Lista de exercicios Equaçoes Diferenciadas

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UNA
4a Lista de Exerc´ıcios de Equac¸o˜es Diferenciais
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
1. Um tanque conte´m 1.000L de a´gua salgada com 15kg de sal dissolvido.
A´gua pura entra no tanque a uma taxa de 10L/min. A soluc¸a˜o e´
mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma taxa. Quanto de
sal ha´ no tanque:
a) apo´s t minutos?
b) apo´s 20 minutos.
Resposta: a) 15e−t/100kg b) 15e−0,2 ≈ 12, 3kg
2. Um tanque conte´m inicialmente 100 litros de a´gua e 100 gramas de
sal. Enta˜o uma mistura de a´gua e sal na concentrac¸a˜o de 5 gramas
de sal por litro e´ bombeada para o tanque a uma taxa de 4 litros
por minuto. Simultaneamente a soluc¸a˜o bem misturada e´ retirada do
tanque na mesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque em
cada instante t.
Resposta: Q(t) = 500− 400e−t/25 gramas
3. Suponha que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um
volume inicial de 100 litros e 10 gramas de sal e que a´gua pura seja
bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto.
Suponha que a soluc¸a˜o bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por
minuto. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t.
Resposta: Q(t) = 10−3(100− t)2 gramas
1
4. Resolva as equac¸o˜es diferenciais dadas.
a) xy′ − 2y = x2. Considere x como a varia´vel independente.
Resposta: y(x) = x2 ln | x|+ cx2
b) (1 + t)
du
dt
+ u = 1 + t, t > 0 Resposta: u =
t2 + 2t+ 2c
2(t+ 1)
5. Resolva o PVI:

dy
dx
+ y = x+ ex
y(0) = 0
Resposta: y = x− 1 + 1
2
(ex + e−x)
6. Resolva o problema de valor inicial:

dv
dt
− 2tv = 3t2et2
v(0) = 5
Resposta: v(t) = t3et
2
+ 5et
2
7. Resolva o PVI:
 x
dy
dx
= y + x2senx
y(pi) = 0
Resposta: y(x) = −x cosx− x
2