ATERRAMENTO+ELÉTRICO 1 2 3

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ATERRAMENTO ELÉTRICO DE 
SISTEMAS (PROGRAMA) 
1. INTRODUÇÃO AO SISTEMA DE ATERRAMENTO 
 
2. MEDIÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO 
 
3. ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO 
 
4. SISTEMAS DE ATERRAMENTO 
 
5. TRATAMENTO QUÍMICO DO SOLO 
 
6. RESISTIVIDADE APARENTE 
 
7. FIBRILAÇÃO – LIMITES DE CORRENTE NO CORPO 
 HUMANO 
 
8. MALHA DE ATERRAMENTO 
 
9. ATERRAMENTO DE EQUIPAMENTOS DE 
 SUBESTAÇÃO 
 
 
Bibliografia: 
1. “Aterramento Elétrico” Geraldo Kindermann 
2. “Aterramentos Elétricos” Silvério Visacro Filho 
3. “Aterramento e Proteção contra sobretensões em sistemas 
 aéreos de distribuição” Coleção Distribuição de Energia 
 Elétrica - Eletrobrás 
 
 
ATERRAMENTO ELÉTRICO 
1. INTRODUÇÃO AO SISTEMA DE ATERRAMENTO 
1.1 Introdução Geral 
A operação correta de um sistema elétrico depende 
fundamentalmente do quesito aterramento. 
Objetivos principais do aterramento: 
 
 Obter baixo valor de resistência de terra 
 Potenciais produzidos dentro de limites de segurança 
 Maior sensibilização dos equipamentos de proteção 
 Caminho de escoamentos para as descargas 
atmosféricas 
 Usar a terra como retorno no sistema MRT 
 Escoar as cargas estáticas geradas nas carcaças dos 
equipamentos 
 
É importante na elaboração do projeto de aterramento 
conhecer as 
características do solo, principalmente sua resistividade. 
 
 
 
 
1.2 A resistividade do solo depende dos 
seguintes fatores: 
 
 Tipo de solo 
 Mistura de diversos tipos de solo 
 Camadas estratificadas com profundidades e 
materiais diferentes 
 Teor de umidade 
 Temperatura 
 Compactação e pressão 
 Composição química dos sais dissolvidos na 
água retida 
 Concentração de sais dissolvidos na água 
retida 
 
Diferentes combinações resultam em solos com 
características diferentes. 
 
Solos aparentemente iguais possuem resistividade 
diferentes 
 
 
 
Tabela 1.2.1 – Tipo de Solo e Respectiva 
Resistividade 
 
 
TIPO DE SOLO 
 
 
RESISTIVIDADE 
(m) 
 
Lama 
 
5 a 100 
 
Terra de jardim com 50% de 
umidade 
 
140 
 
Terra de jardim com 20% de 
umidade 
 
480 
 
Argila seca 
 
1.500 a 5.000 
 
Argila com 40% de umidade 
 
80 
 
Argila com 20% de umidade 
 
330 
 
Areia molhada 
 
1.300 
 
Areia seca 
 
3.000 a 8.000 
 
Calcário compacto 
 
1.000 a 5.000 
 
Granito 
 
1.500 a 10.000 
 
1.3 Influência da umidade 
 
A resistividade do solo sofre alterações com a 
umidade devido a condução de cargas elétricas 
no mesmo ser predominantemente iônica. 
Dependendo da umidade, a dissolução dos sais 
formam um meio eletrolítico favorável à 
passagem da corrente iônica. 
 
TABELA 1.3.1 – Resistividade de um solo 
arenoso com concentração de umidade 
 
 
INDICE DE UMIDADE (% POR 
PESO) 
 
RESISTIVIDADE (m) SOLO 
ARENOSO 
 
0,0 
 
10.000.000 
 
2,5 
 
1.500 
 
5,0 
 
430 
 
10,0 
 
185 
 
15,0 
 
105 
 
20,0 
 
63 
 
30,0 
 
42 
 
 Figura 1.3.1   Umidade percentual do 
 solo arenoso 
 
1.4 – Influência da temperatura 
Para um solo arenoso, mantendo-se todas as demais 
características e variando-se a temperatura, a sua 
resistividade comporta-se de acordo com a tabela 
abaixo 
 
Tabela 1.4.1 – Variação da resistividade com temperat. 
para solo arenoso 
TEMPERATURA (0 C) 
 
RESISTIVIDADE (m) 
(Solo arenoso) 
 
20 
 
72 
 
10 
 
99 
 
 0 (água) 
 
138 
 
 0 (gelo) 
 
300 
 
-5 
 
790 
 
-15 
 
3.300 
 
 
 
 Figura 1.4.1 -   Temperatura 
A partir do ρmín, com o decréscimo da temperatura e a 
conseqüente contração da água, é produzida uma dispersão 
nas ligações iônicas entre os grânulos de terra no solo 
resultando em maior valor de resistividade 
1.5 – Influência da estratificação 
Os solos, na sua grande maioria não são 
homogêneos, mas formados por diversas camadas 
de resistividades e profundidades diferentes, em 
geral horizontais e paralelas a superfície do solo. 
1.6 – Ligação à terra 
Quando ocorre um curto-circuito envolvendo a 
terra, espera-se que a corrente seja elevada o 
suficiente para que a proteção possa operar 
eliminando o defeito o mais rapidamente possível. 
 
Durante o tempo que a proteção não atuou, a 
corrente de defeito gera potenciais distintos nas 
massas metálicas e superfícies do solo. 
 
Uma adequada ligação dos equipamentos elétricos à 
terra tem como objetivo: 
 
 Proteção seja sensibilizada 
 Potenciais de toque e passo fiquem abaixo dos 
limites críticos da fibrilação ventricular do 
coração humano. 
 
 
1.7 – Sistemas de aterramento 
Principais tipos: 
 Uma simples haste cravada no solo 
 Hastes alinhadas 
 Hastes em triângulo 
 Hastes em quadrado 
 Hastes em círculo 
 Placas de material condutor enterradas no solo 
 Fios ou cabos enterrados no solo, formando 
diversas configurações tais como: 
• Estendido em vala comum 
• Em cruz 
• Em estrela 
• Quadriculados, formando uma malha de terra 
O sistema de aterramento a ser adotado depende 
da importância do sistema elétrico, do local e do 
custo. O mais eficiente é a malha de terra 
1.8 – Hastes de aterramento 
O material das hastes de aterramento deve ter as 
seguintes características: 
 
 Ser bom condutor de eletricidade 
 Deve ser de material praticamente inerte às ações dos 
ácidos e sais dissolvidos no solo 
 O material deve sofrer a menor ação possível da 
corrosão galvânica 
 Resistência mecânica compatível com a cravação e 
movimentação do solo 
 
As melhores hastes são do tipo cobreado: 
 
 Tipo Copperweld – barra de aço de seção circular com 
o cobre fundido sobre a mesma 
 Tipo encamisado por extrusão – A alma de aço é 
revestida por um tubo de cobre através do processo 
de extrusão 
 Tipo Cadweld – O cobre é depositado eletroliticamente 
sobre a alma de aço 
 
É muito empregada também, com sucesso a haste de 
cantoneira zincada. 
 
1.9 - Aterramento 
Em termos de segurança, devem ser aterradas todas as 
partes metálicas que possam eventualmente ter 
contactos com partes energizadas. 
Assim, um contato acidental da parte energizada com a 
massa metálica aterrada estabelecerá um curto circuito 
provocando a atuação da proteção 
 
A partir do aterramento deve-se providenciar uma sólida 
ligação às partes metálicas dos equipamentos. Tomando 
como exemplo uma residência, os seguintes equipamentos 
devem ser aterrados: 
Condicionador de ar, chuveiro elétrico, fogão, quadro de 
medição e distribuição, lavadora e secadora de roupas, 
torneira elétrica, lava-louça, refrigerador e freezer, forno 
elétrico, tubulação metálica, tubulação de cobre dos 
aquecedores, cercas metálicas longas, postes metálicos e 
projetores luminosos. 
 
Na industria e no setor elétrico, uma análise apurada e 
crítica deve ser feita nos equipamentos a serem aterrados 
para se obter a melhor segurança possível. 
1.10 – Classificação dos sistemas de baixa tensão 
em relação a alimentação e das massas em relação 
à terra 
A classificação é feita por letras como segue: 
Primeira letra – Especifica a situação da alimentação 
em relação a terra 
 
T – A alimentação (lado fonte) tem um ponto 
 diretamente aterrado 
I – Isolação de todas as partes vivas da fonte de 
alimentação em relação à terra ou aterramento de 
um ponto através de impedânciaelevada 
 
Segunda letra – Especifica a situação das massas 
(carcaças) das cargas ou equipamentos em relação à 
terra 
 
T – Massas aterradas com terra próprio, isto é, 
independente da fonte 
N – Massas ligadas ao ponto aterrado da fonte 
I – Massa isolada, isto é não aterrada. 
 
Outras letras 
S – Separado, o aterramento da massa é feito através 
de um fio PE 
C - Comum, o aterramento da massa do equipamento 
é feito usando o fio neutro (PEN) 
1.11 – Projeto do Sistema de Aterramento 
O objetivo é aterrar todos os pontos, massas, 
equipamentos ao sistema de aterramento que se 
pretende dimensionar. 
Um projeto adequado deve seguir as seguintes 
etapas: 
 
a) Definir o local de aterramento 
b) Providenciar várias medições no local 
c) Fazer a estratificação do solo nas suas 
respectivas camadas 
d) Definir o tipo de aterramento desejado 
e) Calcular a resistividade aparente do solo 
para o respectivo sistema de aterramento 
f) Dimensionar o sistema de aterramento, 
levando em conta a sensibilidade dos relés e 
os limites de segurança pessoal, isto é da 
fibrilação ventricular do coração. 
 
 
2 – MEDIÇÃO DA RESISTIVIDADE DO SOLO 
2.1 – Introdução 
 
Serão especificamente abordadas, neste capítulo, 
as características da prática da medição da 
resistividade do solo de um local virgem. 
 
Os métodos de medição são resultados da análise 
de características práticas das equações de 
Maxwell do eletromagnetismo, aplicadas ao solo. 
 
Na curva   a, levantada pela medição, esta 
fundamentada toda a arte e criatividade dos 
métodos de estratificação do solo, o que permite 
A elaboração do projeto do sistema de aterramento. 
 
2.2 – Localização do Sistema de Aterramento 
A localização do sistema de aterramento deve ser 
definida levando em consideração os seguintes 
itens: 
 
 Centro geométrico de cargas 
 Local com terreno disponível 
 Terreno acessível economicamente 
 Local seguro às inundações 
 Não comprometer a segurança da população 
 
Escolhido preliminarmente o local, devem ser 
analisados novos itens, tais como: 
 
 Estabilidade da pedologia do terreno 
 Possibilidade de inundações a longo prazo 
 Medições locais 
2.3 – Medições no local 
 
Definido o local da instalação do sistema de 
aterramento, deve-se efetuar levantamento através de 
medições, para se obter as informações necessárias à 
elaboração do projeto. 
O levantamento dos valores da resistividade é feito 
através de medições em campo, utilizando-se métodos 
de prospecção geoelétricos, dentre os quais, o mais 
conhecido e utilizado é o Método de Wenner. 
 
2.4 – Potencial em um ponto 
Seja um ponto “c” imerso em um solo infinito e 
homogêneo, emanando uma corrente elétrica I. O fluxo 
resultante de corrente diverge radialmente, conforme a 
figura abaixo: 
r
I
V
r
I
E
dr
r
I
V
r
I
J
EdrVJE
Pp
r
pp
r
ppp








44
44
2
22







2.5 Potencial em um ponto sob a superfície de um 
solo homogêneo 
 
Um ponto “c” imerso sob a superfície de um solo 
homogêneo, emanando uma corrente elétrica I, produz 
um perfil de distribuição do fluxo de corrente como o 
mostrado na figura abaixo 
 Figura 2.5.2 – Ponto imagem 
 
As linhas de corrente se comportam como se houvesse 
uma fonte de corrente pontual 











pp
p
pp
p
rr
I
V
IIcomo
r
I
r
I
V
'
'
11
'
1
'
1
11
4
44






2.6 – Método de Wenner 
Para o levantamento da curva de resistividade do solo, 
no local de aterramento, pode-se empregar diversos 
métodos, entre os quais: 
 
* Método de Wenner 
* Método de Lee 
* Método de Schlumbeger - Palmer 
 
Neste trabalho será utilizado o método de Wenner. O 
método usa quatro pontos alinhados, igualmente 
espaçados cravados a uma mesma profundidade 
 
 
Quatro hastes cravadas no solo 
Corrente elétrica I é injetada no ponto 1 e coletada no 
ponto 4. A passagem desta corrente produz potencial nos 
pontos 2 e 3. 
Usando o método das imagens obtém-se o potencial 
entre os pontos 2 e 3 
 
 
 




































2222
3223
2222
3
2222
2
)2()2(
2
)2(
21
4
)2(
11
)2()2(
1
2
1
4
)2()2(
1
2
1
)2(
11
4
papaa
I
VVV
paapaa
I
V
paapaa
I
V






Fazendo a divisão da diferença de potencial V23 
pela corrente I, tem-se o valor da resistência R do 
solo para uma profundidade aceitável de penetração 
da corrente I 
 
aR
areduzsePalmerdeformulaapaéistograndenterelativame
hastesasentreoafastamentumparaahastedaDiâmetro
quesecomenda
Palmerdefórmulam
pa
a
pa
a
aR
pordadaésolodoelétricaaderesistividA
papaaI
V
R





2
,20
1,0
:Re
)(].[
)2()2(
2
)2(
2
1
4
)2()2(
2
)2(
21
4
2222
2222
23






















2.7 – Medição pelo método de Wenner 
O método utiliza um Megger, instrumento de medida 
de resistência que possui quatro terminais, dois de 
corrente e dois de potencial. 
O aparelho, através de sua fonte interna, faz circular 
uma corrente elétrica I entre as duas hastes externas 
que estão conectadas aos terminais de corrente C1 e 
C2. 
As duas hastes internas são ligadas nos terminais P1 e 
P2 , o aparelho processa internamente e indica o valor 
da resistência elétrica. 
O método considera que praticamente 58% da 
distribuição de corrente que passa entre as hastes 
externas ocorre a uma profundidade igual a “a” 
 
As hastes usadas no método devem ter 
aproximadamente 50 cm de comprimento com 
diâmetro entre 10 a 15 mm. Varias leituras, para 
vários espaçamentos devem ser feitas. 
 
 
2.8 – Cuidados na medição 
Durante as medições devem ser observados os 
itens abaixo: 
 As hastes devem estar alinhadas 
 As hastes devem estar igualmente espaçadas 
 O aparelho deve estar posicionado 
simetricamente entre as hastes 
 As hastes devem estar bem limpas, 
principalmente isentas de óxidos e gorduras 
para possibilitar bom contato com o solo 
 A condição do solo (seco, úmido etc) durante a 
medição deve ser anotada 
 Não devem ser feitas medições sob condições 
atmosféricas adversas, tendo-se em vista a 
possibilidade de ocorrências de raios 
 Não deixar que animais ou pessoas estranhas 
se aproximem do local 
 Deve-se usar calçados e luvas de isolação para 
executar as medições 
 Verificar o estado do aparelho, inclusive a 
carga da bateria. 
2.9 – Espaçamento das hastes 
 
Alguns métodos de estratificação do solo necessitam 
mais leituras para pequenos espaçamentos, a fim de 
possibilitar a determinação da resistividade da 1a. 
Camada do solo. 
Para uma determinada direção devem ser usados 
espaçamentos recomendados na tabela abaixo. 
 
ESPAÇAMENT
O a (m) 
 
LEITURA R 
() 
 
CALCULADO 
 (.m) 
 
1 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 Espaçamentos recomendados 
2.10 – Direções a serem medidas 
O numero de direções depende da: 
 
 Importância do local de aterramento 
 Dimensãodo sistema de aterramento 
 Variação acentuada nos valores medidos 
 para os respectivos espaçamentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em sistema de aterramento pequeno, para cada posição 
do aparelho devem ser efetuadas medidas em 3 direções 
com ângulo de 600 entre si. 
No caso de subestações, vários pontos devem ser 
medidos cobrindo toda a área. 
 
Caso se deseje usar o mínimo de direções, pelo menos as 
direções abaixo deverão ter prioridade: 
Direção da linha de alimentação 
Direção do ponto de aterramento local e o da fonte de 
alimentação 
 
 
2.11 – Análise das medidas 
1) Calcular a média aritmética dos valores da 
resistividade elétrica para cada espaçamento 
adotado isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
empregadososespaçamentdeNúmeroq
aoespaçamentocomaderesistividdemediçãoésimaidaValora
mediçõesdeNúmeron
aoespaçamentoparamédiaesistividada
Onde
niqja
n
a
jji
jjM
n
i
jijM




 

)(
Re)(
:
,1,1)(
1
)(
1



2) Proceder o cálculo do desvio de cada medida 
em relação ao valor médio como segue: 
 
 
 
Observação (a): Desprezar valores de resistividade 
com desvio maior que 50% em relação a média 
Observação (b): Se o valor da resistividade tiver 
desvio abaixo de 50% o valor será aceito como 
representativo 
Observação (c): Se observado grande numero de 
desvios acima de 50%, novas medidas deverão ser 
feitas. Caso haja persistência, a área deverá ser 
considerada independente para efeito de modelagem. 
q,jn,i)a()a( jMji 11  
q,jn,i%*
)a(
)a()a(
jM
jMji
1150100 



Espaçame
nto a(m) 
 
Resistividade elétrica medida 
(.m) 
 1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
2 
 
340 
 
315 
 
370 
 
295 
 
350 
 
4 
 
520 
 
480 
 
900 
 
550 
 
490 
 
6 
 
650 
 
580 
 
570 
 
610 
 
615 
 
8 
 
850 
 
914 
 
878 
 
905 
 
101
0 
 
16 
 
690 
 
500 
 
550 
 
480 
 
602 
 
32 
 
232 
 
285 
 
196 
 
185 
 
412 
 
 Tabela 2.12.1 – Medições em campo 
2.12 Exemplo geral 
As tabelas a seguir mostram medições de campo em 
vários espaçamentos e direções, desvio relativo para 
cada espaçamento e a resistividade média recalculada. 
Observa-se na tabela 2.12.2 duas medidas em vermelho, 
que apresentam desvio acima de 50%. Devem ser 
desconsideradas, refazendo-se o cálculo da média. 
Espaçament
o a(m) 
 
Desvios relativos (%) 
 
Resist
iv. 
média 
(.m) 
 
Resistiv. 
média 
recalc. 
(.m) 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
2 
 
1,7 
 
5,6 
 
10,77 
 
11,67 
 
4,79 
 
334 
 
334 
 
4 
 
11,56 
 
18,36 
 
53,06 
 
6,46 
 
16,66 
 
588 
 
510 
 
6 
 
7,43 
 
4,13 
 
5,78 
 
0,82 
 
1,65 
 
605 
 
605 
 
8 
 
6,73 
 
0,28 
 
3,66 
 
0,70 
 
10,81 
 
911,4 
 
911,4 
 
16 
 
22,25 
 
11,41 
 
2,55 
 
14,95 
 
6,66 
 
564,4 
 
564,4 
 
32 
 
11,45 
 
8,77 
 
25,19 
 
29,38 
 
57,25 
 
262 
 
224,5 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2.12.2 – Determinação da média e desvios relativos 
3 – ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO 
3.1 – Introdução 
Em virtude a formação geológica dos solos ao longo 
dos anos, a modelagem em camadas horizontais tem 
produzido excelentes resultados comprovados na 
prática. 
 
Com base nos dados  x a obtidos no capítulo 2, serão 
apresentados diversos modos de estratificação do solo, 
entre os quais: 
 
Métodos de estratificação de duas camadas 
Método de Pirson 
Método gráfico 
 
3.2 Modelagem do solo de duas camadas 
Usando as teorias do eletromagnetismo no solo com duas 
camadas horizontais é possível desenvolver modelagem 
matemática para determinação das resistividades da 1a. e 
2a. camadas bem como as respectivas profundidades. 
 
Uma corrente elétrica I entrando pelo ponto A, no solo de 
duas camadas da figura abaixo, gera potenciais na 
primeira camada que deve satisfazer a equação de 
Laplace 
 
02  V
V = Potencial na primeira camada do solo 
Desenvolvendo a Equação de Laplace relativamente 
ao potencial V de qualquer ponto p da primeira camada 
do solo distanciado de “r” da fonte de corrente A 
chega-se a seguinte expressão: 
 
onde: 
 
 Vp = Potencial de um ponto p qualquer da 1
a camada em 
 relação ao infinito 
1 = Resistividade da 1
a camada 
h = Profundidade da 1a camada 
r = Distância do ponto p à fonte de corrente A 
K = Coeficiente de reflexão -1  K  +1 
2 = Resistividade da segunda camada 
 
 
 
 
 









 

1
22
1
)2(
2
1
2 n
n
p
nhr
K
r
I
V


1
1
1
2
1
2
12
12












K
3.3 – Configuração de Wenner 
Nesta configuração a corrente I entra no solo por A e 
retorna ao aparelho por D. Os pontos B e C são os 
eletrodos de potencial. 
Usando-se a superposição da contribuição da corrente 
elétrica entrando em A e saindo por D tem-se: 


































































































1
22
1
1
22
1
1
22
1
1
22
1
1
22
1
2421
41
2
)2(
2
1
2)2()2(
2
2
1
2
)2()2(
2
2
1
2)2(
2
1
2
n
nn
BC
CBBC
n
n
n
n
C
n
n
n
n
B
a
h
n
K
a
h
n
K
a
I
V
VVV
nha
K
a
I
nha
K
a
I
V
nha
K
a
I
nha
K
a
I
V










Considerando que a relação VBC / I representa o valor 
da resistência elétrica lida no aparelho Megger e a 
resistividade elétrica do solo para o espaçamento “a” é 
dada por (a) = 2aR tem-se: 






























































































































1
22
1
1
221
1
221
2421
41
2421
412
2421
412
n
nn
n
nn
n
nn
BC
a
h
n
K
a
h
n
K)a(
a
h
n
K
a
h
n
K
aR
a
h
n
K
a
h
n
K
I
V
a




A expressão final é fundamental na elaboração da 
estratificação do solo em duas camadas 
 
3.4 Método de estratificação do solo de duas camadas 
Empregando estrategicamente a expressão anterior, é 
possível obter alguns métodos de estratificação do solo 
para duas camadas. Entre eles, os mais usados são: 
 
 Método de duas camadas usando curvas; 
 Método de duas camadas usando técnicas de 
otimização; 
 Método simplificado para estratificação do solo de 
duas camadas 
3.5 – Método de duas camadas usando curvas 
A faixa de variação de K é pequena e estalimitada 
entre –1 e +1 
Pode-se traçar uma família de curvas de (a)/ 1 em 
função de h/a para uma série de valores de K 
negativos (curvas descendentes) e positivos (curvas 
ascendentes). 
A figura abaixo mostra a variação de (a) x a 
Obtém-se a seguir as curvas de (a)/ 1 em função de 
h/a para valores de K negativos e positivos 
Com base na família de curvas teóricas mostradas 
anteriormente, é possível estabelecer um método que 
faz o casamento da curva (a) x a, medida por Wenner, 
com uma determinada curva particular. Esta curva 
particular, é caracterizada pelos respectivos valores de 
1, K e h. 
Encontrando estes valores, a estratificação está 
estabelecida. 
Passos relativos ao procedimento deste método com um 
exemplo de aplicação: 
1o Passo: Traçar em um gráfico a curva (a) x a com 
dados obtidos no método de Wenner. 
ESPAÇAMENTO 
(m) 
 
RESISTIVIDADE 
(xm) 
 
1 
 
684 
 
2 
 
611 
 
4 
 
415 
 
6 
 
294 
 
8 
 
237 
 
16 
 
189 
 
32 
 
182 
 
 
 
2o Passo: Prolongar a curva (a) x a até cortar o eixo 
das ordenadas do gráfico. Neste ponto é lido o valor de 
1 = 700 .m 
 
3o Passo: Escolhe-se arbitrariamente o valor de a1 = 4 m 
e obtém-se (a1) = 415 xm 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34
0
100
200
300
400
500
600
700
4
415
Prolongamento
 
(a
)
a
4o Passo: Pelo comportamento da curva (a) x a 
determina-se o sinal de K. Isto é: 
  Se a curva for descendente, K < 0 e efetua-se o 
cálculo de (a1)/1 
  Se a curva for ascendente, K > 0 e efetua-se o 
cálculo de 1/(a1) 
Como a curva (a) x a é descendente, K é negativo, 
então calcula-se a relação: 
 
 
5o Passo: Com o valor de (a1)/1 ou 1/(a1) obtido, 
entra-se nas curvas teóricas correspondentes e traça-se 
uma linha paralela ao eixo da abcissa. 
Esta reta corta curvas distintas de K. Proceder a leitura 
de todos os K e h/a correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
593,0
700
415)(
1
1 

 a
0,593 
6o Passo: Multiplica-se todos os valores de h/a 
encontrados no quinto passo pelo valor de a1 do 
terceiro passo. Gera-se uma tabela com os valores 
correspondentes de K, h/a e h. 
 a1 = 4m 
 
K 
 
h/a 
 
h(m) 
 
-0,1 
 
- 
 
- 
 
-0,2 
 
- 
 
- 
 
-0,3 
 
0,263 
 
1,052 
 
-0,4 
 
0,423 
 
1,692 
 
-0,5 
 
0,547 
 
2,188 
 
-0,6 
 
0,625 
 
2,500 
 
-0,7 
 
0,691 
 
2,764 
 
-0,8 
 
0,752 
 
3,008 
 
-0,9 
 
0,800 
 
3,200 
 
-1,0 
 
0,846 
 
3,384 
 
593,0
700
415)(
1
1 

 a
Tabela 3.4.2 – Valores do quinto e sexto 
passo 
7o Passo: Plota-se a curva K x h dos valores obtidos da 
tabela gerada no sexto passo ( A curva será traçada no 
9o passo) 
 
8o Passo: Um segundo valor de espaçamento a2  a1 é 
novamente escolhido, e todo o processo é repetido, 
resultando numa nova curva K x h 
 a2 = 6 m 
 
K 
 
h/a 
 
h(m) 
 
-0,1 
 
- 
 
- 
 
-0,2 
 
- 
 
- 
 
-0,3 
 
- 
 
- 
 
-0,4 
 
- 
 
- 
 
-0,5 
 
0,305 
 
1,830 
 
-0,6 
 
0,421 
 
2,526 
 
-0,7 
 
0,488 
 
2,928 
 
-0,8 
 
0,558 
 
3,348 
 
-0,9 
 
0,619 
 
3,714 
 
-1,0 0,663 
 
3,978 
 
 
 Tabela 3.5.3 – Valores do 5o e 6o passos 
 
42,0
700
294)(
1
2 

 a
9o Passo: A figura abaixo, apresenta o traçado das duas 
curvas K x h obtidas 
das tabelas 3.5.2 e 3.5.3 
10o Passo: A intercessão das duas curvas K x h num 
dado ponto resultará nos valores reais de K e h, e a 
estratificação estará definida. Pelo gráfico anterior 
tem-se: 
 K = -0,616 
 h = 2,574 m 
Usando a equação abaixo, obtém-se o valor de 2 
 
 
 
 
 
A figura abaixo mostra o solo estratificado em duas 
camadas 
 
 
 
 
 
 
12
12




K
m.36,1662 
3.6 Método de duas camadas usando técnicas de otimização 
A expressão da seção 3.3 pode ser colocada na forma: 
 
 
 
 
 
Pela expressão acima, para um específico solo em duas 
camadas há uma relação direta entre os espaçamentos 
das hastes e o valor de (a). 
Os valores de (a) medidos no aparelho e os obtidos 
pela fórmula devem ser o mesmo. 
Pelas técnicas de otimização procura-se obter o melhor 
solo estratificado calculando os valores de 1, K e h de 
forma a minimizar os desvios entre os valores medidos 
e calculados. 
A solução será encontrada na minimização da função 
abaixo 
 
 











































 

1
221
2421
41)(
n
nn
a
h
n
K
a
h
n
K
a 
 





























































q
i n
nn
medidoi
a
h
n
K
a
h
n
K
a
1 1
221
2421
41)( 
 
minimizar 
As variáveis são 1, K e h cujos valores finais deverão ser 
otimizados esta é a expressão da minimização dos 
desvios ao quadrado conhecida como mínimo quadrado. 
 
Aplicando qualquer método de otimização multidimensional na 
expressão acima obtém-se os valores ótimos de 1, K e h que 
é a solução final do método de estratificação. 
Métodos tradicionais de otimização que podem ser 
aplicados: 
  Método do gradiente 
  Método do gradiente conjugado 
  Método de Newton 
  Método Quase-Newton 
  Método de Direção Aleatória 
  Método de Hooke e Jeeves 
  Método do poliedro flexível 
 
Exemplo 3.6.1: 
Aplicando separadamente três métodos de otimização 
conforme proposto pela expressão anterior, ao conjunto 
de medidas da tabela 3.6.1, obtidas em campo pelo 
método de Wenner, as soluções obtidas estão 
apresentadas na tabela 3.6.2 
 Tabela 3.6.1 – Dados da medição 
 
 
 
 
 
 
 
 Tabela 3.6.2 Solução encontrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESPAÇAMENTO 
a(m)
RESISTIVIDADE MEDIDA
(.m)
2,5 320
5,0 245
7,5 182
10,0 162
12,5 168
15,0 152
ESPAÇAMENTO 
a(m)
RESISTIVIDADE MEDIDA
(.m)
2,5 320
5,0 245
7,5 182
10,0 162
12,5 168
15,0 152
ESPAÇAMENTO 
a(m)
ESPAÇAMENTO 
a(m)
RESISTIVIDADE MEDIDA
(.m)
RESISTIVIDADE MEDIDA
(.m)
2,52,5 320320
5,05,0 245245
7,57,5 182182
10,010,0 162162
12,512,5 168168
15,015,0 152152
ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO 
CALCULADA
GRADIENTE LINEARIZADO HOOKE-JEEVES
Resistivid. da 1a camada 
(.m)
383,49 364,67 364,335
Resistivid. da 2a camada 
(.m)
147,65 143,61 144,01
Profundidade da 1a camada 
(m)
2,56 2,82 2,827
Fator de reflexão K -0,44 -0,43 -0,4334
ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO 
CALCULADA
GRADIENTE LINEARIZADO HOOKE-JEEVES
Resistivid. da 1a camada 
(.m)
383,49 364,67 364,335
Resistivid. da 2a camada 
(.m)
147,65 143,61 144,01
Profundidade da 1a camada 
(m)
2,56 2,82 2,827
Fator de reflexão K -0,44 -0,43 -0,4334
ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO 
CALCULADA
ESTRATIFICAÇÃO DO SOLO 
CALCULADA
GRADIENTEGRADIENTELINEARIZADOLINEARIZADO HOOKE-JEEVESHOOKE-JEEVES
Resistivid. da 1a camada 
(.m)
Resistivid. da 1a camada 
(.m)
383,49383,49 364,67364,67 364,335364,335
Resistivid. da 2a camada 
(.m)
Resistivid. da 2a camada 
(.m)
147,65147,65 143,61143,61 144,01144,01
Profundidade da 1a camada 
(m)
Profundidade da 1a camada 
(m)
2,562,56 2,822,82 2,8272,827
Fator de reflexão KFator de reflexão K -0,44-0,44 -0,43-0,43 -0,4334-0,4334
3.7 – Método simplificado para estratificação do solo em duas 
 camadas 
Este método oferecerá resultados razoáveis quando o solo for 
estratificável em duas camadas e a curva (a) x a tiver 
tendência de saturação assintótica nos extremos e paralela ao 
eixo das abcissas. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.7.1 – Curvas (a) x a para solos de duas camadas 
 
O prolongamento das assíntotas determina os valores de 1 e 
2. 
A filosofia deste método baseia-se em fazer a = h a 
fórmula geral fica: 

















1
22)(
1
)(
)2(4)2(1
41
n
nn
ah
ha
n
K
n
K
M

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A expressão acima significa que se o espaçamento a for 
igual a h, a leitura no Megger será: 
 
 )(1)( ahha M   
Deste modo, basta levar o valor (a=h) na curva (a) x a 
e obter o valor de a, isto é, h. Assim fica obtida a 
profundidade da primeira camada. 
Através da expressão anterior pode-se determinar a curva 
M(a=h) x K 
 
. 
-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0,783
-0,666
Figura 3.5.3 - Curva M versus K
M
(a
=
h
)
K
No Método simplificado, a seqüência para obtenção da 
estratificação do solo utilizando um exemplo é a seguinte. 
1o Passo: Traçar a curva (a) x a obtida pela medição em 
campo usando Wenner. 
 
Espaçamento 
a(m)
Resistividade 
Medida (.m)
1 996
2 974
4 858
6 696
8 549
12 361
22 230
32 210
Espaçamento 
a(m)
Resistividade 
Medida (.m)
1 996
2 974
4 858
6 696
8 549
12 361
22 230
32 210
Espaçamento 
a(m)
Espaçamento 
a(m)
Resistividade 
Medida (.m)
Resistividade 
Medida (.m)
11 996996
22 974974
44 858858
66 696696
88 549549
1212 361361
2222 230230
3232 210210
 
 
2o Passo: Prolongar a curva (a) x a até interceptar o eixo 
das ordenadas determinando o valor de 1, ou seja, a 
resistividade da 1a camada. Recomenda-se fazer várias 
leituras pelo método de Wenner para pequenos 
espaçamentos. (1=1000 .m) 
 
3o Passo: Traçar a assíntota no final da curva (2=200 .m) 
 
4o Passo: Calcular o índice de reflexão K 
 
 
 
 
 
5o Passo: Da curva M(a=h) x K determina-se o valor de M(a=h) 
obtém-se M(a=h) = 0.783 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
Assíntota inferior
Figura 3.5.4 - Curva (a) x a
5,0 m
783
Assíntota superior
 
(a
)
a
666.0
1
1000
200
1
1000
200
1
1
K
1
2
1
2











6o Passo: Calcular 
 (a=h) = 1 M(a=h) = 1000 x 0,783 = 783 .m 
 
7o Passo: Com o valor de (a=h) levado a curva (a) x a, 
obtém-se h = 5 m 
 
Assim, o solo estratificado em duas camadas é apresentado 
na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8 – Método de estratificação de solos de várias camadas 
Um solo com várias camadas apresenta uma curva (a) x a 
ondulada, com trechos ascendentes e descendentes 
Conforme mostrado na figura seguinte. 
Dividindo a curva (a) x a em trechos típicos dos solos de 
duas camadas, é possível então, empregar métodos para a 
estratificação do solo com várias camadas fazendo uma 
extensão da modelagem do solo de duas camadas. 
 
 
 
 
 
 
 Fig, 3.8.1 Solo com várias camadas 
 
Os seguintes métodos serão desenvolvidos: 
 Método de Pirson 
 Método Gráfico de Yokogawa 
 
3.6.1 – Método de Pirson 
 
Este método pode ser encarado como uma extensão do 
método de duas camadas. Ao se dividir (a) x a em 
trechos ascendentes e descendentes, um solo de várias 
camadas pode ser analisado como uma sequência de 
curvas equivalentes a duas camadas. 
 
 No 1o trecho obtém-se  1, 2 e h1 (considerando 
um solo de 2 camadas). 
 
 Na análise do 2o trecho determina-se a resistividade 
equivalente vista pela 3a camada. 
 
 Determina-se 3 e a profundidade da camada 
equivalente 
 
 
Passos da metodologia adotada por Pirson ilustrada com 
exemplo: 
1o Passo: Traçar em um gráfico a curva (a) x a a partir 
do conjunto de medidas obtidas em campo pelo método 
de Wenner. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaçamento a 
(m) 
 
Resistividade 
medida (.m) 
 1 
 
11.938 
 
2 
 
15.770 
 
4 
 
17.341 
 
8 
 
11.058 
 
16 
 
5.026 
 
32 
 
3.820 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.6.1 – Curva (a) x a 
2o Passo: A curva é dividida em 2 trechos um ascendente e 
outro descendente a separação é feita no ponto máximo 
da curva onde d/da = 0 
3o Passo: Com o prolongamento da curva tem-se: 
1=8.600 .m 
4o Passo: Após efetuada toda sequência do item 3.5, 
encontra-se os valores de 2 e h1 
 
 a1 = 1m  (a1) = 11.938 .m 
 a1 = 2m  (a1) = 15.770 .m 
 
 
. a1 = 1 m 1/(a1) 
=0,7204 
 
 
K 
 
h/a1 
 
h(m) 
 
0,2 
 
0,23 
 
0,23 
 
0,3 
 
0,46 
 
0,46 
 
0,4 
 
0,60 
 
0,60 
 
0,5 
 
0,72 
 
0,72 
 
0,6 
 
0,81 
 
0,81 
 
0,7 
 
0,89 
 
0,89 
 
0,8 
 
0,98 
 
0,98 
 
 a1 = 2 m 1/(a1) 
= 0,5475 
 
 
K 
 
h/a1 
 
h(m) 
 
0,2 
 
- 
 
- 
 
0,3 
 
0,05 
 
0,10 
 
0,4 
 
0,28 
 
0,56 
 
0,5 
 
0,40 
 
0,80 
 
0,6 
 
0,49 
 
0,98 
 
0,7 
 
0,57 
 
1,14 
 
0,8 
 
0,65 
 
1,30 
 
 
 
Efetuando o traçado das curvas, as mesmas se 
interceptam no ponto 
h1 = d1= 0,64 m e K1 = 0,43 
 
Conforme mostrado na figura a seguir 
 
 
 
 
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
 
0,43
0,64
a

= 2 m
a
1
=1 m
h
K
 Figura 3.6.2 – Curvas h x K 
 
Usando-se a equação de K em função de  tem-se: 
 
 2 = 21.575 .m 
 
5o Passo: Examinando o 2o trecho da curva, pode-se 
concluir que o ponto da curva com a = 8 m apresenta maior 
inclinação, logo at = 8 m d/da é máxima e d
2/da2 =0 
(ponto de transição). Este ponto esta localizado onde a 
curva muda a sua concavidade. 
 
6o Passo: No segundo trecho da curva (a) x a deve-se 
achar a resistência equivalente vista pela 3a camada, 
assim estima-se a profundidade da segunda camada pelo 
método de Lancaster-Jones, isto é: 
 
 
tadˆdhˆ
3
2
212 
8
3
2
640 22  dˆ,hˆ
m,hˆ 452 
m,dˆ 7642 
camadaprimeiradaEspessura11  hd
camadasegundadaestimadaEspessura2dˆ
camadasegundadaestimadadeProfundida2hˆ
trecho2dotransiçãode
pontoaoentecorrespondoEspaçament
o
ta
7o Passo: Cálculo da resistividade média equivalente 
estimadavista pela terceira camada utilizando a fórmula 
de Hummel, que é a média harmônica ponderada da 
primeira e segunda camada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O se apresenta como o 1 do método de duas 
camadas 
 
8o Passo: Para o segundo trecho da curva (a) x a, repetir 
todo o processo de duas camadas, considerando a 
resistividade da primeira camada. Obtém-se assim os 
novos valores estimados de 
 
Se um refinamento maior no processo for desejado, 
deve-se refazer o processo a partir do novo calculado. 
 
 
 
São geradas as tabelas a seguir: 
 
 
 
 
 
m..ˆ
.
,
.
,
,,
ˆ 


 30218
57521
7604
6008
640
764640 1
2
1
2 
2
2
1
1
211
2


dˆd
dˆd
ˆ



1
2ˆ
1
2ˆ
23
ˆˆ he
2hˆ
212
ˆ ddh 
Para: 
 a1 = 8 m  (a1) = 11.058 .m 
 a1 = 16 m  (a1) = 5.026 .m 
 
a1 = 8 m = 0,604 
 
 
K 
 
h/a 
 
h(m) 
 
-0,3 
 
0,280 
 
2,240 
 
-0,4 
 
0,452 
 
3,616 
 
-0,5 
 
0,560 
 
4,480 
 
-0,6 
 
0,642 
 
5,136 
 
-0,7 
 
0,720 
 
5,760 
 
-0,8 
 
0,780 
 
6,240 
 
-0,9 
 
0,826 
 
6,600 
 
a1 = 16 m = 0, 2746 
 
 
K 
 
h/a 
 
h(m) 
 
-0,3 - - 
-0,4 
 
- 
 
- 
 
-0,5 
 
- 
 
- 
 
-0,6 
 
0,20 
 
3,20 
 
-0,7 
 
0,34 
 
5,44 
 
-0,8 0,43 
 
6,88 
-0,9 
 
0,49 
 
7,84 
 
Efetuando-se o traçado das duas curvas K x h, as 
mesmas se interceptam no ponto h2 = 5,64 m e 
K = -0,71 
1
21  ˆ/)a(
1
21  ˆ/)a(
-0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3
2
3
4
5
6
7
8
h 2
K
 a
1
=16m
 a
1
=8m
 Figura 3.6.3 – Curvas h2 x K 
As curvas interceptam-se no ponto h2 = 5,64 m (5,80 m) e 
K = -0,71 (K = -0,73) 
Assim, 
 
 
Substituindo-se os valores tem-se: 
 
 
A figura abaixo mostra a solução final com três camadas 
estratificadas 
 
 
K
K
ˆ



1
11
23 
m..  10333
 
 
 
 
3.6.2 – Método de Yokogawa 
A origem do método baseia-se na logaritimização da 
expressão obtida do modelo de solo de duas camadas. 
 
 
 
 
 
Pode-se construir uma família de curvas teóricas de 
 em função de h/a para uma série de 
valores de K dentro de toda a sua faixa de variação 
conforme visto nos gráficos anteriores. 
Para o gráfico a ser mostrado a seguir, os valores de 
 estão na ordenada do gráfico, na abcissa 
estão os valores de a/h todos em escala logarítimica e as 
curvas dos respectivos K estão indicadas pelo seu 
correspondente . 
Fazendo manualmente o perfeito casamento da curva 
 na escala logarítimica com uma determinada 
curva padrão, tem-se então a identidade estabelecida. 
A partir do segundo trecho, deve-se utilizar uma 
estimativa da camada equivalente vista pela terceira 
Camada, isto é feito empregando uma curva auxiliar. 
 



















































1
22
1
2421
41
n
nn
a
h
n
K
a
h
n
K
log
)a(
log


1 /)a(
12  /
)/)(log( 1 a
  aa 
1 10 100
0,1
1
10
01/20
1/10
1/5
1/8
1/7
1/6
1/4
1/3
1/2.5
1/2
1/1.5
1
1.5
2
2.5
3
4
5
6
7
8
9
10
152030inf

2
/
1
(
a)
/
1
a/h
 Figura 3.6.5 – Curva Padrão 
 Figura 3.6.6 – Curva auxiliar 
Para um solo com resultados das medições de Wenner 
descritos abaixo, 
 
 
 
 
 
 
Utiliza-se a seguinte rotina para o método de Yokogawa 
1o Passo: Traçar em papel transparente a curva (a) x a em 
escala logarítimica 
 
2o Passo: Dividir a curva (a) x a em trechos ascendentes e 
descendentes 
 
3o Passo: Desloca-se o primeiro trecho da curva (a) x a sobre a 
curva padrão até obter o melhor casamento possível. 
 
4o Passo: Demarca-se no gráfico da curva (a) x a, o ponto de 
Origem ((a)/1 = 1 e h/a = 1) da curva padrão obtendo-se o 
pólo O1 
 
5o Passo: Lê-se no ponto do pólo O1 os valores de 1 e h1. 
 
6o Passo: Calcula-se 2 pela relação 1/2 obtida no terceiro passo 
 
7o passo: Faz-se o pólo O1 do gráfico da curva (a) x a coincidir 
com o ponto de origem na curva auxiliar. 
 
 
Espaçamento a(m) Resistividade medida (.m) 
2 680 
4 840 
8 930 
16 690 
32 330 
 
No pólo O1 tem-se: 1 = 350 .m; h1 = 0,67 m 
2/ 1 = 3 
2 = 1050 .m 
8o Passo: Translada-se o gráfico (a) x a, de modo que a 
curva auxiliar 2/ 1 traçada no sétimo passo, percorra 
sempre sobre o ponto de origem da curva padrão. Isto é 
feito até se conseguir o melhor casamento possível do 
segundo trecho da curva (a) x a com a curva padrão, 
isto se dá numa nova relação 2/ 1 denominada agora de 
 
 
9o Passo: Demarca-se o pólo O2 no gráfico (a) x a 
coincidente com o ponto de origem da curva padrão 
 
10o Passo: Lê-se no ponto do pólo O2 os valores de e 
h2. 
 
11o Passo: Calcula-se a resistividade da terceira camada 
 pela relação fornecida no oitavo passo. 
 
Até este passo foram obtidos 1, h1, h2, 2 e 3. Havendo 
mais trechos da curva (a) x a deve-se repetir o 
processo a partir do sétimo passo. 
 
No pólo O2, têm-se: 
 
 
1
23  /
1
2
m.90012 
mh 152 
6
1
1
2
3 


m.1503 
3
A figura abaixo mostra o solo estratificado em três 
camadas