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FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1º E 2º GRAUS COM A UTILIZAÇÃO DO WINPLOT Francilene da Silva Dias1 Marinete Brandão da Silva2 Silvana da Costa Gomes3 Resumo: A proposta deste artigo é apresentar e promover o uso do software Winplot como ferramenta auxiliar para o entendimento de funções afins e quadráticas por parte dos estudantes do Ensino Médio. Com esta finalidade, foi aplicado um questionário para 28 alunos da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Presidente Dutra, localizada na Vila de Itupanema no município de Barcarena. Após análise das respostas fornecidas por eles, elaborou-se uma oficina usando o software e ao final desta, aplicou-se outro questionário para que os educandos avaliassem a contribuição do software Winplot na compreensão gráfica das funções polinomiais de 1º e 2º graus. Palavras-chave: Função Afim. Função Quadrática. Gráfico. Winplot. Ensino Médio. Abstract: The purpose of this article is to present and promote the use of Winplot software as an auxiliary tool for the understanding of related and quadratic functions by high school students. For this purpose, a questionnaire was applied to 28 students of the State School of Elementary and Middle Education President Dutra, located in the town of Itupanema in the municipality of Barcarena. After analyzing the answers provided by them, a workshop was developed using the software and at the end of this one, another questionnaire was applied so that the students could evaluate the contribution of Winplot software in the graphical comprehension of the polynomial functions of 1st and 2nd grades. Keywords: Function Afim. Quadratic Function. Graphic. Winplot. High school. 1 INTRODUÇÃO As tecnologias, na atualidade, estão inseridas em nosso cotidiano tão fortemente que é inegável deixá-las fora do processo de aprendizagem em sala de aula. Segundo Demo (2008, p.5), “saber ler, escrever e contar tornou-se habilidade secundária, mero pressuposto. Qualquer criança que tem acesso ao computador em casa aprende a mexer nele antes de ler e escrever”. Então, é viável integrar, o ensino com a tecnologia presente, para que o aluno sinta-se interessado pelo conteúdo exposto. 1 Graduada em Licenciatura Plena em Matemática pela UFPA/Campus Universitário de Abaetetuba. E- mail: francy_dias77@yahoo.com.br. 2 Graduada em Licenciatura Plena em Matemática pela UFPA/Campus Universitário de Abaetetuba. E- mail: netefx@yahoo.com.br. 3 Professora Orientadora. Mestra em Matemática pela Universidade Federal do Pará. E-mail: silvanagomes@ufpa.br. 2 De acordo com Borba e Penteado (2007, p.17) o acesso à informática deve ser visto como um direito do estudante nas escolas tanto pública como particular, assim ele será “alfabetizado tecnologicamente” sabendo ler a mídia em questão. Essa tecnologia deve ser inserida em atividades essenciais para o educando, como ler, escrever, interpretar gráficos, etc. Os ambientes computacionais permitem, em matemática, que as funções sejam trabalhadas com facilidade, vinculando a expressão algébrica ao seu gráfico, pois os estudantes do ensino médio apresentam dificuldades nessa relação. Os autores Borba e Penteado (2007, p.31) discorrem que a ênfase para o ensino de funções é vista por meio de álgebra e os aspectos gráficos são abordados pouco, devido o recurso utilizado no ambiente de trabalho de alguns professores, isto é, a lousa, o papel e o lápis. Ao referir-se à disciplina Matemática, o uso das tecnologias, em particular os softwares, são de grande valia, visto que no ensino de função afim e quadrática, é exigido do estudante análises e compreensões abstratas que somente o quadro branco não é suficiente. É enfatizado por Silva (2012), que o computador e softwares educativos são importantes recursos para promover uma aprendizagem com mais significado para o aluno. Assim, o uso dessas ferramentas promovem a construção do conhecimento, organiza o pensamento e desenvolve o raciocínio lógico dos educandos. . Nesta perspectiva, é apresentada ao professor de matemática uma proposta de ensino para que o educando compreenda as definições e o comportamento gráfico das funções afins e quadráticas por meio do software Winplot. Com a finalidade de verificar as contribuições do programa em questão, no ensino das funções polinomiais de 1º e 2º graus, elaborou-se uma pesquisa por meio de questionários em uma turma do 1º ano do Ensino Médio da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Presidente Dutra, localizada na Vila de Itupanema no município de Barcarena. Após analisar os questionários, executou-se uma oficina no dia 29 de novembro de 2016. Por fim, aplicou-se outro questionário para constatar se os estudantes compreenderam melhor o assunto em questão com o recurso utilizado. 3 2 HISTÓRIA DO CONCEITO DE FUNÇÃO Para Eves (2004), a noção de função originou-se desde a antiguidade com a necessidade dos pastores “contarem” suas ovelhas sem ainda disporem de um sistema de numeração, assim associavam cada ovelha a uma pedra. Por meio dessa associação eles intuitivamente resolviam uma função. Também dobrava-se um dedo para cada animal, ou fazia-se ranhuras no barro, em pedra, madeira ou fazia-se nós numa corda. No século XV, segundo Boyer (2012) Nicole Oresme introduziu a representação gráfica de funções, ele pensou “por que não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas?”. Traçou então um gráfico velocidade-tempo, pois dizia que tudo que é mensurável pode ser imaginado na forma de quantidade contínua. Então marcou pontos ao longo de uma reta horizontal representando instantes de tempo e para cada instante traçou perpendicularmente a este, um segmento de reta no qual o comprimento representava a velocidade. Isso significa em linguagem moderna, que o gráfico é uma linha reta. Já no século XVI, de acordo com Eves (2004), François Viète contribuiu em seu trabalho In Artem para o desenvolvimento do simbolismo algébrico. Nele Viète usava as vogais para indicar as incógnitas e consoantes para constantes. Descartes em 1937 introduziu a convenção atual, na qual é utilizado as últimas letras do alfabeto para representar as incógnitas e as primeiras para as constantes. Viète utilizava a mesma letra para indicar as potências de uma mesma quantidade, assim o que utilizamos hoje como 𝑥, 𝑥2, 𝑥3 ele expressava por A, A quadratum, A cubum. Eves (2004) afirma que, Galileu Galilei com o intuito de compreender os fenômenos da natureza, acaba criando relações entre variáveis obtendo uma dependente da outra por meio de experimentos, porém ele não utilizou a palavra dependência entre variáveis. Na tentativa de descrever o movimento em queda livre de um corpo e a trajetória de uma bala de canhão surge a função quadrática. Em seus estudos Galileu conclui que a trajetória da bala de um canhão é descrita por uma parábola. Somente no século XVII Leibniz introduziu a palavra função, inicialmente para expressar qualquer quantidade associada a uma curva, depois Bernoulli considera função como uma expressão qualquer formada de uma variável e algumas constantes, posteriormente Euler a considera como uma equação ou fórmula, 4 inserindo o símbolo f(x). Em 1837, o matemático alemão Dirichlet caracterizou o conceito central de funções dizendo: Se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x, corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y, então se diz que y é uma função (unívoca) de x. A variável x, à qual se atribuem valores à vontade, é chamada variável independente ea variável y, cujos valores dependem dos valores de x, é chamada variável dependente. (EVES, 2004, p. 661). Dessa forma, o conceito de função por Dirichlet é utilizado atualmente, assim como a forma gráfica para cada uma das funções descobertas por diferentes matemáticos ao longo dos séculos. Atrelado a essa representação gráfica foi desenvolvidos softwares que permitem analisar o comportamento de determinada função. 3 INFORMÁTICA NO ENSINO DA MATEMÁTICA As tecnologias voltadas para o ensino de matemática tem se inovado de forma acelerada em nossa sociedade. Hoje contamos com diferentes softwares matemáticos que auxiliam professores e alunos na abordagem de diversos assuntos. Ao longo dos anos esses programas foram adaptados para que suas interfaces ficassem mais fáceis de serem utilizadas pelo usuário. Sobre o avanço das tecnologias em matemática, Borba (2015) define quatro fases: a primeira surge em 1980 com o uso das calculadoras simples e científicas e de computadores; a segunda inicia-se na primeira metade dos anos 1990 com a produção de softwares educacionais por empresas e pesquisadores; programas destinados à representação gráfica passaram a ser utilizados, como o Winplot; a terceira teve início em 1999 com o surgimento da internet, e com isso foi inserido cursos à distância; a quarta fase é vivenciada atualmente, teve origem em 2004; a partir dela presencia-se a internet mais rápida nos computadores, tabletes e celulares. Paques (2002) argumenta que com a utilização de softwares o aluno pode compreender e desenvolver diferentes formas de raciocínio no ensino de Matemática. Por outro lado esta ferramenta auxilia o professor, sem que este deixe de enfatizar o embasamento teórico de cada conteúdo matemático. Outra razão para utilizar os softwares está no fato dele: libertar o ensino e a aprendizagem da Matemática do peso 5 das aulas exclusivamente expositivas, estimular a atividade matemática de investigação e permitir que o aluno seja mais autônomo. No ensino de funções percebe-se que a maior dificuldade apresentada pelos alunos está na construção e análise gráfica. Os estudantes muitas vezes não sabem identificar como será o gráfico apenas observando sua forma algébrica e/ou informar o crescimento e decrescimento deste. Tratando-se de função quadrática, quando a concavidade da parábola será voltada para cima ou para baixo, o que acontece com a representação gráfica quando se muda o coeficiente a, b ou c, e qual mudança tem- se quando o discriminante delta é maior, menor ou igual a zero. Notando este problema introduziu-se aos estudantes um software Winplot, que permite plotarem gráficos e analisarem as funções em questão. Machado (2008) afirma que, a visualização matemática, através da tela do computador, permite elaborar um conjunto de argumentos para resolver problemas, permitindo aos alunos construir e relacionar as diferentes representações de uma função e construir os conceitos matemáticos. Sobre o ensino de funções vinculado ao uso de software, Borba e Penteado (2007) discorrem que: Não se deve privilegiar um tipo apenas de representação, mas proporcionar, aos alunos, a possibilidade de uma interligação entre elas, propiciando, assim, a produção de conhecimentos mais abrangentes a respeito do tema. Essa abordagem ganha força com o uso de mídias informáticas, nas quais se incluem os softwares gráficos, tais como, o software Winplot, que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões algébricas (BORBA; PENTEADO, 2007). 4 O PROGRAMA WINPLOT Existem atualmente diferentes tipos de programas que servem para auxiliar o professor com conteúdos de funções, geometria plana, geometria analítica, geometria espacial, entre outros. Neste trabalho foi escolhido como ferramenta auxiliar para construção gráfica das funções afim e quadrática, o programa Winplot. Sua escolha deve-se ao fato de ser um programa gratuito, pela utilização em todos os níveis de ensino e por possuir recursos para plotar desde gráficos simples até os mais complexos. O programa Winplot foi desenvolvido pelo professor Richard Parris por volta de 1985, e chamava-se Plot. Com o lançamento do Windows 3.1, o programa recebeu o 6 nome atual. O idioma oficial deste é o inglês, porém também é possível encontrá-lo em outros idiomas, como o português. Ele pode ser obtido por meio do site math.exeter.edu/rparris/winplot.html. Sua interface (Ver, Figura 1) é simples e bastante intuitiva, não é necessário memorizar muitos comandos, ele apresenta textos de ajuda e os gráficos das funções podem ser plotados pelas formas explícita, paramétrica, implícita e polar. Em especial, neste trabalho utilizou-se apenas a forma explícita para os gráficos das funções supracitadas. Na interface do programa nota-se um menu contendo a janela a ser utilizada pelo usuário, e a ajuda, caso necessite de alguma informação sobre as ferramentas do programa. Ao escolher o item janela (ver, Figura 2), são apresentados subitens referentes a dimensão que o usuário deseja plotar os gráficos: segunda ou terceira dimensão. Neste trabalho utilizou-se apenas a segunda dimensão para a plotagem dos gráficos da função afim e quadrática. Figura 1 - Interface do Winplot Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. 7 Depois de escolher a dimensão, observa-se a seguinte janela (Figura 3), onde contém as ferramentas do menu que serão utilizadas para a construção de gráficos. Figura 2 - Escolha da dimensão a ser utilizada para a construção de gráficos. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. Figura 3 - Janela de plotagem de gráficos. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. 8 5 OFICINA DE ENSINO A oficina de ensino foi realizada no dia 29 de novembro de 2016, na escola Presidente Dutra. Contou-se com a participação de 28 alunos do 1º ano do Ensino Médio, divididos em duplas, pois no laboratório de informática haviam 20 computadores, dos quais 14 funcionavam. O primeiro momento iniciou-se no dia 22 de novembro de 2016 com a aplicação de um questionário (Ver, apêndice A), cujo objetivo era verificar o entendimento dos alunos em relação às funções polinomiais do 1º e 2º graus e o uso do computador no seu cotidiano, principalmente nas aulas de matemática. Após analisar os questionários montou-se o plano de aula e instalou-se o software Winplot nos computadores do laboratório de informática da referida escola, para então executar a oficina. No segundo momento, dia 29 de novembro, apresentou-se o programa com seus comandos básicos e foram plotados alguns gráficos da função afim pelos alunos. Para essa finalidade, instruiu-se a eles que abrissem a janela inicial do programa, clicassem na opção 2-dim e selecionasse no menu Equação a opção Explícita (ver, Figura 4). Ao fazerem isso, observaram uma caixa de diálogo com uma função 𝑓(𝑥) já contida, que apagaram e digitaram a função polinomial do 1º grau 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, sem travar os intervalos (ver, Figura 5a). Explicou-se a eles que essa opção é usada apenas quando se quer restringir a representação gráfica. Nesta mesma caixa de diálogo os alunos puderam alterar a cor, clicando na opção cor (ver, Figura 5b), e a espessura da linha, digitando a espessura desejada. Figura 4 – Menu Equação, em destaque a equação explícita. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. 9Ao fazerem as mudanças de cor os alunos clicaram em ok na caixa de diálogo da função explícita, visualizaram o gráfico (Figura 6) e observaram o ponto que toca no eixo y. Em seguida eles clicaram no menu Equação e escolheram a opção inventário, que contém uma caixa de diálogo, onde é mostrada a função afim inserida anteriormente e outras opções de ferramentas (Figura 7). Ao clicar em tabela, notaram os valores atribuídos para x e y, pelos quais se determinou o gráfico da função supracitada (Figura 8). No menu um na opção zeros, viram o valor da raiz da função (Figura 9) e o constataram por meio da resolução da equação do primeiro grau. Os educandos plotaram outros gráficos acrescentando o sinal negativo no coeficiente a, verificando, dessa forma, que a função é decrescente; e quando a é positivo, ela é crescente. Finalizando o estudo das funções polinomiais do 1º grau, os estudantes resolveram alguns exercícios e fizeram a verificação dos resultados no Winplot. a) b) Figura 5 - a) Caixa de diálogo da função explícita sem o travamento do intervalo; b) Opção cor da função explícita. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. 10 Figura 7 - À esquerda: menu Equação e seleção da opção Inventário; à direita: caixa de diálogo do Inventário contendo a função afim e outras ferramentas. . Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. Figura 6 - Gráfico da função afim 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑 plotado no Winplot. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. 11 O Winplot também foi utilizado na construção e interpretação de gráficos de funções quadráticas. Assim, foram exploradas as raízes dessas funções, bem como os coeficientes 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Antes de digitá-las no programa, explicou-se que ao escrever potências, como 𝑥2, utiliza-se o formato (𝑥^2) ou simplesmente repete-se a variável Figura 8 – Ferramenta tabela, do menu inventário, contendo os pontos que determinaram o gráfico da função afim f(x) = 2x+3. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. Figura 9 - À esquerda: menu Um selecionando a opção zeros; à direita: caixa de diálogo contendo o zero da função afim. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. 12 𝑥 duas vezes (𝑥𝑥). Posteriormente, os alunos examinaram o que ocorria com o gráfico definido por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, quando os valores de 𝑎 eram 1 2 , 1, 2 e 5 (Figura 10a), e quando estes eram negativos (Figura 10b). Também foi solicitado aos estudantes que variassem o coeficiente 𝑏 por meio da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1, onde para 𝑏 foram atribuído os valores 1, 2, 3 (Figura 11a) e -1, -2 e -3 (Figura 11b). Após a plotagem perguntou-se a eles o que ocorria ao fazer essa variação. Figura 10 - Variação do coeficiente 𝒂 da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. a) b) Figura 11 - Variação do coeficiente 𝒃 da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝟏. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. a) b) 13 O coeficiente 𝑐 foi variado por meio da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 𝑐, onde atribuiu- se para 𝑐 os valores 1, 3 e 5. Os estudantes observaram o que acontecia ao realizar esta variação (Figura 12). Posteriormente verificaram as raízes dessas, por meio da resolução da equação do 2º grau e as identificaram no programa através do menu um, opção zeros (Figura 13). Figura 12 - Variação do coeficiente c da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒄. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. Figura 13 - Indicação das raízes, ou zeros das funções quadráticas. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. 14 Na janela zeros, os estudantes observaram os zeros da função quadrática logo abaixo da referida função, e marcaram estes na opção marcar ponto. Para visualizar a outra raiz, clicaram em próximo. Para sair, fecharam a janela e notaram que as raízes eram identificadas por um ponto (Figura 14). No encerramento da oficina, os alunos responderam um segundo questionário (Ver, apêndice A, questionário B) com a finalidade de avaliar a contribuição do programa Winplot em relação a aprendizagem das funções estudadas. 6 ANÁLISE DOS RESULTADOS Antes de iniciar a oficina aplicou-se um questionário aos estudantes. Foram feitas as seguintes perguntas: Você usa o computador com frequência? Onde utiliza o computador? Você já teve aula de matemática com o uso do computador? Você conhece algum software matemático? Como você avalia seu entendimento das funções polinomiais do 1º e 2º graus? Quais as dificuldades que você encontra ao estudar esses assuntos? Você consegue identificar o gráfico da função afim e Figura 14 - Raízes identificadas no programa Winplot. Fonte: Capturado da janela de visualização do Winplot. 15 quadrática? As análises das respostas dos estudantes estão apresentadas graficamente, conforme as figuras abaixo: Figura 15 - Resposta à pergunta: Você usa o computador com frequência? Figura 16 - Respostas a pergunta: Onde você utiliza o computador? 32% 68% Sim Não Fonte: Autoria Própria Fonte: Autoria Própria 32% 11% 11%7% 3% 36% Casa Casa de parentes Cyber Curso de Informática Trabalho Nenhum lugar 16 Figura 17 - Resposta a pergunta: Você já teve aula de matemática com o uso do computador? Fonte: Autoria Própria 11% 89% Sim Não Fonte: Autoria Própria 7% 93% Sim Não Fonte: Autoria Própria 57% 43% 0% Regular Bom Ótimo Figura 18 - Resposta a pergunta: Você conhece algum software matemático? Figura 19 - Resposta a pergunta: Como você avalia seu entendimento das funções polinomiais do 1º e 2º graus? 17 Figura 21 - Resposta a pergunta: Você consegue identificar o gráfico da função afim e quadrática? Nota-se que pelas respostas dos alunos a maioria não possuía acesso ao computador em casa, nem tiveram contato com ele nas aulas de matemática. Quando questionados sobre o ensino de funções afins e quadráticas percebeu-se que as dificuldades nesse assunto estavam relacionadas à análise gráfica, sua construção e obtenção de suas raízes. Com estes dados elaborou-se o plano de aula (Apêndice B) e executou-se a oficina de ensino (Tópico 5). 36% 36% 28% Analisar o gráfico Esboçar o gráfico Encontrar as raízes Figura 20 - Resposta a pergunta: Quais as dificuldades que você encontra ao estudar funções polinomiais do 1º e 2º graus? Fonte: Autoria Própria Fonte: Autoria Própria 29% 71% Sim Não 18 Ao iniciar a oficina os estudantes construíram alguns gráficos da função afim e conseguiram identificar a declividade da reta, se crescente ou decrescente, e notaram que a raiz da função afim é o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. Ao plotaros gráficos da função quadrática no plano cartesiano (Figura 10a), eles informaram que quanto mais se aumentava o valor do coeficiente, com 𝑎 > 0, menor era a abertura da parábola. De forma análoga, foram construídos gráficos com 𝑎 < 0, e eles observaram que quanto menor o valor de 𝑎, maior era a abertura da parábola (Figura 10b). Analisando o coeficiente 𝑏 da função quadrática, observaram que quando 𝑏 > 0 a parábola intersectava o eixo y no ramo crescente (Figura 11a), e quando 𝑏 < 0 o intersectava no ramo decrescente (Figura 11b). Observaram também a variação do coeficiente c, e perceberam que este é o ponto onde a parábola toca o eixo y (Figura 12). Os alunos resolveram a equação do segundo grau por meio da fórmula de Bháskara. Informou-se a eles que o valor do discriminante delta (Δ) está relacionado com o número de raízes da equação. Ao notarem isso, eles souberam que quando o discriminante é igual a zero, a função terá duas raízes iguais e a parábola intersectará o eixo x em apenas um ponto. Se maior que zero a função terá duas raízes reais distintas e a parábola intersectará o eixo x em dois pontos e se o discriminante for negativo, a função não terá nenhuma raiz real e a parábola não intersectará o eixo x. Apesar dos estudantes terem demonstrado interesse em participar das atividades, alguns apresentaram dificuldade ao manusear o computador, necessitando sempre da intervenção do professor. Ao encontrarem as raízes dessas por meio dos cálculos, notaram a relação que há entre a função e o seu respectivo gráfico. Ao final da oficina o programa Winplot trouxe benefícios aos estudantes (Figura 22), pois eles aprenderam um software novo e compreenderam melhor o assunto em questão (Figura 23). 19 Figura 22 - Repostas de alguns estudantes sobre o ensino de funções com a utilização do Winplot. ALUNO A ALUNO B ALUNO C ALUNO D ALUNO E Fonte: Produção dos alunos 20 ALUNO F ALUNO G ALUNO H ALUNO I Figura 23 - Repostas de alguns estudantes sobre a aula. Fonte: Produção dos alunos 21 CONSIDERAÇÕES FINAIS O programa Winplot mostrou-se um recurso válido para o ensino-aprendizagem de qualquer estudante de Ensino Médio, porém o embasamento teórico do assunto abordado deve estar presente, por isso na aplicação da oficina foram apresentadas as definições e propriedades das funções afins e quadráticas comprovando-as com o programa. Com os resultados verificou-se que as atividades de ensino associadas ao uso do computador propiciaram aos discentes, melhoria na aprendizagem. A contribuição das oficinas para a prática como professores foi importante, pois se compreendeu as dificuldades que os estudantes apresentam em relação à análise gráfica e com o manuseio do computador. Fato este que foi presenciado antes e durante a oficina. Com o término da aula, eles notaram que a construção dos gráficos e sua análise, não é algo complicado, uma vez que eles mesmos calcularam as raízes e opinaram em relação ao comportamento gráfico da função. Dessa forma, o Winplot mostrou-se ser uma ferramenta poderosa, quando usada corretamente pelo professor com objetivos bem definidos e considerando a afinidade dos educandos com o computador. 22 REFERÊNCIAS BORBA, Marcelo de Carvalho. PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. 3 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. BORBA, Marcelo de Carvalho. SILVA, Ricardo Scucuglia R. da. GADANIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática: sala de aula e internet em movimento. 1 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2015. BOYER, Carl. História da Matemática. Tradução Helena Castro. 3 ed. São Paulo: Blucher, 2012. DEMO, Pedro. Habilidades do século XXI. Boletim Técnico do Senac: a revista de educação profissional, Rio de Janeiro, v.34, n.2, p.5-15, maio/agosto 2008. EVES, Howard. Tópicos de História da Matemática para Uso em Sala de Aula. Tradução: Hygino H. Domingues. 1 ed. São Paulo: Unicamp, 2004. MACHADO, Rosa Maria. A Visualização na Resolução de Problemas de Cálculo Diferencial e Integral no Ambiente Computacional MPP. 2008. 289 f. Tese (Doutorado) – Unicamp, Campinas, 2008. PAQUES, Otília T. W. el at. Exploração e análise de softwares educacionais de domínio público no ensino de matemática. In: Bienal da SBM. 2002. Belo Horizonte. Disponível em: <http://ensino.univates.br/~chaet/Materiais/softwares_ publicos.pdf>. Acesso em: 15 mar. 2017. SILVA, Adriano C.; SANTOS, Luciana V.; SOARES, Williames de A. Utilização do Winplot como Software Educativo para o Ensino de Matemática. Revista Diálogos, Pernambuco, v. 3, n. 6, fevereiro/março, 2012. Disponível em: :<http://www.revistadialogos.com.br/Dialogos_6/Dialogos_6_Willames_Adriano_Luci ana.pdf>. Acesso em: 21 mar. 2017. 23 APÊNDICE A – QUESTIONÁRIOS APLICADOS AOS ESTUDANTES DO 1º ANO DA ESCOLA PRESIDENTE DUTRA QUESTIONÁRIO A 1 – Você usa o computador com frequência? ( ) Sim ( ) Não 2 – Onde você utiliza o computador? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3 – Você já teve aula de matemática com o uso do computador? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 4 – Você conhece algum software matemático? Qual? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 5 – Como você avalia seu entendimento das funções polinomiais do 1º e 2º graus? ( ) Regular ( ) Bom ( ) Ótimo 6 – Quais as dificuldades que você encontrou ao estudar as funções polinomiais do 1º e 2º graus? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7 – Você consegue identificar ao gráfico da função afim e quadrática? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 24 QUESTIONÁRIO B 1 – Você acha que a informática é importante em sua vida escolar? Por quê? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 2 – O uso do Winplot facilitou sua aprendizagem em relação as funções estudadas? Justifique. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3 – O que você achou da aula? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 25 APÊNDICE B – ATIVIDADES REALIZADAS COM OS ESTUDANDES UTILIZANDO O SOFTWARE WINPLOT FUNÇÃO AFIM 1) Visualize as funções abaixo no Winplot, plotando-os todos no mesmo plano cartesiano e anote suas conclusões em relação ao deslocamento no eixo das ordenadas: 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 2) Faça o mesmo com as funções abaixo: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 3) Atribua valores para 𝑥 e encontre 𝑦 nas funções abaixo. Verifique, através do Winplot, se você encontrou os valores corretos: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1 4) Das funções abaixo, quais são crescentes e quais são decrescentes, e diga em que ponto cada reta intercepta o eixo das ordenadas. (Teste o gráfico dessas funções no Winplot). a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 _________________ Ponto (__,__) b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 _________________ Ponto (__,__) c) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 3 _________________ Ponto (__,__) d) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 2 _________________ Ponto (__,__) e) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 − 2 _________________ Ponto (__,__) f) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 _________________ Ponto (__,__) 26 5) Teste as funções abaixo no Winplot, primeiro as da coluna A e depois as funções da coluna B, e escreva suas conclusões em relação à declividade da reta, analisando o coeficiente angular: Coluna A Coluna B 𝑓(𝑥) = 4𝑥 𝑓(𝑥) = −5𝑥 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑓(𝑥) = −3𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) = −𝑥 𝑓(𝑥) = 0,8𝑥 𝑓(𝑥) = −0,8𝑥 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥 𝑓(𝑥) = −0,5𝑥 FUNÇÃO QUADRÁTICA Visualize as funções abaixo, uma de cada vez no Winplot e responda as questões: 1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 4 Quais são as raízes das funções? A parábola está voltada para: ( ) cima, ( ) baixo. Por quê? A função toca o eixo dos x: ( ) Sim, ( ) Não Se sim, em quantos pontos: ____________. Quais são eles: ______________ Então o Δ é: ( ) Δ> 0, ( ) Δ= 0, ( ) Δ< 0 Em que ponto a parábola corta o eixo das ordenadas? 2) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥 Quais são as raízes das funções? A parábola está voltada para: ( ) cima, ( ) baixo. Por quê? A função toca o eixo dos x: ( ) Sim, ( ) Não Se sim, em quantos pontos: ____________. Quais são eles: ______________ Então o Δ é: ( ) Δ> 0, ( ) Δ= 0, ( ) Δ< 0 Em que ponto a parábola corta o eixo das ordenadas? 3) (𝑥) = 2𝑥2 + 8𝑥 Quais são as raízes das funções? A parábola está voltada para: ( ) cima, ( ) baixo. Por quê? 27 A função toca o eixo dos x: ( ) Sim, ( ) Não Se sim, em quantos pontos: ____________. Quais são eles: ______________ Então o Δ é: ( ) Δ> 0, ( ) Δ= 0, ( ) Δ< 0 Em que ponto a parábola corta o eixo das ordenadas? 4) (𝑥) = 𝑥2 − 4 Quais são as raízes das funções? A parábola está voltada para: ( ) cima, ( ) baixo. Por quê? A função toca o eixo dos x: ( ) Sim, ( ) Não Se sim, em quantos pontos: ____________. Quais são eles: ______________ Então o Δ é: ( ) Δ> 0, ( ) Δ= 0, ( ) Δ< 0 Em que ponto a parábola corta o eixo das ordenadas? 5) (𝑥) = −2𝑥2 + 18 Quais são as raízes das funções? A parábola está voltada para: ( ) cima, ( ) baixo. Por quê? A função toca o eixo dos x: ( ) Sim, ( ) Não Se sim, em quantos pontos: ____________. Quais são eles: ______________ Então o Δ é: ( ) Δ> 0, ( ) Δ= 0, ( ) Δ< 0 Em que ponto a parábola corta o eixo das ordenadas? 28 APÊNDICE C – APLICAÇÃO DA OFICINA COM OS ESTUDANTES DA ESCOLA PRESIDENTE DUTRA 29 30
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