Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Componente Curricular: Cálculo I – 2° Semestre/2014 Prof(a): Kelly Pereira Duarte e-mail: kelly@fahor.com.br Limites e Continuidades Introdução ao cálculo Historicamente, o desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716) resultou da investigação dos seguintes problemas: 1. Encontrar a reta tangente a uma curva em um dado ponto desta curva (figura 1.1a). 2. Encontrar a área da região plana limitada por uma curva arbitrária (figura 1.1b). Pode aparecer que o problema da reta tangente não esteja relacionado a nenhuma aplicação prática, mas como você verá mais tarde, o problema de se encontrar a taxa de variação de uma quantidade em relação à outra é matematicamente equivalente ao problema geométrico de se encontrar a declividade da reta tangente a uma curva num dado ponto da curva. Foi precisamente a descoberta da relação entre estes dois problemas que alavancou o desenvolvimento do cálculo no século XVII, transformando-o numa ferramenta indispensável para a solução de problemas práticos. Eis aqui alguns exemplos de tais problemas: * Encontrar a velocidade de um objeto. * Encontrar a taxa de variação de uma população de bactérias em relação ao tempo. * Encontrar a taxa de variação do lucro de uma companhia em relação ao tempo. * Encontrar a taxa de variação do faturamento de uma agência de viagens em relação ao gasto da agência em publicidade. Idéia intuitiva de limite Para definir derivada de uma função, é necessário que se tenha antes uma idéia ao menos intuitiva de limite de função e será suficiente a análise de alguns exemplos para que isso ocorra. Exemplo 1: Dada a função y = x + 2, pode-se observar no gráfico da figura 2.1 quais são os valores que y assume quando x esta próximo de 2. Verifica-se que y assume valores próximos de 4. Diz-se, então, que y tende a 4 quando x tende a 2 ou que o limite da função y é 4 quando x tende a 2 e escreve-se simbolicamente com a notação: 4lim 2 x y x 2- (esquerda) f (x) = x + 2 x 2+ (direita) f (x)= x+ 2 1,5 2,5 1,8 2,2 1,9 2,1 1,99 2,01 1,9999 2,001 2 Exemplo 2: Observe agora, a função Montante de capital de R$ 1.000,00 a taxa de juros simples de 5% ao mês, supondo que os juros não são calculados por fração de período. Então, o montante permanece igual por um mês para depois salta bruscamente para um valor maior e novamente permanecer igual por um mês. A função é M = C + C.i.n = 1.000 + 50n, onde n é o tempo em meses, e seu gráfico pode ser visto na figura 2.4. O que acontece com os valores de M quando n tem valores próximos de 3? A pergunta não tem uma resposta única. Se n está próximo de 3, mas é menor que 3, M é 1.100. Se n está próximo de 3, mas é maior que 3, M é 1.150. Nesse caso, diz-se que não existe o limite de M quando n tende a 3 ou, simbolicamente: não existe M n 3 lim Exemplo 3 : Seja a função x y 1 que não é definida para x = 0 e observa-se , no gráfico da figura 2.5, qual é o limite de y quando x tende a zero. Novamente, acontece o mesmo que se observou no caso anterior. Se x < 0, os valores de y são cada vez menores, quando x tende a zero e diz-se que y tende a . Se x > 0, os valores de y ficam cada vez maiores à medida que x se aproxima de zero, isto é, y tende a . Como a resposta não é única, diz-se também nesse caso que não existe o limite de y quando x tende a zero, isto é, não existe .lim 0 y x Figura 2.5 3 Exemplo 4: Suponha-se, agora que há interesse em determinar o limite de uma função quando x tende a , isto é, x assume valores cada vez maiores ou, quando x tende a - , isto é, x assume valores cada vez menores. Observe, por exemplo, o gráfico da função f(x) = 3 2 1 x reproduzido na figura 2.6 O gráfico aproxima-se cada vez mais da reta y = 3, quando x cresce, e assume valores cada vez maiores, ou seja, quando x tende a . Quando x tende a - , o gráfico aproxima-se também de y = 3. .....................)(lim xf x .....................)(lim xf x Observe o que acontece quando x tende a –2 pela direita e pela esquerda. .......................)(lim .......................)(lim .......................)(lim 2 2 2 xf xf xf x x x Exemplo 5: Seja a função representada graficamente, determine os limites observando no gráfico. .....................................................)(lim) .....................................................)(lim) .....................................................)(lim) .....................................................)(lim) : 4 4 xfd xfc xfb xfa Calcule x x x x Figura 2.6 x y 4 1) 3 1 x y Exemplo 6 Para cada uma das funções na fig. 1 determine se )(lim 2 xg x existe. Observar 2- e 2+. Exercícios 01 Observe os gráficos de cada uma das funções e determine os limites pedidos, se existirem: ...............................................lim) 3 ya x ...............................................lim) 3 yb x ...............................................lim) 3 yc x d) x ylim ...................................................... ................lim) 5 x ya 2) ............lim) 2 yb x ......... ..........lim) 0 yc x .............. yc x 3 lim) ......................... 5 3) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se existir: a) ....................................)(lim 2 xf x b) ....................................)(lim 2 xf x c) ...............)(lim xf x d) ....................................)(lim xf x 4) Seja a função y = x 3 2 definida pelo gráfico: Observe o gráfico e calcule, se existir: a) ...............lim y x b) ................lim y x LIMITE DE UMA FUNÇÃO Limite de uma função Definição 1. Limite de uma função y = f (x) significa avaliar o comportamento desta função quando x aproxima-se de algum valor, sem necessariamente assumi-lo. Definição 2. Dada uma função y = f (x), a teoria dos limites estuda a que valor tende y, a medida em que x tender a um determinado valor xo. Se x xo tanto pela direita como pela esquerda e y tender a um mesmo valor L então dizemos que: lim ( )f x L x x 0 . Exemplos 1) Considere a função 1x 3xx2 )x(f 2 com x 1, analise o comportamento da mesma a medida que a variável x se aproxima de 1. como 5)(lim então 5)(lim5)(lim 1 11 xfxfexf x xx . Observamos que, na medida em que x fica cada vez mais próximo de 1, a função f(x) torna-se cada vez mais próxima de 5. x 1- f (x) 0,75 4,5 0,9 0,99 0,999 x 1+ f (x) 1,25 5,5 1,1 5,2 1,01 5,02 1,001 5,002 6 Propriedades dos limites: Suponha que lim ( ) lim ( ) x a x a f x L e g x M , então: 1. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x L M 2. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x g x f x g x L M 3. lim . ( ) . lim ( ) . x a x a c f x c f x c L 4. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a x a f x g x f x g x L M g x 0 5. lim ( ) lim ( ) x a c x a c cg x g x M 6. cclim ax 7. axlim ax 8. bma)bmx(lim ax Determinação do limite de uma função: Quando x a, sendo a um nº real qualquer: A função pode ser algébrica ou fracionária, basta substituir o x pelo valor ao qual ele tende e efetuar. Exemplo Use os teoremas de limites para calcular os seguintes limites: a) lim x x 2 3 1 b) lim x x x 3 2 7 c) lim x x x 0 1 4 d) lim x x 3 2 2 Indeterminações No estudo dos limites devemos considerar operações onde algumas delas recaem em expressões que são chamadas de indeterminações. Expressões como, por exemplo: 0 0 ; 0 ; ; ; 00; ;1 .0 Assim em diversos limites nos defrontamos com situações de indeterminações do tipo acima e “escapamos” delas através de manipulações algébricas (artifícios algébricos) tais como, por exemplo: 1. Fatorar a função fracionária e simplificar; 2. Dividir numerador pelo denominador ou vice-versa (considera-se o polinômio de maior grau). 3. Usa-se a racionalização no caso de radicais. 7 Convém, antes de darmos novos exemplos, lembrarmos algumas fórmulas de fatoração: I) ))((22 bababa II) 222 )(2 bababa 222 )(2 bababa III) 21 2 xxxxacbxax IV) 2233 babababa 2233 babababa V) Briot-Ruffin nos casos de polinômios com Grau 3, 4,..... 321 xxxxxxa Exemplos de Indeterminação quando x tende a um número real. 1. x2 xx lim 3 0x 2. 1x 3xx2 lim 2 1x 3. 2xx 2x lim 22x 4. 2 4 lim 2 4 x x x 5) 4 23 lim 2 3 2 x xx x 6. 562 32 lim 23 2 1 xxx xx x 7) x x x 24 lim 0 8) Seja a função f definida por: .Calcule )(lim 1 xf x . Solução: 8 Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a “a”, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de “a” e não ocorre com a função quando x = “a”, temos : 1)2(lim 1 )2)(1( lim 1 23 lim)(lim 11 2 11 x x xx x xx xf xxxx LIMITES LATERAIS Ao considerarmos )(lim xf ax estamos interessados nos valores de x em um intervalo aberto contendo a, mas não no próprio a; isto é, em valores de x próximos de a e maiores ou menores que a. Definição 01: Seja uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escrevemos .)(lim Lxf ax Definição 02: Seja uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para a, e escrevemos .)(lim Lxf ax Teorema: Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então Lxf ax )(lim , se e somente se Lxf ax )(lim e Lxf ax )(lim . Exemplos: 1) Seja 29 2,1 )( 2 2 xparax xparax xf . Determinar, se existirem, )(lim)(lim 22 xfexf xx , e concluir )(lim 2 xf x . 2) Determine o limite unilateral caso eles existem 12 14 )( 2 2 xx xx xf 9 Operações envolvendo No estudo dos limites devemos considerar as operações envolvendo , que não são válidas para cálculos algébricos. (obs: c é um número real) Adição e subtração Multiplicação Divisão Potência c + = c - = - + = - - = - - =indeterminação - c = c . = c . (-) = - . = . (-) = - . 0=indeterminação /c = -/c = - c / = 0 c / 0 = 0/0 = indeterminação / =indeterminação c cc coc cc cc 1 01 010 1 0c= 0 c 0 0= 0 = c0=1 c 0 00= indeterminação 0= indeterminação 1 = indeterminação LIMITES NO INFINITO: “X TENDE AO INFINITO” Analisamos até este momento limites de funções quando x tende a um determinado valor “a”, observamos que em alguns casos a função é ilimitada, ou seja, tende ao infinito. Passamos a analisar limites de funções quando x tende ao infinito. Exemplo 01: a) 1 x x lim x = causa indeterminação, simplificando temos x x x lim x 1 1 = 1 1 1 = 1, ou seja, a medida em que x tende ao infinito, f(x) se aproxima de 1 e temos então uma assíntota horizontal. Observe: x f (x) 10 0,9 100 0,99 1000 0,999 10000 0,9999 b) )2( 1 )( x xf .................................... )2( 1 lim xx 10 Exemplo 02 * Colocar o termo de maior grau em evidência do numerador e denominador, e simplificar. b) Calcular o 52 34 lim x x x e esboçar o gráfico da função mostrando as assíntotas. Exemplos de Indeterminação quando x tende mais infinito ou menos infinito. Exemplos. 1) Calcule os seguintes limites: a) 12 16 lim x x x b) 9542lim 23 xxx x c) 1782 9754 lim 2 23 xx xxx x d) 1 1 lim 2 xx LIMITES INFINITOS Seja f uma função definida em todo número R no intervalo aberto I contendo a, exceto, possivelmente, no próprio a. Quando x se aproxima dea, f(x) cresce ou decresce ilimitadamente, o que pode ser escrito como: )(lim xf x ou )(lim xf x . Exemplo 1) a) 2)2( 3 )( x xf x 2- f (x) 1,9999 -1 1,999 1,99 1,9 x 2+ f (x) 2,0001 -1 2,001 2,01 2,1 11 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Uma função f(x) é contínua em x = a, desde que a seguinte igualdade seja verdadeira. )()(lim afxf ax (1) Para que (1) se sustente, três condições precisam ser satisfeitas: (i) f(a) existe; (ii) ax )x(flim existe; [ )(lim)(lim xfxf axax ] (iii) ax )x(flim = f(a). Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em “a”, a função f será descontínua em “a” Dizemos que uma função é contínua em x = a, se (grosso modo) o gráfico da função não tem quebras (ou pulos) quando ele passa pelo ponto (a, f(a)). Isto é, f(x) é contínua em x = a, se pudermos desenhar o gráfico através do ponto (a, f(a)) sem tirar nosso lápis do papel. Observe as figuras e julgue-as. 12 Exercícios 1) Nos problemas a seguir: (a) trace o esboço do gráfico das funções dadas; (b) use a definição de continuidade e diga se a função é contínua em a. 1. f(x) = 3 39 35 a xsex xsex 2. f(x) = 0 01 00 01 a xse xse xse 3. f(x) = 1a 1xsex3 1xsex3 4. f(x) = 1a 1xsex 1xsex2 2 2 23 23 )()62 24 24 24 )()5 2 2 a xsex xsex xfa xsex xse xsex xf Gabarito: 1) D 2) D 3) D 4) C 5) D 6) D gráficos abaixo Gabarito Gráficos:
Compartilhar