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Unidade II3. Ondas mecânicas e
Professor Dr. Edalmy Oliveira de Almeida 
Governo do Estado do Rio Grande do NorteSecretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEECUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE - UERNPró-Reitoria de Ensino de Graduação – PROEGHome Page: http://www.uern.br E-mail: proeg@uern.brUNIDADE: Campus Avançado de Natal
3.1 Ondas Transversais e Longitudinais
Observando um elemento da corda enquanto oscila para cima e para baixo por causada passagem da corda. Constatamos que o deslocamento dos elementos da corda é sempreperpendicular à direção de propagação da corda, como mostrado na Fig. 01. Este movimento échamado de transversal, e dizemos que a onda que se propaga em uma corda é uma ondatransversal.
Como o movimento das moléculas de ar na Fig. 02 é paralelo à direção depropagação da onda, este movimento é chamado de longitudinal, e dizemos que a onda que sepropaga no ar é uma onda longitudinal.
Tanto as ondas transversais como as ondas longitudinais são chamadas de ondas progressivasquando se propagam de um lugar a outro, como no caso das ondas na corda Fig. 01 e no tuboFig. 02. Observe que é a onda que se propaga, e não o meio material (corda ou ar) no qual aonda se move.
Fig. 01 Uma onda senoidal é produzida na corda Fig. 02 Uma onda sonora é produzido em um tubo cheio de ar
3.2 Comprimento de Onda e Frequência
Imagine uma onda senoidal como da Fig. 01 se propagando no sentido positivo deum eixo x. Quando a onda passa por elementos sucessivos da corda os elementos oscilamparalelamente ao eixo y. Em um certo instante t o deslocamento y do elemento da corda situadona posição x, como está mostrada na equação Eq. 01
   wtkxsenyy mtx , Eq. 01
Amplitude e Fase
A amplitude ym de uma onda como na Fig. 03 é o modulo do deslocamento máximo doselementos a partir da posição de equilíbrio quando a onda passa por eles. (O índice m significamáximo)A Fase da onda é o argumento kx – wt do seno da Eq. 01. Quando a onda passa por umelemento da corda em uma certa posição x a fase varia linearmente com o tempo t.
Comprimento de onda e Número de onda
O comprimento de onda λ de uma onda é a distância entre repetições da forma de onda. Umcomprimento de onda típico está indicado na Fig. 03, que é um instantâneo da onda em t = 0.Nesse instante a Eq. 01 fornece, como descrição da forma da onda,
• Podemos definir o número de onda angular ( ou só numero de onda) k
• Chamamos de k de número de onda angular da onda e sua unidade no SI é radianos por metro. Como o número de onda pode ser definido como 1/λ
• A frequência angular também pode ser definida por
2k  (Número de onda angular)
Eq. (02)
1k (Número de onda) Eq. (03)
2
T
  (freqüência angular) Eq. (04)
Fig. 03 Uma onda em uma corda se propagando no sentido positivo de um eixo x.
Chamamos de ω a freqüência angular da onda. Sua unidade no SI é o radianos por segundo
A freqüência da onda, simbolizada por f, é definida simplesmente como 1/T e está relacionada a ω por
21  Tf (freqüência)
A freqüência f é o número de vibração por unidade de tempo executado pela onda ao passar por determinado ponto 1hertz = 1Hz = 1vibração/s
Eq. (05)
Constante de Fase
Quando uma onda progressiva senoidal é expressa pela função de onda da Eq. 01, aonda nas proximidades de x = 0 se parece com a Fig. 04 Para t = 0. Note que, em x = 0 odeslocamento é y = 0 e a inclinação tem o valor máximo positivo. Podemos generalizar a Eq. 01introduzindo uma constante de fase φ na função de onda:
Fig. 04 Uma onda progressiva senoidal no instante t = 0 com uma constante de fase φ = 0
  wtkxsenyy m Eq. (06)
3.3 A Velocidade de uma Onda Progressiva
A Fig. 05 mostra dois instantes da onda da Eq. 01, separados por um pequeno
intervalo de tempo Δt. A onda está se propagando no sentido positivo de x (para direita), com
toda forma de onda se deslocando de uma distância Δx nessa direção durante o intervalo Δt. A
razão Δx/Δt (ou no limite diferencial, dx/dt) é a velocidade v da onda.
Se o ponto A conserva seu deslocamento quando se move a fase da Eq. 01, que determina esse
deslocamento, deve permanecer constante:
Fig. 05 Dois instantâneos da onda nos instantes t = 0 e t = Δt
Para determinar a velocidade v da onda derivamos a Eq. 07 em relação ao tempo,obtendo:
.
0
k
wvdt
dx
wdt
dxk


Eq. 08
Usando a Eq. 02 (k = 2π/λ) e a Eq. 04 (w = 2π/T) podemos escrever a velocidade daonda na forma:
fTk
wv   Velocidade da onda. Eq. 09
A Eq. 01 descreve uma onda que se propaga no sentido positivo de x. Podendo obtera equação de uma onda que se propaga no sentido oposto, substituindo t na Eq. 01 por – t. Issocorresponda à condição;
constante, wtkx Eq. 07
)(
)(
),(
),(
wtkxsenyy
wtkxsenyy
mtx
mtx 

(x crescendo)
(x decrescendo)
O sinal negativo (compare com a Eq. 10) confirma que a onda está se propagando no sentido negativo de x e justifica a troca do sinal da variável tempo.
Consideremos agora uma onda de forma generalizada dada por 
Que (compare com a Eq. 07) requer que x diminua com o tempo. Assim, umaonda que se propaga no sentido negativo de x é descrito pela equação
Eq. 10
)(),( wtkxsenyy mtx 
A analise acima mostra que todas as ondas nas quais as variáveis x e t entram nacombinação kx ± wt serão ondas progressivas.
Eq. 11
Exemplo – 01:
Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
Onde as constantes numéricas estão em unidades do SI (0,00327 m; 72,1 rad/m e 2,72 rad/s). 
(a) Qual é a amplitude da onda? 
(b) Quais são o comprimento de onda, o período e a frequência da onda?
(c) Qual é a velocidade da onda?
(d) Qual é o deslocamento y para x = 22,5 cm e t = 18,9 s?
   ,72,21,7200327,0, txseny tx 
(b) Quais são o comprimento de onda, o período e a frequência da onda?
Como k = 72,1 rad/m e w = 2,72 rad/s
HzsTf
ssrad
rad
wT
cmmmrad
rad
k
433,031,2
11
31,2/72,2
22
71,80871,0/1,72
22





Solução do problema
(a) Qual é a amplitude da onda?
      
mmmy
wtkxsenytxy
txsentxy
m
m 27,300327,0
,
72,21,7200327,0,



(c) Qual é a velocidade da onda?
scmsmmrad
srad
k
wν /77,3/0377,0/1,72
/72,2 
(d) Qual é o deslocamento y para x = 22,5 cm e t = 18,9 s?
   
       
                 mmtxy mtxy
mtxy
radsenmtxy
radradsenmtxy
ss
radmm
radsenmtxy
txsentxy
92,1,
00192,0,
588,000327,0,
2,3500327,0,
4,512,1600327,0,
9,1872,2225,01,7200327,0,
72,21,7200327,0,







 

Exemplo – 02:
Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
Onde as constantes numéricas estão em unidades do SI (ym = 0,00327 m; k = 72,1 rad/m e w =2,72 rad/s).
(a) Qual é a velocidade transversal u do elemento da corda no instante t = 18,9 s
(b) Qual é a aceleração transversal ay do mesmo elemento nesse instante?
   wtkxsenytxy m ,
Solução do problema
(a) Qual é a velocidade transversal u do elemento da corda no instante t = 18,9 s
 
      
        
smmu
smmu
radsmmu
radradsmmu
ss
radmm
radmmsradu
wtkxwyt
yu m
/20,7
80,0/8944,8
2,35cos/8944,8
4,512,16cos/8944,8
9,1872,2225,01,72cos27,3/72,2
cos






 

(b) Qual é a aceleração transversal ay do mesmo elemento nesse instante?
 
           
2
22
2
2
2
2
/2,14
92,1/3984,7
92,1/72,2
92,1
92,1,
,
smma
mmsrada
mmsrada
mmwa
mmtxy
wtkxsenytxy
wtkxsenywa
wtkxsenywt
ua
y
y
y
y
m
my
my








O sinal negativo quer dizer que a aceleração tem módulo 14,2 mm/s2 no sentido negativo de y
3.4 Velocidade de Onda em uma Corda Esticada
Considerando um pequeno segmento de pulso da Fig. 06,de comprimento Δl, que
forma um arco de circunferência de raio R. Uma força de módulo igual ao da tração tal puxa
tangencialmente cada extremidade deste seguimento
Fig. 06 Um pulso simétrico, visto a partir de um referencial no qual o pulso está estacionário e a corda parece se mover da direita para a esquerda com velocidade v.
Aplicando a segunda lei de Newton que diz força é igual a massa vez aceleração
 
2
2
2
vμτ
lvμlτ
R
vlμR
lτ



μ
τv 
Resolvendo esta equação para a velocidade escalar v, temos
(velocidade)
R
lτθτθsenτF  )2(2
Usamos aqui a aproximação senθ ~ θ para pequenos ângulos e notamos que 2θ = Δl/R. Amassa do seguimento é dado por lμm  µ é a densidade linear
Assim, há uma aceleração centrípeta em direção ao centro do círculo expresso por
R
va 2
Eq. 12
Exemplo - 03:
Um alpinista, cuja massa m é de 86 kg, desce uma corda, como na figura abaixo. O guia desejamandar um sinal para ele dando um brusco toque na extremidade da corda. Quanto tempolevará para o sinal se deslocar 32 m corda abaixo? A densidade linear µ da corda é de 74 g/m
Dados:m = 86kgl = 32 mDensidade da corda µ = 74 g/m = 0,074 kg/m
Solução do problema
A velocidade escalar do pulso ao se deslocar pela corda é
smmkg
smkgmgv /107/074,0
)/8,9)(86( 2  
ssm
m
v
lt 30,0/107
32 
Note que, desprezando o peso da corda, tomamos a tração na corda constanteao longo de seu comprimento é igual ao peso do alpinista.
3.5 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda
A energia cinética dk associada a um elemento da corda de massa dm é dada por
22
1 dmudk 
Fig. 07 No elemento (1) da corda, na posição y = ym, a energia cinética e a energia potencial armazenadassão igualmente nulas. No elemento (2), na posição y = 0, essas energia armazenadas têm seus valoresmáximos. A energia cinética depende do quanto o elemento da corda é esticada, à medida que a onda passapor ele.
Eq. 13
Onde u é a velocidade escalar transversal do elemento oscilante da corda, dada pela Eq. 01como
 
)cos(
)cos()0.()(.0
)(
)(),(
wtkxwyu
wtkxwywtkxsenu
wtkxsenytu
t
yu
wtkxsenyy
m
m
m
mtx





Usando essa relação e substituindo dm = μdx, reescrevemos a Eq. 13 como
  
  
 
  )(cos21
)(cos2
1
)(cos2
1
)cos(2
12
1
222
22
22
2
2
wtkxywvdt
dk
wtkxwydt
dx
dt
dk
wtkxwydxdk
wtkxwydxdk
dmudk
m
m
m
m









Eq. 14
A taxa média na qual a energia cinética é transportada é
 
22
22
222
4
1
2
1
2
1
cos2
1
m
m
m
yvwdt
dk
yvwdt
dk
wtkxyvwdt
dk






Na Eq. 14, obtemos a média sobre um número inteiro de comprimentos de onda eusamos o fato de que o valor médio do quadrado da função cosseno tomado sobre um númerointeiro de comprimento de onda é ½.
Eq. 15
média)(potência 2
1 22 myvwP 
Nesta equação os fatores μ e v dependem do material e da tensão da corda. Osfatores w e ym dependem do processo que gera a onda. O fato da potência média transmitidapela onda variar com o quadrado de sua amplitude e também com o quadrado de suafreqüência angular é um resultado geral. Verdadeiro para todos os tipos de onda.
Eq. 16
Exemplo - 04:
Uma corda tem uma massa especifica µ = 525 g/m e está esticada com uma tensão τ = 45 N.Uma onda cuja freqüência f e amplitude ym são 120 Hz e 8,5 mm, respectivamente, se propagaao longo da corda. Qual a taxa média de transporte de energia ao longo da corda
   
wP
msradsmmkgP
sradHzfw
smmkg
NTv
yvwP m
100
0085,0./754./25,9./525,0.2
1
/754120.22
/25,9/525,0
45
2
1
22
22








3.6 O Principio da Superposição de Ondas
Suponha que duas ondas se desloquem simultaneamente ao longo da mesma cordaesticada. Sejam y1 (x,t) e y2 (x,t) os deslocamento que a corda sofre se cada onda sepropagasse sozinho. O deslocamento da corda quando as ondas se propagam ao mesmo tempoé então a soma algébrica
),(),(),( 21 txytxytxy  Eq. 17
A Fig. 08 mostra uma sequência de instantâneos de dois pulso que se propagam emsentido oposto na mesma corda esticada. Quando os pulso se superpõem o pulso resultante é asoma dos dois pulsos. Além disso, cada pulso passa pelo outro como se ele não existisse:
Fig. 08 Uma série de instantâneos que mostra dois pulsos se propagando em sentidos opostos em uma corda esticada.
3.7 Interferência de Ondas
O fenômeno de combinação de ondas recebe o nome de interferência, e dizemosque as ondas interferem entre si. (O termo se refere apenas aos deslocamentos; a propagaçãodas ondas não é afetada.)
Suponha que uma das ondas que se propagam em uma corda, é dada por:
   wtkxsenyy mtx ,1
E que uma outra, deslocada em relação à primeira, é dada por:
    wtkxsenyy mtx ,2
Estas ondas têm a mesma freqüência angular w, o mesmo número de onda angular k e amesma amplitude ym. Elas propagam-se no mesmo sentido, x crescente, com a mesmavelocidade escalar diferem apenas por um ângulo constante Φ chamado ângulo de fase.
Segundo o princípio de superposição, a onda resultante é a soma algébrica das ondase tem um deslocamento, é dada por:
).()(),(
),(2),(1),( 

wtkxsenywtkxsenyy
yyy
mmtx
txtxtx
Eq. 18
Eq. 19
Eq. 20
)(2
1cos)(2
12 βαβαsenβsenαsen 
   2
1
2
1cos2' ),( wtkxsenyy mtx
0) ( )(2' ),(  wtkxsenyy mtx
Podemos escrever a soma dos senos de dois ângulos como:
Aplicando esta relação na Eq. 19 obtemos
A onda resultante difere das ondas individuais em dois aspectos; (1) a constante de fase éφ/2, e (2) a amplitude y’m é o módulo do fator entre colchetes na Eq. 22
Eq. 21
Eq. 22
Eq. 24
21cos2' mm yy 
Se φ = 0 rad (ou 00), as duas ondas estão exatamente em fase, como na Fig. 09. Nesse caso, a Eq. 22 se reduz a
A onda resultante está plotada na Fig. 09. Observe, tanto na figura como na Eq. 24,que a amplitude da onda resultante é duas vezes maior que a amplitude das ondas individuais.
Eq. 23
  
 
 
 
   
   
 
 
 













2
1
2
1cos2
2
1cos222
12
2
1cos2
12
)(2
1cos2
12
)(2
1cos2
12
)(
),(
),(
),(
),(
),(
wtkxsenyy
wtkxsenyy
senyy
sensenyy
wtkx
wtkx
sensensen
babasensenbsena
wtkxsenwtkxsenyy
mtx
mtx
mtx
mtx
mtx

φβα
wtkxφwtkxβα
φwtkxβα
wtkxφwtkxβα




22
Passagem da Eq. 22 para a Eq. 24
Fig. 09 Duas ondas senoidais iguais, y1(x,t) e y2(x,t), se propagam em uma corda no sentido positivo deum eixo x. elas interferem para produzir uma onda resultante y’(x,t), que é a onda observada na corda.A diferença de fase φ entre as duas ondas é (a) 0 rad ou 00, (b) π rad ou 1800 e (c) 2π/3 rad ou 1200. Asondas resultantes correspondentes são mostradas em (d), (c) e (f).
A tabela 01 mostra outros exemplos de diferenças de fase e as interferência que produzem.
Diferença de Fase em Amplitude
da Onda
Tipo de
InterferênciaGraus Radianos Comprimento de Onda
0 0 0 2ym Totalmente construtiva120 ½ π 0,33 ym Intermediária180 π 0,50 0 Totalmente destrutiva
240 4/3 π 0,67 ym Intermediária360 2π 1,00 2ym Totalmente construtiva865 15,1 2,40 0,60ym Intermediária
Tabela 01 Diferença de Fase e Tipos de Interferência¹
¹ A diferença de fase é entre duas ondas de mesma frequência e mesma amplitude ymque se propagam no mesmo sentido.
Há certos valores de x para os quais a amplitude é zero, a saber, aqueles valores de x
para os quais kx assume os valores 0, π ,2π, e 3π e assim por diante. Relembrando k = 2 π/λ,
podemos escrever esta condição como,2
λnx  n = 0, 1, 2, 3,....(nodos)
Há também valores de x para os quais a amplitude tem valor máximo, isto é, 2ym.
Isto ocorre quando kx = π/2, 3π/2, 5 π/2 e assim por diante. Lembrando novamente que k = 2
π/λ, podemos escrever esta condição como
,22
1 λnx 

 
Eq. 25
n = 0, 1, 2, 3....(antinodo) Eq. 26
Este são os antinodos da figura (c). Os antinodos estão separados por meio
comprimento de onda e estão localizados no ponto médio entre dois nodos adjacentes.
Exemplo - 05:
Duas ondas senoidais iguais, propagando-se no mesmo sentido em uma corda, interferementre si. A amplitude ym das ondas é 9,8 mm e a diferença de fase φ entre eles é 100o.
(a) Qual é a amplitude y’m da onda resultante e qual o tipo de interferência?
(b) Que diferença de fase, em radianos e em comprimentos de onda, faz com que a amplitudeda onda resultante seja 4,9 mm?
Solução do problema:
mmy
mmy
yy
m
om
mm
13'
|)2/100)(cos8,9(2|'
|2
1cos2|'


 
(a) Da Eq. 26 temos para a amplitude
Podemos dizer que a interferência é intermediária de duas formas. A diferença de fase estáentre 0 e 180º e, portanto, a amplitude y’m está entre 0 e 2 ym (=19,6 mm)
(b) Da Eq. 26 temos a condição
rad
mm
mm
mmmm
yy mm
6,2
)8,9)(2(
9,4cos2
2
1cos)8,9)(2(9,4
|2
1cos2|'
1













onda de ocompriment42,0onda de ocompriment/2
onda de ocompriment/2
636,12
onda de ocompriment/2


rad
rad
rad
rad
 
 
3.8 Ondas Estacionárias e Ressonância
Considere uma corda de comprimento l, presa nas duas extremidades. Como as
extremidades não podem se mover, um nodo do padrão de onda estacionário deve existir em
cada extremidade da corda. O comprimento l deve ser, então, um múltiplo inteiro de meios
comprimentos de onda, ou l = n(1/2)λ
Os comprimentos de onda permitidos são, então:
,2n
lλ  n = 1, 2, 3,.... Eq. 27
As freqüências permitidas seguem-se a partir da equações (26) e (09) (v = fλ) 
velocidade = freqüência vez o comprimento de onda
,2l
nvvf   n = 1, 2, 3,..... Eq. 28
Somente se a corda esticada for sacudida numa das freqüência dadas pela equação
(27), um padrão de onda estacionária se desenvolverá
Exemplo:
Na disposição da figura abaixo, a freqüência f do vibrador é de 120 Hz, ocomprimento l da corda é de 1,2 m e a densidade linear da corda é de 1,6 g/m. Qual é a traçãonecessária na corda para que ela vibre num modo de oscilação que apresenta um único ventre
Dadosf = 120 Hzl = 1,2 mµ = 1,6 g/m 0,0016 kg/mTal = ?n = 1
Nτ s
kgmτ
m
kg
smτ
mkgHzmτ
mkgHzmτ
133
133
1133
1
/0010016,01440076,5
1
)/0016,0()120()2,1)(4(
2
2
2
22
2
22





n
lfv
n
lfv
fv
v
2
2






2
22
2
22
22
4
4
2
2
n
fl
n
fl
n
lf
n
lf











