Mecanica dos fluidos

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Instituto Superior de Engenharia de Lisboa 
 
 
TRANSPORTE DE FLUIDOS 
 
 
 
2ª EDIÇÃO Helena Teixeira Avelino 
Jaime Filipe Borges Puna 
António Carlos Coentro 
Fevereiro 2003 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
SECÇÃO 9 – PROCESSOS QUÍMICOS E REACTORES 
 
 
 
 
TRANSPORTE DE FLUIDOS 
 
 
 
 
1ª EDIÇÃO: 
 HELENA TEIXEIRA AVELINO 
1999 
 
 
 2ª EDIÇÃO: 
HELENA TEIXEIRA AVELINO 
JAIME FILIPE BORGES PUNA 
ANTÓNIO CARLOS COENTRO 
2003 
 
 
 
 
 
INDICE 
 
CAPÍTULO I – MECÂNICA DE FLUIDOS 
 
1. Introdução 1 
 1.1 Classificação dos fluidos 2 
 1.2 Fluido em movimento 5 
 1.3 Fluido estática 7 
 1.4 Manómetros 8 
2. Mecanismo do fluxo de fluidos 11 
 2.1 Distribuição de velocidades 12 
 2.2 Noção de viscosidade e massa volúmica 14 
3. Princípio da conservação de energia 
 3.1 Teorema de Bernouilli 17 
 3.2 Equação da continuidade 22 
 3.3 Tubagens, tubos e acessórios 24 
4. Perdas de pressão no fluxo de fluidos em tubagens 29 
 4.1 Cálculo das perdas por fricção em tubagens 32 
5. O efeito do choque hidráulico 41 
6. Número de Karman 42 
7. Diâmetro mínimo de uma tubagem 43 
8. Previsão da perda de carga 44 
9. Medidores de caudais 45 
 9.1 Medidores de carga variável 46 
 9.1.1 Medidor de orifício 48 
 9.1.2 Embocadura 51 
 9.1.3 Medidor de Venturi 52 
 9.1.4 Tubo de Pitot 53 
 9.2 Medidores de área variável 
 9.2.1 Rotâmetros 54 
 9.3 Outros medidores de caudal e de velocidades locais 55 
PROBLEMAS 67 
 
 
 
 
CAPÍTULO II – BOMBAS 
 
1. Introdução 73 
 1.1 Balanços de massa/balanços de energia 73 
 1.2 Tipos de bombas 74 
 1.2.1. Bombas de deslocamento positivo 76 
1.2.2. Bombas centrífugas 80 
 1.3 Escolha da bomba centrífuga 83 
2. Dimensionamento de uma bomba centrífuga 85 
3. Cavitação 90 
4. Curvas características das bombas centrífugas 95 
5. Leis de semelhança entre bombas centrífugas 97 
 5.1 Efeito da variação da velocidade do rotor com diâmetro constante 98 
 5.3 Efeito da variação do diâmetro do rotor com velocidade de rotação do 
 rotor constante 98 
6. Ponto de funcionamento 99 
7. Associação de bombas 101 
 
PROBLEMAS 103 
 
CAPÍTULO III – COMPRESSORES 
 
1. Introdução 111 
2. Classificação dos compressores 112 
3. Ciclos de compressão 115 
 3.1 Compressão isotérmica 115 
 3.2 Compressão adiabática ou isentrópica 116 
 3.3 Compressão politrópica 116 
4. Teoria da compressão 
4.1 Energia Interna 118 
 4.2 1ª Lei da Termodinâmica 118 
 4.3 2ª Lei da Termodinâmica 120 
 4.4Trabalho teórico 122 
 
 
 
 4.4.1 – Processo isotérmico 122 
 4.4.2 – Processo isentrópico 123 
 4.4.3 – Processo politrópico 128 
 4.4.4 – Gás real 129 
5. Cargas de velocidade 130 
6. Potência e eficiência dos compressores 132 
6.1 Eficiência de compressores alternativos 133 
6.2 Eficiência de compressores centrífugos 136 
7. O aumento da temperatura durante a conversão 139 
8. Diâmetro do rotor e velocidade 139 
9. Compressores multi-andares 140 
 
PROBLEMAS 145 
 
BIBLIOGRAFIA 151 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica de Fluidos 1 
 
 
CAPÍTULO I – MECÂNICA DE FLUIDOS 
 
1. INTRODUÇÃO: 
 
No decurso da sua actividade os engenheiros químicos são confrontados na 
indústria com uma grande diversidade de processos de fabrico nos quais poderão 
existir simultânea ou isoladamente, transformações físicas e/ou químicas. 
 
Define-se da seguinte maneira: 
1 - Processo Unitário - como toda a sequência ou operação que envolve uma 
transformação química; 
2 - Operação Unitária - como toda a sequência ou operação que implica apenas 
uma transformação física. 
 
Os primeiros cursos de engenharia química eram baseados no estudo de tecnologia 
industrial e sofreram grandes alterações pela introdução do conceito de operações 
unitárias, decorrente da semelhança entre as mudanças físicas que são utilizadas 
em indústrias totalmente diversas. 
Por exemplo, reconheceu-se que a evaporação de um líquido de uma solução 
seguia os mesmos princípios, balanços de massa e energia, quer se tratasse de um 
processo de obtenção de açúcar, fertilizante ou sumo concentrado. Assim a 
evaporação tornou-se uma das operações unitárias reconhecida como tal. Pode-se 
distinguir, entre outros, os seguintes passos de um processo: transporte ou 
escoamento de líquidos, transferência de calor, humidificação, secagem, destilação, 
absorção gasosa, extracção, etc... 
 
Neste capitulo irá estudar-se uma das operações unitárias mais importantes em 
Engenharia Química - O Transporte de Fluidos. 
A importância desta operação unitária está associada ao facto de o manuseamento 
de líquidos ser muito mais simples e económico do que o manuseamento de sólidos. 
Assim o engenheiro químico tende, sempre que lhe seja possível, a movimentar 
todas as substâncias na forma de líquidos, suspensões ou soluções. 
Principalmente nas industrias transformadoras, ocorre com muita frequência o facto 
de os fluidos necessitarem de ser bombeados a longas distâncias entre as unidades 
2 Transporte de Fluidos 
 
de armazenagem e os reactores, por exemplo, ou entre estes para outras operações 
unitárias, etc. e, haverá frequentemente, uma perda de pressão importante, tanto na 
conduta como nas próprias unidades em causa. Por conseguinte, é preciso 
considerar os problemas associados ao cálculo da potência necessária à 
bombagem, ao projecto do sistema de fluxo mais apropriado, à medição do caudal e 
muitas vezes ao controle deste mesmo caudal. 
 
1.1. Classificação dos fluidos: 
 
Um fluido pode definir-se como uma substância que não resiste permanentemente a 
uma distorção. 
Ao pretender modificar-se a forma de uma massa de fluido, observa-se que as 
camadas do mesmo se deslocam umas em relação às outras, até que se alcance 
uma nova forma. Durante este processo ocorrem tensões tangenciais (esforços de 
corte) que dependem da viscosidade e da velocidade de fluxo do fluido. Um fluido 
em equilíbrio está completamente livre de esforços cortantes. 
 
Os fluidos subdividem-se em líquidos e gases, podendo ser classificados das 
seguintes formas: 
 
1 - De acordo com o seu comportamento sob a acção de uma pressão aplicada 
exteriormente: 
 
? Incompressíveis 
Se o volume de um elemento de fluido é independente da sua pressão e 
temperatura. Ex.: Líquidos. Para pequenas variações de pressão, podem-se 
considerar incompressíveis. 
 
? Compressíveis 
Se o volume de um elemento de fluido varia com a sua pressão e temperatura. Ex.: 
Gases 
 
Note-se contudo que nenhum dos fluidos reais é completamente incompressível. No 
entanto, os líquidos podem ser encarados como tal para efeitos de estudo do seu 
mecanismo de fluxo. 
Mecânica de Fluidos 3 
 
 
2 - De acordo com os efeitos produzidos sob a acção de um esforço de corte: 
 
O comportamento de um fluido sob a acção de um esforçode corte é muito 
importante pois determina a forma como ele se movimentará. A fim de que se possa 
introduzir a noção de esforço de corte (tensão tangencial), torna-se necessário 
analisar as forças exteriores que actuam numa determinada massa de fluido sujeita 
à acção da aceleração da gravidade. Essas forças são de dois tipos: 
 
a - Peso do fluido; 
b - Forças de contacto que actuam sobre a superfície que limita o volume ocupado 
 pela massa de fluido. 
 
 
Figura 1: Forças exteriores que actuam numa massa de fluido 
 
A força de contacto dF exercida sobre dA pode decompor-se segundo um versor n 
normal a dA em: 
dFn - Força normal a dA 
dFt - Força tangencial a dA 
 
A grandeza escalar p= dFn/dA recebe o nome de pressão; 
e a grandeza escalar R= dFt/dA designa-se por tensão tangencial (esforço de corte). 
 
Num fluido em repouso não existem tensões tangenciais e de acordo com a lei de 
Pascal a pressão num ponto é igual em todas as direcções. Nos fluidos em 
movimento, em que se manifeste a acção da viscosidade desenvolvem-se tensões 
tangenciais ou esforços de corte. 
 
4 Transporte de Fluidos 
 
Sendo a viscosidade uma propriedade física que determina a resistência ao 
escoamento uniforme de um fluido, ela afecta a distribuição do esforço de corte 
deste, verificando-se no caso dos gases que, mesmo para velocidades de corte 
elevadas as tensões tangenciais observadas são muito pequenas. 
 
Considere-se então: 
 
Ry - esforço de corte 
dy
dv
 - velocidade de corte 
 
verificou-se experimentalmente que o esforço de corte é directamente proporcional 
à velocidade de corte. Introduzindo uma nova constante µ (viscosidade dinâmica ou 
absoluta) tem-se que: 
 
Ry = µ.
dy
dv
 (1.1) 
 
ou particularizando para escoamento laminar no interior de um tubo de secção 
circular: 
 
Ry = - µ.
dy
dv
 (1.2) 
 
em que y representa o raio do cilindro, devendo-se o sinal ( - ) ao facto de v 
(velocidade do fluxo do fluido) diminuir quando y aumenta. 
 
Representando graficamente Ry = f (dv/dy), obtém-se: 
Mecânica de Fluidos 5 
 
 
 
Figura 2: Gráfico esforço de corte (Ry) vs. velocidade de corte (dv/dy) 
 
Da análise do gráfico conclui-se que: 
 
Fluido Ideal - apresenta resistência nula à deformação; 
Fluido Newtoniano - o esforço de corte é proporcional à velocidade de 
corte, sendo τ o declive da recta; 
Fluido não Newtoniano - deforma-se de tal maneira que o esforço de corte 
não é proporcional à velocidade de corte; 
Plástico Ideal - o fluido sustém, inicialmente, um esforço sem qualquer 
deformação, deformando-se posteriormente de forma proporcional ao esforço 
de corte; 
Sólido Ideal - não ocorre deformação para qualquer valor de tensão. 
 
Os Fluidos Newtonianos são praticamente todos os líquidos orgânicos e inorgânicos 
enquanto que os Fluidos não Newtonianos podem ser classificados em 
pseudoplásticos, dilatantes, Bingham, etc. . Como exemplos de Fluidos não 
Newtonianos podem-se destacar a pasta de celulose, algumas tintas, borracha, 
massa de bolo, etc. . 
 
 
1.2. Fluido em movimento: 
 
Quando um fluido circula numa tubagem, a sua velocidade pode ser medida numa 
direcção perpendicular à corrente. A variação de velocidade pode ser indicada pelo 
uso de linhas de corrente de acordo com: 
6 Transporte de Fluidos 
 
 
Figura 3: Linhas de corrente que exemplificam o escoamento de um fluido 
 
 
Linhas de corrente equidistantes indicam que a velocidade do fluxo é constante. 
Um menor espaçamento entre as linhas de corrente indica um aumento na 
velocidade de fluxo de fluido. 
 
 
Figura 4: Linhas de corrente e distribuição de velocidades num fluido em regime laminar e turbulento. 
 
 
Mecânica de Fluidos 7 
 
 
1.3. Fluido estática: 
 
Considere a seguinte coluna de fluido estático: 
 
 
Figura 5: Coluna de fluido estático 
 
Num tubo de secção S as forças de pressão que actuam num fluido de massa 
volúmica, ρ, às diferentes alturas Xn são as seguintes: 
 
P1=F/S 
P2 = P1 + h1 ρ g/gc 
P3 = P2 + (h2-h1) ρ g/gc 
 
Note-se que g/gc = 1 se o factor de proporcionalidade (gc) for expresso em unidades 
do sistema europeu de engenharia, isto é, gc = 9.8 kgm.m.kgf-1.s-2 . 
 
No Sistema Internacional de Unidades (SI), g/gc = 9.8 porque o factor de 
proporcionalidade (gc) é adimensional e igual à unidade, isto é, gc = 1. 
8 Transporte de Fluidos 
 
1.4. Manómetros: 
 
 
Os manómetros são instrumentos de medida que permitem determinar uma 
diferença de pressão entre dois pontos num escoamento de um determinado fluido. 
Como se sabe, este diferencial de pressão é medido pelo desnível de alturas do 
líquido existente no manómetro (líquido manométrico) nos dois ramos do 
manómetro. As figuras seguintes apresentam alguns tipos de manómetros (os mais 
usuais) e as expressões adequadas que permitem calcular o diferencial de pressão. 
 
⇒ Manómetro em U: 
 
 
∆P = R.(ρ(líquido manométrico) - ρ(fluido)).
cg
g (1.3) 
 
 
 
Figura 6: Esquema de um manómetro em U com líquido manométrico B instalado numa tubagem onde se escoa 
um fluido A. 
 
 
 
 
 
Mecânica de Fluidos 9 
 
 
⇒ Manómetro diferencial: 
 
Neste tipo de manómetro, existe um líquido “intermédio” entre o líquido manométrico 
e o fluido. Esse líquido designa-se por líquido diferencial. Este tipo de manómetro 
normalmente é utilizado para determinar diferenciais de pressão muito pequenos. 
 
 
∆P = R.( ρC - ρA ).
cg
g (1.4) 
 
 
 
Figura 7: Esquema de um manómetro diferencial com líquido manométrico C e líquido diferencial B, instalado 
numa tubagem onde se escoa um fluido A. 
 
 
 
⇒ Manómetro inclinado: 
 
Semelhante ao manómetro em U em termos de constituição, mas em que um dos 
ramos está sujeito a uma inclinação em relação ao plano horizontal, diferente da do 
outro. 
 
 
10 Transporte de Fluidos 
 
 
∆P = R.senα.(ρA - ρB ).
cg
g (1.5) 
 
 
 
Figura 8: Esquema de um manómetro inclinado com um ângulo α e com um líquido manométrico A, instalado 
numa tubagem onde se escoa um fluido B. 
 
 
As unidades da diferença de pressão (∆P) do fluido dependem do sistema de 
unidades utilizado. Por exemplo: 
 
Sistema Internacional: [∆P] ≡ PASCAL (Pa) ≡ N.m-2 , onde gc = 1; 
Sistema Europeu de Engenharia: [∆P] ≡ kgf.m-2, onde gc = 9.8 kgm.m.kgf-1.s-2 ; 
Sistema Inglês de Engenharia: [∆P] ≡ lbf.ft-2, onde gc = 32.17 lbm.ft.lbf-1.s-2 . 
 
 
 
 
 
Mecânica de Fluidos 11 
 
 
2. MECANISMO DE FLUXO DE FLUIDOS: 
 
 
Considere-se a experiência de Osborn Reynolds: 
 
 
Figura 9: Esquema simplificado da experiência de Reynolds, realizada em 1883. 
 
 
Na experiência de Reynolds liga-se um tubo de vidro a um depósito de água de tal 
forma que a velocidade desta, que flui ao longo do tubo possa ser modificada. Na 
extremidade do tubo introduz-se na massa de água uma fina corrente de corante. 
 
Reynolds verificou que quando a velocidade da água era baixa, permanecia um filme 
corado uniforme ao longo do tubo. Aumentando a velocidade da água concluiu que 
para determinado valor de velocidade, o filme corado desaparecia tingindo-se a 
água uniformemente. 
 
Estas duas formas de regime foram designadas, como corolário da experiência, 
respectivamente por: 
 
• REGIME LAMINAR OU VISCOSO 
• REGIME TURBULENTO 
 
A velocidade a partir da qual o regime de fluxo passa de laminar a turbulento 
designa-se por velocidade critica (vc). 
 
 
12 Transporte de Fluidos 
 
Estavelocidade crítica é função de: vc = f (v,ρ,µ, Di ) 
 
 onde: 
 v - velocidade média de circulação do fluido 
 ρ - massa específica do fluido 
 µ - viscosidade do fluido 
 Di - diâmetro interno da tubagem 
 
A conjugação correcta destas variáveis permitiu que Reynolds definisse um grupo 
adimensional que caracteriza o tipo de regime ou de fluxo de um determinado fluido, 
grupo este designado por Nº de Reynolds: 
 
Re = 
ρ
µ
.v.Di
 (1.6)
 
 
 
Conclui-se que para o fluxo de fluidos em tubagens circulares rectilíneas: 
 
 Re < 2100 ⇒ Regime laminar 
 2100 < Re < 4000 ⇒ Regime de transição 
 Re > 4000 ⇒ Regime turbulento 
 
 
2.1. Distribuição de velocidades: 
 
Se se medir a velocidade de circulação de um fluido a diferentes distâncias do 
centro de uma tubagem circular rectilínea e representarmos graficamente a 
velocidade local v’ como função da distância do centro da tubagem, conclui-se, 
através da análise cuidada da figura seguinte que, independentemente do regime de 
fluxo do fluido, a velocidade é sempre maior no centro da tubagem e vai diminuindo 
progressivamente até às paredes desta. Aqui a velocidade é sempre mais baixa do 
que nos restantes pontos da tubagem. Tal facto deve-se ao atrito provocado pela 
rugosidade das paredes desta que depende essencialmente do material constituinte 
e do seu diâmetro. 
 
Mecânica de Fluidos 13 
 
 
 
 
Figura 10: Gráfico 
máx.v
v
 em função da distância do centro às paredes de uma tubagem, para um fluido nos 
vários regimes. 
 
 
As curvas A, B e C, representam os seguintes regimes, para qualquer fluido: 
 
A – Regime de Transição; 
B - Regime Turbulento; 
C - Regime Laminar - Perfil Parabólico. 
 
Definem-se equações empíricas que relacionam a velocidade média de um fluido 
com a sua velocidade máxima (que se situa no centro da tubagem). Deste modo, 
tem-se o seguinte: 
 
 
REGIME LAMINAR: Vmédia = 0,5 . Vmáxima (1.7) 
 
REGIME TURBULENTO: Vmédia = 0,8 . Vmáxima (1.8) 
 
 
14 Transporte de Fluidos 
 
À medida que nos aproximamos das paredes da tubagem a velocidade vai 
diminuindo, pelo que junto das paredes existe uma película de fluido que se move 
em regime laminar vcrítica > vmédia. Logo que v > vc, o regime de fluxo passa a 
turbulento. 
(v = vmédia; vc = vcritica; vmáx = vmáxima; v’ = vlocal) 
 
 
Relação entre a velocidade e a velocidade máxima e o número de Reynolds: 
 
Existem gráficos que relacionam v com a vmáx, podendo sob determinadas condições 
conhecer-se v a partir de vmáx. 
 
 
Figura 11: Gráfico que relaciona 
máx.v
v
 com o n.º de Reynolds. 
 
 
2.2 - Noção de viscosidade e massa volúmica: 
 
A viscosidade (µ) é uma propriedade física que é definida como sendo a resistência 
de um fluido ao seu escoamento uniforme. 
Considere-se duas camadas paralelas de fluido separadas de L cm, onde cada uma 
delas possui uma área de A cm
2. 
Mecânica de Fluidos 15 
 
 
Seja F a força em dines necessária para manter a placa inferior com uma velocidade 
v em relação à placa superior. 
 
Verificou-se experimentalmente que: 
 
F = µ.v.
L
A
 
 
Figura 12: Experiência que permite definir a viscosidade de um fluido. 
 
 
A viscosidade, para cada fluido, depende da temperatura e pressão. 
 
 
A grandeza viscosidade pode ser caracterizada por duas vertentes: 
 
 
 DINÂMICA 
 VISCOSIDADE 
 CINEMÁTICA 
 
 
A viscosidade dinâmica (µ) para um determinado fluido é determinada recorrendo a 
tabelas ou a gráficos enquanto que a viscosidade cinemática (ν) é expressa da 
seguinte maneira: 
ν = ρ
µ
 (1.9) 
 
onde ρ é a massa volúmica do fluido, a qual depende também da temperatura e da 
pressão, sendo esta preponderante no caso dos gases. A massa volúmica, que é 
definida como sendo a massa de fluido ocupada por um determinado volume, é 
determinada recorrendo a tabelas ou a gráficos (no caso de líquidos ou de gases à 
pressão atmosférica) ou então pela expressão (1.14) para gases sujeitos a 
quaisquer valores de pressão e temperatura, expressão esta demonstrada da 
seguinte forma: 
16 Transporte de Fluidos 
 
 
ρ = 
V
m
 (1.10) 
 
onde (m) é a massa de fluido e (V) o volume de fluido ocupado por (m). 
 
Mas, m = n.M (1.11) 
 
onde (n) é o n.º moles de fluido e (M) a massa molar desse fluido. 
 
Considerando que um determinado fluido gasoso se comporta como um gás 
perfeito, V = 
P
n.R.T
 (1.12) 
 
onde (R) é a constante dos gases perfeitos, (P) a pressão absoluta do gás e (T) a 
temperatura absoluta desse gás. 
Combinando (1.11) e (1.12) com (1.10), vem: 
 
ρ = 
P
n.R.T
n.M
 (1.13) 
simplificando e obtendo a expressão final, que permite determinar a massa volúmica 
de um fluido gasoso a qualquer pressão e a qualquer temperatura, vem: 
 
ρ = 
R.T
P.M
 (1.14) 
 
UNIDADES: 
Sistema de 
unidades 
ρ µ ν 
S.I. Kg.m-3 Kg.m-1.s-1 m2.s-1 
c.g.s. g.cm-3 g.cm-1.s-1 ≡ Poise (P) cm2.s-1 ≡ Stoke (Sk) 
Sistema Inglês lb.ft-3 lb.ft-1.s-1 ft2.s-1 
Tabela 1: Sistemas de unidades para ρ, µ e ν. 
 
Mecânica de Fluidos 17 
 
 
3. PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA: 
 
 
3.1 Teorema de Bernoulli: 
 
No nosso estudo de transporte de fluidos ir-se-á sempre estipular as seguintes 
considerações: 
 
Regime Estacionário - as variáveis do processo, como por exemplo, pressão, 
temperatura, volume, etc. permanecem constantes ao longo do tempo; 
Fluido Newtoniano - a viscosidade é constante; 
Fluido Incompressivel - a massa volúmica é praticamente constante ao longo do 
 processo, no caso de líquidos; 
Fluxo de um fluido unifásico - o fluido é gás ou liquido. 
 
Em disciplinas anteriores, foi estudado o primeiro princípio da termodinâmica em 
dispositivo termodinâmico fechado: 
 
∆U = Q + W (1.15) 
 
onde a variação de energia interna de um sistema (∆U) é igual à soma do calor 
trocado no sistema (Q) com o trabalho realizado (W) nesse mesmo sistema. 
 
No caso do transporte de qualquer fluido, o sistema está, como um todo, em 
movimento em relação a um referencial solidário com o dispositivo termodinâmico, 
isto é, o sistema possui energia cinética associada à velocidade v do seu centro de 
inércia. Diz-se, nestas condições, que se trata de um dispositivo termodinâmico 
aberto (DTA), o qual pode ser enunciado da seguinte forma: 
 
“Em qualquer transformação que ocorra em regime estacionário, num DTA de 
paredes perfeitamente indeformáveis, a variação da energia potencial gravítica, 
energia de pressão, energia cinética e energia interna do sistema é igual à soma 
algébrica das interacções com o exterior sob a forma electromagnética, calor ou 
trabalho, sendo de incluir neste ultimo caso, os aparelhos de transporte”. 
 
18 Transporte de Fluidos 
 
∆Epot. + ∆Ecin + ∆U + ∆Epress. = W + Q + f.e.m. (1.16) 
 
 A variação é entre 2 pontos do sistema. 
 
Exemplos de aparelhos de transporte: 
 
 bombas, compressores, ventiladores - fornecem energia ao sistema 
turbinas - retiram energia do sistema 
 
 
Considere-se o seguinte sistema genérico de escoamento de qualquer fluido e 
estipule-se o seguinte: 
 
Base de Cálculo: 1 Kg de Fluido 
 
Figura 13: Figura que representa o escoamento genérico de um fluido entre dois pontos quaisquer. 
 
MN – Plano horizontal. 
 
Mecânica de Fluidos 19 
 
 
A energia associada ao fluido de massa (m) noponto A, é a seguinte: 
 
Epotencial = m.XA.
cg
g
 (1.17) 
 
em que: 
X = altura do fluido em relação a um referencial previamente estabelecido, 
 
Ecinética = m.
c
2
A
2.g
v
 (1.18) 
 
em que: 
v = velocidade do fluido, 
 
Epressão = 
c
AA
g
.g.Vm.P
 (1.19) 
 
em que: 
V = volume específico, P = pressão absoluta do fluido, 
 
e considerando ainda que: 
 
m.F. 
cg
g
 = perdas de energia por fricção no sistema, 
m.W. 
cg
g
 = energia fornecida ao sistema por meio de um equipamento mecânico, 
 
tem-se, 
 
m.XA. 
cg
g
 + m.
c
2
A
2.g
v
 + 
c
AA
g
.g.Vm.P
 - m.F. 
cg
g
 + m.W. 
cg
g
 = m.XB.
cg
g
 + m. 
c
2
B
2.g
v
 + 
c
BB
g
.g.Vm.P
 (1.20) 
 
20 Transporte de Fluidos 
 
Em Engenharia, é costume escrever-se a equação de conservação da energia 
reportada ou à unidade de peso do fluido circulante, ou à unidade de volume de 
fluido circulante, ou ainda à unidade de tempo. 
 
Considerando a equação de conservação da energia reportada à unidade de peso 
de fluido: 
 
XA + 
c
2
A
2.g
v
 + PA.VA – F + W = XB + 
c
2
B
2.g
v
 + PB.VB (1.21) 
 
onde gc = 9.8 kgm.m.kgf-1.s-2 para o Sistema Europeu de Engenharia ou gc = 32.17 
lbm.ft.lbf-1.s-2 . A energia por unidade de peso tem dimensões de altura (comprimento) 
e assim, cada um dos termos é acompanhado de um adjectivo que precisa o termo a 
que se reporta: 
 
 X = altura potencial 
c
2
2.g
v
= altura cinética 
 
 P.V = altura estática = P. ρ
m
 F = perdas de carga 
 
 W = energia por unidade de peso adicionada ao sistema por meio de um 
 equipamento mecânico (ex. bomba, compressor, etc.) 
 
Assim, a equação do balanço energético associada ao transporte de qualquer fluido 
(para uma unidade de massa desse fluido) assumirá a seguinte forma genérica: 
 
 
XA + 
c
2
A
2.g
v
+ ρ
AP - F + W = XB + 
c
2
B
2.g
v
+ ρ
BP
 (1.22)
 
 
 
expressão esta que se designa por equação de Bernouilli. 
Mecânica de Fluidos 21 
 
 
Se efectuarmos uma análise dimensional da equação de Bernouilli, constata-se que 
cada termo tem a dimensão de um comprimento (L). 
 
[X] ≡ L 




c
2
g
v
 ≡ 2-
-22
L.
.L
θ
θ
 ≡ L 


ρ
P
 ≡ 3-
-2
M.L
M.L
 ≡ L 
 
[F] ≡ L [W] ≡ L 
Sistema de 
unidades 
S.I. 
Sistema Europeu de 
Engenharia 
Sistema Inglês de 
Engenharia 
X m m ft 
v m.s-1 m.s-1 ft.s-1 
P N.m-2 ≡ Pa kgf.m-2 lbf.m-2 
ρ kg.m-3 kg.m-3 lb.ft-3 
F m m ft 
W m m ft 
Tabela 2: Sistemas de unidades para os vários termos da equação de Bernouilli. 
 
? É importante notar que a equação de Bernouilli tal como está descrita em (1.22), 
a pressão absoluta do fluido tem de vir necessariamente expressa em unidades do 
Sistema Europeu de Engenharia ou, no Sistema Inglês de Engenharia ou, em PSI 
(lbf.in-2) ou, nos respectivos submúltiplos. Não poderá ser expressa nem em 
unidades do Sistema Internacional nem em unidades derivadas como atmosfera, 
bar, mm Hg, Torr, etc. . 
 
? Para se poder exprimir a pressão absoluta em unidades SI [Pascal (Pa)], a 
equação de Bernouilli tem de assumir a seguinte forma: 
 
 
XA + 
c
2
A
2.g
v
+ 
.g
PA
ρ - F + W = XB + c
2
B
2.g
v
+ 
.g
PB
ρ (1.23)
 
 
equação de Bernouilli aplicada no Sistema Internacional de Unidades (SI). 
 
Note que, 1 Newton (N) ≡ 1 kgf.m.s-2 
22 Transporte de Fluidos 
 
3.2. Equação da continuidade: 
 
Considere-se a passagem de um fluido através de um tubo de corrente conforme se 
indica na figura: 
 
Seja: 
Ai = área interna da secção normal 
 ao fluxo; 
v = velocidade de fluxo do fluido 
ρ = massa volúmica do fluido 
Figura 14 : Tubo de escoamento de um fluido 
Define-se então: 
 
Caudal mássico (Qm): Massa de fluido transportada (m) por unidade de tempo (t): 
 
Qm = 
t
m
 (1.24) 
 
Caudal molar (QM): N.º moles de fluido (n) transportado por unidade de tempo (t): 
 
QM = t
n
 (1.25) 
 
Caudal volumétrico (Qv): Volume de fluido (V) transportado por unidade de tempo 
(t): 
 
Qv = 
t
V
 (1.26) 
 
A relação do caudal volumétrico de fluido com a sua velocidade é expressa da 
seguinte forma: 
 
Qv = v.Ai (1.27) 
 
 
Mecânica de Fluidos 23 
 
 
Em relação ao caudal mássico, tem-se: 
 
Qm = ρ.Qv = ρ.v.Ai (1.28) 
 
e, em relação ao caudal molar, tem-se: 
 
QM = 
M
Qm
 = 
M
.v.Aiρ (1.29) 
 
onde (M) é a massa molar de fluido transportado. 
 
? Se considerarmos uma tubagem com vários troços de tubagem de diâmetros 
diferentes, o caudal de fluido é sempre constante em toda a tubagem. Aliás, o 
caudal de um fluido só pode ser alterado por agentes externos à tubagem, como por 
exemplo, através de válvulas, equipamento mecânico instalado (bomba, por 
exemplo), etc. . 
 
Considere-se três troços de tubagem com diâmetros quaisquer: 
 
 
 
(1) (2) (3) 
 
Então, como Qv = const., 
 
Qv1 = Qv2 = Qv3 = Qv ⇔ v1.Ai1 = v2.Ai2 = v3.Ai3 = v.Ai (1.30) 
 
A expressão (1.30) é designada por equação da continuidade. O termo continuidade 
deriva do facto de o caudal em todos os troços ser constante. 
 
Em termos de caudal mássico (Qm = cont.), 
 
Qm1 = Qm2 = Qm3 = Qm ⇔ ρ.v1.Ai1 = ρ.v2.Ai2 = ρ.v3.Ai3 = ρ.v.Ai (1.31) 
 
 
24 Transporte de Fluidos 
 
3.3 Tubagens, tubos e acessórios: 
 
Antes de se iniciar uma discussão mais detalhada dos métodos de determinação 
das perdas de pressão por fricção no fluxo de fluidos em tubagens, termo F da 
equação de Bernoulli, torna-se importante analisar os recursos necessários para que 
se possa proceder à movimentação de um fluido. 
 
Tubagens e tubos: 
 
Os fluidos são frequentemente encontrados numa gama muito diversificada de 
processos químicos, sendo a sua movimentação assegurada entre as diferentes 
etapas do processo através da utilização de tubagens ou tubos de secção circular. 
 
As tubagens e os tubos são fabricados a partir dos materiais de construção dentro 
de determinadas gamas de especificação disponíveis no mercado, dependendo a 
opção de escolha das propriedades corrosivas e da pressão de fluxo do fluido a ser 
transportado. Alguns dos materiais de tubagens mais utilizados são os seguintes: 
 
• Vidro; 
• Concreto; 
• Ferro fundido, galvanizado; 
• aço comercial, aço inox, aço rebitado; 
• plásticos (PVC); 
• madeira, etc. ; 
 
No entanto os materiais mais vulgarmente utilizados na sua construção são o ferro, 
o aço e o cobre. 
 
a) Tubagens 
 
As tubagens podem ser fabricadas com diferentes diâmetros, espessuras de parede 
e materiais, pelo que se tornou necessário standardizar as suas dimensões. Assim, 
por convenção e, de acordo com a ANSI (American National Standards Institute), as 
dimensões das tubagens e acessórios são caracterizadas em termos do seu 
Mecânica de Fluidos 25 
 
 
diâmetro nominal e espessura de parede. Para tubagens de aço, por exemplo, os 
diâmetros nominais podem variar entre 1/8" e 30". 
O diâmetro nominal de uma tubagem é uma grandeza que não coincide com o seu 
diâmetro interno ou externo, no entanto para tubagens com diâmetros nominais 
inferiores a 12", os diâmetros nominais constituem uma boa aproximação do 
diâmetro interno da tubagem. O diâmetro interno é a grandeza que é utilizada para 
todos os cálculos relativos a transporte de fluidos onde o diâmetro da tubagem 
intervenha.Figura 15: Vista frontal de várias tubagens com o mesmo diâmetro nominal, para vários catálogos. 
 
Como se pode constatar pela figura 15, tubagens com o mesmo diâmetro nominal 
possuem o mesmo diâmetro externo, mas possuem espessuras de parede 
diferentes, o que implica, necessariamente, diâmetros internos diferentes. Esta 
situação permite a utilização indiscriminada dos diferentes tipos de acessórios 
standardizados disponíveis no mercado. 
A espessura da parede de uma tubagem é indicada pelo seu n.º de catálogo 
(schedule number): 
 
Sch. number = 1000.
S
P
 (1.32) 
 
 em que: P = Pressão de trabalho interna 
 S = Tensão de segurança admitida para o material à temperatura de 
 trabalho. 
 
26 Transporte de Fluidos 
 
Quanto maior o n.º catálogo, maior é a espessura da parede, podendo assim 
especificar com maior rigor o tipo de tubo necessário ao processo. 
 
Os 11 Schedule Number existentes são: 
 
5,10, 20, 30, 40, 60, 80, 100, 120, 140 e 160. 
 
O Schedule 40 corresponde a tubos standart e é a espessura mais utilizada na 
prática, a que corresponde um tubo de parede normal. O Schedule 80 é designado 
por tubo extra forte e o Schedule 160 é designado por tubo duplamente extra forte. 
 
A título de exemplo, observe-se a seguinte tabela, para um diâmetro nominal de 4”: 
Diâmetro 
Nominal 
Diâmetro Externo 
(inches) 
Diâmetro Interno 
(inches) 
Espessura da 
parede 
(inches) 
Schedule 
4” 4,500 4,026 0,237 40
4” 4,500 3,826 0,337 80
4” 4,500 3,264 0,438 100
4” 4,500 3,438 0,531 160
Tabela 3: Vários diâmetros internos, espessuras e shedule numbers para uma tubagem de diâmetro nominal de 4”. 
 
Para aço comercial, não existe Schedule 5. Os tubos de aço inoxidável existentes no 
mercado são Schedule 5, 10, 40 e 80. 
 
 b) Tubos 
 
Os tubos, de menores dimensões que as tubagens, são comercializados com base 
nos seu diâmetro externo e espessura da parede. A espessura da parede dos tubos 
é expressa frequentemente pelas Birmingham Wire Gage (BWG). 
 
Acessórios de tubagens: 
 
O termo acessório refere-se a uma peça de equipamento instalada numa tubagem e 
que pode satisfazer uma das seguintes funções: 
 
• União de dois troços de tubagem – Ex.: Uniões 
• Mudança na direcção de uma tubagem – Ex.: Curvas, Tês 
Mecânica de Fluidos 27 
 
 
• Mudança no diâmetro de uma tubagem – Ex.: Reduções, Alargamentos 
• Interrupção de uma tubagem – Ex.: Tampões , Válvulas 
• União de duas correntes para formar uma terceira – Ex.: Tês 
• Controle de fluxo (caudal) – Ex.: Válvulas 
 
Os acessórios para tubagens de aço são vulgarmente construídos em ferro fundido 
ou aço macio, encontrando-se disponíveis no mercado para uma gama muito 
diversificada de espessura de parede. 
 
Válvulas: 
 
As válvulas, sendo um acessório, possuem algumas funções muito importantes para 
além da simples ligação a uma tubagem. De facto entre as suas aplicações pode-se 
destacar: 
? controle de caudal; 
? interrupção no fluxo de um fluido numa tubagem. 
 
O tipo de concepção de uma válvula determina a sua aplicação. Uma vez que uma 
descrição exaustiva deste tipo de equipamento sai fora do âmbito da cadeira far-se-á 
apenas uma breve referência às válvulas de comporta e de globo. 
 
a) Válvula de comporta: 
 Constituída por um disco posicionado na direcção perpendicular ao fluxo. É 
fundamentalmente utilizada para interrupção do fluxo. 
 
b) Válvula globo: 
 O fluido passa através de uma abertura cuja área é controlada por um disco 
posicionado numa direcção paralela ao fluxo. Muito utilizada para controle do caudal. 
 
c) Outro tipo de válvulas: 
 
- Válvula de macho esférico, de retenção, de diafragma; 
- Válvulas de segurança, automáticas de controle, etc. . 
28 Transporte de Fluidos 
 
 
Figura 16: Acessórios roscados 
Mecânica de Fluidos 29 
 
 
 
 
Figura 17: Válvulas mais usuais 
30 Transporte de Fluidos 
 
 
Figura 18: Outros tipos de válvulas e purgadores 
Mecânica de Fluidos 31 
 
 
4. PERDAS DE PRESSÃO NO FLUXO DE FLUIDOS EM TUBAGENS: 
 
Na equação de Bernoulli foi incluído um termo F que representa a perda de energia 
por unidade de força, devida à fricção no fluxo de fluidos em tubagens. A este termo 
dá-se o nome de perda de carga total do fluido transportado. 
Uma das aplicações de maior interesse em engenharia consiste na determinação de 
perdas de carga para o fluxo de qualquer fluido a partir das suas propriedades 
físicas e condições de escoamento. 
 
Ao discutir-se o mecanismo do fluxo de fluidos concluiu-se que um fluido se pode 
movimentar segundo os seguintes regimes: 
 
 - Laminar ou viscoso; 
 - Turbulento. 
 
Quando um fluido se movimenta em regime laminar, a perda de pressão por fricção 
(∆P) pode ser determinada através da equação de Hagen-Poiseuille: 
 
∆P = 2
ig.D
32.L.v.µ
 (1.33) 
 
onde: 
L – comprimento da tubagem; 
v – velocidade média do fluido; 
µ - viscosidade dinâmica do fluido; 
Di – diâmetro interno da tubagem. 
 
No entanto verifica-se na prática que, a maioria dos fluidos são movimentados em 
regime turbulento, pelo que, não será possível a utilização da mesma equação para 
efeitos da determinação das perdas por fricção na maioria dos casos. 
 
Tratando-se de regimes de fluxo diferentes, os processos de determinação das 
perdas de energia por fricção serão necessariamente diferentes, pelo que a solução 
do problema passa inevitavelmente por uma generalização dos conceitos 
32 Transporte de Fluidos 
 
relacionados com as transferências da quantidade de movimento que ocorrem 
durante o fluxo de um fluido. 
 
Assim a perda de pressão por fricção de um fluido que se move ao longo de uma 
tubagem, representa um caso especial da lei geral da resistência entre um sólido e 
um fluido em movimento relativo. De acordo com esta lei verificou-se 
experimentalmente que, a força resistente total ao fluxo do fluido depende 
unicamente de; 
 
 - rugosidade, volume e forma do sólido; 
 - velocidade, massa específica e viscosidade do fluido. 
 
Desta forma resulta a conveniência prática de que entre outras variáveis a força 
resistente total é uma função do número de Reynolds o que simplifica a solução do 
problema. 
 
4.1 Cálculo das perdas de carga em tubagens: 
 
De acordo com o que foi discutido, as perdas de energia por unidade de peso de 
fluido devidas a fricção, termo F da equação de Bernoulli, deverão ser determinadas 
a partir do regime de fluxo do fluido e das suas propriedades físicas. Essas perdas 
de energia por unidade de peso devidas a fricção, são vulgarmente conhecidas por 
perdas de carga: 
 
F = Σ∆H (1.34) 
 
correspondem ao somatório dos seguintes tipos de perdas de carga: 
A ⇒ ∆Hf - Perda de carga por atrito; 
 
B ⇒ ∆Ha - Perda de carga por alargamento súbito na secção da tubagem; 
 
C ⇒ ∆Hc - Perda de carga por contracção súbita na tubagem; 
 
D ⇒ ∆Hv - Perdas de carga provocadas pela introdução de acessórios nas 
 tubagens. 
Mecânica de Fluidos 33 
 
 
A ⇒ Perda de carga por atrito ou fricção (∆Hf): 
 
Considere-se a seguinte tubagem com um comprimento (L) por onde se desloca um 
fluido sujeito a uma tensão de corte (τ): 
 
 
Figura 19: Perda de carga num tubo cilíndrico. 
 
A força (F) exercida pelo fluido sobre toda a superfície transversal interna da 
tubagem (Ai) é dada por: 
 
F = ∆Pf.Ai = ∆Pf.π. 4
D2i .g (1.35) 
 
onde ∆Pf corresponde à perda de pressão do fluido por fricção, isto é, devido ao 
atrito.∆Pf é expresso em unidades dos sistemas de engenharia (europeu ou inglês). 
 
Esta perda de pressão do fluido por fricção corresponderá a uma perda de carga por 
atrito, a qual dependerá de um factor de atrito, resultante da existência de fricção 
entre o fluido e as paredes da tubagem. Fanning definiu factor de atrito como sendo 
a razão da tensão de corte (τ) pela energia cinética do fluido, calculada com base na 
velocidade média deste, ou seja, 
 
τ = f.
2
.v2ρ
 (1.36) 
 
em que f é o factor de atrito de Fanning. Por sua vez, a força associada à tensão de 
corte do fluido é dada por τ.π.Di.L . Ora, pela lei do equilíbrio do sistema de forças 
existente, equilibrando esta força com a força (F) da expressão (1.35), vem: 
 
τ.π.Di.L = ∆Pf.π. 4
D2i .g (1.37) 
P + ∆Pf τ
L
34 Transporte de Fluidos 
 
ou seja, 
 
∆Pf = 2.f.
i
2
g.D
.vL.ρ
 (1.38) 
 
Como para qualquer perda de pressão de um fluido está subjacente uma 
correspondente perda de carga, tem-se para as perdas de pressão por atrito, 
 
∆Hf = ρ
fP∆
 (1.39) 
 
e, combinando (1.38) com (1.39), vem: 
 
∆Hf = 
i
2
g.D
.L2.f.v
 (1.40) 
 
onde: 
∆HF – Perdas de carga por atrito ou fricção; 
Di – Diâmetro interno da tubagem; 
v – Velocidade média do fluido; 
L – Comprimento da tubagem; 
f – Factor de atrito de Fanning (adimensional). 
 
A expressão (1.40), designada por equação de Fanning, é utilizada para calcular 
qualquer perda de carga por atrito para um fluido em movimento ao longo de uma 
tubagem, em qualquer tipo de regime. 
 
O valor de f pode ser determinado graficamente recorrendo ao gráfico de Fanning 
(apresentado na sebenta de Tabelas de Tecnologia Química), onde se representa: 
 
f = função do n.º de Reynolds (Re) e da rugosidade relativa (ε/D) 
 
O valor da rugosidade relativa de uma tubagem pode ser encontrado em tabelas 
onde esta grandeza é função do tipo de material e do diâmetro da tubagem. A 
Mecânica de Fluidos 35 
 
 
grandeza ε representa a rugosidade da superfície interior da tubagem possuindo as 
dimensões de um comprimento. 
É preciso ter cuidado com o factor de atrito utilizado, visto que, em diversa literatura, 
existem outros factores de atrito que diferem daquele que é aqui referido. Por 
exemplo, é muito comum utilizar-se o factor de atrito de Moody (ou Darcy) e que é 
quatro vezes superior ao de Fanning. 
 
Especificamente, para regime laminar, se for conhecida a viscosidade de um fluido 
que se mova neste tipo de regime numa tubagem rectilínea de secção circular, pode 
determinar-se o valor da perda de carga por atrito (∆Hf), a partir da equação de 
Hagen-Poiseuille (válida apenas para regime laminar): 
 
∆Hf = 2.Dig.
32.L.v.
ρ
µ
 (1.41) 
 
em que: 
∆Hf – perda de carga 
L - comprimento da tubagem 
v - velocidade média de circulação do fluido 
Di - Diâmetro interno da tubagem 
ρ - Massa volúmica do fluido 
µ - Viscosidade dinâmica do fluido 
 
Para regimes de fluxo laminar, pode-se combinar a equação de Poiseiulle com a 
equação de Faning, obtendo-se: 
 
 (1.42) 
 
Donde se conclui-se que, para regime laminar: 
 
f = 
Re
16
 (1.43) 
A equação de Fanning tanto pode ser usada para regime laminar como turbulento. 
32 2
2
2. . .
. .
. .
.
L v
g D
f L v
g D
µ 
ρ =
36 Transporte de Fluidos 
 
Uma análise mais detalhada do gráfico f = f(Re, ε/D), apresentado na sebenta de 
Tabelas de Tecnologia Química, permite concluir o seguinte: 
 
• Para Reynolds < 2100 o factor de atrito é independente da rugosidade; f = 
16/Re; 
• Para Reynolds > 4000 o factor de atrito depende da rugosidade e do Re; 
• Para Reynolds muito mais elevados o factor de atrito é praticamente 
independente do Reynolds; 
• Para a zona de transição é impossível prever o regime de fluxo; 
• No gráfico f = f(Re, ε/D), a curva indicada mais abaixo representa as tubagens de 
superfície interior lisa, onde o valor da rugosidade relativa é praticamente nulo; 
• Resta por último salientar que a precisão de leitura no mapa de atrito é de 
aproximadamente 5 a 10%. 
 
É comum utilizar-se, para regime turbulento, a expressão de Colebrook and White, 
que relaciona o factor de atrito de Fanning com o n.º Reynolds (Re) e a rugosidade 
relativa (ε/D): 
 
f
1
 = -2.log10 

 +


fRe.
2,51
3,7.D
ε
 (1.44) 
 
que prevê factores de atrito na gama 3500 ≤ Re ≤ 108 e 0 ≤ ε/D ≤ 0,05. A tabela 4 
indica valores de rugosidade absoluta (ε) para vários materiais de tubagem. 
 
 
B ⇒ Perdas de carga por alargamento brusco na secção da tubagem: 
 
Conforme se indica na figura 20, se o diâmetro de uma tubagem aumentar 
bruscamente, a área efectiva disponível para o fluxo aumentará gradualmente, 
desde o tubo mais pequeno até ao tubo de maior diâmetro, diminuindo 
progressivamente a velocidade do fluxo, ou seja, um aumento do diâmetro da 
tubagem provoca uma diminuição da velocidade do fluido. 
 
 
Mecânica de Fluidos 37 
 
 
MATERIAL DA TUBAGEM ε (mm) 
Latão, vidro 0,003 
PVC, cobre 0,01 a 0,04 
Novo 0,05 
Usado 0,10 a 0,20 
Enferrujado 0,15 a 0,25 
Incrustado 1,5 a 3 
Aço laminado: 
Revestido 0,015 
Novo 0,05 a 0,1 
Usado 0,15 a 0,25 Aço soldado: 
Enferrujado 0,4 
Aço galvanizado 0,15 a 0,20 
Aço inoxidável 0,01 
Novo 0,25 
Enferrujado 1 a 1,5 Ferro fundido: 
Fortemente incrustado Até 3 
Polyester, fibra de vidro reforçada, D > 200 mm 0,05 a 0,085 
Fibrocimento 0,03 
Grés 0,3 a 1 
Madeira 0,3 a 1 
Galerias em rocha (não revestidas) 90 a 600 
Betão liso 0,3 a 0,8 
Tabela 4: Rugosidades absolutas para vários materiais de tubagem1. 
 
 
Figura 20: Alargamento de uma tubagem 
 
1 Jerónimo, Prof. Manuel, “Curso de Transporte de Fluidos em Tubagens”, CENERTEC, Porto, 2001. 
38 Transporte de Fluidos 
 
Para um alargamento brusco de secção, a perda de carga será representada por: 
 
∆Ha = ( )
c
2
21
2.g
 v- v
 (1.45) 
 
onde, com base na figura 20, v1 é a velocidade média do fluido antes do 
alargamento da tubagem e v2 após o alargamento da tubagem, em que a área 
interna Ai2 > Ai1. 
 
 
C ⇒ Perdas de carga por contracção súbita na secção de uma tubagem: 
 
Conforme se indica na figura 21, se o diâmetro de uma tubagem diminuir 
bruscamente, a área efectiva disponível para o fluxo diminuirá gradualmente, desde 
o tubo maior até ao tubo de menor diâmetro, aumentando progressivamente a 
velocidade do fluxo, ou seja, uma diminuição do diâmetro da tubagem provoca um 
aumento da velocidade do fluido. 
 
 
Figura 21: Contracção de uma tubagem. 
 
A perda de carga num acidente deste tipo pode ser expressa por: 
 
∆Hc = ( ) K.2.g
 v- v
c
2
21 (1.46) 
 
 
onde, com base na figura 21, v1 é a velocidade média do fluido antes da contracção 
da tubagem e v2 após a contracção da tubagem, em que a área interna Ai2 < Ai1. 
Mecânica de Fluidos 39 
 
 
K representa o coeficiente de contracção de tubagem (adimensional) que depende 
da relação de áreas das duas secções Ai2/Ai1. A constante K pode ser obtida por via 
gráfica: 
 
Figura 22: Gráfico K em função do quociente de áreas 


maior área
menor área
. 
 
D ⇒ Perdas de carga provocadas pela introdução de acessórios nas tubagens: 
 
A perda de carga introduzida pelos acessórios instalados nas tubagens deve ser 
expressa como um comprimento de tubo rectilíneo com a mesma resistência. Estecomprimento é designado por comprimento equivalente. Usualmente não se 
expressa em metros de tubagem, mas como um certo n.º de diâmetros de tubagem. 
Num sistema que apresente acessórios e para o qual haja que calcular a perda de 
carga por atrito, a tubagem rectilínea mede-se entre o espaço ocupado pelos 
acessórios. A esta distância, comprimento físico, real, adiciona-se o comprimento 
equivalente dos acessórios que existem no sistema. O comprimento resultante 
chamado comprimento total é o valor de L que se utiliza na equação de Fanning. 
Considere-se o seguinte exemplo, que serve como caso geral: 
 
 
Figura 23: Esquema de uma tubagem com troços rectos L1 e L2 e um acessório (Leq.) 
40 Transporte de Fluidos 
 
O comprimento equivalente de cada acessório pode ser determinado pela seguinte 
expressão: 
 
Leq.(acessório) = 
iD
Leq.
.Di (1.47) 
 
O quociente 
iD
Leq.
 representa o comprimento equivalente de um acessório por 
unidade de diâmetro de tubagem. Basta multiplicar este quociente pelo diâmetro 
interno da tubagem para se obter o comprimento equivalente absoluto desse mesmo 
acessório. A tabela 5 apresenta, para vários acessórios, o respectivo 
iD
Leq.
 . 
PERDAS DE CARGA PROVOCADAS PELA INTRODUÇÃO DE ACESSÓRIOS: 
ACESSÓRIO Leq./Di 
Joelhos 15 
Cotovelos a 90º, raio normal 32 
Cotovelos a 90º, raio médio 26 
Cotovelos a 90º, grande curvatura 20 
Cotovelos a 90º, em esquadria 60 
Curvas de retorno de 180º, fechadas 75 
Curvas de retorno de 180º, raio médio 50 
Tês (utilizados como cotovelos, com entrada pelo centro) 60 
Tês (utilizados como cotovelos, entrada lateral) 90 
Acoplamentos Desprezável 
Uniões Desprezável 
Válvulas de comporta, 100% abertas 7 
Válvulas de assento esférico, 100% abertas 300 
Válvulas de ângulo, 100% abertas 170 
Contadores de água, de disco 400 
Contadores de água, de pistão 600 
Contadores de água, de rodete 300 
 
Tabela 5: 
iD
Leq.
 para vários acessórios de tubagem. 
Mecânica de Fluidos 41 
 
 
O comprimento equivalente total de uma tubagem será igual à soma dos vários 
troços rectos da tubagem com os vários comprimentos equivalentes dos diversos 
acessórios. 
 
Leq.T = ΣLTROÇOS RECTOS + ΣLeq. (ACESSÓRIOS) (1.48) 
 
 
Na prática, a perda de carga por atrito (∆Hf) e a perda de carga por introdução de 
acessórios (∆Hv) são expressas numa só, que é designada por perda de carga por 
atrito com introdução de acesórios (∆Hf): 
 
∆Hf = 
i
T
2
g.D
.Leq.2.f.v
 (1.49) 
 
que não é mais do que a equação de Fanning aplicada a tubagens com acessórios. 
 
Como conclusão deste ponto 4, a determinação da perda de carga total de qualquer 
fluido num sistema de transporte entre dois pontos, termo F da equação de Bernouilli 
(1.23), é a seguinte: 
 
F = Σ∆Hf + Σ∆Ha + Σ∆Hc (1.50) 
 
 
5. O EFEITO DO CHOQUE HIDRÁULICO: 
 
Quando se provoca uma alteração rápida da velocidade de escoamento de um fluido 
numa tubagem, tal como a provocada por uma obturação rápida de uma válvula de 
macho esférico ou pelo arranque ou paragem de uma bomba, surgem 
sobrepressões e subpressões muito consideráveis, que provocam vibrações e por 
vezes rebentamentos. Este fenómeno é designado por choque hidráulico ou golpe 
de aríete. A sobrepressão ∆P resultante da variação muito rápida da velocidade ∆v, 
para a água, é dada apróximadamente por: 
 
∆P (bar) ≅ 10.∆v (m.s-1) (1.51) 
42 Transporte de Fluidos 
 
Deste modo, uma variação de velocidade súbita de 1m/s de água, produz uma 
sobrepressão de 10 bar. Por este facto, deve-se limitar a velocidade de circulação 
dos fluidos, sempre que houver possibilidades de alterações rápidas desta grandeza 
e/ou usar dispositivos de protecção que amorteçam as ondas de choque geradas. 
 
 
6. NÚMERO DE KÁRMAN: 
 
O n.º de Kárman permite a solução de problemas nos quais seja desconhecida a 
velocidade de circulação do fluido (v), mas onde sejam conhecidas as perdas de 
carga por atrito com ou sem acessórios (∆Hf) e o diâmetro da tubagem (Di). 
 
Define-se o n.º de Karman como sendo o produto do n.º de Reynolds pela raiz 
quadrada do factor de atrito de Fanning: 
 
Λ = Re. f (1.52) 
 
onde: 
Λ - Nº Karman; 
Re – Nº Reynolds; 
f – Factor de atrito de Fanning 
 
utilizando a definição do n.º Reynolds (1.6) e a equação de Fanning (1.49) e 
substituindo estas expressões em (1.52), vem: 
 
Λ = µ
ρ i.v.D .
T
2
fi
.Leq.2.v
H.g.D ∆
 (1.53) 
 
simplificando, vem: 
 
Λ = µ
ρ i.D .
T
fi
2.Leq.
H.g.D ∆
 (1.54) 
 
Mecânica de Fluidos 43 
 
 
A determinação do factor de atrito de Fanning é efectuada através de gráfico próprio 
(sebenta de Tabelas de Tecnologia Química), onde (f) é função da rugosidade 
relativa (ε/D) e do n.º Kárman (Λ). 
 
Definindo um procedimento de cálculo para este tipo de problema, este poderá ser o 
que a seguir se descreve: 
 
1.º Calcular Λ através de (1.54); 
2.º Retirar o valor de ε/D através do gráfico ε/D = f(D, material da tubagem); 
3.º Determinar o valor de f através do gráfico 
f2.
1
 = f(ε/D, Λ); 
4.º Determinar o valor de Re através de (1.52); 
5.º Calcular v através da definição de Re (1.6); 
6.º Calcular Qv através da equação da continuidade (1.31). 
 
 
7. DIÂMETRO MÍNIMO DE UMA TUBAGEM: 
 
Muitas vezes, torna-se necessário determinar o diâmetro mínimo de uma tubagem a 
utilizar numa instalação, dispondo de uma energia determinada para um caudal de 
circulação do fluido conhecido. A dedução matemática da expressão que permite a 
determinação do diâmetro mínimo de uma tubagem, conhecida a velocidade do 
fluido e a perda de carga por atrito, com ou sem acessórios, é a seguinte: 
 
Combinando a equação da continuidade (1.31) 
 
Qv = v.Ai = v.
4
.D2iπ ⇔ v = 2
i.D
4.Qv
π (1.55) 
 
com a equação de Fanning (1.49) 
 
∆HF = 
i
T
2
g.D
.Leq.2.f.v = 
5
i
2
T
2
.g.D
.Leq.32.f.Qv
π (1.56) 
vem: 
44 Transporte de Fluidos 
 
 
Di(min.) = 5
f
T
2
H.g.
.Leq.32.f.Qv
∆2π (1.57) 
 
Considerando que (f) é função do diâmetro da tubagem, através da rugosidade 
relativa, tal como está, a expressão (1.57) conduz a uma indeterminação. Este tipo 
de problema terá de ser resolvido por tentativas. 
 
Ora, definindo um procedimento de cálculo para este tipo de problema, este poderá 
ser o que a seguir se descreve: 
 
Método Iterativo: 
 
1.º Arbitrar um valor para f = 0,005; 
2.º Determinar o Di(min.) correspondente ao (f) arbitrado através de (1.57); 
3.º Determinar ε/D através do gráfico ε/D = f(D, material da tubagem); 
4.º Determinar v através de (1.55); 
5.º Determinar Re pela definição (1.6); 
6.º Determinar um novo valor para o factor de atrito (f’) pelo gráfico de Fanning f’ = 
f(ε/D, Re); 
7.º Comparar f’ com o valor de f arbitrado; 
8.º Se os valores de f não coincidirem, voltar a arbitrar um novo valor de f; 
9.º Efectuar os passos 2 a 7 até f = f’ ou a diferença entre estes valores implicar, 
normalmente, um erro relativo Er ≤ 2%; 
10.º Quando se cumprir o passo 9, o diâmetro mínimo da tubagem será o calculado 
 por (1.57) com o valor de (f) acertado no passo anterior. 
 
 
8. PREVISÃO DA PERDA DE CARGA: 
 
No projecto de um processo ou de uma fábrica é necessário muitas vezes estimar as 
perdas de carga antes de possuir toda a informação necessária. Um exemplo típico 
acontece quando se acaba de obter o diagrama de fluxo processual e ainda não se 
tem a tubagem desenhada em detalhe. Conhece-se a localização do equipamento 
Mecânica de Fluidos 45 
 
 
principal, podendoestimar-se o comprimento equivalente da tubagem e acessórios 
(Leq.) somente a partir do comprimento da tubagem (L), do seu diâmetro (D) e de 
um factor de complexidade da instalação (Fc). A expressão encontrada para esta 
correlação2, quando expressa em unidades SI, é a seguinte: 
 
L
Leq.
 = 1 + ( ).Fc0,216. D2,18. + (1.58) 
 
Os valores típicos de Fc são os seguintes, para alguns exemplos de instalações: 
Instalação Fc 
Redes de distribuição muito complexas 4 
Redes de distribuição típicas 2 
Tubagem normal 1 
Tubagem longa razoavelmente longa 0,5 
Linhas de fornecimento de utilidades (água, vapor, ar comprimido e 
fuelóleo) fora dos limites das unidades 
0,25 
Tabela 6: Factores de complexidade para alguns exemplos de instalações. 
 
Exemplo: numa tubagem normal, em que D = 0,1 m (4”), tem-se: 
 
Fc = 1 e 
L
Leq.
 = 1 + ( ).10,216. 0,12,18. + = 1,9 
 
Daqui se conclui que, numa tubagem normal, o comprimento equivalente da mesma 
com acessórios é cerca do dobro do comprimento do tubo rectilíneo. 
 
 
9. MEDIDORES DE CAUDAIS: 
 
A classe mais importante de medidores de caudal é aquela em que o fluido é 
acelerado ou retardado na secção de medição e a variação na energia cinética é 
medida pela diferença de pressão criada. Esta classe abrange: 
 
2Brown, G. G. , “Operaciones Básicas de la Ingeniería Química”, Editorial Marín, 1965. 
46 Transporte de Fluidos 
 
⇒ O tubo de Pitot, no qual um pequeno elemento de fluido é levado a parar num 
orifício situado perpendicularmente à direcção do fluxo. Obtém-se o caudal 
medindo a diferença entre a pressão de impacto e a pressão estática. 
⇒ O medidor de orifício, no qual o fluido é acelerado numa constrição súbita, no 
curso da corrente. A perda de pressão global é elevada, porque o excesso de 
energia cinética do fluido é desperdiçado. 
⇒ A embocadura, na qual o fluido é acelerado gradualmente até à garganta do 
instrumento. A energia de pressão não é recuperada e, portanto, apresenta 
características semelhantes às do medidor de orifício. 
⇒ O medidor Venturi, no qual é gradualmente acelerado e, depois, é 
gradualmente retardado. Uma fracção elevada do excesso de energia cinética é 
recuperada. 
⇒ O dique ou represa, no qual a energia do fluido correspondente à sua pressão 
hidrostática é convertida em energia cinética. 
 
Os medidores de caudal são classificados em dois grupos: 
 
De carga variável 
MEDIDORES 
DE CAUDAL { De área variável 
 
 
9.1 Medidores de carga variável: 
 
Neste tipo de medidores de caudal, em cada um deles o fluido é acelerado através 
de um estrangulamento; dá-se, deste modo, um aumento da energia cinética do 
fluido transportado devido ao aumento de velocidade deste, que é consequência do 
estrangulamento existente na tubagem, isto é, redução do seu diâmetro. Isto irá 
implicar uma diminuição da energia de pressão. O caudal determina-se medindo a 
diferença de pressão, através de um manómetro, entre a entrada do medidor (onde 
não ocorre perturbação do fluido) e um ponto de pressão reduzida (localizado no 
próprio medidor). Aplicando-se a equação de Bernoulli entre estes pontos, tem-se: 
 
Mecânica de Fluidos 47 
 
 
XA + 
c
2
A
2.g
v
 + ρ
AP - F + W = XB + 
c
2
B
2.g
v
 + ρ
BP (1.59) 
 
Em que o ponto (A) corresponde a um ponto a montante do estrangulamento e (B) 
um ponto no interior do referido estrangulamento. Ora, considerando que numa 
tubagem rectilínea, os pontos (A) e (B) estão à mesma altura piezométrica em 
relação ao mesmo referencial, XA = XB e que, entre estes mesmos pontos, não 
existe qualquer equipamento mecânico (nem tal facto fazia sentido), W = 0. 
Considerando ainda que as perdas de carga entre estes dois pontos (muito 
próximos) são nulas, tem-se que F = 0. Logo, a expressão (1.59), vem, com as 
referidas simplificações: 
 
c
2
A
2.g
v
 + ρ
AP = 
c
2
B
2.g
v
 + ρ
BP (1.60) 
 
que pode assumir a seguinte forma: 
 
2
A
2
B v- v = ρ
BA
c
P - P
.2.g (1.61) 
 
mas, da expressão (1.39), 
 
ρ
BA P - P
 = ρ
P∆
 = ∆H (1.62) 
vem: 
 
2
A
2
B v- v = H.2.gc ∆ (1.63) 
 
equação geral para os medidores de caudal de carga variável. ∆H é a perda de 
carga do fluido nesse medidor de caudal. 
 
Nota importante: Em relação às unidades, nestas expressões, a diferença de 
pressão (∆P) terá de vir expressa em unidades dos sistemas europeu ou inglês de 
engenharia, ou respectivos sub-múltiplos, ou ainda, em PSI (lbf.in-2). Para se utilizar 
48 Transporte de Fluidos 
 
unidades do Sistema Internacional para o ∆P (Pascal), a perda de carga no medidor 
de caudal (1.62) terá de ser a seguinte: 
 
 .g
P - P BA
ρ = .g
P
ρ
∆
 = ∆H (1.64) 
 
9.1.1. Medidor de orifício: 
 
Figura 24: Medidor de orifício, com as bordas agudas 
 
Um medidor de orifício é constituído por uma placa plana que contém um orifício 
concêntrico através do qual passa o fluido. Esse orifício situa-se no eixo da 
tubagem, o que implica uma redução significativa do diâmetro desta e posterior 
alargamento significativo. O medidor deve ser normalizado. 
 
Os factores mais importantes que influem na leitura do ∆P de um medidor de orifício 
são os seguintes: 
? o tamanho do orifício; 
? o diâmetro da tubagem em que se encontra. 
 
Outros factores, porém, afectam de algum modo essa leitura: 
 
♦ a posição exacta das tomas de pressão; 
♦ o método de fixação das mesmas, 
 
porque a área do fluxo e, portanto, a velocidade do fluido, variam gradualmente na 
região do orifício. A toma de montante deve estar situada a cerca de um diâmetro do 
tubo e a toma a jusante a cerca de meio diâmetro do orifício. A primeira corresponde 
ao fluxo normal e a segunda à vena contracta. 
Mecânica de Fluidos 49 
 
 
Na prática, desconhece-se o diâmetro da vena contracta, mas é conhecido o 
diâmetro do orifício. A equação pode escrever-se em função da velocidade através 
do orifício, introduzindo uma constante que tenha em conta a diferença entre esta 
velocidade e a da vena contracta. Existem, por outro lado, perdas por atrito que 
devem ser consideradas na dita constante. Esta constante é designada por 
coeficiente de descarga do medidor de orifício Co. 
 
2
A
2
o v- v = oc
2
o H.2.g C ∆ (1.65) 
 
em que: 
vo - velocidade do fluido no orifício do medidor; 
vA – velocidade do fluido num ponto da tubagem a montante do estrangulamento; 
∆Ho – perda de carga do fluido no medidor de orifício = ρ
oP∆ e ∆Po é a diferença de 
pressão do fluido no medidor de orifício, que é determinada pela equação do 
respectivo manómetro, acoplado no medidor [ver expressões (1.3), (1.4) e (1.5)]. 
 
A constante Co depende de: 
? rugosidade das paredes do tubo; 
? forma exacta do orifício; 
? espessura da chapa do orifício; 
? proximidade de curvas e válvulas. 
 
O medidor deve colocar-se nunca a menos de 50 diâmetros do tubo a partir de 
qualquer dessas obstruções. Co é função do N.º de Reynolds no orifício (Reo) e do 
quociente entre o diâmetro do orifício (do) e o diâmetro interno da tubagem (Di). 
 
Co = f(Reo, 
i
o
D
d
) 
 
A desvantagem mais grave do medidor é que a maior parte da perda de pressão não 
é recuperável. Normalmente apenas se consegue recuperar, como energia de 
pressão, cerca de 5 a 10% da energia cinética em excesso. A perda de carga 
50 Transporte de Fluidos 
 
através do medidor de orifício é, portanto, elevada e isto pode impedir a sua 
utilização em certas circunstâncias.A expressão (1.65) pode tomar a seguinte forma: 
 
Qv =Co.




∆
2
A
2
o
o
Ai
1 - 
A
1
H2.g.
 (1.66) 
 
que é a equação do medidor de orifício, onde: 
Qv - caudal volumétrico; 
Ao - área do orifício; 
AiA - área interna da tubagem por onde circula o fluido; 
Co - coeficiente de descarga do orifício; 
g - aceleração da gravidade = 9,8 ms-2; 
∆Ho - perda de carga no medidor de orifício. 
A determinação do Co pode ser efectuada por gráfico apropriado Co = f(Reo, 
i
o
D
d
), 
existente na sebenta de Tabelas de Tecnologia Química, mas esta determinação 
implica conhecer-se a velocidade do fluido no medidor de orifício e, por conseguinte, 
o caudal. No entanto, quando a variável é, precisamente o caudal, a determinação 
gráfica de Co torna-se impossível de ser efectuada. Nestas condições, a 
determinação de Co é feita por método iterativo. Um algoritmo simples de resolução 
para determinação de Co nestas condições poderá ser o seguinte: 
 
Método Iterativo simples: 
1.º Arbitrar um valor para Co = 0,63; 
2.º Determinar Qv através de (1.66); 
3.º Determinar vo = 
oA
Qv
; 
4.º Determinar Reo = µ
ρ oo .d.v ; 
5.º Se Reo > 104, então Co = 0,63 ⇒ Qv é o calculado no passo 2; 
Mecânica de Fluidos 51 
 
 
6.º Se Reo < 104, determina-se o verdadeiro valor de Co através do gráfico Co = 
f(Reo, 
i
o
D
d
). 
 
Nota importante: O Co só assume um valor constante e independente de Reo e de 
Di
do , a partir de valores de n.º Reynolds no orifício Reo ≥ 104 [ver gráfico Co = f(Reo, 
i
o
D
d
), existente na sebenta de Tabelas de Tecnologia Química]. Daí a razão de se 
começar o processo iterativo simples com Co = 0,63. 
 
 
9.1.2. Embocadura: 
 
Este medidor é semelhante ao do orifício, como se indica na figura seguinte: 
 
Figura 25: Embocadura 
 
A embocadura tem um coeficiente de descarga (CE) elevado e constante, cerca de 
0,99, numa extensa gama de condições, porque o coeficiente de contracção é igual 
a um. Este coeficiente é a razão da área na vena contracta pela área do orifício. É 
mais dispendioso que o medidor de orifício e é muito usado para medir caudais de 
vapores e líquidos sujos. A equação deste medidor será a seguinte: 
 
Qv =CE.




∆
2
A
2
E
E
Ai
1 - 
A
1
H2.g.
 (1.67) 
 
52 Transporte de Fluidos 
 
onde: 
AE - área do estrangulamento da embocadura; 
CE - coeficiente de descarga da embocadura = 0,99; 
∆HE - perda de carga na embocadura; 
AiA – área interna da tubagem. 
 
 
9.1.3. Medidor de Venturi: 
 
Se em vez do que se passa no orifício, a variação de secção se efectuar, 
gradualmente de forma a não originar remoinhos, as perdas de energia são 
menores. Deste modo, o coeficiente de descarga correspondente (Cv) tem um valor 
elevado. Existe um medidor de caudal de carga variável com estas condições, que 
se designa por Venturi. 
 
 
Figura 26: Venturi 
 
Cv varia entre 0,9 e 0,99 para fluxo turbulento. Como valor médio típico = 0,98. 
Para regime laminar, os coeficientes são muitíssimos baixos. A equação deste 
medidor é a seguinte: 
 
Qv =Cv.




∆
2
A
2
v Ai
1 - 
A
1
Hv2.g.
 (1.68) 
 
onde: 
Av - área do estrangulamento (garganta) do Venturi; 
Cv - coeficiente de descarga do Venturi = 0,98; 
Mecânica de Fluidos 53 
 
 
∆Hv - perda de carga no Venturi; 
AiA – área interna da tubagem. 
 
 
9.1.4. Tubo Pitot: 
 
O Tubo de Pitot serve somente para determinar velocidade local do fluido; por isso 
só pode usar-se para explorar os gradientes de velocidades locais numa secção do 
tubo pela qual circula o fluido. 
Os valores obtidos para as velocidades locais em vários pontos de um diâmetro da 
tubagem, constituem os valores precisos para o cálculo da velocidade média do 
fluxo, baseada, na área total da secção transversal da tubagem. Só quando se 
conhece de antemão a distribuição de velocidades na secção, é que se pode 
calcular o caudal a partir só de uma leitura. 
 
Quando o n.º de Reynolds ( calculado com a velocidade máxima) é maior do que 
50.000, a relação entre a velocidade média e a velocidade local no centro de uma 
conduta circular é igual a 0,81 e pode-se, para calcular a velocidade média, fazer 
uma simples leitura com o referido instrumento colocado no centro da tubagem. 
 
 
Figura 27: Tubo de Pitot. 
 
∆HP = 
c
2
max
2.g
v
 (1.69) 
logo, vmáx. ≅ vA e, 
vA = C. PH2.g.∆ (1.70) 
 
54 Transporte de Fluidos 
 
onde: 
∆HP – Perda de carga no Tubo de Pitot; 
C – Coeficiente de descarga no tubo de Pitot = 0,98; 
vA – Velocidade local do fluido na tubagem. 
 
É importante referir que, só uma calibração do aparelho para as mesmas condições, 
permite fixar correctamente o valor de (C). Respeitando as condições de 
aplicabilidade do Tubo de Pitot, pode-se relacionar a velocidade local determinada 
na tubagem por (1.70) com o caudal de fluido (Qv): 
 
Qv = vA.Ai (1.71) 
 
onde Ai é a área interna da tubagem por onde se escoa o fluido. 
 
 
9.2. Medidores de área variável: 
 
9.2.1. Rotâmetros: 
 
O rotâmetro consta de um tubo tronco - cónico transparente, colocado verticalmente, 
e ligado à tubagem por flanges, no qual circula o fluido em sentido ascendente. 
Dentro do tronco de cone há uma bóia que roda lentamente, mais densa que o 
fluido, chamada de flutuador, que, para cada caudal, atinge uma altura determinada. 
A regulação do caudal é feita através de uma válvula instalada a montante deste 
medidor. A determinação do valor do caudal de fluido que passa no rotâmetro é feita 
directamente através de uma escala de caudal (normalmente volumétrico ou 
mássico) inscrita no próprio aparelho. Tal é possível por calibração do movimento 
ascendente e descendente da bóia. 
 
A bóia toma uma posição de equilíbrio no tubo, de maneira que a força de elevação 
total que nela actua é igual ao seu peso. A diferença de pressão entre montante e 
jusante da bóia é igual ao quociente do peso da bóia pela respectiva área máxima 
da secção recta num plano horizontal. A área disponível para caudal é a coroa 
circular formada entre a bóia e a parede do tubo; quanto mais acima estiver a bóia 
Mecânica de Fluidos 55 
 
 
no tubo, maior é a área, uma vez que a área da secção recta do tubo onde se 
movimenta a bóia aumenta no sentido ascendente. 
 
Pode considerar-se o rotâmetro como sendo um medidor de orifício com abertura 
variável e, portanto, as fórmulas já deduzidas são aplicáveis. Tanto no medidor de 
orifício vulgar como no rotâmetro, a queda de pressão resulta de duas causas, 
nomeadamente, a conversão de energia de pressão em energia cinética e o atrito de 
superfície nas paredes do orifício ou da bóia. A diferença de pressão, pode 
expressar-se pelo equilíbrio de forças na bóia. A força descendente que se exerce 
na bóia, ou seja o peso da mesma, menos a força ascensional, será equilibrada pela 
diferença de pressão no fluido em ambos os lados da bóia, multiplicada pela área da 
secção transversal da bóia. 
 
 
( ) ( )PA
g
g
b
c
∆−=ρ−ρbbV (1.72) 
 
( ) ( )- P Vb b∆ = −ρ ρ g
A gb c
 (1.73) 
 
∆ ∆ΗP = ρ (1.74) 
 
( )
bAρ
ρ−ρ= bboRv Vg2ACQ (1.75) 
Figura 28: Rotâmetro comercial. 
 
 
9.3. Outros medidores de caudal e de velocidades locais: 
 
Existem outros medidores de velocidades locais, como por exemplo: 
 
? Cilindro de Pitot; 
? Esferas de Pitot; 
? Molinetes; 
 
56 Transporte de Fluidos 
 
? Correntógrafo; 
? Flutuadores. 
 
O Cilindrode Pitot é uma variante do Tubo de Pitot que permite eliminar os erros 
de direcção, desde que se conheça o plano que contém o vector velocidade. O 
aparelho consta de um cilindro em que, numa secção recta, existem duas tomadas 
de pressão fazendo entre si um ângulo cerca de 78º. 
 
 
Figura 29: Cilindro de Pitot 
 
O modo de operar resume-se ao seguinte: 
 
1.º Faz-se coincidir a secção do cilindro, em que estão as tomadas de pressão, com 
o plano (π) que contém o vector velocidade e ligam-se as duas extremidades do 
cilindro a um manómetro diferencial; 
2.º Roda-se o cilindro até que a diferença de pressão indicada pelo manómetro seja 
nula. Nesta posição, a velocidade é dirigida segundo a bissectriz do ângulo (α), 
ficando consequentemente a conhecer-se a direcção da velocidade no plano π 
(ver figura seguinte); 
3.º Roda-se o cilindro de metade do ângulo α (39º). A leitura do manómetro, nesta 
posição, dá a grandeza da velocidade, por processo análogo ao Tubo de Pitot. 
 
Mecânica de Fluidos 57 
 
 
A Esfera de Pitot é ainda uma variante que permite conhecer, num ponto, a 
direcção e grandeza da velocidade, sem necessidade de conhecer a priori o plano 
do vector velocidade. Consta fundamentalmente de uma esfera, na qual se fazem 5 
tomadas de pressão (ver figura seguinte). 
 
 
Figura 30: Esferas de Pitot 
 
⇒ A esfera está colocada na extremidade de uma haste que pode rodar em torno 
do seu eixo, sendo o ângulo de rotação, registado numa escala horizontal. Durante a 
operação de calibração, pode-se fazer variar o ângulo de inclinação δ da haste. A 
pressão estática e a velocidade são entidades conhecidas na operação de 
calibração. Fixado um determinado δ, roda-se a haste até que as leituras no 
manómetro 4 e 5 coincidam (h4 = h5); 
⇒ Efectuam-se também as leituras h1, h2, e h3 e estabelecem-se os seguintes 
coeficientes que, dentro de certos limites, são só características do aparelho, isto é, 
independentes da velocidade: 
 
Coeficiente de direcção ⇒ Kd = 
42
13
h - h
h - h
 (1.71) 
Coeficiente de velocidade ⇒ Kv = 
2.g
v
h - h
2
42 (1.72) 
58 Transporte de Fluidos 
 
Coeficiente de pressão ⇒ Kh = 
2.g
v
h - h
2
2 (1.73) 
 
⇒ Repete-se a operação para outros valores de δ e obtêm-se as curvas de Kd, Kv e 
Kh em função de δ. Estas curvas são caracteristicas próprias de cada aparelho. 
⇒ Para medir a velocidade e sua direcção num ponto, coloca-se a esfera nesse 
ponto, com a haste perpendicular ao eixo do canal e roda-se a haste até que os 
piezómetros 4 e 5 indiquem leituras iguais (h4 = h5) e lê-se então o ângulo horizontal. 
Registam-se também os valores de h1, h2 e h3 e determina-se o valor de Kd. Para 
este valor e, a partir da curva de calibração, determina-se o valor de δ, o que, 
juntamente com o valor do ângulo horizontal, define completamente a direcção da 
velocidade. Conhecido δ, obtêm-se a partir das curvas de taragem, os valores de Kv 
e Kh, os quais permitem conhecer a grandeza da velocidade (v) e da pressão (h), no 
ponto em estudo. 
 
Denomina-se molinete um sistema de pás ou hélices, montado num eixo vertical ou 
horizontal, o qual é posto em movimento por acção da velocidade da água. O 
número de rotações dado pelo aparelho é função da velocidade da água. O modo de 
efectuar a contagem do número de rotações é específico de cada aparelho. A 
relação entre a velocidade e o n.º rotações é feita em ensaios prévios de calibração, 
que se realizam em laboratório, movendo-se o molinete a uma determinada 
velocidade, com a água parada. A equação de calibração chama-se curva 
característica do molinete e é do tipo 
 
v = a + b.n (1.76) 
 
em que (v) é a velocidade do fluido, (n) o n.º rotações, (a) e (b) são duas constantes 
caracteristicas de cada aparelho. Os ensaios de calibração devem ser repetidos 
periodicamente, visto que, com o próprio funcionamento, se alteram as condições do 
molinete. Há também que ter em atenção a turbulência do escoamento, para o que é 
necessário que a medição, em cada ponto, se realize durante um certo tempo (5 a 
10 minutos ou mesmo mais) até se obter valores constantes. 
 
Mecânica de Fluidos 59 
 
 
O correntógrafo é um tipo de molinete especialmente adaptado ao registo de 
correntes marítimas. Existem vários tipos de correntógrafos no mercado, os quais, 
colocados num ponto, durante alguns dias, registam a direcção e a intensidade 
instantânea da corrente nesse ponto. A técnica de colocação e de trabalho é 
específica de cada tipo de aparelho. 
 
O meio mais intuitivo de medir velocidades consiste no emprego de flutuadores. 
Este meio é válido sobretudo para velocidades superficiais. O princípio hidráulico de 
medição não oferece qualquer dificuldade: medição do comprimento percorrido 
durante certo intervalo de tempo. A realização deste princípio é que por vezes se 
apresenta mais difícil porque, em geral, os flutuadores não seguem trajectórias 
previamente escolhidas, pois de um modo geral, tendem a encaminhar-se para o 
filão (zona de maior velocidade do fluido). Como ordem de grandeza, pode supor-se 
que, em correntes de uma certa regularidade, a velocidade média do fluido é cerca 
de 0,7 a 0,8 vezes a velocidade no filão. Convém porém não esquecer que, esta 
relação pode ser superior a 1, sobretudo em canais profundos de paredes quase 
verticais, em que as velocidades máximas deixam de se verificar próximo da 
superfície. 
 
Em relação à utilização de outros instrumentos de medida para determinação de 
caudais, para além dos já mencionados anteriormente (medidor de orifício, venturi e 
embocadura), que são classificados como aparelhos deprimogéneos, são, 
actualmente, enquadrados nos seguintes grupos: 
 
? Métodos volumétricos; 
? Diafragmas e Bocais (aparelhos deprimogéneos); 
? Contadores mecânicos; 
? Medidores electromagnéticos; 
? Medição de caudais por meio de curvas. 
 
O modo mais rigoroso de medir esta grandeza, quer em pressão, quer em superfície 
livre, é a partir da sua própria definição: volume escoado por unidade de tempo. Ou 
seja, aplicando métodos volumétricos. Deste modo, medindo-se o volume de fluido 
que se escoou durante um certo intervalo de tempo, obtém-se o caudal volumétrico 
médio durante esse tempo. Este método só é viável para pequenos caudais. Para a 
60 Transporte de Fluidos 
 
medição dos volumes, utilizam-se tanques convenientemente aferidos. Para a 
medição do tempo, utilizam-se cronómetros. O método mais simples consiste em 
dispor de um cronógrafo, com actuação manual e de um tanque aferido. Nestas 
condições, se o tanque tiver capacidade para, pelo menos, um minuto de 
escoamento, o erro cometido pode ser unicamente da ordem de 1%. 
 
Os diafragmas e bocais, que pertencem ao grupo dos aparelhos deprimogéneos, 
medem o caudal de um fluido em condutas fechadas à custa da medição de uma 
diferença de pressão provocada por um estreitamento na tubagem. 
 
O Diafragma é constituído por um orifício, em aresta rectangular, aberto numa placa 
delgada (ver fig. 31a). A face de montante da placa deve ser plana e trabalhada, 
sem necessidade propriamente de ser rectificada. A face de jusante da placa deve 
ser também trabalhada, embora com menor cuidado do que a face de montante. O 
diâmetro do orifício deve ser calibrado com uma aproximação de ±0,001D. As 
tomadas de pressão são feitas nos ângulos e são habitualmente constituídas por 
fendas anelares que abrem em camâras também anelares piezométricas (parte 
superior da fig. 31). São designadas por tomadas de pressão tipo “A”. A fenda de 
comunicação das camâras anelares com o tubo, deve ser igual ou inferior a 0,02D. 
Deve também