001 LISTA 01 - Propriedades dos somatórios

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Lista 1 - Propriedades e operac¸o˜es com o somato´rio
Prof. Marcelo de Paula
Exerc´ıcio 1. Escreva por extenso cada um dos somato´rios abaixo (isto e´, sem os sinais de somato´rio):
a.
8∑
i=1
X4i b.
n∑
i=1
(3Xi + 5)
2 c.
5∑
i=1
(Xi − 2)Yi+10
d.
n∑
i=1
abXi+Yi e.
7∑
i=1
X
Yi
i
Zi
f.
∞∑
i=0
λi
i!
g.
n∑
i=1
(aXi + b) h.
n∑
i=1
(aX2i + bXi + c) i
n∑
i=1
ea+bXi+cYi+dZi
j.
n∑
i=1
X i+1i Y
i−1
i k.
10∑
i=1
i2Xi l.
n∑
i=1
ln(Xi)
Yi!+ln(Zi)
Exerc´ıcio 2. Seja
n∑
i=1
Xi = 50,
n∑
i=1
Yi = 80,
n∑
i=1
Zi = 65, use as propriedades dos somato´rios para
calcular o valor nume´rico das expresso˜es abaixo:
a)
n∑
i=1
(8Xi − 5Yi) b)
n∑
i=1
(
6Xi−3Yi
15
)
c)
n∑
i=1
(
Xi−Yi+Zi
35
)
d)
n∑
i=1
(10Xi − 5Yi − Zi) e)
n∑
i=1
(
2Yi+6Zi
50
)
f)
n∑
i=1
(3Xi + 8Yi − 12Zi)
Exerc´ıcio 3. Seja
5∑
i=1
Xi = 15,
5∑
i=1
X2i = 55 e
5∑
i=1
X3i = 225, calcule o valor nume´rico das expresso˜es
abaixo:
a)
5∑
i=1
(Xi − 3)2 b)
5∑
i=1
(Xi + 5) (Xi − 2) c)
5∑
i=1
(X2i + 1) (Xi + 4)
d)
5∑
i=1
(X2i − 11) e)
5∑
i=1
(
X3i −2X2i −7Xi
10
)
f)
5∑
i=1
[X2i (Xi − 4)]
Exerc´ıcio 4. Se
8∑
i=1
Xi = 12,
8∑
i=1
X2i = 34,
8∑
i=1
X3i = 108 e
8∑
i=1
X4i = 370, enta˜o determine o valor
nume´rico de
1
80
8∑
i=1
[
3Xi +
(
5X2i −Xi
)2]
Exerc´ıcio 5. Seja ai > 0, i = 1, 2, ..., n, enta˜o mostre que:(
n∑
i=1
a2i
)
<
(
n∑
i=1
ai
)2
, ∀a > 0.
Exerc´ıcio 6. Seja Xi > 0 e Yi > 0, i = 1, 2, ..., n, mostre que:
1
n∑
i=1
XiYi <
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi
RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
Exerc´ıcio 1.
a. X41 + X
4
2 + X
4
3 + X
4
4 + X
4
5 + X
4
6 + X
4
7 + X
4
8
b. (3X1 + 5)
2 + (3X2 + 5)
2 + ... + (3Xn + 5)
2
c. (X1 − 2)Y1+10 + (X2 − 2)Y2+10 + (X3 − 2)Y3+10 + (X4 − 2)Y4+10 + (X5 − 2)Y5+10
d. abX1+Y1 + abX2+Y2 + ... + abXn+Yn
e.
X
Y1
1
Z1
+
X
Y2
2
Z2
+
X
Y3
3
Z3
+
X
Y4
4
Z4
+
X
Y5
5
Z5
+
X
Y6
6
Z6
+
X
Y7
7
Z7
f. λ
0
0!
+ λ
1
1!
+ λ
2
2!
+ λ
3
3!
+ ...
g. (aX1 + b) + (aX2 + b) + ... + (aXn + b)
h. (aX21 + bX1 + c) + (aX
2
2 + bX2 + c) + ... + (aX
2
n + bXn + c)
i. ea+bX1+cY1+dZ1 + ea+bX2+cY2+dZ2 + ... + ea+bXn+cYn+dZn
j. X21Y
0
1 + X
3
2Y
1
2 + X
4
3Y
2
3 + ... + X
n+1
n Y
n−1
n
k. 12X1 + 2
2X2 + 3
2X3 + 4
2X4 + 5
2X5 + 6
2X6 + 7
2X7 + 8
2X8 + 9
2X9 + 10
2X10
l. ln(X1)
Y1!+ln(Z1)
+ ln(X2)
Y2!+ln(Z2)
+ ... + ln(Xn)
Yn!+ln(Zn)
Exerc´ıcio 2.
a)
n∑
i=1
(8Xi − 5Yi) = 0 b)
n∑
i=1
(
6Xi−3Yi
15
)
= 4
c)
n∑
i=1
(
Xi−Yi+Zi
35
)
= 1 d)
n∑
i=1
(10Xi − 5Yi − Zi) = 35
e)
n∑
i=1
(
2Yi+6Zi
50
)
= 11 f)
n∑
i=1
(3Xi + 8Yi − 12Zi) = 10.
Exerc´ıcio 3.
a)
5∑
i=1
(Xi − 3)2 = 10 b)
5∑
i=1
(Xi + 5) (Xi − 2) = 50
c)
5∑
i=1
(X2i + 1) (Xi + 4) = 480 d)
5∑
i=1
(X2i − 11) = 0
e)
5∑
i=1
(
X3i −2X2i −7Xi
10
)
= 1 f)
5∑
i=1
[X2i (Xi − 4)] = 5.
Exerc´ıcio 4. Resoluc¸a˜o:
1
80
8∑
i=1
[
3Xi +
(
5X2i −Xi
)2]
=
1
80
8∑
i=1
[
3Xi +
(
25X4i − 10X3i + X2i
)]
=
1
80
8∑
i=1
[
3Xi + 25X
4
i − 10X3i + X2i
]
=
1
80
[
3
8∑
i=1
Xi + 25
8∑
i=1
X4i − 10
8∑
i=1
X3i +
8∑
i=1
X2i
]
Como
8∑
i=1
Xi = 12,
8∑
i=1
X2i = 34,
8∑
i=1
X3i = 108 e
8∑
i=1
X4i = 370, basta substituir os valores nume´ricos
na expressa˜o:
1
80
8∑
i=1
[
3Xi +
(
5X2i −Xi
)2]
=
1
80
[3× 12 + 25× 370− 10× 108 + 34] = 8240
80
= 103.
2
Portanto, o valor nume´rico da expressa˜o e´ 103, isto e´,
1
80
8∑
i=1
[
3Xi +
(
5X2i −Xi
)2]
= 103.
Exerc´ıcio 5. Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n, enta˜o a1 > 0, a2 > 0, ..., an > 0, e segue que
(
n∑
i=1
a2i
)
<
(
n∑
i=1
ai
)2
a21 + a
2
2 + ... + a
2
n <
(
n∑
i=1
ai
)(
n∑
i=1
ai
)
a21 + a
2
2 + ... + a
2
n < (a1 + a2 + ... + an) (a1 + a2 + ... + an)︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
ai
a21 + a
2
2 + ... + a
2
n < a1
n∑
i=1
ai + a2
n∑
i=1
ai + ... + an
n∑
i=1
ai
Como ai > 0, i = 1, 2, ..., n, enta˜o segue imediatamente que qualquer termo e´ menor que a soma, isto
e´, (
a1 <
n∑
i=1
ai
)
,
(
a2 <
n∑
i=1
ai
)
, ...,
(
an <
n∑
i=1
ai
)
.
Como ai <
n∑
i=1
ai, enta˜o
a21 + a
2
2 + ... + a
2
n ≤ a1
n∑
i=1
ai︸ ︷︷ ︸
(>a1)
+ a2
n∑
i=1
ai︸ ︷︷ ︸
(>a2)
+ ... + an
n∑
i=1
ai︸ ︷︷ ︸
(>an)
Enta˜o vale a desigualdade (
n∑
i=1
a2i
)
<
(
n∑
i=1
ai
)2
, ∀a > 0.
Exerc´ıcio 6. Se Xi > 0 e Yi > 0, i = 1, 2, ..., n, temos que segue a desigualdade:
n∑
i=1
XiYi <
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi
X1Y1 + X2Y2 + ... + XnYn < (X1 + X2 + ... + Xn) (Y1 + Y2 + ... + Yn)︸ ︷︷ ︸
n∑
i=1
Yi
X1Y1 + X2Y2 + ... + XnYn < X1
n∑
i=1
Yi + X2
n∑
i=1
Yi + ... + Xn
n∑
i=1
Yi
Como qualquer termo e´ menor que a soma, isto e´, Yi <
n∑
i=1
Yi, enta˜o segue imediatamente que(
X1Y1 < X1
n∑
i=1
Yi
)
,
(
X2Y2 < X2
n∑
i=1
Yi
)
, ...,
(
XnYn < Xn
n∑
i=1
Yi
)
,
ou seja,
n∑
i=1
XiYi <
n∑
i=1
Xi
n∑
i=1
Yi
3