Matematica financeira1

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Matemática Financeira 
Profa. Vanessa Anelli Borges
E-mail: vanessa.borges@live.estacio.br
Novo modelo
Fonte: http://loja.betainformatica.com.br/loja/produto-15959-2258-calculadora_financeira_hp12c_gold
http://www8.hp.com/br/pt/products/calculators/product-detail.html?oid=315566
Modelo tradicional
Novo modelo
Alguns exemplares foram produzidos com 
erro! Teste o seu:
218720 CHS g CFo; 0 g CFj; 16 g Nj; 28000 g CFj; 0 g 
CFj; 10 g Nj; 65000 g CFj; 0 g CFj; 5 g Nj; 47000 g 
CFj; 0 g CFj; 18 g Nj; 88000 g CFj; f IRR 
Resultado correto: 0,11104985
Resultado incorreto de 1,191000 -10 (pela HP-12C 
Platinum) 
Bruni e Famá, 2014
 Introdução à Matemática Financeira
Cenário
Juros e taxa de juros
Regimes de capitalização de juros
Sumário 
 Se um amigo lhe pedisse $100,00 para lhe
pagar os mesmos $100,00 daqui a um ano,
o que você acharia ?
Reflexão
Bruni; Famá, 2014
Alguns pontos importantes:
Será que ele vai me pagar?
Será o poder de compra dos $100,00
daqui a um ano será o mesmo?
Se eu permanecesse com os $100,00
poderia aplicá-los na poupança e ganhar
rendimentos!
Reflexão
Bruni; Famá, 2014
Reflexão
O dinheiro tem um
custo associado
ao tempo 
Bruni; Famá, 2014
 Matemática Financeira é o estudo das relações
formais que ligam quantidades monetárias que
são trocadas em distintos pontos no tempo
 O valor de uma quantia se altera no tempo
devido a diversas causas, entre elas o processo
inflacionário e a decisão de um agente
econômico, indivíduo ou empresa, do momento
em que um determinado consumo deve ser
realizado
A Matemática Financeira
Lachtermacher; Faro, 2012
 Devido à variação do valor do dinheiro ao longo
do tempo, temos como consequências:
Somente será possível a comparação de
quantias quando referenciadas à uma mesma
data
Somente será possível a realização de
operações algébricas (adição, subtração,
entre outras) com quantias expressas em
uma mesma data
Dinheiro ao Longo do Tempo
Lachtermacher; Faro, 2012
Atividade Econômica 
Cenário
Necessidades ilimitadas versus recursos
escassos
Necessidade alocação eficiente dos recursos
da economia
Custo de oportunidade
Pinheiro, 2012
Atividade Econômica 
Economia
Estudo das riquezas e das transações de troca
entre as pessoas
Formação e distribuição do produto e da
renda gerados pela atividade econômica
Pinheiro, 2012
 O Mercado Financeiro é o local onde as condições de
uma determinada aplicação ou de um determinado
empréstimo são definidos
Mercado Financeiro
Mercado
Financeiro
Poupador
Poupador
Poupador
Tomador de
Empréstimo
Tomador de
Empréstimo
Tomador de
Empréstimo
Lachtermacher; Faro, 2012
 Como o valor do dinheiro varia com o tempo, o
rendimento pago/custo para sua utilização
também deve ser relacionado com o tempo
 Os juros são determinados por meio de um
coeficiente referido a um dado intervalo de
tempo
 A taxa de juros pode ser interpretada como
sendo o “preço” cobrado/pago pela utilização
da unidade de capital durante o período a que
ela se refere
Taxa de Juros
Lachtermacher; Faro, 2012
 As taxas de juros devem ser eficientes de
maneira a remunerar:
Risco
Perda do poder de compra do capital motivada
pela inflação
O capital emprestado/aplicado (expectativa) ->
compensar a privação do consumo por
determinado período de tempo
Custo de oportunidade
Taxa de Juros
Assaf Neto, 2009
 As taxas de juros podem ser apresentadas sob duas
formas:
Unitária
Percentual
 A taxa de juros em sua forma unitária é a razão
entre os juros recebidos (ou pagos) ao final do
período da operação e o valor originalmente
aplicado (ou emprestado), sendo referida ao
período da operação.
 A taxa de juros em sua forma percentual é dada
pela multiplicação do valor na forma unitária por
100.
Taxa de Juros
Lachtermacher; Faro, 2012
 Forma Unitária
Na forma unitária a
taxa de juros é
aplicada a unidades
do capital
Exemplo: 0,15 ao
ano.
Taxa de Juros
 Forma Percentual
Na forma porcentual a
taxa de juros é
aplicada a centos do
capital
Exemplo: 15% ao
ano.
0
Juros J
i
Capital C
  
0
% 100 100
Juros J
i
Capital C
  
     
   Lachtermacher; Faro, 2012
Notação
Taxa Percentual Taxa Unitária
17% 0,17
5% 0,05
50% 0,5
10,3% 0,103
44,35% 0,4435
100% 1
250% 2,5
150% 1,5
500% 5
Faça você mesmo
Taxa 
Percentual
Taxa 
Unitária
10%
2%
15,5%
25,33%
7,5%
250%
Taxa 
Percentual
Taxa 
Unitária
10% 0,1
2% 0,02
15,5% 0,155
25,33% 0,2533
7,5% 0,075
250% 2,5
 O regime de capitalização de juros é o processo
pelo qual os juros são formados.
Forma Descontínua ou Discreta: os juros são
acrescidos ao capital ao final de um
determinado período de tempo
Forma Contínua: os juros são acrescidos ao
capital em intervalos de tempo infinitesimais
(dt)
Regimes de Capitalização
Lachtermacher; Faro, 2012
 O montante é diretamente proporcional ao capital
inicial, isto é, apenas o capital inicial influencia a
formação de juros.
 Exemplo: Empréstimo de R$ 100,00 à taxa de 10%
a.p.
Capitalização Discreta - Juros Simples
Período Juros no Período (R$) Montante do Empréstimo (R$) 
0 100,00 
1 100×0,10=10 =100+10=110 
2 100×0,10=10 =110+10=120 
3 100×0,10=10 =120+10=130 
4 100×0,10=10 =130+10=140 
5 100×0,10=10 =140+10=150 
 
Lachtermacher; Faro, 2012
 No caso do regime de juros compostos o capital e o
juros até o período influenciam a formação dos juros
de cada período.
 Exemplo: Empréstimo de R$ 100,00 à taxa de 10% a.p.
Capitalização Discreta - Juros Compostos
Período 
Juros no Período 
(R$) 
Montante do Empréstimo 
(R$) 
0 100,00 
1 100×0,10=10 =100+10=110 
2 110×0,10=11 =110+11=121 
3 121×0,10=12,1 =121+12,1=133,1 
4 133,1×0,10=13,31 =133,1+13,31=146,41 
5 146,41×0,10=14,64 =146,41+14,64=161,05 
 
Lachtermacher; Faro, 2012
 Exemplo: Empréstimo de R$ 100,00 à taxa de 10% a.p.
Regime de Juros Simples x Juros Compostos
Período Montante do 
Empréstimo 
(R$)Juros Simples 
Montante do Empréstimo 
(R$) Juros Compostos 
0 100,00 100,00 
1 110,00 110,00 
2 120,00 121,00 
3 130,00 133,10 
4 140,00 146,41 
5 150,00 161,05 
10 200,00 259,37 
20 300,00 672,75 
50 600,00 11.739,09 
100 1.100,00 1.378.061,23 
 
Lachtermacher; Faro, 2012
Regime de Juros Simples x Juros Compostos
Assaf, 2009
(FGV – P2 2012/2 - 13) Uma aplicação financeira apresenta
taxa de juros expressa ao ano. Assinale, dentre as alternativas
abaixo, aquela que apresenta o maior valor dos juros obtidos,
considerando o regime de capitalização e prazo de aplicação.
a) Sob o regime de capitalização composta e prazo menor do
que um ano.
b) Sob o regime de capitalização simples e prazo menor do
que um ano.
c) Sob o regime de capitalização simples, seja qual for o prazo.
d) Sob o regime de capitalização composta, seja qual for o
prazo.
e) Os juros serão sempre iguais sob ambos os regimes,
simples ou composto, e em qualquer prazo.
Questões
REGIME DE 
CAPITALIZAÇÃO
VALOR 
PRESENTE
PRAZO
TAXA DE 
JUROS
VALOR
FUTURO
JUROS SIMPLES 100.000 20 dias 10% a.a. 100.555,56
JUROS 
COMPOSTOS
100.000 20 dias 10% a.a. 100.530,91
JUROS SIMPLES 100.000 9 meses 10% a.a. 107.500,00
JUROS 
COMPOSTOS
100.000 9 meses 10% a.a. 107.409,95
JUROS SIMPLES 100.000 1 ano 10% a.a. 110.000,00
JUROS 
COMPOSTOS
100.000 1 ano 10% a.a. 110.000,00
JUROS 
COMPOSTOS
100.000 2 anos 10% a.a. 121.000,00
JUROS SIMPLES 100.000 2 anos 10% a.a. 120.000,00
Regime de Juros Simples xJuros Compostos
(Certificação BM&F BOVESPA – 2008) Para uma taxa de i% ao
ano o valor acumulado sob o sistema de capitalização
composta sempre gera um montante __________ que o
sistema de capitalização simples?
a) Menor (para qualquer prazo)
b) Maior (para qualquer prazo)
c) Maior (para prazos superiores a um ano)
d) Menor (para prazos superiores a um ano)
Questões
Diagrama do Fluxo de Caixa
Fluxo de caixa: conjunto de entradas e saídas
de recursos.
Permite que se visualize no tempo o que ocorre
com o capital.
Saídas
Tempo
Modelo de um Fluxo de Caixa
Empréstimo
Valor Presente
n
0
Valor Futuro
Valor Presente
Juros
Período de capitalização
+
Bruni; Famá, 2014
Modelo de um Fluxo de Caixa
Aplicação
Bruni; Famá, 2014
-100,00
+108,00
1
0 meses
Valor presente
Valor futuro
Número de períodos
 Assaf Neto, A. Matemática financeira e suas
aplicações. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
 Bruni, A. L.; Famá, R. Matemática Financeira.
5. ed. São Paulo: Atlas, 2014.
 Lachtermacher, G.; Faro, C. de. Introdução à
Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva,
2012.
 Pinheiro, J. L. Mercado de Capitais. 6. ed. São
Paulo: Atlas, 2012.
Bibliografia