Teorema de Taylor

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Universidade Católica de Moçambique
Instituto de Educação á Distância
Resolução dos exercícios
Nome e Código do Estudante: Miqueias Manecas Anselmo. 708181476
 Curso: Licenciatura em Ensino de Matemática
 Cadeira: Analise Harmónica e complexa
 Ano: 4º
Quelimane, Julho de 2021
	 Universidade Católica de Moçambique
Instituto de Educação á Distância
Resolução dos exercícios
Trabalho de Pesquisa submetido ao Centro de Recurso de Quelimane-Universidade Católica de Moçambique, como requisito parcial para obtenção do Grau de Licenciatura em Ensino de Maematica.
 Tutor: dr. Helder Benjamim Obra
Nome e Código do Estudante: Miqueis Manecas Anselmo. 708181476
 Curso: Licenciatura em Ensino de Matemática
 Cadeira: Analise Harmónica e complexa
 Ano: 4º
Quelimane, Julho de 2021
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	Categorias
	Indicadores
	Padrões
	Classificação
	
	
	
	Pontuação máxima
	Nota do tutor
	Subtotal
	Estrutura
	Aspectos organizacionais
	· Índice
	0.5
	
	
	
	
	· Introdução
	0.5
	
	
	
	
	· Discussão
	0.5
	
	
	
	
	· Conclusão
	0.5
	
	
	
	
	· Bibliografia
	0.5
	
	
	Conteúdo
	Introdução
	· Contextualização (Indicação clara do problema)
	2.0
	
	
	
	
	· Descrição dos objectivos
	1.0
	
	
	
	
	· Metodologia adequada ao objecto do trabalho
	2.0
	
	
	
	Análise e discussão
	· Articulação e domínio do discurso académico (expressão escrita cuidada, coerência / coesão textual)
	3.0
	
	
	
	
	· Revisão bibliográfica nacional e internacional relevante na área de estudo
	2.0
	
	
	
	
	· Exploração dos dados
	2.5
	
	
	
	Conclusão
	· Contributos teóricos práticos
	2.0
	
	
	Aspectos gerais
	Formatação 
	· Paginação, tipo e tamanho de letra, paragrafo, espaçamento entre linhas
	1.0
	
	
	Referências Bibliográficas
	Normas APA 6ª edição em citações e bibliografia
	· Rigor e coerência das citações/referências bibliográficas
	2.0
	
	
Folha para recomendações de melhoria: A ser preenchida pelo tutor
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Índice
i.	Introdução	2
ii.	Objectivos	3
iii.	Metodologia	3
Teorema de Laurent	4
Equacoes de Cauchy – Riemann	5
Teorema de Taylor	6
Numero 4:	7
iv.	Conclusao	9
v.	Bibliografia	10
i. Introdução
O presente trabalho aborda sobre o teorema de Laurent, teorema de Cauchy – Riemann, teorema de Taylor e por fim tem uma representação de funções complexas. Aresentamos o corpo dos números complexos, exploramos as funções complexas de uma variável complexa, exibimos parte da teoria das funções analíticas e parte da teoria de integração complexa. Provamos importantes resultados, tais como o Teorema de Cauchy, o Teorema de Taylor e de Laurent. 
ii. Objectivos
Geral:
· Desenvolver um estudo introdutório, porém detalhado, sobre Análise Complexa e algumas de suas aplicações.
Específicos:
· Desenvolver os teoremas de Laurent, teorema de Cauchy – Riemann, teorema de Taylor;
· Ilustrar exemplos práticos;
· Resolver as questões.
iii. Metodologia
Para a realização deste trabalho, o autor aplicou o método de pesquisa bibliográfica.
1. Enuncie e demonstre o teorema de Laurent sobre desenvolvimento de função analítica f(z) em séries de potências.
Resposta:
Teorema de Laurent
Seja uma funcao analitica na coroa circulat Entao 
Onde os coeficientes são dados por
e
Exemplo:
Consideremos a funcao . A funcao é analitica em . Pretendemos determinar a serie de Laurent de f nesta regiao. Temos
E sabemos que para . Podemos entao concluir que 
em . Relativamente a regiao , podemos colocar a mesma questao. Temos
e, dado que 
Como tal, 
para .
2. Debruce-se acerca das equações de Cauchy-Riemann;
Reposta:
Equacoes de Cauchy – Riemann
Teorema:
Seja f : uma funcao complexa de variavel complexa definida por num conjunto aberto . A derivada existe (ou seja, f é diferenciavel em ) se e so se as funcoes u e v são continuas e tem derivadas de 1ª ordem continuas numa vizinhanca de , e, no ponto satisfazem as equacoes de 
Assim, se as derivadas parciais de 1ª ordem das funcoes u e v existem, são continuas e satisfazem as equacoes de em entao é analitica em .
Exemplo:
Consideremos a funcao definida em . Temos , donde
verificamos que as funções u e v são contínuas e têm derivadas contínuas em todos os pontos.
Pelo teorema de Cauchy-Riemann, f é diferenciável em todos os pontos em que as equações de
Cauchy-Riemann são satisfeitas, ou seja, em pontos tais que
Logo é diferenciável nos pontos da recta . No entanto, dado que nenhum ponto desta recta tem uma vizinhança na qual as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas, f não é analítica em nenhum ponto do seu domínio .
3. Sobre o desenvolvimento de Taylor em Funções complexas. Explique.
Reposta:
Teorema de Taylor
Se f é uma função analítica no disco , com , entao f pode ser representada por uma serie de potencias que converge para , a saber, 
A serie definida no teorema anterior designa-se por serie de Taylor de f em torno de (ou serie de Taylor de f no ponto ) e os coeficientes designam-se por coeficientes de taylor de f no ponto . Este desenvolvimento é único, isto é, se , tem-se necessariamente . Quando , a serie é designada por serie de MacLaurin da funcao f. o resto de ordem n da serie de Taylor de f em torno do é dado pela expressao
Para além de sabermos que uma função analíticatem derivadas de todas as ordens, verificamos
agora que elas podem sempre ser representadas por uma série de potências. Esta propriedade não
é, em geral, verdadeira no cálculo real. Existem funções reais de variável real que têm derivadas
de todas as ordens mas que não podem ser representadas por uma série de potências. É o caso da
função definida por para .
Exemplo 1:
Seja A função f é inteira e Temos então , para todo , logo a serie de Taylor de f em torno de é dada por
Notemos que esta serie é a obtida do desenvolvimento em serie da função real substituindo x por z.
Exemplo 2:
Seja A função f é analítica e
Logo Como tal, obtemos a serie de Taylor
Para .
Proposição: Uma serie de potencias com raio de convergência não-nulo é a serie de Taylor da sua função soma.
Para função como ou o teorema de Taylor se aplica em , tratando-se de funções não analíticas na origem. Para estas funções existe uma outra expansão, a chamada expansão de Laurent, que recorre a potências inversas de em vez de potências de . Esta expansão é de grande importância no estudo dos pontos onde uma função não é analítica (designados por singularidades ou pontos singulares) e para obter o teorema dos resíduos.
Numero 4:
Represente graficamente os números complexos z1, z2, z1*z2
a) Z1, Z2
Fonte: Autor (2021)
b) Z2 , Z2
Fonte: Autor (2021)
iv. Conclusao 
Contudo, cheguei as conclusoes que Desde o século XVIII, a Análise Complexa tem se mostrado uma das mais profícuas teorias no contexto global da Matemática. Através dela foi possível, por exemplo, dar um sentido à afirmação “toda equação polinomial possui ao menos uma solução”, estabelecer relações importantes entre funções elementares (como ), compreender melhor as funções definidas por séries de potências, entre outros feitos igualmente relevantes. Dentre os matemáticos importantes que contribuíram para o seu avanço, podemos mencionar Euler, Gauss, Cauchy, Abel, Riemann, Weierstrass, Picard, Poincaré, Hilbert, entre outros.
Bibliografia
Laureano, R., Soares, H., & Mendes, D. (2011). Caderno : Análise Complexa. ISCTE - IUL.
Silva, M. A. (2018). Análise complexa e aplicações. Rio Claro: Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”: Instituto de Geociências e Ciências Exatas.
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