geometria analítica

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Espelhos e seções cônicas 
 
 
 
Paolino Roberto Rosi 
 
 
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP 
 
Data de Depósito: 
 
Assinatura:_____________________ 
 
 
Paolino Roberto Rosi 
 
Espelhos e seções cônicas 
 
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências 
Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como 
parte dos requisitos para obtenção do título de 
Mestre em Ciências – Programa de Mestrado 
Profissional em Matemática. VERSÃO REVISADA. 
Área de Concentração: Matemática. 
Orientador: Prof. Dr. Miguel Vinícius Santini Frasson 
 
USP – São Carlos 
Fevereiro de 2017 
 
 
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi 
e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP, 
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
R819e
Rosi, Paolino Roberto
 Espelhos e seções cônicas / Paolino Roberto Rosi;
orientador Miguel Vinícius Santini Frasson. -- São
Carlos, 2017.
 56 p.
 Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação
em Mestrado Profissional em Matemática em Rede
Nacional) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de
Computação, Universidade de São Paulo, 2017.
 1. Cônicas. 2. Aplicações das cônicas. 3.
Propriedade reflexiva das cônicas. 4. Esferas de
Dandelin. I. Frasson, Miguel Vinícius Santini,
orient. II. Título. 
 
 
 
Paolino Roberto Rosi 
 
Mirrors and conic sections 
 
Master dissertation submitted to the Instituto de 
Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-
USP, in partial fulfillment of the requirements for the 
degree of the Master Program in Professional 
Master’s Program in Mathematics. FINAL VERSION. 
Concentration Area: Mathematics. 
Advisor: Prof. Dr. Miguel Vinícius Santini Frasson 
 
USP – São Carlos 
February 2017 
 
Dedico este trabalho à minha esposa, Flavia, companheira
amada e incentivadora deste projeto, aos meus amados filhos
Vinícius e Maria Fernanda, por entenderem a necessidade
dos momentos de ausência e aos meus pais que tanto amo
Francisco e Edna.
1
2
Agradecimentos
A Deus por me proporcionar paciência e coragem;
À minha esposa por me auxiliar de diversas maneiras;
Aos meus colegas de turma, companheiros de luta;
E ao Prof. Miguel, pela paciência, dedicação e incentivo.
3
4
Resumo
Esta pesquisa tem por objetivo investigar as aplicações das cônicas no pro-
cesso de ensino e aprendizagem, dando uma ampla visão histórica e aplicada
do conteúdo em questão. Serão dadas as definições, propriedades, equações e
conceitos das cônicas. Classificaremos cônicas a partir de sua equação geral.
Apresentaremos as esferas de Dandelin e daremos algumas aplicações das
cônicas.
Palavras-chave: cônicas; aplicações das cônicas; propriedade reflexiva das
cônicas; esferas de Dandelin.
5
6
Abstract
This research aims to investigate conic sections in the process of teaching
and learning, providing a broad historic and applied view of the subject. It
will be discussed definitions, properties, equations and concepts of the conic
sections. We classify them from their general equation. We present the
Dandelin spheres and provide applications of the conics.
Keywords : conics; applications of the conics; reflexive property of the conics;
Dandelin spheres.
7
8
Sumário
Introdução 11
1 Surgimento das cônicas 13
2 A parábola 17
2.1 Definição geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Elementos de uma parábola . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Equação reduzida da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Parábola com eixo de simetria sobre o eixo x, vértice
na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Parábola com eixo de simetria sobre o eixo y, vértice
na origem e foco acima do vértice . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 Parábola com vértice fora da origem e diretriz vertical 21
2.2.4 Parábola com vértice fora da origem e diretriz horizontal 21
2.3 Função quadrática e a parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Elipse 25
3.1 Definição geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Elementos de uma elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Equação reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Elipse com centro na origem e focos sobre o eixo x . . . 26
3.2.2 Elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo
ao eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Hipérbole 29
4.1 Definição geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.1 Elementos de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Equação reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9
4.2.1 Hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo x 30
4.2.2 Hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo y . 32
4.2.3 Hipérbole com centro fora da origem e eixo real para-
lelo ao eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.4 Hipérbole com centro fora da origem e eixo real para-
lelo ao eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Equação geral das cônicas 37
5.1 Eliminando o termo misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Eliminando os termos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 As esferas de Dandelin 41
6.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.3 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7 Aplicações das cônicas 47
7.1 Espelhos parabólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2 Espelhos elípticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.3 Espelhos hiperbólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.4 Sistema de navegação LORAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10
Introdução
A presente pesquisa buscou investigar as aplicações das cônicas no processo
de ensino e aprendizagem do correspondente conteúdo matemático e pretende
auxiliar os professores a dar uma ampla visão histórica e principalmente apli-
cada do conteúdo em questão. Ao pesquisar sobre o assunto na bibliografia,
nota-se o fato de que no documento Proposta Curricular do Estado de São
Paulo, disciplina matemática – ensino fundamental, ciclo II e ensino mé-
dio (2008), está proposta a organização dos conteúdos contribuindo para a
discussão e reflexão, norteando desse modo a prática docente nos diferentes
ciclos do ensino; expõe que, para a 3ª série do ensino médio, deve haver a
noção e aplicação das cônicas, e o que queremos é explorar principalmente as
aplicações da parábola, da elipse e da hipérbole, despertando assim o inte-
resse dos alunos, que muitas vezes questionam para que servem determinados
conteúdos.
Esse trabalho apresenta-se assim estruturado:
No Capítulo 1, farei uma descrição da história das cônicas e dos grandes
pensadores que as estudaram já desde séculos antes de Cristo, tentando fazer
uma ligação sobre o que é pesquisar, que pode parecer não muito impor-
tante em um primeiro momento mas fica evidente pelas inúmeras aplicações
cotidianas.
No Capítulo 2, relatarei sobre a parábola, definindo e mostrando as prin-
cipais propriedades e conceitos que são estudados no ensino médio, para
posteriormente no capítulo final poder tratar algumas de suas aplicações.
No Capítulo 3, tratarei a respeito da elipse, também definindo e mos-
trando suas principais propriedades que são discutidas no ensino médio, para
poder relatar posteriormente no Capítulo 7 algumas de suas aplicações.
No Capítulo 4, discutirei sobre a hipérbole, definindo e mostrando os
principais conceitos que são vistos no ensino médio, para dessa forma poder
tratar de suas aplicações.
11
No Capítulo 5, analisarei uma cônica por sua equaçãogeral, transfor-
mando essa equação na forma reduzida, conseguindo assim identificar de
qual cônica se trata.
No Capítulo 6, demonstrarei como Germinal Dandelin e Adolphe Que-
telet mostraram que a elipse, a hipérbole e a parábola podem ser obtidas
seccionando-se um cone duplo por meio de um plano de inclinação variável
em relação ao seu eixo.
No Capítulo 7, demonstrarei a propriedade reflexiva das cônicas e exem-
plificarei esse fato mostrando algumas de suas principais aplicações. O sis-
tema de navegação LORAN também será estudado.
12
Capítulo 1
Surgimento das cônicas
If I have seen further it is by standing on the shoulders of Giants.
(Se vi mais longe, foi por estar de pé sobre ombros de gigantes.)
Isaac Newton.
Nosso principal objetivo no capítulo que se segue é desenvolver um breve
panorama histórico acerca dos mais diferentes estudos matemáticos já reali-
zados sobre o tema. Procuraremos sobretudo, apontar e discutir brevemente
as origens das cônicas e a trajetória do seu desenvolvimento na longa história
da matemática.
Como início deste percurso histórico, gostaríamos de referenciar o impor-
tante artigo de Venturi, intitulado “O segundo problema clássico da Geome-
tria: a duplicação do cubo” [19]. No artigo, o autor narra um antigo problema
com o qual se depararam os atenienses e a sua insatisfatória resposta diante
da exigência do Oráculo. Segundo Venturi:
Conta uma lenda que, em 429 a.C., durante o cerco espartano na
Guerra do Peloponeso, uma peste dizimou um quarto da popu-
lação de Atenas, matando inclusive Péricles, e que uma plêiade
de sábios fora enviada ao oráculo de Apolo, em Delfos, para in-
quirir como a peste poderia ser eliminada. O oráculo respondeu
que o altar cúbico de Apolo deveria ser duplicado. Os atenienses
celeremente dobraram as medidas das arestas do cubo.
Apesar da presteza dos atenienses em obedecer às vontades do deus Apolo,
deus da verdade, da ordem e da medida, a solução por eles encontrada não
13
era a fiel execução da exigência. O que está errado, pois, a solução de do-
brar as arestas do cubo, tendo em vista que ao invés de dobrar o altar, eles
octuplicaram o volume do cubo.
A mesma questão de duplicação de um cubo aparece envolvendo um ou-
tro problema na antiguidade, dessa vez envolvendo o túmulo do filho do rei
Minos. Conforme relata Eves, em “Introdução a história da matemática”:
“Há indícios de que o problema da duplicação do cubo possa ter se
originado nas palavras de algum poeta grego antigo (talvez Eurí-
pedes), ignorante em matemática, ao descrever a insatisfação do
mítico rei Minos com o tamanho do túmulo erguido para seu filho
Glauco. Minos ordenou que o tamanho do túmulo fosse dobrado.
O poeta fez então Minos aduzir, incorretamente, que isso poderia
ser feito dobrando-se cada uma das dimensões do túmulo. Essa
falha matemática da parte do poeta levou os geômetras a abra-
çar o problema de como dobrar um dado sólido mantendo-se sua
forma” [5, p.135].
O fato é que não se sabe ao certo o verdadeiro problema de dobrar o
volume de um paralelepípedo, seja ele um cubo ou não. O mais interessante,
em todas essas histórias é que, finalmente, Menaecmus, por volta de 350
a.C. foi o inventor das curvas parábola, elipse e hipérbole. Tais invenções
seriam aquelas empregadas por ele na resolução do problema da duplicação
do cubo. Menaecmus obteve, geometricamente, o ponto de interseção da
parábola x2 = 2y com a hipérbole xy = 1, a solução é x = 3
√
2.
Euclides de Alexandria (325 a.C.–265 a.C.), autor do mais antigo livro
de matemática ainda utilizado nos dias de hoje, só perdendo em número de
edições para a Bíblia, escreveu sobre as seções cônicas em uma de suas obras,
intitulada “Cônicas”, infelizmente perdida.
Arquimedes, nascido em 287 a.C. na cidade de Siracusa, escreveu entre
muitas outras obras o tratado “A Quadratura da Parábola”, no qual realizou
a grande proeza de mostrar como calcular, pelo método da exaustão, a área
de qualquer segmento de parábola, que é a superfície delimitada por um arco
de uma parábola e um segmento de reta que intersecta esse arco em dois
pontos. Além disso, no seu tratado “Sobre Conoides e Esferoides”, Arquime-
des estudou elipses, hipérboles e parábolas. O livro possui 32 proposições, e
em uma dessas (a Proposição 4), mostra que a área da elipse de semieixos a
e b é piab, fato desconhecido até então.
14
Três gigantes da matemática, Euclides, Arquimedes e Apolônio, todos eles
ligados à Universidade de Alexandria, marcaram um período que, mais tarde,
seria chamado de Idade de Ouro do contexto do mundo ocidental clássico.
Apolônio nasceu em 262 a.C., na cidade de Perga, conhecido como “o
grande geômetra” e faleceu em Alexandria por volta de 190 a.C.. Apolônio
fez muitos trabalhos e sabe-se que muitos deles foram perdidos. Ele é mais
lembrado, no entanto, pela sua obra-prima “Cônicas”, contendo 8 livros, dos
quais 7 chegaram até nós, sendo três em árabe e quatro em grego, contendo
mais de 480 proposições sobre elipse, hipérbole e parábola. Essa obra foi es-
crita de forma muito abrangente e excepcional, tanto que trabalhos escritos
anteriormente a cerca desse tema, foram praticamente esquecidos pelos ma-
temáticos, interessando talvez aos historiadores mais atentos à história desse
tão importante problema matemático. Apolônio foi o primeiro a adotar a
termologia elipse, hipérbole e parábola. Segundo Silva em seu artigo “Porque
elipse, parábola e hipérbole?” [15], essa terminologia foi inspirada na lingua-
gem pitagórica (VI séc. a.C.), usada pelo também matemático grego para
a definição específica de triângulos. Quando os pitagóricos, montando seus
problemas, faziam com que uma extremidade de um lado do triângulo (base),
coincidisse com uma extremidade de um segmento de reta, eles tinham os ca-
sos de parábola, elipse ou hipérbole, se a base fosse igual ao segmento seria
uma parábola, quando a base fosse menor que o segmento seria uma elipse e
sendo a base maior que o segmento uma hipérbole. Tal termologia é o pró-
prio significado dos termos parábola, elipse e hipérbole: parábola é o mesmo
que igual, elipse significa falta, hipérbole quer dizer excesso. Apesar de ou-
tros matemáticos já terem utilizado seções de cone para mostrar as cônicas,
Apolônio foi o primeiro a utilizar o cone duplo seccionado para a obtenção
das cônicas (Figura 1.1).
Deixando para trás a Antiguidade Clássica, temos que referenciar Johan-
nes Kepler, matemático alemão, nascido em 1571 e falecido em 1630, respon-
sável por um excelente e reconhecido trabalho sobre a trajetória elíptica dos
planetas. Kepler considerou que o Sol estava em um dos focos da elipse, e
partir disso estudou sobre as aplicações óticas das cônicas, e entre outros es-
tudos, foi capaz de demonstrar importantes aplicações às cônicas. No mesmo
período, Pierre de Fermat, nascido em 1601 e falecido em 1665, criou as equa-
ções cartesianas da reta, da circunferência e as equações simplificadas sobre
as cônicas, que visavam pensar como estabelecer que a função do primeiro
grau é uma reta e a função do segundo grau é uma parábola. O importante
matemático e físico Isaac Newton, nascido em 1643 e falecido em 1727, se-
15
ria o responsável por continuar os importantes avanços dos estudos elípticos
realizados por Kepler. Newton tornou possível, então, o estudo das cônicas
analiticamente.
Apesar de Apolônio ter sido o primeiro a provar que as cônicas podem
ser geradas a partir do cone duplo, feito que inscreveu para sempre seu nome
na história da matemática, no final do século XVIII dois matemáticos, Ger-
minal Dandelin (1794–1847) e Adolphe Quetelet (1796–1874), encontraram
maneiras mais simples e elegantes de fazê-lo, tema conhecido como Esferas
de Dandelin, conteúdo esse que será tratado no Capítulo 6.
elipse
parábola
hipérbole
Figura 1.1: Seções cônicas.
16
Capítulo 2
A parábola2.1 Definição geométrica
A parábola é o lugar geométrico no plano dos pontos que estão equidistantes
a uma reta d (diretriz) e a um ponto F (foco) não pertencente a d (Figura
2.1).
d
F
Figura 2.1: Parábola: lugar geométrico dos pontos equidistantes a d e a F .
17
2.1.1 Elementos de uma parábola
d
P ′ Q′ R′V ′ S ′
P
Q
V
F
R
S
p
Figura 2.2: Elementos principais de uma parábola.
Pela definição temos na Figura 2.2 que V F = V V ′, PF = PP ′, QF =
QQ′, RF = RR′ e SF = SS ′. E temos como elementos principais, o foco
F , a diretriz d, o vértice V , o eixo de simetria é a reta que passa por V F , o
parâmetro p e a relação notável V F =
p
2
18
2.2 Equação reduzida da parábola
2.2.1 Parábola com eixo de simetria sobre o eixo x, vértice na
origem
Seja λ uma parábola com eixo de simetria sobre o eixo x e vértice V (0, 0).
Pela Figura 2.3 temos que o foco tem coordenadas F (p
2
, 0) e a reta diretriz
tem equação x = −p/2. Seja P (x, y) ∈ λ e P ′(−p
2
, y) a projeção ortogonal
de P sobre d.
y
d
P ′ P (x, y)
F xV
p
2
p
2
Figura 2.3: Vértice na origem e foco a direita da diretriz.
Como P ∈ λ, temos pela definição que PF = PP ′, isto é,√(
x− p
2
)2
+ (y − 0)2 =
√(
x+
p
2
)2
+ (y − y)2.
Elevando ao quadrado membro a membro e desenvolvendo, temos
x2 − px+ p
2
4
+ y2 = x2 + px+
p2
4
.
19
Rearranjando os termos, teremos a equação
y2 = 2px.
Na verdade, fizemos o caso em que o foco está à direita do vértice. O caso
do foco à esquerda do vértice é análogo, resultando na equação reduzida
y2 = −2px.
2.2.2 Parábola com eixo de simetria sobre o eixo y, vértice na
origem e foco acima do vértice
Seguindo a linha da seção anterior, pela Figura 2.4, temos os pontos V (0, 0),
F (0, p
2
), P ′(x,−p
2
) e P (x, y). Como P pertence à parábola, pela definição
temos que PF = PP ′:√
(x− 0)2 + (y − p
2
)2 =
√
(x− x)2 + (y + p
2
)2
Desenvolvendo,
x2 + y2 − py + p
2
4
= y2 + py +
p2
4
.
Dessa forma, teremos a equação
x2 = 2py.
O caso com foco abaixo do vértice é análogo, levando à equação
x2 = −2py.
y
x
d
V
P (x, y)
P ′
F
p
2
p
2
Figura 2.4: Vértice na origem e foco acima da diretriz.
20
2.2.3 Parábola com vértice fora da origem e diretriz vertical
Quando a reta diretriz é vertical, se o vértice V (x0, y0) não estiver na origem,
podemos reduzir ao caso anterior (Seção 2.2.1) aplicando a todos os pontos a
translação que leva o vértice na origem. Assim, o ponto P da parábola terá
coordenadas P (x− x0, y − y0) e portanto (veja a figura 2.5)
(y − y0)2 = ±2p(x− x0).
y
d
0
y0
x0 x
P (x, y)
p
2
p
2
FV
P ′
Figura 2.5: Vértice fora da origem e diretriz vertical
2.2.4 Parábola com vértice fora da origem e diretriz horizontal
Analogamente ao que fizemos na seção anterior, quando a reta diretriz é
horizontal e o vértice V (x0, y0) não estiver na origem, podemos reduzir ao
caso anterior (Seção 2.2.2) aplicando a todos os pontos a translação que
leva o vértice na origem. Assim, o ponto P da parábola terá coordenadas
P (x− x0, y − y0) e portanto
(x− x0)2 = ±2p(y − y0).
21
y
xx0
y0
0
V
F
p
2
p
2
P
P ′
d
Figura 2.6: Vértice fora da origem e diretriz horizontal.
2.3 Função quadrática e a parábola
No currículo do estado de São Paulo inicia-se o ensino da equação do segundo
grau no 9º ano do ensino fundamental, dando um enfoque na construção de
gráficos por meio de tabelas de pontos, e posteriormente no 1º ano do ensino
médio a construção de gráficos começa a ter mais detalhes, como encontrar
ponto de máximo ou de mínimo, assim como apresentando ao aluno aquele
gráfico como uma parábola, deixando de lado a definição geométrica da pa-
rábola até sua abordagem em geometria analítica no 3º ano do ensino médio.
É aceitável que isso aconteça pois de certo modo tem-se que levar em conta o
desenvolvimento intelectual do discente perante determinado conteúdo, para
que dessa forma possa-se dar sequência a outro tema. No entanto, parece
haver uma certa displicência em relação a esse fato, pois quando é definida a
parábola nem sempre é feita a conexão entre esses assuntos. E é por esse mo-
tivo que nesse momento faço essa ligação, mostrando que a função do segundo
22
grau é de fato uma parábola. Para isso, vamos completar quadrados.
y = ax2 + bx+ c
= a
(
x2 +
bx
a
+
c
a
)
= a
(
x2 + 2
b
2a
x+
b2
4a2
+
c
a
− b
2
4a2
)
= a
((
x+
b
2a
)2
− b
2 − 4ac
4a2
)
.
Sendo ∆ = b2 − 4ac, a equação acima pode ser reescrita como(
x+
b
2a
)2
=
1
a
(
y +
∆
4a
)
. (2.1)
Seguindo a Seção 2.2.4, vemos que (2.1) é a equação da parábola com vértice(− b
2a
,−∆
4a
)
, foco
(− b
2a
, 1−∆
4a
)
e reta diretriz y = −1+∆
4a
. Além disso, fazendo
y = 0 em (2.1) e isolando x, chega-se à fórmula das raízes, conhecida como
Fórmula de Bhaskara
x =
−b±√∆
2a
.
23
24
Capítulo 3
Elipse
3.1 Definição geométrica
A elipse é o lugar geométrico dos pontos no plano onde a soma das distâncias
a certos pontos F1 e F2 (chamados de focos) é constante.
A1 A2
P
F1 F2
Figura 3.1: PF1 + PF2 = A1A2, para todo P na elipse.
3.1.1 Elementos de uma elipse
Temos como elementos da elipse os focos F1 e F2, o centro O, o eixo maior
A1A2, o eixo menor B1B2, a distância focal 2c, a medida do eixo maior 2a,
a medida do eixo menor 2b. Além disso, não podemos esquecer da relação
pitagórica a2 = b2 + c2. Veja a Figura 3.2.
A excentricidade da elipse que é um indicador de sua forma, poderia ser
definido como o quociente entre a distância focal e a medida do eixo maior
25
da elipse, é dada por e = c/a. Na elipse, tem-se 0 < e < 1. Note que uma
circunferência é uma elipse onde os focos degeneram-se para um único ponto,
e portanto e = 0. Também, quanto mais achatada é a elipse, isto é, quando
b é próximo de zero, temos que c fica próximo de a e a excentricidade fica
próxima de 1.
A1 A2
B1
B2
F1 F2O
ab
c
Figura 3.2: Elementos de uma elipse.
3.2 Equação reduzida
3.2.1 Elipse com centro na origem e focos sobre o eixo x
y
P (x, y)
xF1 F2A1 A2
B1
B2
O
Figura 3.3: Elipse com centro na origem e focos sobre o eixo x.
26
Seja � uma elipse com centro O(0, 0), focos F1(−c, 0), F2(c, 0) e extremos
A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0, b), B2(0,−b). Seja P (x, y) ∈ �. Pela definição,
temos que PF1 + PF2 = 2a. Com o auxílio da Figura 3.3, vemos que√
(x+ c)2 + (y − 0)2 +
√
(x− c)2 + (y − 0)2 = 2a√
(x+ c)2 + y2 = 2a−
√
(x− c)2 + y2
Elevando membro a membro ao quadrado, temos
(x+ c)2 + y2 = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2
x2 + 2xc+ c2 + y2 = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2xc+ c2 + y2
4xc = 4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2
a
√
(x− c)2 + y2 = a2 − xc
Elevando membro a membro ao quadrado novamente e desenvolvendo
a2x2 − 2a2xc+ a2c2 + a2y2 = a4 − 2a2xc+ x2c2
a2x2 − c2x2 + a2y2 = a4 − a2c2
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)
Substituindo(a2 − c2) por b2, pois a2 = b2 + c2,
b2x2 + a2y2 = a2b2
Dividindo membro a membro por a2b2, teremos a equação reduzida da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
No caso em que o eixo maior da elipse fica sobre o eixo y, basta trocar os
papéis de x e y para obtermos uma equação reduzida análoga.
3.2.2 Elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao
eixo x
Caso o centro (x0, y0) da elipse � não esteja na origem, a mudança de variáveis
x′ = x− x0 e y′ = y − y0, que é uma translação que leva (x0, y0) na origem,
27
leva a elipse � numa outra elipse �′ com as mesmas medidas e centro na origem
no sistema de coordenadas (x′, y′). Então,
x′2
a2
+
y′2
b2
= 1
Desfazendo a mudança, temosa equação da elipse para este caso:
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
y
x
O
0
F1 F2
A1 A2
B1
B2
x0
y0
P (x, y)
Figura 3.4: Elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo x
28
Capítulo 4
Hipérbole
4.1 Definição geométrica
A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano tais que o módulo da
diferença das distâncias a dois pontos F1 e F2 (focos) seja constante. Veja a
a Figura 4.1.
F1 F2
P
A1 A2
a
Figura 4.1: Hipérbole: |PF1−PF2| = |A1F1−A1F2| = |A2F1−A2F2| = 2a.
4.1.1 Elementos de uma hipérbole
Temos como elementos da hipérbole os focos F1 e F2, o centro O, o eixo
transverso ou eixo real A1A2, o eixo imaginário B1B2, a distância focal 2c,
29
a medida do eixo real 2a, a medida do eixo imaginário 2b e a excentricidade
c/a, além da importante relação pitagórica c2 = a2 + b2.
F1 F2A1 A2
aO
b
c
c
Figura 4.2: Elementos de um hipérbole: Focos F1, F2, centro O, distância
focal 2c e eixo transverso A1A2 = 2a. As retas assíntotas estão tracejadas.
4.2 Equação reduzida
4.2.1 Hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo x
Pela Figura 4.3 temos os pontosO(0, 0), F1(−c, 0), F2(c, 0), A1(−a, 0), A2(a, 0)
e P (x, y).
Como P ∈ a hipérbole temos pela definição que |PF1−PF2 = 2a|, então
segue da Figura 4.3, que:√
(x+ c)2 + (y − 0)2 −
√
(x− c)2 + (y − 0)2 = ±2a√
(x+ c)2 + y2 =
√
(x− c)2 + y2 ± 2a
elevando ao quadrado membro a membro, temos:
(x+ c)2 + y2 = (x− c)2 + y2 ± 4a
√
(x− c)2 + y2 + 4a2
30
4cx− 4a2 = ±4a
√
(x− c)2 + y2
cx− a2 = ±a
√
(x− c)2 + y2
elevando novamente membro a membro ao quadrado, temos:
c2x2 − 2a2cx+ a4 = a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2
(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)
substituindo (c2 − a2) por b2, pois c2 = a2 + b2, temos:
b2x2 − a2y2 = a2b2
dividindo membro a membro por a2b2 teremos a equação
x2
a2
− y
2
b2
= 1
F1 F2
P (x, y)
A1 A2O
y
x
Figura 4.3: Hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo x
Assim, a equação
x2
a2
− y
2
b2
= 1
representa a hipérbole de foco nos pontos (±c, 0) com c = √a2 + b2.
31
4.2.2 Hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo y
Pela Figura 4.4 temos os pontos O(0, 0), F1(0, c), F2(0, c), A1(0,−a), A2(0, a)
e P (x, y).
Como P ∈ a hipérbole temos pela definição que |PF1−PF2 = 2a|, então
segue da Figura 4.4, que:
√
(x− 0)2 + (y + c)2 −
√
(x− 0)2 + (y − c)2 = ±2a
√
x2 + (y + c)2 =
√
x2 + (y − c)2 ± 2a
Elevando ao quadrado membro a membro, temos:
x2 + (y + c)2 = x2 + (y − c)2 ± 4a
√
x2 + (y − c)2 + 4a2
4cy − 4a2 = ±4a
√
x2 + (y − c)2
cy − a2 = ±a
√
x2 + (y − c)2
elevando novamente membro a membro ao quadrado, temos:
c2y2 − 2a2cy + a4 = a2x2 − 2a2cy + a2c2 + a2y2
(c2 − a2)y2 − a2x2 = a2(c2 − a2)
substituindo (c2 − a2) por b2, pois c2 = a2 + b2, temos:
b2y2 − a2x2 = a2b2
dividindo membro a membro por a2b2 teremos a equação
y2
a2
− x
2
b2
= 1
32
F1
F2
A1
A2
P (x, y)
x
y
O
Figura 4.4: Hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo y
4.2.3 Hipérbole com centro fora da origem e eixo real paralelo
ao eixo x
Pela Figura 4.5 temos os pontos O(x0, y0), F1(x0 − c, y0), F2(x0 + c, y0),
A1(x0 − a, y0), A2(x0 + a, y0) e P (x, y).
Como P ∈ a hipérbole temos pela definição que |PF1−PF2 = 2a|, então
segue da Figura 4.5, que:√
[(x− x0) + c]2 + (y − y0)2 −
√
[(x− x0)− c]2 + (y − y0)2 = ±2a√
[(x− x0) + c]2 + (y − y0)2 =
√
[(x− x0)− c]2 + (y − y0)2 ± 2a
Elevando ao quadrado membro a membro, temos:
[(x−x0)+c]2+(y−y0)2 = [(x−x0)−c]2+(y−y0)2±4a
√
[(x− x0)− c]2 + (y − y0)2+4a2
4c(x− x0)− 4a2 = ±4a
√
[(x− x0)− c]2 + (y − y0)2
c(x− x0)− a2 = ±a
√
[(x− x0)− c]2 + (y − y0)2
elevando novamente membro a membro ao quadrado, temos:
c2(x−x0)2−2a2c(x−x0)+a4 = a2(x−x0)2−2a2c(x−x0)+a2c2 +a2(y−y0)2
33
(c2 − a2)(x− x0)2 − a2(y − y0)2 = a2(c2 − a2)
substituindo (c2 − a2) por b2, pois c2 = a2 + b2, temos:
b2(x− x0)2 − a2(y − y0)2 = a2b2
dividindo membro a membro por a2b2 teremos a equação
(x− x0)2
a2
− (y − y0)
2
b2
= 1
F1 F2A1 A2O
0
P (x, y)
x
y
x0
y0
Figura 4.5: Hipérbole com centro fora da origem e eixo real paralelo ao eixo
x
4.2.4 Hipérbole com centro fora da origem e eixo real paralelo
ao eixo y
Pela Figura 4.6 temos os pontos O(x0, y0), F1(x0, y0 − c), F2(x0, y0 + c),
A1(x0, y0 − a), A2(x0, y0 + a) e P (x, y).
34
Como P ∈ a hipérbole temos pela definição que |PF1−PF2 = 2a|, então
segue da Figura 4.6, que:
√
(x− x0)2 + [(y − y0) + c]2 −
√
(x− x0)2 + [(y − y0)− c]2 = ±2a
√
(x− x0)2 + [(y − y0) + c]2 =
√
(x− x0)2 + [(y − y0)− c]2 ± 2a
Elevando ao quadrado membro a membro, temos:
(x−x0)2+[(y−y0)+c]2 = (x−x0)2+[(y−y0)−c]2±4a
√
(x− x0)2 + [(y − y0)− c]2+4a2
4c(y − y0)− 4a2 = ±4a
√
(x− x0)2 + [(y − y0)− c]2
c(y − y0)− a2 = ±a
√
(x− x0)2 + [(y − y0)− c]2
elevando novamente membro a membro ao quadrado, temos:
c2(y−y0)2−2a2c(y−y0)+a4 = a2(x−x0)2−2a2c(y−y0)+a2c2 +a2(y−y0)2
(c2 − a2)(y − y0)2 − a2(x− x0)2 = a2(c2 − a2)
substituindo (c2 − a2) por b2, pois c2 = a2 + b2, temos:
b2(y − y0)2 − a2(x− x0)2 = a2b2
dividindo membro a membro por a2b2 teremos a equação
(y − y0)2
a2
− (x− x0)
2
b2
= 1
35
F1
F2
A1
A2
O
0
P (x, y)
x0
y0
x
y
Figura 4.6: Hipérbole com centro fora da origem e eixo real paralelo ao eixo
y
36
Capítulo 5
Equação geral das cônicas
Nesse capítulo vamos analisar uma cônica por sua equação geral. Esse tema
é abordado em qualquer bom texto de geometria analítica, dessa forma uti-
lizaremos um procedimento apenas em linhas gerais.
Para nós, uma cônica é uma forma geométrica obtida da seção de um cone
de folha dupla cortado por um plano que não passa pelo vértice do cone (a
fim de evitar os casos degenerados), ou seja, temos a elipse, a circunferência,
a hipérbole e a parábola. Segundo Boulos [3], uma cônica é o conjunto dos
pontos que satisfazem uma equação do segundo grau em duas variáveis da
forma
ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 (5.1)
em relação ao eixo ortogonal de coordenadas, onde ax2, bxy e cx2 são cha-
mados de termos quadráticos, bxy o termo quadrático misto, dx e ey são
os termos lineares e f é o termo independente. Faz assim para facilitar sua
análise.
Note que nem sempre as soluções de (5.1) são cônicas. Os outros casos
serão chamados de cônicas degeneradas, podendo ser um ponto, uma reta,
retas paralelas, retas concorrentes ou até um conjunto vazio, como veremos
nos exemplos a seguir:
• Conjunto vazio: a equação x2 +y2 +10 = 0 não é satisfeita por nenhum
(x, y).
• Conjunto formado por um ponto: (x − 1)2 + (y − 1)2 = 0, ou seja,
x2 + y2 − 2x− 2y + 2 = 0, admite apenas a solução (1, 1).
37
• Reta: a equação (x− y)2 = 0, isto é, x2− 2xy+ y2 = 0, descreve a reta
r : x = y.
• Retas paralelas: (x+y+1)(x+y−1) = 0, ou seja, x2 +2xy+y2−1 = 0,
descreve as retas r : x+ y + 1 = 0 e s : x+ y − 1 = 0.
• Retas concorrentes: (x+ y)(x− y) = 0, isto é, x2− y2 = 0, descreve as
retas r : x = −y e s : x = y.
5.1 Eliminando o termo misto
As equações reduzidas das cônicas não apresentam o termo misto. Podemos
eliminá-lo da equação geral por meio de um rotação de eixos, ficando com a
equação geral da forma ax2 +by2 +cx+dy+e = 0. Para isso, utilizaremos as
fórmulas de rotação que estabelecem as relações entre as coordenadas (x, y)
de um ponto P , em relação ao sistema xy, com suas coordenadas (x˜, y˜) em
relação ao sistema x˜y˜. Veja a Figura 5.1.
x
y
x˜
y˜
θ
Figura 5.1: O sistema x˜, y˜ é obtido pela rotação de ângulo θ no sentido
anti-horário.
As coordenadas de P no sistema x, y são obtidas das coordenadas no
sistema x˜, y˜ pela rotação de ângulo θ no sentido anti-horário. As relações são
x = x˜ cos(θ)−y˜ sen(θ), (5.2)
y = x˜ sen(θ) + y˜ cos(θ). (5.3)
38
Aplicando as fórmulas (5.2)–(5.3) à equação geral de uma cônica obtemos
sua equação em relação ao sistema de eixos x˜y˜ :
a˜x˜2 + b˜x˜y˜ + c˜y˜2 + d˜x˜+ e˜y˜ + f˜ = 0,
com
b˜ = b cos(2θ)− (a− c) sen(2θ).
Fazendo b˜ = 0 acima, obtemos
b cos(2θ) = (a− c) sen(2θ). (5.4)
Se a 6= c, então calculamos
tan(2θ) =
b
a− c
e podemos tomar θ = 1
2
arctan( b
a−c). Se a = c, (5.4) está satisfeita se θ = 45°.
Para deixar mais leve a leitura, após aplicarmos essa mudança de coorde-
nadas, continuaremos a utilizar as letras a, c . . . , x, y em vez de a˜, c˜, . . . , x˜, y˜.
Assim, (5.1) pode sempre ser colocada na forma sem o termo misto
ax2 + cy2 + dx+ ey + f = 0. (5.5)
Cabe observar que a rotação é uma isometria, isto é, uma transformação
que mantém distâncias, preservando a forma dos conjuntos.
5.2 Eliminando os termos lineares
Se for necessário eliminar termos lineares, quando a 6= 0 ou c 6= 0, podemos
fazê-lo por completamento de quadrado, o que nos dá a translação que reduz a
equação à equação reduzida de alguma cônica, vista nos capítulos anteriores,
ou numa equação de cônica degenerada. A partir daí, fica fácil classificarmos
a cônica em questão.
5.3 Exemplos
Exemplo 5.1. O gráfico da função y = 1
x
.
39
Podemos reescrever a equação do gráfico como
xy − 1 = 0. (5.6)
Como a = c = 0, aplicamos a rotação de 45°, ou seja,
x =
√
2
2
(x˜− y˜), y =
√
2
2
(x˜+ y˜). (5.7)
Aplicando (5.7) em (5.6), ficamos com
1
2
(x˜− y˜)(x˜+ y˜)− 1 = 0 =⇒ x˜
2
2
− y˜
2
2
= 1,
que é a equação reduzida da hipérbole de focos (x˜, y˜) = (±2√2, 0). Retor-
nando às variáveis x, y, mostramos que o gráfico da função y = 1
x
é uma
hipérbole com focos (2, 2) e (−2,−2).
Exemplo 5.2. Equação 16x2 + 25y2 − 96x− 200y − 144 = 0.
Não será necessário aplicar a rotação, pois a equação não apresenta termo
misto. Então para encontrarmos a equação reduzida, vamos completar qua-
drados.
16x2 + 25y2 − 96x− 200y − 144 = 0
16x2 − 96x+ 144 + 25y2 − 200y + 400− 400 = 0
16(x− 3)2 + 25(y − 4)2 = 400
(x− 3)2
25
+
(y − 4)2
16
= 1,
que é a equação reduzida da elipse de centro (3, 4), eixo maior 5 e eixo menor
4.
Exemplo 5.3. Equação y2 + 2x − 6y + 1 = 0 Vamos aplicar a translação
completando quadrado.
y2 + 2x− 6y + 1 = 0
y2 − 6y + 9− 9 + 2x+ 1 = 0
(y − 3)2 = −2(x− 4),
que é a equação reduzida da parábola com vértice em (4, 3).
40
Capítulo 6
As esferas de Dandelin
Nesse capítulo demonstraremos como Germinal Dandelin (1794–1847) e
Adolphe Quetelet (1796–1874) mostraram que a elipse, a hipérbole e a pará-
bola podem ser obtidas seccionando-se um cone duplo por meio de um plano
de inclinação variável em relação ao seu eixo.
Seguiremos como Gilberto Geraldo Garbi em “A Rainha das Ciências” [6].
6.1 Elipse
Sejam, como na Figura 6.1, uma das folhas de um cone duplo reto, α um
plano que intercepta esse cone em todas as suas geratrizes e as esferas E1 e
E2, que se apresentam em semiespaços distintos em relação a α, inscritas no
cone e tangentes a α.
Sejam F1 e F2, respectivamente, os pontos de tangência E1 e E2 com o
plano α e C1 e C2 as circunferências geradas pelas interseções de E1 e E2
com a superfície do cone.
Tomando um ponto P qualquer da interseção do cone com o plano α e
ligando P ao vértice V do cone, teremos a reta PV se intersectando com C1
e C2 nos pontos T1 e T2, tangentes às esferas E1 e E2 respectivamente.
Os segmentos PT1 e PF1 são tangentes à esfera E1 e, por potência de
ponto1, eles são congruentes. Pelo mesmo motivo, PT2 e PF2 também são
congruentes.
1O plano β que contém os pontos P , T1 e F1 intersecta a esfera E1 numa circunferência
λ que tem segmentos tangentes PT1 e PF1, congruentes pela potência do ponto P em
relação a λ.
41
Logo, temos:
PT1 = PF1, PT2 = PF2 =⇒ PF1 + PF2 = PT1 + PT2.
Como PT1 + PT2 é constante para qualquer P pertencente à interseção
do cone com o plano α, pois as duas circunferências C1 e C2 estão contidas
em planos paralelos, tal interseção do plano α com o cone é uma elipse.
V
α
E1
C1
F1
T1
F2C2
E2
P
T2
Figura 6.1: Esferas de Dandelin da elipse.
6.2 Hipérbole
Sejam, como na Figura 6.2, um cone duplo reto, um plano α seccionando
suas duas folhas e as esferas E1 e E2 inscritas uma em cada folha do cone e
tangentes ao plano. Sejam C1 e C2 as circunferências geradas pelas interse-
ções de E1 e E2 com superfície do cone e F1 e F2 os pontos de tangência das
esferas com o plano.
42
Tomando um ponto P qualquer pertencente à interseção do plano α com
o cone e ligando P ao vértice V do cone, teremos a reta PV intersectando
as circunferências C1 e C2 nos pontos T1 e T2, tangentes às esferas E1 e E2,
respectivamente.
Os segmentos PT1 e PF1 são tangentes à esfera E1 e por potência de
ponto (ver nota de rodapé na página 41), eles são congruentes, pelo mesmo
motivo, PT2 e PF2 também são congruentes.
Logo,
PT1 = PF1, PT2 = PF2 =⇒ |PT1 − PT2| = |PF1 − PF2| = T1T2
Como T1T2 = V T1+V T2 que é constante, pois as circunferências C1 e C2 estão
contidas em planos paralelos, temos |PF1−PF2| constante para qualquer P
pertencente à interseção do plano α com cone, assim tal interseção é uma
hipérbole.
α
P E1F1
C1
T1
V
F2
T2
C2
E2
Figura 6.2: Esferas de Dandelin da hipérbole.
43
6.3 Parábola
Vamos agora ao caso em que o plano α secciona o cone paralelamente a uma
e somente uma das geratrizes g de um cone duplo reto.
Sejam, como na Figura 6.3, uma das folhas de uma superfície cônica
circular e sobre ela uma geratriz qualquer g. Sendo E uma esfera inscrita em
um cone e α um plano que secciona esse cone, tangenciando a esfera no ponto
F , de modo que esse plano seja paralelo a uma e somente geratriz desse cone,
a saber g. Seja C1 a circunferência gerada pela interseção da esfera E com o
cone, e tome um plano γ que contém a circunferência C1, onde a interseção
de α com γ é uma reta r1. Na interseção de α com o cone, considere um
ponto P qualquer e por esse ponto tome um plano β paralelo ao plano γ.
Seja C2 a circunferência formada pela interseção do plano β com o cone
e seja r2 a interseção do plano α com o plano β, sendo assim, temos a reta
r1 paralela à reta r2.
Imaginando um plano tangente à superfície do cone e que contenha a
geratriz g, teremos esse plano paralelo ao plano α e assim a interseção desse
plano com β será uma reta s paralela à reta r2 e tangente à circunferência
C2 no ponto S.
Traçando um segmento PQ perpendicular a r1 e r2 e por F um segmento
RG que também é perpendicular a r1 e r2, teremos PQ = RG. A geratriz
g e a reta do segmento RG são paralelas por serem, respectivamente, per-
pendiculares às paralelas s e r2, de forma que, sendo I ∈ C1 ∩ g, IS = RG.
Ligando P a V , seja T a interseção de V P com a circunferência C1. Como IS
e PT são geratrizes do tronco de cone formado por planos paralelos, temos
IS = PT e por potência de ponto na esfera E temos PT = PF , logo
PQ = GR = SI = PT = PF,
então
PQ = PF.
Portanto, a curva formada pela interseção do plano α com o cone é a parábola
com diretriz r1 e foco F .
44
α
β
γ
C1
C2
P
Q
G
R
S
S ′
F I
T
r1
r2
s
g
V
E
Figura 6.3: Esfera de Dandelin da parábola.
45
46
Capítulo 7
Aplicações das cônicas
Daremos aqui algumas das aplicações mais imediatas e úteis das cônicas.
Suas propriedades geométricas permitem deduzir propriedades notáveis de
reflexão em sua superfície. Aqui estaremos pensando em superfícies de revo-
lução geradas pela rotação das cônicas em torno de seus eixos de simetria, e
estudaremos os espelhos obtidos por estas superfícies.
Ao final veremos também o sistema de navegação marítima LORAN que
apesar de não ter relação com as propriedades reflexivasdas cônicas, apre-
senta uma aplicação muito importante da hipérbole.
7.1 Espelhos parabólicos
Os sinais captados pela antena parabólica podem ser considerados todos pa-
ralelos por conta da grande distância que percorrem para chegar à superfície
do planeta. As antenas parabólicas fazem com que esses sinais recebidos
sejam concentrados em um único ponto, que é o foco da parábola, onde se
encontra o receptor dos sinais de TV.
47
Com dois espelhos parabólicos, podemos construir um espelho acústico,
como o espelho do CDCC de São Carlos. As ondas sonoras emitidas por
uma pessoa em um foco de uma das parábolas são refletidas paralelamente ao
eixo de simetria comum, sendo captadas pelo outro espelho, que as concentra
em seu foco, onde outra pessoa pode ouvir perfeitamente o que a primeira
sussurra.
Agora vamos mostrar esse fato, usando uma adaptação das ideias de [20].
Consideremos um ponto P da parábola de foco F e diretriz d, e a reta t,
bissetriz do ângulo FPˆD. Vamos mostrar geometricamente que t é tangente
à parábola. Veja a Figura 7.1.
F
P
α
α
d
DE
Q
te
Figura 7.1: Reta tangente à parábola.
48
No triângulo 4PFD, como PF = PD, a reta t, bissetriz do ângulo
FPˆD, é também mediana e altura. Em outras palavras, a reta t é mediatriz
do segmento FD. Seja agora Q, um ponto qualquer da reta t, distinto de P .
Se E é a projeção de Q sobre d, temos:
QF = QD > QE
Portanto, Q é exterior à parábola. Ora, o ponto P da reta t pertence à
parábola e todos os outro ponto de t são exteriores. Logo, t é tangente à
parábola em P .
F
P
α
α
d
D
te
α
Y
Figura 7.2: Reta tangente a parábola
Observe, na Figura 7.2, a semirreta PY , prolongamento do segmento
DP . Como a tangente à parábola em P é bissetriz do ângulo FPˆD, temos
que PY e PF fazem ângulos congruentes com essa tangente. Por isso, todo
sinal recebido na direção do eixo da parábola toma a direção do foco após a
reflexão.
7.2 Espelhos elípticos
As luminárias odontológicas de cabeça são feitas de refletores elípticos que
focam a luz em um ponto específico da arcada dentária, de modo a não
ofuscar a visão do paciente.
49
Um outro aparelho interessante, que se utiliza da elipse, é o da prática da
Litotripsia, tratamento que é feito para eliminar pedras nos rins, por meio
de um refletor elíptico, de modo a não danificar os tecidos e órgãos vizinhos.
Desse modo o paciente não passa por cirurgia e sua recuperação é muito
rápida. O refletor elíptico emite ondas sonoras de alta intensidade em um
dos focos da elipse e a pedra fica no outro foco.
A mesa de bilhar elíptica é um interessante experimento que mostra na
prática o que acontece nos dois equipamentos anteriores, onde a bola que sai
de um foco, ao bater na “tabela”, sofre reflexão cai na caçapa que se apresenta
no outro foco da elipse.
50
As galerias de sussurros são uma divertida aplicação de uma superfície
elíptica. O teto da sala tem forma de elipsoide com focos à altura de uma
pessoa marcados no chão. Duas pessoas nesses pontos podem conversar sus-
surrando e escutam-se perfeitamente, enquanto que as outras não as escutam.
Há galerias de sussurros como, por exemplo, na Sala de Estátuas do Capitólio
estadunidense.
A demonstração dessa propriedade de reflexão dos espelhos elípticos é
dada a seguir, baseada em [18].
Seja P um ponto na elipse E e tomemos a reta r bissetriz de um dos
ângulos formados pelas retas F1P e F2P (o externo ao triângulo 4F1PF2)
de tal forma que o ângulo entre entre F1P e r seja igual ao ângulo entre F2P
e r. Queremos mostrar que r é tangente à elipse.
F1 F2
P
Q
r
α
α
α
F ′1
E
Figura 7.3: Reta tangente à elipse.
Seja k = PF1 + PF2, a constante que determina a elipse, junto com
seus focos. Tomemos sobre r um ponto Q 6= P e consideremos o ponto
F ′1, simétrico de F1 em relação a r. A reta r é então mediatriz de F1F ′1.
Logo, PF1 = PF ′1 e também QF1 = QF ′1. Por construção, a reta r faz
ângulos congruentes com PF1 e PF2 e, pela simetria, os ângulos QPˆF1 e
QPˆF ′1 são também congruentes. Daí, os segmentos PF2 e PF ′1 fazem ângulos
congruentes com r e, portanto, os pontos F ′1, P e F2 são colineares. Então,
k = PF1 + PF2 = PF
′
1 + PF2 = F1
′F2 < QF ′1 +QF2 = QF1 +QF2,
51
onde a desigualdade acima vem da condição de existência do triângulo4F ′1QF2.
Como QF1 +QF2 > k, concluímos que P é o único ponto de r que pertence
à elipse, o que mostra que essa reta é tangente em P a essa elipse. Um raio
que parte de um foco a P incide na reta r tangente à elipse com ângulo α e
deve refletir com mesmo ângulo, passando consequentemente pelo outro foco.
Veja a Figura 7.3.
7.3 Espelhos hiperbólicos
Os espelhos hiperbólicos são amplamente utilizados na construção de telescó-
pios refletores. Esses telescópios são uma evolução proposta pelo astrônomo
francês Cassegrain dos telescópios produzidos por Isaac Newton, que resol-
veu o problema da imagem que era refletida dentro do tubo do telescópio,
colocando um espelho plano e refletindo a imagem para o observador fora
do tubo. No entanto, apesar de funcionar perfeitamente, esse espelho plano
prejudicava a captação de luz, por ter um tamanho relativamente grande
para as condições, enquanto que a proposta de Cassegrain era de utilizar um
espelho hiperbólico que, como vamos mostrar, possui uma maior flexibilidade
de movimentos, se ajustando melhor às necessidades do observador.
Agora vamos mostrar a propriedade de reflexão na hipérbole de um raio
incidindo na direção de um ponto focal.
Seja H uma folha de hipérbole com focos F1 e F2, mais próxima a F2.
Seja P um ponto de H e a constante k = PF1 − PF2 que determina a
hipérbole. A hipérbole divide o plano nas regiões R1 : QF1 − QF2 < k e
R2 : QF1 −QF2 > k.
52
Sejam λ a circunferência de centro F1 e raio k e A o ponto de interseção
do segmento F1P com λ. Então, por construção, PA = PF2 e P pertence à
mediatriz do segmento AF2. Seja r tal mediatriz, e queremos mostrar que r
é tangente à hipérbole no ponto P . Para isso, seja Q 6= P sobre r. Assim,
QF2 = QA
e pela condição de existência do triângulo 4F1AQ,
QF1 < F1A+QA = k +QF2 =⇒ QF1 −QF2 < k.
Então toda r, com exceção de P , está contida na mesma região R1 delimitada
por H e portanto r é tangente a H. Veja a Figura 7.4.
F1 F2
A
P
Q
r
Figura 7.4: Reta tangente a hipérbole
Como r é mediatriz de AF2, os ângulos ente as retas PF1 e PF2 com r
são congruentes. Assim, se algum raio vier por uma das retas na direção de
um dos focos, independente da região R1 ou R2 em que estiver, será refletido
em P na direção do outro foco, mantendo-se na mesma região.
53
7.4 Sistema de navegação LORAN
Uma outra aplicação para hipérbole se encontra no sistema de navegação LO-
RAN (Long Range Navigation), onde duas estações de rádio de localizações
conhecidas emitem sinais ao mesmo tempo a um navio ou avião, e o compu-
tador de bordo calcula a diferença de tempo na recepção, transformando-a
em diferença de distâncias. Assim, o navegador determina uma equação de
hipérbole onde deve localizar-se, com focos nas estações. Com uma terceira
estação, determina outra hipérbole. Logo, sua localização é determinada pela
interseção entre tais hipérboles.
54
Referências Bibliográficas
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mática, n. 34.
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rial. 3ª ed. São Paulo, PEARSON, ABDR editora afiliada.
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1995.
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vilhoso mundo da Matemática. 2ª Edição Aplicada. São Paulo: Editora
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hop/Dandelin/Dandelin.html.
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edição.
[10] Lima, E. L., Geometria Analítica e Álgebra Linear, IMPA, 2ª edição.
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[11] Miranda, C. M., Construção de um mesa de bilhar elíptica como recurso
motivacional para o estudo de cônicas no ensino médio. Dissertação de
Mestrado. Universidade Estadual de Santa Cruz: Departamento de Ci-
ências Exatas e Tecnológicas. Ilhéus-2013.
[12] Oliveira, Oswaldo Rio Branco de O., Cônicas (propriedades de reflexão),
acesso em 19 de outubro de 2016, disponível em https://www.ime.usp.
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[13] Proposta curricular do estado de São Paulo (2008)/ Coord. Maria Inês
Fini - São Paulo: SEE, 2008
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Maria Inês. II. São Paulo (estado) Secretaria da Educação.
CDD22ed. 510.7
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em 30 de setembro de 2016, disponível em http://www.sato.prof.ufu.
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fessor de Matemática, Revista do Professor de Matemática, n. 36.
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plicação do cubo, acesso em 11 de dezembro de 2015, dispo-
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artigo.asp?artigo=artigo0057
[20] Wagner, E., Por que as antenas são parabólicas, Revista do Professor
de Matemática, n. 33.
56
	Introdução
	Surgimento das cônicas
	A parábola
	Definição geométrica
	Elementos de uma parábola
	Equação reduzida da parábola
	Parábola com eixo de simetria sobre o eixo x, vértice na origem
	Parábola com eixo de simetria sobre o eixo y, vértice na origem e foco acima do vértice
	Parábola com vértice fora da origem e diretriz vertical
	Parábola com vértice fora da origem e diretriz horizontal
	Função quadrática e a parábola
	Elipse
	Definição geométrica
	Elementos de uma elipse
	Equação reduzida
	Elipse com centro na origem e focos sobre o eixo x
	Elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo x
	Hipérbole
	Definição geométrica
	Elementos de uma hipérbole
	Equação reduzida
	Hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo x
	Hipérbole com centro na origem e focos sobre o eixo y
	Hipérbole com centro fora da origem e eixo real paralelo ao eixo x
	Hipérbole com centro fora da origem e eixo real paralelo ao eixo y
	Equação geral das cônicas
	Eliminando o termo misto
	Eliminando os termos lineares
	Exemplos
	As esferas de Dandelin
	Elipse
	Hipérbole
	Parábola
	Aplicações das cônicas
	Espelhos parabólicos
	Espelhos elípticos
	Espelhos hiperbólicos
	Sistema de navegação LORAN