Aula 1 - Pesquisa Operacional

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PESQUISA OPERACIONAL 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. José de Souza Leal Neto 
 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Pesquisa Operacional (PO): o termo provavelmente é desconhecido para 
a grande maioria dos estudantes. Entretanto, como qualquer disciplina que se 
estuda, no início tudo pode parecer complicado e nebuloso, mas, com a 
dedicação adequada aos estudos, os termos se tornarão familiares. Além disso, 
será possível identificar os benefícios advindos da aplicação das técnicas e dos 
métodos da Pesquisa Operacional na rotina das empresas. 
Assim, nesta primeira aula será apresentado como surgiu a PO, definição, 
características, além das fases de um estudo de PO, modelo e modelagem e 
programação linear. É claro que não se esgota o que se pode aprender de PO, 
mas é o início. 
Ok, tudo entendido, mas para que serve a PO? Uma referência inicial e 
importante é saber que a PO é constituída de conhecimentos que apoiam a 
tomada de decisão dos gestores: são ferramentas, um meio, e não um fim, mas 
a resposta à pergunta ocorrerá com o desenvolvimento da disciplina. 
O desafio é: você será capaz de perceber, ao final do curso, que o 
conhecimento proporcionado pela disciplina te dará um diferencial competitivo 
como administrador? Creio que sim, mas, para isso, é preciso ir além destas 
aulas: é necessário fazer diferentes abordagens no estudo de problemas a fim 
de explorar potenciais soluções (explorar cenários); observar a rotina diária a 
partir da perspectiva da PO. É, em suma, pensar diferente. 
Seja bem-vindo (a) à primeira aula de Pesquisa Operacional. 
CONTEXTUALIZANDO 
Como você conseguiria tornar a sua empresa ou o seu setor mais 
competitivo? Como poderia aumentar a produtividade? Essas são perguntas 
diárias, que gestores são sempre solicitados a responder e, para tal, precisam 
conhecer o processo para identificar problemas/oportunidades e, também, 
necessitam de informações/dados para a tomada de decisão. 
O conhecimento do processo é de fundamental importância para a 
tomada de decisão, pois não é possível tomar decisão acertada sem 
conhecimento de causa. Se o gestor está familiarizado com o processo, será 
capaz de perceber a existência de problema e onde ele está ou de identificar 
 
 
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uma oportunidade de melhoria. Sem conhecer o processo, não há como delinear 
um escopo nem definir objetivos. 
Quanto às informações/dados, via de regra, os gestores não dispõem das 
necessárias para a tomada de decisão. Podem até identificar que 
informações/dados são necessárias para a adequada tomada de decisão, mas 
esses nem sempre estão disponíveis oportunamente. E se as 
informações/dados estão disponíveis, provavelmente será necessário processá-
las, ou seja, tratá-las estatisticamente. Pode ainda acontecer que as 
informações/dados necessárias sejam desconhecidas pelo gestor de forma 
parcial ou, até mesmo, em sua totalidade. 
Mesmo com o conhecimento do problema/oportunidade e com 
disponibilidade de informações/dados, ainda permanecerão incertezas. A 
percepção da existência do problema/oportunidade está correta? A oportunidade 
de melhoria trará benefícios para a empresa? É possível resolver tecnicamente 
o problema/melhoria? Quais insumos/recursos são plenamente usados no 
processo? Quais insumos/recursos são subutilizados? 
Em condições apropriadas, ao se empregarem técnicas de modelagem 
matemática e eficientes algoritmos computacionais, a PO pode subsidiar o 
decisor na análise dos mais variados aspectos e situações de um problema 
complexo, permitindo a tomada de decisões efetivas e a construção de sistemas 
mais produtivos (Sobrapo, 2017). 
Neste momento, antes de nos aprofundarmos na PO, tenha sempre em 
mente que as técnicas de modelagem matemática e os algoritmos 
computacionais são poderosos, mas não é a panaceia de todos os problemas 
administrativos, pois possuem suas limitações, como quaisquer outros recursos 
técnicos. 
TEMA 1 – HISTÓRICO E CONCEITOS DA PESQUISA OPERACIONAL 
Em suas devidas proporções, pode-se afirmar que empresas travam uma 
guerra contra suas concorrentes, e ampliando um pouco o conceito, que esta 
guerra é uma guerra entre cadeias logísticas. Mas, para obter vantagem sobre a 
concorrência é necessário empregar métodos e técnicas diferenciadas a fim de 
obter um diferencial competitivo. Um diferencial competitivo pode ser obtido por 
quem gerencia melhor os seus recursos empresariais, que são escassos. A PO 
se desenvolveu para gerenciar recursos escassos e obteve sucesso. Hoje é 
 
 
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possível fazer uso dos métodos e técnicas da PO no ambiente corporativo e, por 
conseguinte, obter um diferencial competitivo em relação à concorrência. Assim, 
no presente tema é apresentada a PO, a sua origem, o seu objetivo, as suas 
principais características e as suas possíveis aplicações. 
Histórico: O termo Pesquisa Operacional, remete às origens da área, 
cujo interesse inicial foi a gestão eficiente de operações (basicamente de 
logística militar). Assim, o desenvolvimento da PO foi fruto do esforço de guerra 
dos Aliados no início dos anos 40, e, tal esforço tinha por objetivo desenvolver 
métodos para resolver problemas de operações militares. O sucesso dessas 
aplicações levou o mundo acadêmico e empresarial a utilizar as técnicas então 
criadas, em problemas de administração. 
Com o avanço metodológico e computacional (velocidade de 
processamento, capacidade de armazenamento, recuperação de informações, 
descentralização de ações pelo uso de microcomputadores etc.), além da 
existência de demandas de outras áreas, ocorreu a ampliação do campo de 
atuação para além das operações militares. A modernização da PO pode ser 
identificada pelo desenvolvimento de modelos mais versáteis, mais rápidos e, 
sobretudo, interativos, que permitam maior participação do homem no 
desenrolar dos cálculos (Sobrapo, 2017; Andrade, 2009). 
O que é Pesquisa Operacional? A Sociedade Brasileira de Pesquisa 
Operacional (Sobrapo) define Pesquisa Operacional (PO) como a área de 
conhecimento que estuda, desenvolve e aplica métodos analíticos avançados 
para auxiliar na tomada de melhores decisões nas mais diversas áreas de 
atuação humana. 
Características da Pesquisa Operacional: a partir do que é escrito a 
respeito da PO, pode-se ser capaz de enumerar diversas características 
(Andrade, 2009; Sobrapo, 2017), entre as quais: 
 Emprega métodos envolvendo programação matemática, simulação, 
teoria dos jogos, teoria das filas, análise de redes, teoria de decisão, 
aprendizado de máquina e ciência dos dados. Tais métodos são capazes 
de apresentar soluções efetivas para problemas aplicados, determinando 
a melhor utilização de recursos limitados e otimizando as operações 
empresariais (ambientes complexos e competitivos). 
 Demanda por trabalho em equipe (multidisciplinar), com estreita 
cooperação entre líderes (tomadores de decisão), analistas e 
 
 
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stakeholders, por ser necessário um esforço sistêmico. Portanto, ocorre 
uma demanda natural de interação entre as áreas de administração, 
engenharias, computação e matemática. 
 Emprega modelos, o que permite realizar ‘experimentações’, ou seja, 
estudar cenários, viabilizando a análise de possibilidades e uma tomada 
de decisão melhor avaliada e testada antes de ser efetivamente 
implementada. 
 Necessita de profissionais (face à interação multidisciplinar) capazes de 
compreender e resolver problemas em diversas áreas (flexibilidade de 
aplicações) e usar métodos analíticos e com foco em resultados. 
Aplicações da Pesquisa Operacional: segundo a Sobrapo (2017), a PO 
é empregada em áreas consideradas estratégicas,como energia, prospecção e 
exploração de petróleo, gerência de operações, logística, finanças, marketing, 
planejamento e gestão de sistemas de serviços, segurança da informação, 
administração industrial, gestão da qualidade, análise locacional, entre outras, 
de interesse civil e militar. 
Modelo e modelagem, uma abordagem: é possível encontrar diversos 
softwares desenvolvidos (de prateleira) para uso imediato, mas eles nem sempre 
atendem todas as necessidades, não é verdade? Porém, esse tipo de software 
possui, na maioria das vezes, menor custo do que se fosse desenvolvido para 
atender necessidades específicas. 
Perceba que há diferenças entre usar uma solução pronta e desenvolver 
uma solução que atenda pré-requisitos. Assim, faz-se necessário apresentar os 
conceitos de ‘modelo’ e de ‘modelagem’ a serem empregados nesta disciplina, 
pois há uma pequena sutileza no emprego dos referidos conceitos. 
Ao se empregar o conceito de “modelo”, deve-se entendê-lo como um 
algoritmo (etapas a serem seguidas) ou modelo matemático previamente 
elaborado para solucionar um problema recorrente. Esse “modelo” pode ser 
usado para resolver problemas similares, dado que as condições usadas para a 
elaboração do modelo nem sempre são encontradas na realidade. Para 
problema de baixa complexidade, o emprego de um ‘modelo’ pronto pode ser o 
mais indicado pelos benefícios obtidos, tais como menor custo do que a 
“modelagem”, menor prazo para obter a solução etc. 
Quanto à “modelagem”, deve-se entender como a elaboração específica 
de um algoritmo ou modelo matemático para um problema a ser resolvido, que 
 
 
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possui escopo e objetivos bem definidos, ou seja, será construído um modelo 
“sob medida”, “personalizado”. O modelo proposto deverá atender os 
requisitos/especificações impostos pelo problema, ou seja, deverá considerar as 
condições existentes no momento do estudo. Entretanto, a “modelagem” possui 
algumas desvantagens, como o fato de requerer tempo para o desenvolvimento 
do modelo (prazos maiores), possuir maior custo em relação ao emprego de 
“modelo” etc. 
Saiba mais 
Estude um pouco mais e se familiarize com a terminologia empregada 
em PO. Para isso, leia as páginas 12 a 14 (Item 1.1) do livro-texto, disponível 
em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788544302194/pa
ges/13>. 
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa 
operacional no ambiente de gestão. 2. ed. rev., atual. e ampl. Curitiba: 
Intersaberes, 2014. 
Leia também as páginas 1 e 2 (Item 1.1) do TAHA, disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/1>. 
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2008. 
Vídeo: O que é pesquisa operacional? Uma resposta mais “dinâmica” 
pode ser encontrada em: <https://youtu.be/tX6Rw7KJGjE>. 
Tema de pesquisa: confirme ou refute os argumentos usados acima, que 
caracterizaram diferenças entre modelo e modelagem. Encontre exemplos. 
TEMA 2 – FASES DE ESTUDO DA PESQUISA OPERACIONAL 
Não há como resolver um problema, em especial quantitativo, sem ter um 
algoritmo, uma sequência de etapas a serem seguidas. Desde o início, a Toyota 
adotou a forma de resolver os problemas: observar e estudar o processo, e aí 
começou o seu sucesso. Além disso, o que argumentar contra dados numéricos? 
Se forem adequadamente trabalhados por uma metodologia consolidada, os 
resultados serão confiáveis. O presente tema tem por objetivo apresentar as 
diversas fases necessárias para o desenvolvimento de um estudo de PO. 
 
 
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Fases de um estudo de pesquisa operacional: provavelmente você terá 
algumas dúvidas sobre as fases de um estudo de PO, porque não há uma 
unanimidade quanto elas, mas você poderá identificar algumas fases comuns 
nas propostas de diferentes autores, pois são indispensáveis para o 
desenvolvimento de um trabalho de PO. Tais fases são as seguintes: 
a. Estudo do problema. O escopo do problema deve ser adequadamente 
definido. O contexto do problema deve ser estudado de forma detalhada 
a fim de identificar o nível de complexidade e, consequentemente, 
escolher a técnica/ferramenta de PO mais apropriada para solucionar o 
problema. 
b. Levantamento e tratamento de dados. Os trabalhos de PO são 
quantitativos, e consequentemente é necessário levantar e tratar dados 
numéricos estatisticamente. O conjunto final de dados a ser empregado 
deve ser confiável. 
c. Definição da metodologia a ser empregada. O tipo de problema 
determinará a escolha do método/ferramenta de PO a ser empregada, e 
consequentemente a metodologia estará mais ou menos definida. Se for 
um modelo, a metodologia está definida. Se for necessário realizar uma 
modelagem, existem referências metodológicas na bibliografia de PO, 
entretanto pode ser necessário realizar adequações da metodologia à 
realidade do problema em estudo. 
d. Análise dos resultados obtidos. Da análise dos resultados obtidos, 
deve ser possível obter subsídios para identificar as atividades/recursos a 
serem priorizadas na elaboração da proposta de solução. 
e. Implementação de proposta. A análise dos resultados finais deve gerar 
recomendações ou propostas possíveis de serem implementadas a fim de 
solucionar ou minimizar o problema estudado. 
Provavelmente, você não encontrará, na bibliografia, uma proposta de 
generalização das fases de um estudo de PO, conforme apresentada acima. Isso 
se deve ao fato de que, em geral, os autores não fazem distinção entre “modelo” 
e “modelagem”. Entretanto, as fases apresentadas anteriormente estarão 
sempre presentes, implícita ou explicitamente, nos estudos de PO. 
 
 
 
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Saiba mais 
Leia o Item 1.3 do livro texto e avalie a abordagem proposta. Disponível 
em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788544302194/pa
ges/19>. 
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa 
operacional no ambiente de gestão. 2. ed. rev., atual. e ampl. Curitiba: 
Intersaberes, 2014. 
O Item 1.6 apresenta a proposta de fases de um estudo de TAHA. 
Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/5>. 
TAHA, Handy A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
TEMA 3 – MODELO 
Quando se fala em modelo, vem-nos à mente a ideia de uma referência, 
de um padrão. O objetivo do modelo em PO é basicamente representar um 
fenômeno físico, uma realidade existente. Porém, o modelo a ser usado não 
pode ser muito simplificado nem muito complexo. Se for simplificado demais, 
poderá não representar a realidade adequadamente; e se for complexo em 
demasia, pode não ser exequível. Somente com a experiência o profissional 
encontrará o equilíbrio entre o simples e o complexo. Este tema tem por objetivo 
apresentar o conceito de modelo e os tipos de modelo que podem ser 
empregados em PO. 
Definição: modelo significa, entre outras definições, tudo o que serve 
para ser imitado, uma representação (Michaelis, 2001). Também pode-se 
encontrar definições como: modelo matemático, representação matemática de 
um fenômeno físico humano etc. feita para que se possa melhor estudar o 
original; e modelo reduzido, reprodução em pequena escala de um aparelho ou 
de um conjunto. Resumidamente, pode-se definir “modelo” como uma 
representação simplificada da realidade. 
Tipos de modelo: na bibliografia da PO, não há uma unanimidade quanto 
aos tipos de modelo. A partir da tipologia proposta por alguns autores (Andrade, 
 
 
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2009; Chwif; Medina, 2006; Lactermacher, 2009), foi sintetizada uma 
classificaçãode possíveis tipos de modelo, conforme apresentado a seguir: 
 Modelos conceituais: relacionam de maneira sequencial e lógica as 
interações e as atividades existentes no processo em estudo, de modo a 
possibilitar o estudo do processo e alcançar os objetivos definidos. É o 
tipo de modelo recomendado para as etapas iniciais do processo de 
modelagem. 
 Modelos físicos: são modelos reduzidos em escala, tais como modelos de 
aeronaves, maquetes de edificações etc. Não são empregados em PO. 
 Modelos heurísticos: são construídos quando a complexidade do 
problema é de tal ordem que a utilização de relações matemáticas é 
inviável ou extremamente dispendiosa. Esses modelos baseiam-se em 
regras empíricas ou intuitivas que, após se obter uma solução para o 
problema, permitem avançar para uma solução mais aprimorada. 
 Modelos matemáticos: necessitam que as informações e as variáveis 
relevantes do problema sejam quantificáveis. Consequentemente, as 
grandezas são representadas por variáveis de decisão, e se usam 
expressões/funções matemáticas para descrever as relações entre elas e 
a operação do sistema. 
A metodologia da PO é mais indicada para solucionar problemas que 
podem ser representados por modelos matemáticos. Tais modelos podem ser 
classificados quanto ao nível de incerteza existente entre as relações das 
variáveis, como determinísticos (sem incerteza; as informações relevantes são 
tidas como conhecidas; modelos de otimização) ou probabilísticos (quando 
uma ou mais variáveis de decisão não são conhecidas; modelos de simulação). 
 Modelos simbólicos, diagramáticos ou icônicos: usam símbolos 
gráficos para representar um sistema de maneira estática (o seu 
comportamento no tempo não é considerado), por exemplo: fluxograma 
de processo, mapas rodoviários, estações de metrô, estações de ônibus, 
organograma organizacional de empresa e outros. As suas limitações são 
não apresentar elementos quantitativos e não permitir apresentar muitos 
detalhes. O seu uso é mais adequado para documentar projetos e servir 
ferramenta de comunicação (visual). A priori, não são empregados em 
PO. 
 
 
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Saiba mais 
Leia os Itens 1.2 e 1.3 do TAHA e consolide a compreensão do conceito 
de modelo. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/3>. 
TAHA, Handy A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
Leia o artigo indicado no link. Na leitura, identifique o objetivo do estudo 
e a solução proposta. A solução é genérica ou é para um problema específico? 
Disponível em: 
<http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-
74382000000100007>. 
Para conhecer a dinâmica de modelagem de simulação de eventos 
discretos, acesse o site do fabricante do Simul8 (inglês), disponível em: 
<https://www.simul8.com/products/guidedtours/watch_video.php?videoId=3> 
e 
<https://www.simul8.com/products/guidedtours/watch_video.php?videoId=6>; 
ou o vídeo do YouTube (português), disponível em: 
<https://youtu.be/Oecazr39BNo>. 
TEMA 4 – MODELAGEM 
Empresas podem até possuir processos semelhantes, porém o ritmo, os 
colaboradores, a operação, a cultura, entre outros são específicos de cada uma 
delas. Portanto, cada empresa possui sua “personalidade” e, por conseguinte, 
problemas específicos, os quais podem ser rotineiros ou complexos. Para 
resolver um problema complexo com aplicação de PO, provavelmente é 
necessário elaborar uma solução específica, ou seja, usar uma metodologia de 
modelagem para obter um modelo “sob medida”. Assim, este tema tem por 
objetivo apresentar propostas metodológicas de modelagem que as empresas 
podem usar para resolver problemas complexos com aplicação de PO. 
Definição: o dicionário Michaelis (2001) define “modelagem” como a 
operação de modelar e também define “modelar” como a ação de fazer o modelo 
ou o molde. Portanto, é possível afirmar que modelar é criar um modelo. 
 
 
11 
Vantagens e desvantagens: o emprego de modelagem, na opinião de 
Lachtermacher (2009), apresenta as seguintes vantagens, porque os modelos 
forçam: 
• Os decisores a explicitarem seus objetivos. 
• A identificação e a disponibilidade das diferentes decisões que 
influenciam os objetivos e dos relacionamentos entre as decisões. 
• A identificação das variáveis a serem incluídas e as condições em que 
serão quantificáveis. 
• O reconhecimento de limitações. 
Pode-se acrescer também como vantagem que os modelos possibilitam 
a comunicação de suas ideias, e a sua compreensão facilita o trabalho em grupo. 
Entre as desvantagens estão que a modelagem pode consumir tempo e 
ser dispendiosa e que a experiência profissional é diretamente proporcional à 
complexidade do modelo a ser elaborado. 
Metodologias de modelagem: na bibliografia de PO, é possível 
encontrar metodologias de modelagem bastante similares. A seguir são 
apresentadas as propostas de Lachtermacher (2009) e Andrade (2009), bem 
como a metodologia de autoria de Sargent (2014) para modelos de simulação, 
por ser mais detalhada e indicar a necessidade de se ser cientificamente rigoroso 
quando elaborar modelos mais complexos. 
Lachtermacher (2009) propõe um processo de resolução de um problema 
em cinco etapas consecutivas, conforme indicado na Figura 1. Tais etapas 
podem ser repetidas, quando se fizer necessário. O autor não apresenta maiores 
esclarecimentos a respeito das etapas, mas elas são de fácil compreensão. 
 
 
 
12 
Figura 1 – Processo de resolução de um problema 
 
Fonte: Lachtermacher (2009). 
Figura 2 – Fases de um estudo de Pesquisa Operacional 
 
Por sua vez, Andrade (2009) indica a existência de fases em um estudo 
Pesquisa Operacional, conforme apresentado na Figura 2. É necessário lembrar 
Figura 1 - Processo de resolução de 
um problema (Lachtermacher, 2009) 
Identificação do 
Problema
Formulação 
do Modelo
Análise dos
Cenários
Interpretação
dos Resultados
Implementação
e Motoração
Figura 2 - Fases de um estudo de 
Pesquisa Operacional (ANDRADE, 2009) 
Definição do
Problema
Construção
do Modelo
Solução
do Modelo
Avaliação
Validação
do Modelo
Experiência
e Intuição
Implementação
do Resultados
 
 
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que, conforme argumentado anteriormente, são etapas de elaboração de um 
modelo, ou seja, são etapas de um processo de modelagem. 
Na perspectiva de Andrade (2009), na fase de definição do problema 
deve-se descrever os objetivos do estudo de forma exata, para delinear a 
concepção do modelo; identificar as alternativas existentes de decisão; e 
identificar limitações, restrições e exigências do sistema. 
Na fase de construção do modelo, deve-se escolher o modelo mais 
apropriado (programação linear, simulação, entre outros) para a representação 
do sistema, tendo como referência a definição do problema. 
A solução do modelo é função do modelo adotado. A programação linear 
poderá fornecer uma solução, dita “ótima”, e a simulação proporciona uma 
solução a partir da análise dos resultados obtidos. 
A fase de validação do modelo ocorre se o modelo for capaz de fornecer 
uma previsão aceitável e compatível do comportamento do sistema real e a 
resposta fornecida pelo modelo puder subsidiar uma decisão que possa ser 
factível. 
A fase implementação da solução é realizada após avaliadas as 
vantagens que pode proporcionar, bem como a sua validade. Ela pode ser 
materializada em regras operacionais. 
Por fim, é realizada uma avaliação final do modelo e dos resultados 
obtidos. 
Apesar de ser uma metodologia voltada para simulação, pode-se 
considerar a metodologia demodelagem proposta por Sargent (2014) como a 
mais completa. A partir de uma metodologia mais completa, como a de Sargent, 
é mais fácil adaptar as etapas existentes ao nível de complexidade do problema 
em estudo do que incluir requisitos em outras metodologias que não são 
detalhadas/rigorosas. 
Na versão simplificada do processo de modelagem proposta por Sargent 
(2014), apresentada na Figura 3, o problema é o sistema real/proposto, ideia, 
situação, política ou fenômeno a ser modelado; o modelo conceitual é a 
representação matemática/lógica/gráfica do problema desenvolvido para um 
estudo específico; e o modelo computacional é o modelo conceitual 
implementado em um computador, ou seja, faz-se uso de uma linguagem de 
programação para implementar o modelo conceitual (com o devido rigor, é 
possível empregar software de simulação). 
 
 
14 
O modelo conceitual é desenvolvido na fase de análise e modelagem, o 
modelo computacional é desenvolvido na fase de programação computacional 
e implementação, e as inferências a respeito do problema são obtidas a partir 
de experimentos no modelo computacional na fase de experimentação. A partir 
da experimentação são estudados cenários, dos quais pode-se extrair subsídios 
para elaborar procedimentos a serem implementados. 
Além disso, os dados relacionados ao problema, após o devido tratamento 
estatístico, devem ser dados válidos para nortear o desenvolvimento do modelo 
conceitual e para serem empregados no modelo computacional. 
Figura 3 – Versão simplificada do processo de modelagem 
 
Fonte: Sargent (2014), adaptado. 
A validação do modelo conceitual tem por objetivo verificar o quanto a 
proposta do modelo está adequada ao processo em estudo. A verificação do 
modelo computacional é realizada para identificar a existência de algum erro 
na programação (ou no emprego do software). A validação operacional é 
realizada para avaliar se os dados obtidos com o modelo são coerentes com os 
dados reais. Após validado e verificado, o modelo está apto para ser usado. 
Agora, seria interessante você rever as fases indicadas no Tema 2 e 
procurar identificá-las nas diversas metodologias apresentadas acima. 
Saiba mais 
 
 
 
 
15 
Leia o Item 1.2 do livro texto e busque construir referenciais a partir das 
propostas de modelagem apresentadas. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788544302194/pa
ges/15>. 
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa 
operacional no ambiente de gestão. 2. ed. rev., atual. e ampl. Curitiba: 
Intersaberes, 2014. 
A respeito de modelagem, leia o Item 1.4 do TAHA. Disponível em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788576051503/pa
ges/3>. 
TAHA, Handy A. Pesquisa Operacional: uma visão geral. 8. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008. 
TEMA 5 – PROGRAMAÇÃO LINEAR (PL) 
Uma decisão é mais fácil de ser tomada quando se referência em uma 
quantidade, porque a decisão se torna dicotômica, ou seja, se aceita ou se rejeita 
a quantidade. Se uma empresa dispõe de dados numéricos apropriados a 
respeito de suas atividades, provavelmente será capaz de elaborar uma 
modelagem de PL. Um modelo de PL deve gerar, a princípio (pode não haver 
uma solução), uma resposta numérica específica, por exemplo com quais 
produtos de seu portfólio e em que quantidades se consegue o maior lucro. A 
PL tem por objetivo “alocar da melhor forma possível (isto é, de forma ótima) 
recursos limitados para atividades que competem entre si. [...] envolve 
selecionar o nível de certas atividades que competem por recursos escassos que 
são necessários par realizar essas mesmas atividades” (Hillier; Lieberman, 
2010), ou seja, definir o quanto cada recurso será consumido. Este tema tem por 
objetivo iniciar o estudo de programação linear, apresentando seu objetivo, suas 
aplicações, suas características e sua forma padrão. 
Histórico: um breve histórico da Programação Linear é apresentado a 
seguir: 
A Programação Linear foi desenvolvida conceitualmente após a 
Segunda Guerra Mundial, pelo soviético Kolmogorov, com o objetivo 
de resolver problemas de logística militares. A primeira aplicação de 
PL foi feita em 1945, por Stigler em um problema referente à 
composição de uma mistura. 
O grande marco na evolução dos estudos de PL, contudo, ocorreu em 
1947, com o desenvolvimento pelo jovem matemático Dantzig do 
 
 
16 
método que denominou “método simplex”. Dantzig, matemático da 
força aérea e em contato com questões relacionadas à logística 
percebeu que problemas que envolviam limitação de recursos podiam 
ser resolvidos por meio de uma sistemática de busca de solução ótima 
entre um conjunto de possíveis soluções. 
O rápido avanço dos computadores fez com que a Programação Linear 
passasse a ser utilizada como ferramenta de gestão empresarial. Tanto 
que o russo Kantorovich ganhou o Prêmio Nobel em Economia pelo 
desenvolvimento de conceitos de planejamento ótimo. 
Mais recentemente, em 1984, Karmakar desenvolveu um algoritmo 
que se tem mostrado superior ao simplex para a resolução de 
problemas extremamente grandes. Contudo, o método simplex 
continua sendo o mais utilizado nos dias de hoje, inclusive como base 
lógica das planilhas eletrônicas. (Corrar; Theóphilo; Bergmann, 2007) 
Programação linear: de forma objetiva, Hillier e Lieberman (2010) 
informam que, para descrever um problema, a programação linear faz uso de um 
modelo matemático e que “o adjetivo linear significa que todas as funções 
matemáticas nesse modelo são necessariamente funções lineares”. De forma 
semelhante, Lachtermacher (2009) registra que a programação linear é um ramo 
da programação matemática em que a função-objetivo e as restrições são 
representadas por funções lineares. 
A programação linear é um algoritmo que pode ser usado para solucionar 
problemas diários das empresas, pois estas se deparam rotineiramente com a 
escassez de produtos ou matérias-primas e, consequentemente, precisam 
determinar o melhor emprego (solução ótima) daqueles recursos escassos. A 
solução obtida pela programação linear é chamada de solução ótima (a melhor 
solução entre soluções possíveis), de acordo com o modelo matemático, pois 
determinará o emprego dos recursos escassos da forma mais eficiente e eficaz. 
A solução ótima (otimização do emprego de recursos) poderá resolver 
problemas em que seja necessário obter uma maximização ou uma 
minimização de uma determinada quantidade (lucro, custo, receita, tempo, 
quantidade de produtos...). Tal quantidade é chamada de objetivo, pois 
depende de um ou mais recursos escassos (Lachtermacher, 2009); é uma 
função matemática, com uma variável dependente (objetivo) e variáveis 
independentes (recursos escassos). 
Aplicações e objetivos: a programação linear pode ser aplicada em 
diversas áreas, como (Lachtermacher,2009; Andrade, 2009): 
 Na administração/problemas de produção 
 Na análise de investimentos 
 Na alocação de recursos limitados 
 
 
17 
 No planejamento regional 
 Na logística 
 No custo/organização de transportes 
 Na localização da rede de distribuição 
 Na designação de equipes 
 Em problemas de mistura de componentes 
Ao se fazer uso do algoritmo da programação linear, busca-se responder 
questões do tipo (Andrade, 2009): 
 Considerando as presentes condições de produção, ou seja, o cenário 
real, quais produtos e que quantidade, entre vários, devem ser produzidos 
para se obter o maior lucro possível? 
 Para atender determinadas especificações (restrições; limitações), qual é 
a composição da mistura (por exemplo: do alimento; da ração; da tinta...) 
que corresponde ao customínimo? 
 Definidas as localizações da produção, dos fornecedores e dos pontos de 
consumo, como estabelecer os circuitos de distribuição de modo a 
minimizar o custo total? Ou minimizar o tempo total? 
 Definidas as condições de trabalho, como designar o contingente de mão 
de obra entre as diferentes tarefas e especialidades, com o objetivo de 
minimizar as despesas ou maximizar a eficiência? 
 Definidas as condições de trabalho, como designar os equipamentos para 
atividades de forma a minimizar o tempo de operação ou minimizar as 
despesas? 
 Conhecido o valor nutricional dos alimentos que compõem uma ração, 
qual quantidade de cada um deve ser usada a fim de satisfazer condições 
nutricionais mínimas e dar ao animal o crescimento desejado ao custo 
mínimo? 
 Considerando determinadas condições de produção, quais insumos são 
plenamente usados? Quais insumos possuem estoque/disponibilidade 
para uso? 
Forma-padrão: diz-se que um problema de programação linear está na 
forma padrão se a formulação matemática está no seguinte modelo: 
Maximizar 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛, 
 
 
18 
sujeito às restrições 
 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑐1𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏1 
 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑐2𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏2 
 .................................................. 
 𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑚𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚 
e 
 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, ..., 𝑥𝑛 ≥ 0 
A terminologia comum para o modelo de programação linear é (Hillier; 
Lieberman, 2010): 
 Função objetivo: é a função 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 que está sendo 
maximizada. 
 Restrições: são as limitações do tipo 𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑖𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑖, com 
(𝑖 = 1, 2, … , 𝑚). 
 Restrições de não negatividade (ou condições não negativas): 𝑥𝑗 ≥ 0, com 
(𝑗 = 1, 2, … , 𝑛). 
 Constantes numéricas (números): 𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖 e 𝑐𝑗. 
 Variáveis de decisão: são as variáveis independentes 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, que se 
deseja conhecer; 𝑍 é a variável dependente. 
Em um primeiro momento, você pode considerar que a forma-padrão é 
uma “sopa de letras”, mas não se assuste. Lembre-se que, quando se inicia o 
estudo de um assunto novo, tudo parece difícil e complicado, mas, com o 
desenvolvimento do tema, a terminologia perderá o mistério e se tornará mais 
familiar. Você estudou outras disciplinas ‘diferentes’ e superou, não é verdade? 
Esta também será superada. 
Prosseguindo, Hillier e Lieberman (2010) apresentam de forma didática 
outras formas legítimas que podem fazer parte de problemas de programação 
linear. São as seguintes: 
1. Minimizar em vez de maximizar a função objetivo: 
Minimizar 𝑍 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛. 
2. Algumas restrições com desigualdades do tipo maior do que ou igual a: 
𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑖𝑛 𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑖 , para alguns valores de i, com (𝑖 = 1, 2, … , 𝑚). 
3. Algumas restrições na forma de equação: 
 
 
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𝑎𝑖1𝑥1 + 𝑎𝑖2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑖𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑖 , para alguns valores de i, com (𝑖 =
1, 2, … , 𝑚). 
4. Eliminar as restrições não negativas para algumas das variáveis de 
decisão: 
𝑥𝑗 irrestrita em sinal para alguns valores de j, com (𝑗 = 1, 2, … , 𝑛). 
Os autores destacam que qualquer problema que misture algumas dessas 
outras formas legítimas com as partes remanescentes do modelo na forma-
padrão ainda será um problema de programação linear. 
Entretanto, em razão dos objetivos da disciplina, os problemas a serem 
resolvidos serão os mais simples e didáticos possíveis. 
Hipóteses: a resolução de problemas de programação linear é 
referenciada nas seguintes hipóteses (Lachtermacher, 2007; Hillier; Lieberman, 
2010): 
 Proporcionalidade: o valor da função objetivo é diretamente proporcional 
ao nível de atividade de cada variável de decisão. Essa hipótese descarta 
qualquer expoente que não seja 1 para qualquer variável em qualquer 
termo de qualquer função (seja a função objetivo ou a função que se 
encontra do lado esquerdo na declaração de uma restrição). 
 Aditividade: as variáveis de decisão são entidades totalmente 
independentes, não pode haver interdependência entre elas, isto é, não 
pode haver termos cruzados (termos que envolvem o produto de duas ou 
mais variáveis), tanto na função objetivo como nas restrições. Toda 
função em um modelo de programação linear (seja a função objetivo ou a 
função que se encontra do lado esquerdo na declaração de uma 
restrição), é a soma das contribuições individuais das respectivas 
atividades. 
 Divisibilidade: qualquer variável de decisão pode assumir quaisquer 
valores, inclusive valores fracionários. 
 Certeza: pressuposto que todos os parâmetros do modelo (as constantes 
aij, bi e cj) são constantes conhecidas. Em aplicações reais, a hipótese da 
certeza raramente é satisfeita de forma precisa. Como haverá sempre um 
nível de incerteza, é importante realizar a análise de sensibilidade após 
uma solução ter sido classificada como ótima segundo os valores de 
parâmetros assumidos. 
 
 
20 
Saiba mais 
Agora, leia com atenção o Item 2.1 do livro texto. Na leitura, identifique 
a terminologia e o vínculo com o modelo de programação linear. Disponível 
em: 
<http://uninter.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788544302194/pa
ges/27>. 
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa 
operacional no ambiente de gestão. 2. ed. rev., atual. e ampl. Curitiba: 
Intersaberes, 2014. 
Se deseja ampliar o conhecimento sobre programação linear, acesse: 
<https://www.youtube.com/watch?v=IqVlEplz9G4>. Alguns conceitos 
apresentados no vídeo serão abordados na próxima aula. 
NA PRÁTICA 
A partir do que foi exposto nesta primeira aula, apresente no fórum um 
problema de forma mais detalhada possível e que seja recorrente em uma 
empresa de sua escolha. Em seguida, discuta com os demais alunos sobre a 
possibilidade de se empregar as fases de um estudo de pesquisa operacional. 
Como as fases seriam descritas? Como operacionalizar tais fases? 
Leia o caso de ensino sugerido, faça uma análise da situação e depois 
responda o solicitado. Terminadas a atividade de estudo, a análise e a 
elaboração da proposta de solução para o caso de ensino, você receberá uma 
resposta possível para o caso de ensino, proposta pelo professor que o elaborou. 
Orientações para realizar a atividade: 
1. Leia o caso de ensino atentamente e os temas da rota. 
2. Identifique no texto desta rota de aprendizagem quais conceitos-chaves 
que você utilizará para responder as questões apresentadas no caso de 
ensino. 
3. Compreenda que os conceitos são subsídios/ferramentas que te 
auxiliarão na solução do problema apresentado. 
4. Bons estudos e bom trabalho! 
Caso de Ensino nº 1: A padaria Le Petit Pain 
A Le Petit Pain está localizada em um bairro onde a maioria da população 
é composta por pessoas com mais de 60 anos. Os pães vendidos pela padaria 
 
 
21 
são famosos na cidade e, por isto, no fim do dia, há clientes de outros bairros, o 
que tem incrementado as vendas e também as reclamações dos moradores do 
bairro em razão do tempo gasto em fila. 
Os moradores locais preferem comprar na Le Petit Pain em razão da sua 
localização, mas, para evitar as filas, anteciparam o horário de suas compras, no 
período da tarde. Agora, a mudança da frequência gerou um problema para a 
gerência da padaria. A Le Petit Pain nem sempre consegue produzir a 
quantidade adequada de pães para atender os moradores do bairro nem os 
outros consumidores, pois há dias em que há falta de pães, e em outros dias há 
excesso de produção de pães. Se você fosse o gerente da Le Petit Pain, que 
ações desenvolveria para resolver o problema? 
Respostas possíveis: 
Para ocaso de ensino apresentado, é possível propor soluções em dois 
cenários. 
Cenário 1: Redução do tempo gasto em fila (recurso escasso: caixas) 
 Avaliar a situação atual, levantando dados referentes a: chegada de 
clientes (quantidade, horário e dia da semana); tempo gasto em fila; tempo 
gasto pelo caixa em atendimento; 
 Realizar o tratamento estatístico dos dados, preferencialmente por dia da 
semana e horário. 
 Soluções possíveis: 
o Aumentar o número de caixas no período de maior frequência; 
o Separar pelo menos um caixa como preferencial no período de maior 
frequência; 
o Treinar os caixas a fim de reduzir o tempo de atendimento; 
 Verificar se a solução implementada resolve o problema. 
Cenário 2: Produção de quantidade adequada de pães (recurso escasso: pães) 
 Avaliar a situação atual, levantar dados referentes a: chegada de clientes 
(quantidade, horário e dia da semana); produção de pães (quantidade por 
horário e dia da semana); 
 Realizar o tratamento estatístico dos dados, preferencialmente por dia da 
semana e horário. 
 Solução possível: produzir a quantidade de pães em compatibilidade com 
a provável frequência dos clientes. 
 Verificar se a solução implementada resolve o problema. 
FINALIZANDO 
Nesta primeira aula, foram apresentados diversos conceitos sobre PO, 
provavelmente conceitos desconhecidos. Entre o que foi apresentado, é 
importante realçar as seguintes ideias-chave: os recursos são escassos, mas 
podem ser melhor empregados/alocados; para obter uma solução mais 
consistente para um problema, é necessário dispor de dados para empregá-los 
 
 
22 
em uma metodologia que possua uma sequência de etapas organizadas (um 
algoritmo) e bem definidas; modelos já elaborados são melhor empregados para 
solucionar problemas mais simples; e usar um processo de modelagem para 
solucionar problemas mais complexos. Por fim, o estudo de Programação Linear 
foi iniciado e será aprofundado nas próximas aulas. 
Os objetivos do caso de ensino são fazer o aluno elaborar a solução conforme 
as fases de um estudo de PO e identificar intuitivamente qual é o recurso 
escasso. Como o problema foi previamente definido, esperava-se que o aluno 
identificasse a necessidade de dispor de dados quantitativos para poder 
elaborar propostas de solução mais consistentes. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
ANDRADE, E. L. de. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos 
para análise de decisões. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
CHWIF, L.; MEDINA, A. C. Modelagem e simulação de eventos discretos: 
teoria & prática. 2. ed. São Paulo: Ed dos Autores, 2006. 
CORRAR, L. J.; THÉOPHILO, C. R.; BERGMANN, D. R. Programação linear. In: 
CORRAR, L. J.; THÉOPHILO. Pesquisa operacional para decisão em 
contabilidade e administração: contabilometria. 1. ed. 3. reimp. São Paulo: 
Atlas, 2007. 
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9. ed. 
Porto Alegres: McGraw-Hill, 2010 
LACHTERMARCHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões: 
modelagem em Excel. 4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009. 
MICHAELIS. Dicionário da língua portuguesa. São Paulo: Editora 
Melhoramentos, 2001. 
SARGENT, R. G. Verification and Validation of Simulation Models. In: 
Proceedings of 2014 Winter Simulation Conference, 2014, Savannah, GA. pp 
118-131. Disponível em: 
<http://informssim.org/wsc14papers/includes/files/013.pdf>. Acesso em: 22 nov. 
2017. 
SOCIEDADE Brasileira De Pesquisa Operacional (SOBRAPO). Disponível em: 
<http://www.sobrapo.org.br/>. Acesso em: 22 nov. 2017.