SolucaoProva1_EEL_Resek

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
1a PROVA DE FIS403 - F´ısica Geral III 2o Semestre de 2011.
1a QUESTA˜O) (40 pontos) Um anel possui densidade superficial
de carga uniforme dada por σ e tem raios interno a e externo b
como mostrado na figura ao lado. a) Se o eixo z corresponde exa-
tamente ao eixo de simetria do anel, encontre o potencial ele´trico
V em qualquer ponto sobre esse eixo. b) A partir do resultado
anterior, encontre o campo ele´trico E em qualquer ponto em z.
c) Considere uma part´ıcula com carga −q de sinal oposto ao da
carga do disco localizada em um ponto z = d, calcule a forc¸a sobre
essa part´ıcula e, a seguir, verifique que se d << b (e consequen-
temente d << a) a forc¸a e´ da forma F = −Kd zˆ e determine a
constante K.
Soluc¸a˜o a) Temos
V (r) = V (z) =
1
4piε0
∫
S′
σ(r′)
|r− r′| dS
′, onde r = z zˆ, r′ = ρ′ ρˆ, |r− r′| = (z2+ρ′2)1/2, dS ′ = ρ′ dρ′ dϕ′;
Assim
V (z) =
σ
4pi�0
∫ 2pi
0
∫ b
a
1
(z2 + ρ′2)1/2
ρ′ dρ′ dϕ′ =
σ
2�0
(√
b2 + z2 −
√
a2 + z2
)
.
b) O campo ele´trico sera´
E(z) = −∇V = −∂V
∂z
zˆ = zˆ
σz
2�0
[
1√
a2 + z2
− 1√
b2 + z2
]
c) A forc¸a sobre a carga −q sera´
F = (−q)E(d) = −zˆ qσd
2�0
[
1√
a2 + d2
− 1√
b2 + d2
]
.
Para d << a, podemos aproximar
√
a2 + d2 desprezando d2 em face a a2: a2 + d2 ≈ a2, o mesmo se
aplicando a b2 + d2. Ficamos com
F = −zˆ qσd
2�0
(
1
a
− 1
b
)
= −zˆ qσ(b− a)
2�0ab︸ ︷︷ ︸
K
d.
2a QUESTA˜O) (40 pontos) Considere um plano infinito carregado com densidade superficial uni-
forme de cargas σ localizado no plano xy (z = 0). Para z > 0, seu campo ele´trico e´ dado por
E = (σ/2�0) zˆ. Se um dipolo ele´trico de mo´dulo p esta´ no plano yz e faz inicialmente um aˆngulo de
pi
3
com relac¸a˜o ao eixo z, calcule: a) A forc¸a resultante exercida sobre o dipolo; b) O vetor torque
sobre o dipolo e c) a energia necessa´ria para girar o dipolo ate´ um aˆngulo de pi
2
em relac¸a˜o a z.
Soluc¸a˜o a) A forc¸a e o torque sobre o dipolo sa˜o respectivamete F = ∇(p ·E) e τ = p×E. Assim
a)
F =∇
(
p
σ
2�0
cos
pi
3
)
=⇒ F = 0.
τ = p
(
yˆ sen
pi
3
+ zˆ cos
pi
3
)
×zˆ σ
2�0
= xˆ
√
3pσ
4�0
c) O trabalho realizado sobre o dipolo sera´ a diferenc¸a entre suas energias potenciais nos estados
inicial e final. Como U = −p ·E, vem
W = Uf − Ui = 0− (−p ·E)i = pE cos pi
3
=
pσ
4�0
3a QUESTA˜O) (30 pontos) Considere 3 part´ıculas ideˆnticas,
cada uma com carga Q e massa m, inicialmente distribu´ıdas na
forma de um triaˆngulo equila´tero como mostrado na figura ao lado.
a) Calcule o trabalho realizado ao se mover a carga localizada no
ponto P1 para o ponto P2. b) Se a mesma carga for abandonada
em repouso no ponto P1, qual sera´ sua velocidade final quando
estiver muito afastada da distribuic¸a˜o de cargas?
Soluc¸a˜o A energia potencial ele´trica do sistema na configurac¸a˜o inicial e´
U0 = 3
Q2
4pi�0a
.
a) Na nova configurac¸a˜o, a energia sera´
U1 = 2
Q2
4pi�0a
+
Q2
4pi�0
√
2a
=
Q2
4pi�0a
(
2 +
1√
2
)
.
a) O trabalho necessa´rio e´ a diferenc¸a entre as energias final e inicial:
W = U1 − U0 = Q
2
4pi�0a
(
−1 + 1√
2
)
= − Q
2
8pi�0a
(
2−
√
2
)
b) Se soltarmos a part´ıcula em P1, ela sera´ acelerada pela forc¸a ele´trica de repulsa˜o das demais
cargas. Pela conservac¸a˜o da energia, podemos escrever
2
Q2
4pi�0a︸ ︷︷ ︸
energia da carga em P1
+
1
2
mv20︸ ︷︷ ︸
=0
= 0 +
1
2
mv2,
pois a energia potencial da carga pode ser desprezada quando ela se encontrar muito distante das
demais. Obtemos
v =
Q√
pi�0am