Estudo de Cálculo I - Teste 2

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 040 – Estudo Dirigido de Ca´lculo I – 2017/I
Teste 2 - Entrega dia 30/03/2017:
Nome: Matr´ıcula:
Exerc´ıcio :
Considere a func¸a˜o f definida por
f(x) =
x + 1√
x2 − 4
(a) Determine o domı´nio de f, justificando sua resposta.
(b) E´ poss´ıvel calcular lim
x→2+
f(x) ? Justifique! Em caso afirmativo, calcule.
(c) E´ poss´ıvel calcular lim
x→2−
f(x) ? Justifique! Em caso afirmativo, calcule.
(d) Podemos afirmar que a reta x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical ao gra´fico de f? Justifique!
(e) Determine, caso existam, as ass´ıntotas horizontais ao gra´fico de f , explicitando suas equac¸o˜es.
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio:
(a) Queremos determinar o maior conjunto de nu´meros reais para os quais a regra da func¸a˜o f possa ser
aplicada. Neste caso, devemos ter
D(f) =
{
x ∈ R ; x2 − 4 > 0} .
Estudaremos o sinal de g(x) = x2 − 4.
Notemos que g e´ uma func¸a˜o quadra´tica com duas ra´ızes reais distintas: x1 = −2 e x2 = 2. A func¸a˜o g e´
uma para´bola coˆncava para cima. Assim, o sinal de g e´:

g(x) < 0 se −2 < x < 2
g(x) = 0 se x = −2 ou x = 2
g(x) > 0 se x < −2 ou x > 2
Assim,
D(f) = {x ∈ R ; x < −2 oux > 2} .
Continuac¸a˜o da Resoluc¸a˜o do Exerc´ıcio :
(b) Sim. Podemos aproximar de 2 por valores maiores que 2, uma vez que estes valores pertencem ao domı´nio
de f. Neste caso,
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
→3︷ ︸︸ ︷
x + 1√
x2 − 4︸ ︷︷ ︸
→0+
= +∞.
(c) Na˜o podemos aproximar de 2 por valores menores que 2, uma vez que estes valores na˜o pertencem ao
domı´nio de f.
(d) Podemos afirmar que a reta x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical ao gra´fico de f pois lim
x→2+
f(x) = +∞.
(e) Notemos que:
(i) lim
x→+∞ f(x) = limx→+∞
x + 1√
x2 − 4 = limx→+∞
x + 1√
x2 ·
(
1− 4
x2
) = limx→+∞ x + 1
| x | ·
√
1− 4
x2
=
lim
x→+∞
x ·
(
1 +
1
x
)
x ·
√
1− 4
x2
= lim
x→+∞
→1︷ ︸︸ ︷
1 +
→0︷︸︸︷
1
x√√√√√1− 4x2︸︷︷︸
→0︸ ︷︷ ︸
→1
= 1.
Assim, y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico de f.
(ii) lim
x→−∞ f(x) = limx→−∞
x + 1√
x2 − 4 = limx→−∞
x + 1√
x2 ·
(
1− 4
x2
) = limx→−∞ x + 1
| x | ·
√
1− 4
x2
=
lim
x→−∞
x ·
(
1 +
1
x
)
−x ·
√
1− 4
x2
= lim
x→−∞
→−1︷ ︸︸ ︷
−1−
→0︷︸︸︷
1
x√√√√√1− 4x2︸︷︷︸
→0︸ ︷︷ ︸
→1
= −1.
Assim, y = −1 tambe´m e´ uma ass´ıntota horizontal ao gra´fico de f.