Aula+4+CFVVOC+-+Intersecção+com+plano+-+curvas+de+nível+-+derivadas+parciais

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Intersecção entre planos e 
superfícies z = f(x,y)
Relembrando: um plano pode ser definido 
assumindo-se uma das variáveis igual a 
constante:
plano x = k
plano y = k
plano z = k
 
-5
0
5
-2
0
2
0
5
10
15
-2
0
2
0
5
10
15
Plano y = -2,5 
interceptando a 
superfície 
z=f(x,y)=x²+y²
 
-2
0
2
-5
0
5
0
5
10
15
-5
0
5
0
5
10
15
Plano x = 2 
interceptando a 
superfície 
z=f(x,y)=x²+y²
 
Curvas de nível
Projeção no plano das intersecções entre a 
superfície f(x,y) e planos z = k.
k dá a altura da curva.
 
-5
0
5
-5
0
5
0
5
10
15
-5
0
5
Plano z = 5 
interceptando a 
superfície 
z=f(x,y)=x²+y²
 
-5
0
5
-5
0
5
0
5
10
15
-5
0
5
Plano z = 5 interceptando a 
superfície z=f(x,y)=x²+y² visto de 
outro ângulo. Aqui podemos 
perceber que, neste caso, forma-se 
um círculo na intersecção dessas 
duas superfícies.
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
 
-5
0
5
-5
0
5
0
5
10
15
-5
0
5
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
Plano z = 1 interceptando a 
superfície z=f(x,y)=x²+y² visto de 
outro ângulo. Aqui podemos 
perceber que, neste caso, forma-se 
um círculo na intersecção dessas 
duas superfícies.
 
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Assumindo z=5 → 5=x²+y², 
isolando y teremos y = (5-x²)1/2 
que é a equação da 
circunferência de raio 2,236...
Assumindo z=1 → 1=x²+y², 
isolando y teremos y = (1-x²)1/2 
que é a equação da 
circunferência de raio 1
 
Derivadas em funções de duas 
variáveis
Relembrando: para funções de uma variável f(x) a derivada retorna 
outra função f´(x)=df/dx que, quando aplicada a um ponto, determina 
a taxa de variação da função (inclinação da curva) neste ponto.
-4 -2 2 4
-10
-5
5
10
15
20
25
 
-2
0
2
x
-2
0
2
y
-15
-10
-5
0
z
-2
0
2
x
A superfície acima é dada pela função z=f(x,y)=-x²-y².
Se quisermos determinar a taxa de variação dessa função em um ponto, 
devemos determinar a inclinação dessa superfície nesse ponto, porém, não 
há apenas uma inclinação em cada ponto, na verdade são infinitas 
inclinações, tudo depende da direção em que se queira analisar.
Sobre uma superfície encontra-se, na verdade, um plano tangente e, neste 
plano, podemos encontrar infinitas retas tangentes, cada qual em uma 
direção.
 
-2
0
2
-2
0
2
-10
0
10
-10
0
10
Plano tangente à superfície 
f(x,y)=-x²-y² no ponto (2;2)
 
-2
0
2
-2
0
2
-10
0
10
-10
0
10
Vendo a figura anterior de outro 
ângulo: retas com diferentes 
inclinações sobre um mesmo plano 
tangente.
 
Derivadas parciais
Quando fazemos uma derivada em uma função 
de duas variáveis f(x,y), devemos escolher uma 
direção para aplicarmos a nova função f´(x,y) e, 
então, encontraremos a taxa de variação nessa 
direção.
Começaremos por direções não arbitrárias, ou 
seja, direções bem específicas → retas sobre 
planos x=k e y=k.
Esse é o conceito de DERIVADA PARCIAL, 
encontraremos a taxa de variação da função para 
x constante ou y constante.
 
Derivada parcial
Se quisermos encontrar a taxa de variação da 
função sobre um plano paralelo a x devemos 
impor y constante, sendo assim, nossa função de 
duas variáveis z=f(x,y) passa a se comportar 
como uma função de uma única variável z=f(x) e 
sua derivada assume a seguinte notação:
f x x , y=
∂ f
∂ x
Note que a variável y não SOME da função, 
apenas a consideramos, para o processo de 
derivação, como uma constante!
 
As mesmas considerações são válidas para 
encontrar a taxa de variação sobre uma plano 
paralelo a y e, de forma similar, a notação fica:
f y x , y =
∂ f
∂ y
 
Exemplo 1
Dada a função z = f(x,y) = x³ + xy – 3y² + 6 
encontre suas derivadas parciais.
Exemplo 2
Dada a função z = f(x,y) = ln(x+y) – sen(6xy) + 1/x 
encontre suas derivadas parciais.
Exemplo 3
Dada a função z = f(x,y) = – x² – y² encontre a 
taxa de variação dessa função no ponto (1,2.5) na 
direção x e no ponto (1,2) na direção y (ver 
figuras a seguir).
 
-5
0
5
-2
0
2
0
5
10
15
-2
0
2
0
5
10
15
Plano y = 2,5 
interceptando a 
superfície 
z=f(x,y)=x²+y²
-6 -4 -2 2 4 6
10
20
30
40
Representação de z=x²+6,25
 
-2
0
2 -5
0
5
0
5
10
15
-5
0
5
-6 -4 -2 2 4 6
5
10
15
20
25
30
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Plano x = 1,0 
interceptando a 
superfície 
z=f(x,y)=x²+y²
Representação de z=y²+1
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