = 4 .
Resolução
 
Exercícios
 
Resolução
1.
3.
Integral Imprópia
Integral imprópria
	Nem sempre uma integral desse tipo representa um número real, ou seja, nem sempre uma integral imprópria existe. Quando a integral imprópria existe, dizemos que ela converge, caso contrário dizemos que diverge. O valor da integral imprópria é calculado usando a generalização do conceito da integral definida. 
 	Uma integral é dita imprópria quando o intervalo de integração não é finito ou quando a função não é limitada. 
Integral imprópria
Integral imprópria com intervalo infinito
Isto quer dizer que :
 Se o resultado é um número real diz-se que a integral imprópria converge. 
 Se o limite não existe ou é infinito, diz-se que a integral imprópria diverge. 
Integral imprópria com intervalo infinito
Exemplo
Exemplos
Determine os resultados das seguintes integrais impróprias
Integral imprópria com intervalo infinito
Integral imprópria com intervalo infinito
Exemplo
Estude a convergência da integral 
Resolução
Resolução
Funções de várias variáveis
Função de várias variáveis
Exemplos
Domínio e representação 
Exemplo : Determine e represente geometricamente os domínios das funções.
Exercícios
Determine e represente geometricamente os domínios das funções
Resposta
Construção de gráficos
Curvas de nível
Um recurso auxiliar para esboçar gráficos são as curvas de nível da função.
Exemplo
Gráfico da função
Exercício
Resolução
Derivadas parciais
Derivadas parciais
Exemplos
Seja f(x, y) = 2xy − 3y2. Calcule suas derivadas parciais.
Regra prática
	Na prática, para calcularmos a derivada parcial de uma função de várias variáveis em relação a uma delas, consideramos todas as outras variáveis como constantes e derivamos em relação aquela variável.
	Assim, todas as regras de derivação estudadas para funções em R em Cálculo I podem ser aplicadas.
Exercícios
Dadas as funções de duas variáveis f(x,y), calcule suas derivadas parciais.
 
 
A partir da derivada de f em relação a x Dxf ou , obtemos as seguintes derivadas parciais de 2ª ordem:
Dxx ou fxx ou 
Dxy ou fxy ou
Derivadas parciais de ordem superior
A partir da derivada de f em relação a y Dyf ou , obtemos as seguintes derivadas parciais de 2ª ordem:
Dyx ou fyx ou
Dyy ou fyy ou
Derivadas parciais de ordem superior
Exercícios
Determine as derivadas de segunda ordem de f(x,y)= x³+x²y³ -2y²
Exercícios
Dada a função f(x, y) = x3y + x2y4, determinar suas derivadas parciais de 2ª ordem.
Exercícios
		Dada a função f(x, y) = sen (2x + y), determinar suas derivadas parciais fxy e fyx.
Diferencial Total
A diferencial total ou exata de uma função U(x,y) é dada pela expressão:
Exemplo: 
U (x,y) = xy 
U (x,y) = x2 + xey
Exercícios 
Exercícios
Calcule a área das regiões definidas pelas funções:
Exercícios
 
Exercícios
3) Determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente e, no caso de convergente calcule o valor da integral.
a) 
b) 
 
Exercícios
5. Determine o domínio da função:
 
Exercícios