Integrais Improprias MAT 147 2017 II

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Integrais Impro´prias
por
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior
Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica-CCE
Aulas de MAT 147 - 2017
07 e 09 de Agosto de 2017
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Na definic¸a˜o de integral definida, consideramos a func¸a˜o no
integrando cont´ınua em um intervalo fechado e limitado. Agora,
estenderemos esta definic¸a˜o para os seguintes casos:
(i) Func¸o˜es definidas em intervalos do tipo: [a,∞), (−∞, b] ou
(−∞,∞), ou seja, para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ R,
respectivamente.
(ii) A func¸a˜o no integrando e´ descont´ınua em um ponto.
As integrais destas func¸o˜es sa˜o chamadas integrais impro´prias.
As integrais impro´prias sa˜o de grande utilidade em diversos ramos
da Matema´tica como por exemplo, na soluc¸a˜o de equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias via transformadas de Laplace e no estudo
das probabilidades, em Estat´ıstica.
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Exemplos de Integrais Impro´prias:
(i)
∫ ∞
0
e−x dx ;
(ii)
∫ ∞
−∞
e−x dx ;
(iii)
∫ ∞
0
1
1 + x2
dx ;
(iv)
∫ ∞
−∞
x
(1 + x2)2
dx ;
(v)
∫ ∞
0
xe−x dx .
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Definic¸a˜o 1
(i) Se f e´ uma func¸a˜o integra´vel em [a,∞), enta˜o:∫∞
a f (x) dx = limb→∞
∫ b
a f (x) dx ;
(ii) Se f e´ uma func¸a˜o integra´vel em (−∞, b], enta˜o:∫ b
−∞ f (x) dx = lima→−∞
∫ b
a f (x) dx ;
(iii) Se f e´ uma func¸a˜o integra´vel em R = (−∞,∞),
enta˜o:
∫∞
−∞ f (x) dx =
lima→−∞
∫ c
a f (x) dx + limb→∞
∫ b
c f (x) dx , c ∈ R. Geralmente
toma-se c = 0 para facilitar nas contas.
Se nas definic¸o˜es anteriores os limites existirem, as integrais
impro´prias sa˜o ditas convergentes; caso contra´rio sa˜o ditas
divergentes.
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Teste da Comparac¸a˜o I: Sejam f e g func¸o˜es integra´veis em
[a,∞) tais que f (x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x ≥ a.
(i) Se
∫∞
a f (x) dx converge, enta˜o
∫∞
a g(x) dx converge;
(ii) Se
∫∞
a g(x) dx diverge, enta˜o
∫∞
a f (x) dx diverge.
A prova, segue diretamente das definic¸o˜es. Seja f (x) ≥ 0, para
todo x ≥ a. Para mostrar a convergeˆncia da integral de f , e´
preciso que f seja menor que uma func¸a˜o cuja integral converge.
Para mostrar a divergeˆncia da integral de f , e´ preciso que f seja
maior que uma func¸a˜o cuja integral diverge.
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Analise a convergeˆncia das integrais abaixo.
(a)
∫ ∞
1
sen x + 2√
x
dx ;
(b)
∫ ∞
1
e−x
2
dx ;
(c)
∫ ∞
1
1
x5 + 3x + 1
dx ;
(d)
∫ ∞
2
1
ln x
dx ;
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Definic¸a˜o 2
(i) Se f e´ uma func¸a˜o integra´vel em (a, b], exceto em x = a,
enta˜o:
∫ b
a f (x) dx = limt→a+
∫ b
t f (x) dx ;
(ii) Se f e´ uma func¸a˜o integra´vel em [a, b), exceto em x = b,
enta˜o:
∫ b
a f (x) dx = limt→b−
∫ t
a f (x) dx ;
(iii) Se f e´ uma func¸a˜o integra´vel em [a, b], exceto em c tal que
a < c < b,
enta˜o:
∫ a
b f (x) dx = limt→c−
∫ t
a f (x) dx + limt→c+
∫ b
t f (x) dx .
Se nas definic¸o˜es anteriores os limites existirem, as integrais
impro´prias sa˜o ditas convergentes; caso contra´rio sa˜o ditas
divergentes.
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Analise a convergeˆncia das integrais abaixo. Se convergir,
determine seu valor.
(a)
∫ 3
0
1√
3− x dx ;
(b)
∫ 1
0
1
x
dx ;
(c)
∫ 4
0
1
(x − 3)2 dx ;
(d)
∫ 1
0
x ln x dx ;
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Teste da Comparac¸a˜o II: Sejam f e g func¸o˜es integra´veis em
[a, b), exceto em x = b, tais que f (x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo
x ∈ [a, b).
(i) Se
∫ b
a f (x) dx converge, enta˜o
∫ b
a g(x) dx converge;
(ii) Se
∫ b
a g(x) dx diverge, enta˜o
∫ b
a f (x) dx diverge.
Para o caso f e g func¸o˜es integra´veis em (a, b], exceto em x = a,
tambe´m se aplica o teste.
A prova, segue diretamente das definic¸o˜es. Seja f (x) ≥ 0, para
todo x ≥ a. Para mostrar a convergeˆncia da integral de f , e´
preciso que f seja menor que uma func¸a˜o cuja integral converge.
Para mostrar a divergeˆncia da integral de f , e´ preciso que f seja
maior que uma func¸a˜o cuja integral diverge.
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Analise a convergeˆncia das integrais abaixo.
(a)
∫ pi
0
sen x√
x
dx ;
(b)
∫ pi/4
0
sec x
x3
dx ;
(c)
∫ 1
0
e−x
x2/3
dx ;
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV
Lista de Exerc´ıcios
Os exerc´ıcios a serem resolvidos sa˜o do livro: O Ca´lculo com
Geometria Anal´ıtica - Vol. I, Autor: LOUIS LEITHOLD.
Pa´gina 672 (11.3)− 1 a` 25 (´ımpares);
Pa´gina 673 (11.3)− 37 e 39.
Pa´ginas 676 e 677 (11.4)− 1 a` 33 (´ımpares).
Exerc´ıcios a serem resolvidos do livro: Ca´lculo - Vol. I, Autor:
JAMES STEWART, Sa˜o Paulo, Cengage Learning: 2013.
Pa´gina 478 (7.8)− 49 a` 54 e pa´gina 481, 41 a` 50.
Ab´ılio Lemos Cardoso Ju´nior Departamento de Matema´tica – UFV