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Unidade 6 - Limites e Continuidades

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1 
 
Componente Curricular: Cálculo I – 2° Semestre/2014 
Prof(a): Kelly Pereira Duarte 
e-mail: kelly@fahor.com.br 
 
Limites e Continuidades 
 
Introdução ao cálculo 
 
Historicamente, o desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716) 
resultou da investigação dos seguintes problemas: 
 
1. Encontrar a reta tangente a uma curva em um 
dado ponto desta curva (figura 1.1a). 
 
2. Encontrar a área da região plana limitada por 
uma curva arbitrária (figura 1.1b). 
 
 
 Pode aparecer que o problema da reta 
tangente não esteja relacionado a nenhuma 
aplicação prática, mas como você verá mais tarde, 
o problema de se encontrar a taxa de variação de 
uma quantidade em relação à outra é 
matematicamente equivalente ao problema 
geométrico de se encontrar a declividade da reta 
tangente a uma curva num dado ponto da curva. 
Foi precisamente a descoberta da relação entre 
estes dois problemas que alavancou o desenvolvimento do cálculo no século XVII, transformando-o numa ferramenta 
indispensável para a solução de problemas práticos. Eis aqui alguns exemplos de tais problemas: 
 
* Encontrar a velocidade de um objeto. 
* Encontrar a taxa de variação de uma população de bactérias em relação ao tempo. 
* Encontrar a taxa de variação do lucro de uma companhia em relação ao tempo. 
* Encontrar a taxa de variação do faturamento de uma agência de viagens em relação ao gasto da agência em 
publicidade. 
 
Idéia intuitiva de limite 
Para definir derivada de uma função, é necessário que se tenha antes uma idéia ao menos intuitiva de limite de 
função e será suficiente a análise de alguns exemplos para que isso ocorra. 
 
 Exemplo 1: 
Dada a função y = x + 2, pode-se observar no gráfico da figura 2.1 quais são os valores que y assume quando 
x esta próximo de 2. 
Verifica-se que y assume valores próximos de 4. Diz-se, então, que y tende a 4 quando x tende a 2 ou que o 
limite da função y é 4 quando x tende a 2 e escreve-se simbolicamente 
com a notação: 
4lim
2

x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x  2- 
 (esquerda) 
f (x) = x + 2 x  2+ 
(direita) 
f (x)= x+ 2 
1,5 2,5 
1,8 2,2 
1,9 2,1 
1,99 2,01 
1,9999 2,001 
 2 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 Observe agora, a função Montante de capital de R$ 1.000,00 a taxa de juros simples de 5% ao mês, supondo 
que os juros não são calculados por fração de período. Então, o montante permanece igual por um mês para depois 
salta bruscamente para um valor maior e novamente permanecer igual por um mês. 
 
A função é M = C + C.i.n = 1.000 + 50n, onde n é o tempo em meses, e seu gráfico pode ser visto na figura 
2.4. 
 
 
O que acontece com os valores de M quando n tem valores próximos de 3? 
A pergunta não tem uma resposta única. Se n está próximo de 3, mas é menor que 3, M é 1.100. 
Se n está próximo de 3, mas é maior que 3, M é 1.150. Nesse caso, diz-se que não existe o limite de M quando n tende 
a 3 ou, simbolicamente: não existe 
M
n 3
lim

 
 
Exemplo 3 : 
 Seja a função 
x
y
1

 que não é definida para x = 0 e observa-se , no gráfico da figura 2.5, qual é o limite de y 
quando x tende a zero. 
 
 
 
 
 Novamente, acontece o mesmo que se observou no caso anterior. Se x < 0, os valores de y são cada vez 
menores, quando x tende a zero e diz-se que y tende a 

. Se x > 0, os valores de y ficam cada vez maiores à 
medida que x se aproxima de zero, isto é, y tende a 

. 
 
 Como a resposta não é única, diz-se também nesse caso que não existe o limite de y quando x tende a zero, 
isto é, não existe 
.lim
0
y
x
 
 
 
Figura 2.5 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
Suponha-se, agora que há interesse em determinar o limite de uma função quando x tende a 

, isto é, x 
assume valores cada vez maiores ou, quando x tende a -

, isto é, x assume valores cada vez menores. 
 Observe, por exemplo, o gráfico da função f(x) = 
3
2
1

x
 reproduzido na figura 2.6 
 O gráfico aproxima-se cada vez mais da reta y = 3, quando x cresce, e assume valores cada vez maiores, ou 
seja, quando x tende a 

. Quando x tende a -

, o gráfico aproxima-se também de y = 3. 
 
.....................)(lim 

xf
x
 
.....................)(lim 

xf
x
 
 
 Observe o que acontece quando x tende a –2 pela direita e pela esquerda.

















.......................)(lim
.......................)(lim
.......................)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: 
Seja a função representada graficamente, determine os limites observando no gráfico. 
 
 
 
.....................................................)(lim)
.....................................................)(lim)
.....................................................)(lim)
.....................................................)(lim)
:
4
4









xfd
xfc
xfb
xfa
Calcule
x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 
x 
y 
 4 
1) 
3
1


x
y
 
 
 
 
Exemplo 6 Para cada uma das funções na fig. 1 determine se 
)(lim
2
xg
x
 existe. Observar 2- e 2+. 
 
 
Exercícios 01 
 
Observe os gráficos de cada uma das funções e determine os limites pedidos, se existirem: 
 
...............................................lim)
3


ya
x
 
...............................................lim)
3


yb
x
 
...............................................lim)
3


yc
x
 
d) 

x
ylim
...................................................... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
................lim)
5

x
ya
 2) 
 
............lim)
2


yb
x
......... 
 
..........lim)
0


yc
x
.............. 
 


yc
x 3
lim)
......................... 
 
 
 
 
 5 
3) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 Intuitivamente, encontre se existir: 
a) 
....................................)(lim
2


xf
x
 
 
b) 
....................................)(lim
2


xf
x
 
 
c) 
...............)(lim 

xf
x
 
 
d) 
....................................)(lim 

xf
x
 
 
4) Seja a função y = x






3
2 definida pelo gráfico: Observe o gráfico e calcule, se existir: 
a) 
...............lim 

y
x
 
 
 
b) 
................lim 

y
x
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 
 Limite de uma função 
 Definição 1. Limite de uma função y = f (x) significa avaliar o comportamento desta função quando x 
aproxima-se de algum valor, sem necessariamente assumi-lo. 
 
 Definição 2. Dada uma função y = f (x), a teoria dos limites estuda a que valor tende y, a medida em que x 
tender a um determinado valor xo. Se x  xo tanto pela direita como pela esquerda e y tender a um mesmo valor L 
então dizemos que: 
lim ( )f x L
x x

0
. 
 
Exemplos 
1) Considere a função 
 1x
3xx2
)x(f
2


 com x  1, analise o comportamento da mesma a medida que a 
variável x se aproxima de 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
como 
5)(lim então 5)(lim5)(lim
1
11



xfxfexf
x
xx
 . 
Observamos que, na medida em que x fica cada vez mais próximo de 1, a função f(x) torna-se cada vez mais 
próxima de 5. 
 
x  1- f (x) 
0,75 4,5 
0,9 
0,99 
0,999 
 
 
x  1+ f (x) 
1,25 5,5 
1,1 5,2 
1,01 5,02 
1,001 5,002 
 
 6 
Propriedades dos limites: 
 
Suponha que 
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x L e g x M
 
 
, então: 
1. 
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
    
 
 
2. 
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x L M
  
    
 
 
3. 
lim . ( ) . lim ( ) .
x a x a
c f x c f x c L
 
 
 
 
4. 
lim
( )
( )
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x a
x a
x a
x a
f x
g x
f x
g x
L
M
g x




   0
 
 
5. 
 lim ( ) lim ( )
x a
c
x a
c
cg x g x M
 






 
 
 
6. 
cclim
ax


 
 
7. 
axlim
ax


 
 
8. 
bma)bmx(lim
ax


 
 
Determinação do limite de uma função: 
 Quando x  a, sendo a um nº real qualquer: 
 A função pode ser algébrica ou fracionária, basta substituir o x pelo valor ao qual ele tende e efetuar. 
 
Exemplo 
Use os teoremas de limites para calcular os seguintes limites: 
a) 
lim
x x 2
3
1
 b) 
lim
x
x x

 
3
2 7
 
 
 
 
c) 
lim
x
x
x

0
1
4
 d) 
lim
x
x


3
2 2
 
 
 
 
 
Indeterminações 
 No estudo dos limites devemos considerar operações onde algumas delas recaem em expressões que são 
chamadas de indeterminações. Expressões como, por exemplo: 
0
0
; 
0
; 


; 

; 00; 
;1
.0
 
 Assim em diversos limites nos defrontamos com situações de indeterminações do tipo acima e “escapamos” 
delas através de manipulações algébricas (artifícios algébricos) tais como, por exemplo: 
 
1. Fatorar a função fracionária e simplificar; 
2. Dividir numerador pelo denominador ou vice-versa (considera-se o polinômio de maior grau). 
3. Usa-se a racionalização no caso de radicais. 
 7 
Convém, antes de darmos novos exemplos, lembrarmos algumas fórmulas de fatoração: 
I)
))((22 bababa 
 
II)
222 )(2 bababa 
 
 
222 )(2 bababa 
 
III)
  21
2 xxxxacbxax 
 
IV) 
    2233 babababa 
 
 
    2233 babababa 
 
V) Briot-Ruffin nos casos de polinômios com Grau 3, 4,..... 
 
   321 xxxxxxa 
 
 
Exemplos de Indeterminação quando x tende a um número real. 
 
1. 
x2
xx
lim
3
0x


 
 
2. 
1x
3xx2
lim
2
1x 


 
 
3. 
2xx
2x
lim
22x 


 
 
4. 
2
4
lim
2
4 

 x
x
x
 
5) 
4
23
lim
2
3
2 

 x
xx
x
 
 
 
 
6. 
562
32
lim
23
2
1 

 xxx
xx
x
 
 
 
 
 
7) 
x
x
x
24
lim
0


 
 
 
 
 
 
8) Seja a função f definida por: .Calcule 
)(lim
1
xf
x
. 
Solução: 
 8 
 Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a “a”, interessa o 
comportamento da função quando x se aproxima de “a” e não ocorre com a função quando 
x = “a”, temos : 
 
1)2(lim
1
)2)(1(
lim
1
23
lim)(lim
11
2
11








x
x
xx
x
xx
xf
xxxx
 
 
 
LIMITES LATERAIS 
 
 Ao considerarmos 
)(lim xf
ax
estamos interessados nos valores de x em um intervalo aberto 
contendo a, mas não no próprio a; isto é, em valores de x próximos de a e maiores ou menores 
que a. 
 
Definição 01: Seja uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um número L 
é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escrevemos 
.)(lim Lxf
ax


 
 
Definição 02: Seja uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número L 
é o limite à esquerda da função f quando x tende para a, e escrevemos 
.)(lim Lxf
ax


 
 
Teorema: Se f é definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no ponto a, 
então 
Lxf
ax


)(lim
, se e somente se 
Lxf
ax


)(lim
 e 
Lxf
ax


)(lim
. 
 
Exemplos: 
1) Seja 








29
2,1
)(
2
2
xparax
xparax
xf
. Determinar, se existirem, 
)(lim)(lim
22
xfexf
xx  
, e 
concluir 
)(lim
2
xf
x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o limite unilateral caso eles existem 






12
14
)(
2
2
xx
xx
xf
 
 
 
 
 9 
 
 
Operações envolvendo   
 No estudo dos limites devemos considerar as operações envolvendo , que não são válidas para cálculos 
algébricos. (obs: c é um número real) 
Adição e subtração Multiplicação Divisão Potência 
c +  =  
c -  = - 
 + =  
- -  = -  
- =indeterminação 
 - c =  
c .  =  
c . (-) = - 
 .  =  
 . (-) = - 
 . 0=indeterminação 
/c =  
-/c = -  
c /  = 0 
c / 0 =  
0/0 = indeterminação 
/ =indeterminação 
 
c 
















cc
coc
cc
cc
1
01
010
1
 
0c= 0 c  0 
0= 0 
 =  
c0=1 c  0 
00= indeterminação 
0= indeterminação 
1 = indeterminação 
 
LIMITES NO INFINITO: “X TENDE AO INFINITO” 
 
Analisamos até este momento limites de funções quando x tende a um determinado valor “a”, observamos que 
em alguns casos a função é ilimitada, ou seja, tende ao infinito. 
 Passamos a analisar limites de funções quando x tende ao infinito. 
Exemplo 01: 
a) 
1 x
x
lim
x
 = 


 causa indeterminação, simplificando temos 
 








x
x
x
lim
x 1
1
= 


1
1
1
 = 1, ou seja, a 
medida em que x tende ao infinito, f(x) se 
aproxima de 1 e temos então uma assíntota 
horizontal. 
 
Observe: 
x f (x) 
10 0,9 
100 0,99 
1000 0,999 
10000 0,9999 
 
 
 
b) 
)2(
1
)(


x
xf
 
 
....................................
)2(
1
lim 
 xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
Exemplo 02 
 
* Colocar o termo de maior grau em evidência do numerador e denominador, e simplificar. 
b) Calcular o 
52
34
lim


 x
x
x
 e esboçar o gráfico da função mostrando as assíntotas. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de Indeterminação quando x tende mais infinito ou menos infinito. 
 
Exemplos. 
1) Calcule os seguintes limites: 
a) 
12
16
lim


 x
x
x
 
 
b) 
9542lim 23 

xxx
x
 
 
 
 
 c) 
1782
9754
lim
2
23


 xx
xxx
x
 
 
 
 
d) 
1
1
lim
2  xx
 
 
 
LIMITES INFINITOS 
 Seja f uma função definida em todo número R no intervalo aberto I contendo a, exceto, 
possivelmente, no próprio a. Quando x se aproxima dea, f(x) cresce ou decresce ilimitadamente, o 
que pode ser escrito como: 


)(lim xf
x
 ou 


)(lim xf
x
. 
Exemplo 1) a) 
2)2(
3
)(


x
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
x  2- f (x) 
1,9999 -1 
1,999 
1,99 
1,9 
 
 
x  2+ f (x) 
2,0001 -1 
2,001 
2,01 
2,1 
 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 
 
Uma função f(x) é contínua em x = a, desde que a seguinte igualdade seja verdadeira. 
 
)()(lim afxf
ax


 (1) 
 
Para que (1) se sustente, três condições precisam ser satisfeitas: 
 
(i) f(a) existe; 
 
(ii) 
ax
)x(flim

 existe; [
)(lim)(lim xfxf
axax 

] 
 
(iii) 
ax
)x(flim

 = f(a). 
 
Se uma ou mais de uma dessas condições não forem verificadas em “a”, a função f será descontínua em “a” 
 
Dizemos que uma função é contínua em x = a, se (grosso modo) o gráfico da função não tem quebras (ou pulos) 
quando ele passa pelo ponto (a, f(a)). Isto é, f(x) é contínua em x = a, se pudermos desenhar o gráfico através do ponto 
(a, f(a)) sem tirar nosso lápis do papel. Observe as figuras e julgue-as. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
Exercícios 1) Nos problemas a seguir: (a) trace o esboço do gráfico das funções dadas; (b) use a definição de 
continuidade e diga se a função é contínua em a. 
1. f(x) = 
3
39
35






a
xsex
xsex
 2. f(x) = 
0
01
00
01









a
xse
xse
xse 
 
3. f(x) = 
1a
1xsex3
1xsex3






 4. f(x) = 
1a
1xsex
1xsex2
2







 
 
2
23
23
)()62
24
24
24
)()5
2
2















 a
xsex
xsex
xfa
xsex
xse
xsex
xf
 
 
Gabarito: 
 1) D 2) D 3) D 4) C 5) D 6) D gráficos abaixo 
 
 
Gabarito Gráficos:

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