EDO Slides 05 2017 1

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1
Seção 6.1: Definição de Transformada de 
Laplace
Muitos problemas práticos de engenharia envolvem sistemas 
mecânicos e elétricos sobre os quais atuam forças de natureza 
discontínua ou impulsiva. 
Para tais problemas os métodos descritos no Capítulo 3 são 
inadequados. 
Nesse capítulo, usamos a transformada de Laplace para 
converter um problema de uma função desconhecida f em um 
problema mais simples para F, resolver para F, e então 
recuperar f de sua transformada F. 
Dada uma função conhecida K(s,t), uma transformada 
integral de uma função f é uma relação da forma 
   ,)(),()( dttftsKsF
A Transformação de Laplace
Seja f uma função definida para t  0, e que satisfaça certas
condições a serem definidas mais adiante. 
A Transformada de Laplace de f é definida como
Logo, a função kernel é K(s,t) = e-st.
Já que as soluções de equações diferenciais lineares com 
coeficientes constantes são baseadas na função exponencial, a 
Transformada de Laplace é particularmente útil para tais
equações. 
Note que a Transformada de Laplace é definida por uma
integral imprópria e deve, portanto, ser avaliada quanto à 
convergência. Nos próximos slides, revemos integrais
impróprias e funções contínuas por partes. 
     0 )()()( dttfesFtfL st
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CEFET-RJ 2o. Semestre, 2014
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Exemplo 1
Seja a seguinte integral imprópria:
Podemos avaliar essa integral como a seguir:
Note que se s = 0, então est = 1. Logo, dois casos se aplicam: 
 1lim1limlim
0
00
 
  sbb
bst
b
b st
b
st e
ss
edtedte
 0 dtest
0. se,diverge
e0; se,1
0
0






sdte
s
s
dte
st
st
Exemplo 2
Seja a seguinte integral imprópria:
Podemos calcular essa integral usando integração por partes:
Já que esse limite diverge, a integral original também diverge.
 
  1cossinlim
cossinlim
sinsinlim
coslimcos
00
00
00




 








bsbsb
tstst
tdtstst
tdtsttdtst
b
bb
b
bb
b
b
b
 0 cos tdtst
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Funções Contínuas Por Partes
Uma função f é contínua por partes em um intervalo [a, b] 
se esse intervalo pode ser particionado em um número finito 
de pontos a = t0 < t1 < … < tn = b tais que 
(1) f é contínua em cada (tk, tk+1)
Em outras palavras, f é contínua por partes em [a, b] se ela é 
contínua nesse intervalo exceto para um número finito de 
descontinuidades de salto.
nktf
nktf
k
k
tt
tt
,,1,)(lim)3(
1,,0,)(lim)2(
1








Exemplo 3
Seja f a seguinte função definida-em-partes:
Dessa definição de f, e do gráfico de f abaixo, vemos que f é 
contínua por partes em [0, 3].







321
21,3
10,
)(
2
tt
tt
tt
tf
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4
Exemplo 4
Seja f a seguinte função definida-em-partes:
Dessa definição de f, e do gráfico de f abaixo, vemos que f
não é contínua por partes em [0, 3].
 






 
32,4
21,2
10,1
)( 1
2
t
tt
tt
tf
Teorema 6.1.2
Seja f uma função para a qual o seguinte se aplica:
(1) f é contínua por partes em [0, b] para todo e qualquer b > 0. 
(2) | f(t) |  Keat quando t  M, para constantes a, K, M, com K, M > 0.
Então a Transformada de Laplace de f , definida como
existe para s > a.
Obs: Uma função f que satisfaz as condições especificadas
acima é dita ter ordem exponencial quando t .
  )()()(
0  dttfesFtfL st
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5
Exemplo 5
Seja f (t) = 1 para t  0. Então a transformada de Laplace
F(s) de f é:
 
0,1
lim
lim
1
0
0
0








 


s
s
s
e
dte
dteL
bst
b
b st
b
st
Exemplo 6
Seja f (t) = eat para t  0. Então a transformada de Laplace
F(s) de f é:
 
as
as
as
e
dte
dteeeL
btas
b
b tas
b
atstat








 


,1
lim
lim
0
)(
0
)(
0
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Exemplo 7
Seja f (t) = sin(at) para t  0. Usando integração por partes 
duas vezes, a transformada de Laplace F(s) de f é obtida como:
 
0,)()(1
sin/)sin(lim1
coslim1
cos/)cos(lim
sinlimsin)sin()(
222
2
00
0
00
00



 





 













 
s
as
asFsF
a
s
a
dtate
a
saate
a
s
a
dtate
a
s
a
dtate
a
saate
dtatedtateatLsF
b stbst
b
b st
b
b stbst
b
b st
b
st
Linearidade da Transformada de Laplace
Sejam f e g funções cujas transformadas de Laplace existem 
para s > a1 e s > a2, respectivamente.
Então, para s maior que o máximo de a1 e a2, a transformada 
de Laplace de c1 f (t) + c2g(t) existe, e é tal que
e
    existe )()()()(
0 2121     dttgctfcetgctfcL st
 
   )( )(
 )( )()()(
21
020121
tgLctfLc
dttgecdttfectgctfcL stst

    
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Exemplo 8
Seja f (t) = 5e-2t - 3sin(4t) para t  0. 
Então, pela linearidade da transformada de Laplace, e usando 
os resultados dos exemplos anteriores, a transformada de 
Laplace F(s) de f é: 
 
   
0,
16
12
2
5
)4sin(35
)4sin(35
)}({)(
2
2
2






s
ss
tLeL
teL
tfLsF
t
t
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Seção 6.2: Solução de Problemas de Valor 
Inicial 
A Transformada de Laplace é nomeada em homenagem ao 
matemático francês Laplace, que estudou essa transformação 
em 1782.
As técnicas descritas neste capítulo foram desenvolvidas 
primeiramente por Oliver Heaviside (1850-1925), um 
engenheiro elétrico inglês.
Nesta seção, vemos como a transformada de Laplace pode 
ser usada para resolver problemas de valor inicial para 
equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. 
A transformada de Laplace é útil na solução dessas equações 
diferenciais porque a transformada de f ' é relacionada em uma 
forma simples à transformada de f, como declarado no 
Teorema 6.2.1. 
Teorema 6.2.1
Seja f (t) uma função tal que o seguinte se aplica:
(1) f é contínua e f ' é contínua por partes no intervalo [0, b] para todo b > 0. 
(2) | f(t) |  Keat quando t  M, para as constantes a, K, M, com K, M > 0.
Então, a Transformada de Laplace de f ' existe para s > a, com 
Demonstração (linhas gerais): Para f e f ' contínuas em [0, b], 
temos
De forma similar para f ' contínua por partes em [0, b] (ver
livro-texto). 
    )0()()( ftfsLtfL 


 


 








b stsb
b
b stbst
b
b st
b
dttfesfbfe
dttfestfedttfe
0
000
)()0()(lim
)()()(lim)(lim
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A Transformada de Laplace de f ´´
Logo, se f e f ' satisfazem as hipóteses do Teorema 6.2.1, então 
Agora, suponha que f ' e f '' satisfazem as condições 
especificadas para f e f ' no Theorem 6.2.1. Então, obtemos
De forma similar, podemos derivar uma expressão paraL{f (n)}, 
desde que f e suas derivadas satisfaçam as condições 
adequadas. Esse resultado é dado no Corolário 6.2.2.
   
  
  )0()0()(
)0()0()(
)0()()(
2 fsftfLs
fftfsLs
ftfsLtfL



    )0()()( ftfsLtfL 
Corolário 6.2.2
Seja f (t) uma função tal que o seguinte se aplica:
(1) f , f ', f '' ,…, f (n-1) são contínuas, e f (n) contínua por partes, em [0, b] 
para todo b > 0. 
(2) | f(t) |  Keat, | f '(t) |  Keat , …, | f (n-1)(t) |  Keat para t  M, para
constantes a, K, M, com K, M > 0.
Então, a Transformada de Laplace de f (n) existe para s > a, com
    )0()0()0()0()()( )1()2(21)(   nnnnnn fsffsfstfLstfL 
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3
Exemplo 1: Método do Capítulo 3 (1 de 4)
Seja o problema de valor inicial
Lembre-se que, da Seção 3.1:
Logo r1 = -2 e r2 = -3, e a solução geral tem a forma
Usando as condições iniciais:
Portanto
A seguir, o mesmo problema é resolvido usando a 
Transformada de Laplace.
    30,20,065  yyyyy
   032065)( 2  rrrrety rt
tt ececty 32
2
1)(
 
7,9
332
2
21
21
21 




cc
cc
cc
tt eety 32 79)(  
Exemplo 1: Método da Transformada de Laplace (2 de 4)
Assumimos que o PVI tem uma solução  e que '(t) e ''(t) 
satisfazem as condições do Corolário 6.2.2. Então
e daí
Fazendo Y(s) = L{y}, temos
Substituindo as condições iniciais, obtemos
Portanto
    30,20,065  yyyyy
0}0{}{6}{5}{}65{  LyLyLyLyyyL
    0}{6)0(}{5)0()0(}{2  yLyysLysyyLs
    0)0()0(5)(652  yyssYss
    0352)(652  ssYss
  23
132)(}{ 

ss
ssYyL
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Usando a decomposição em frações parciais, Y(s) pode ser 
reescrita como:
Logo 
      
   
9,7
1332,2
)32()(132
32132
2323
132






BA
BABA
BAsBAs
sBsAs
s
B
s
A
ss
s
   2
9
3
7)(}{  sssYyL
Exemplo 1: Frações Parciais (3 de 4)
Lembrar que da Seção 6.1:
Portanto
Lembrando que Y(s) = L{y}, temos que
e daí
    ,2},{9}{72
9
3
7)( 23 
 seLeL
ss
sY tt
  as
as
dtedteesFeL tasatstat  
   ,1)(
0
)(
0
}97{}{ 23 tt eeLyL  
tt eety 23 97)(  
Exemplo 1: Solução (4 de 4)
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5
Método da Transformada de Laplace Geral
Seja a EDO linear com coeficientes constantes
Assumindo que essa equação tem uma solução y = (t), e que 
'(t) e ''(t) satisfazem as condições do Corolário 6.2.2. Então
Se fazemosY(s) = L{y} e F(s) = L{ f }, então
)(tfcyybya 
)}({}{}{}{}{ tfLycLybLyaLcyybyaL 
   
   
 
cbsas
sF
cbsas
yaybassY
sFyaybassYcbsas
sFycLyysLbysyyLsa




22
2
2
)()0()0()(
)()0()0()(
)(}{)0(}{)0()0(}{
Problema Algébrico
Portanto, a EDO foi transformada em uma equação algébrica
para a qual procuramos y = (t) tal que L{(t)} = Y(s).
Observar que não precisamos resolver as equações 
homogênea e não-homogênea separadamente, nem temos 
uma etapa em separado para usar as condições iniciais para 
determinar os valores dos coeficientes na solução geral.
 
cbsas
sF
cbsas
yaybassY 
 22 )()0()0()(
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6
Polinômio Característico
Usando a transformada de Laplace, o problema de valor inicial 
torna-se
O polinômio no denominador é o polinômio característico 
associado com a equação diferencial. 
A expansão em frações parciais de Y(s) usada para determinar 
exige que determinemos as raízes da equação característica. 
Para equações de ordem mais elevada, isso pode ser difícil, 
especialmente se as raízes forem irracionais ou complexas. 
 
cbsas
sF
cbsas
yaybassY 
 22 )()0()0()(
    00 0,0),( yyyytfcyybya 
Problema Inverso
A principal dificuldade no uso do método da transformada de 
Laplace é a determinação da função y = (t) tal que 
L{(t)} = Y(s). 
Isso é um problema inverso, no qual tentamos descobrir  tal 
que (t) = L-1{Y(s)}. 
Existe uma fórmula geral para L-1, mas ela exige conhecimento 
de teoria de funções de variável complexa, e ela não será 
considerada nesta disciplina.
Pode-se mostrar que se f é contínua com L{f(t)} = F(s), então f
é a única função contínua com f (t) = L-1{F(s)}. 
A Tabela 6.2.1 no livro-texto lista muitas das funções e suas 
transformadas que são encontradas nesse capítulo.
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7
Linearidade da Transformada Inversa
Frequentemente a transformada de Laplace F(s) pode ser 
expressa como
Seja 
Então a função
tem a transformada de Laplace F(s), já que L é linear. 
Pela unicidade de f (t) = L-1{F(s)} do slide anterior, nenhuma 
outra função contínua f tem a mesma transformada F(s). 
Logo L-1 é um operador linear com
)()()()( 21 sFsFsFsF n 
   )()(,,)()( 1111 sFLtfsFLtf nn   
)()()()( 21 tftftftf n 
     )()()()( 1111 sFLsFLsFLtf n  
Exemplo 2
Determinar a transformada de Laplace inversa da função dada.
Para determinar y(t) tal que y(t) = L-1{Y(s)}, primeiro
reescrevemos Y(s):
Usando a Tabela 6.2.1,
Logo
s
sY 2)( 



ss
sY 122)(
    212122)( 111 





 
s
L
s
LsYL
2)( ty
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8
Exemplo 3
Determinar a transformada de Laplace inversa da função dada.
Para determinar y(t) tal que y(t) = L-1{Y(s)}, primeiro 
reescrevemos Y(s):
Usando a Tabela 6.2.1,
Logo
5
3)(  ssY



 5
13
5
3)(
ss
sY
  te
s
L
s
LsYL 5111 3
5
13
5
3)( 









tety 53)( 
Exemplo 4
Determinar a transformada de Laplace inversa da função dada.
Para determinar y(t) tal que y(t) = L-1{Y(s)}, primeiro 
reescrevemos Y(s):
Usando a Tabela 6.2.1,
Logo
4
6)(
s
sY 
44
!36)(
ss
sY 
  3411 !3)( tsLsYL 


 
3)( tty 
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9
Exemplo 5
Determinar a transformada de Laplace inversa da função dada.
Para determinar y(t) tal que y(t) = L-1{Y(s)}, primeiro 
reescrevemos Y(s):
Usando a Tabela 6.2.1,
Logo







 333 !24!2!2
88)(
sss
sY
  231311 4!24!24)( tsLsLsYL 





 

 
24)( tty 
3
8)(
s
sY 
Exemplo 6
Determinar a transformada de Laplace inversa da função dada.
Para determinar y(t) tal que y(t) = L-1{Y(s)}, primeiro 
reescrevemos Y(s):
Usando a Tabela 6.2.1,
Logo








9
3
3
1
9
4
9
14)( 222 ss
s
s
ssY
  tt
s
L
s
sLsYL 3sin
3
13cos4
9
3
3
1
9
4)( 2
1
2
11 









ttty 3sin
3
13cos4)( 
9
14)( 2 

s
ssY
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Exemplo 7
Determinar a transformada de Laplace inversa da função dada.
Para determinar y(t) tal que y(t) = L-1{Y(s)}, primeiro 
reescrevemos Y(s):
Usando a Tabela 6.2.1,Logo








9
3
3
1
9
4
9
14)( 222 ss
s
s
ssY
  tt
s
L
s
sLsYL 3sinh
3
13cosh4
9
3
3
1
9
4)( 2
1
2
11 









ttty 3sinh
3
13cosh4)( 
9
14)( 2 

s
ssY
Exemplo 8
Determinar a transformada de Laplace inversa da função dada.
Para determinar y(t) tal que y(t) = L-1{Y(s)}, primeiro 
reescrevemos Y(s):
Usando a Tabela 6.2.1,
Logo
    tetsLsYL  




2
3
11 5
1
!25)(
tetty  25)(
 31
10)(  ssY
      





 333 1
!25
1
!2
!2
10
1
10)(
sss
sY
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11
Exemplo 9
Para a função Y(s) abaixo, determinamos y(t) = L-1{Y(s)} 
usando a expansão em frações parciais, como segue. 
tt eety
ss
sY
BA
ABBA
ABsBAs
sBsAs
s
B
s
A
ss
s
ss
ssY
34
2
7
10
7
11)(
3
1
7
10
4
1
7
11)(
7/10,7/11
134,3
)34()(13
)4()3(13
34)3)(4(
13
12
13)(















Exemplo 10
Para a função Y(s) abaixo, determinamos y(t) = L-1{Y(s)} 
completando o quadrado no denominador e rearranjando o 
numerador, como segue. 
Usando a Tabela 6.1, obtemos
   
 
      












13
12
13
34
13
234
13
2124
196
104
106
104)(
222
222
ss
s
s
s
s
s
ss
s
ss
ssY
tetety tt sin2cos4)( 33 
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12
Exemplo 11: Probema de Valor Inicial (1 de 2)
Seja o PVI
Tomando a transformada de Laplace da EDO, e assumindo 
que as condições do Corolário 6.2.2 se verificam, então
Fazendo Y(s) = L{y}, temos
Substituindo as condições iniciais, obtemos
Logo
    60,00,0258  yyyyy
    0}{25)0(}{8)0()0(}{2  yLyysLysyyLs
    0)0()0(8)(2582  yyssYss
258
6)(}{ 2  sssYyL
  06)(2582  sYss
Completando os quadrados, obtemos
Logo
Usando a Tabela 6.2.1, obtemos
Portanto, a solução do PVI é
  9168 62586)( 22  sssssY
  


 94
32)( 2s
sY
  tesYL t 3sin2)( 41 
tety t 3sin2)( 4
Exemplo 11: Solução (2 de 2)
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13
Exemplo 12: Problema Não-homogêneo (1 de 2)
Seja o problema de valor inicial
Tomando a transformada de Laplace da equação diferencial, e 
assumindo as condições do Corolário 6.2.2 se aplicam, obtemos
Fazendo Y(s) = L{y}, resulta
Substituindo as condições iniciais, obtém-se
Logo
    10,20,2sin  yytyy
  )4/(2}{)0()0(}{ 22  syLysyyLs
  )4/(2)0()0()(1 22  sysysYs
)4)(1(
682)( 22
23


ss
ssssY
  )4/(212)(1 22  sssYs
Usando frações parciais, 
Então
Resolvendo, obtém-se A = 2, B = 5/3, C = 0, e D = -2/3. Logo
Cuja transformada inversa é 
Exemplo 12: Solução (2 de 2)
41)4)(1(
682)( 2222
23




s
DCs
s
BAs
ss
ssssY
     
)4()4()()(
14682
23
2223
DBsCAsDBsCA
sDCssBAssss


4
3/2
1
3/5
1
2)( 222  sss
ssY
tttty 2sin
3
1sin
3
5cos2)( 
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304 Chapter 6. The Laplace Transform
TABLE 6.2.1 Elementary Laplace Transforms
f (t) = L−1{F(s)} F(s) = L{ f (t)} Notes
1. 1
1
s
, s > 0 Sec. 6.1; Ex. 4
2. eat
1
s − a , s > a Sec. 6.1; Ex. 5
3. tn; n = positive integer n!
sn+1
, s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27
4. t p, p > −1 
(p + 1)
s p+1
, s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27
5. sin at a
s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Ex. 6
6. cos at
s
s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 6
7. sinh at
a
s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 8
8. cosh at
s
s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 7
9. eat sin bt
b
(s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 13
10. eat cos bt
s − a
(s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 14
11. tneat , n = positive integer n!
(s − a)n+1 , s > a Sec. 6.1; Prob. 18
12. u
c
(t)
e−cs
s
, s > 0 Sec. 6.3
13. u
c
(t) f (t − c) e−cs F(s) Sec. 6.3
14. ect f (t) F(s − c) Sec. 6.3
15. f (ct) 1
c
F
( s
c
)
, c > 0 Sec. 6.3; Prob. 19
16.
∫ t
0
f (t − τ )g(τ ) dτ F(s)G(s) Sec. 6.6
17. δ(t − c) e−cs Sec. 6.5
18. f (n)(t) sn F(s)− sn−1 f (0)− · · · − f (n−1)(0) Sec. 6.2
19. (−t)n f (t) F (n)(s) Sec. 6.2; Prob. 28
1
Seção 6.3: Funções Degrau 
Algumas das aplicações elementares mais interessantes da 
Transformada de Laplace acontecem na solução de equações 
lineares com funções forçadas descontínuas ou impulsivas. 
Nesta seção, assumiremos que todas as funções consideradas 
são contínuas por partes e de ordem exponencial, de modo que 
suas Transformadas de Laplace existem todas, para s grande 
o suficiente. 
Definição de Funções Degrau
Seja c  0. A função degrau unitária, ou função de 
Heaviside, é definida por
Um degrau negativo pode ser representado por




ct
ct
tuc ,1
,0
)(




ct
ct
tuty c ,0
,1
)(1)(
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2
Exemplo 1
Faça o esboço do gráfico de 
Solução: Lembre-se que uc(t) é definida por 
Logo
e daí o gráfico de h(t) é um pulso retangular. 
0),()()( 2  ttututh 




ct
ct
tuc ,1
,0
)(







t
t
t
th



20
2,1
0,0
)(
Transformada de Laplace da Função Degrau
A Transformada de Laplace de uc(t) é 
 
s
e
s
e
s
e
e
s
dte
dtedttuetuL
cs
csbs
b
b
c
st
b
b
c
st
b
c
st
c
st
c







  



 



 



lim
1limlim
)()(
0
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3
Funções Transladadas
Dada uma função f (t) definida para t  0, estaremos
frequentemente considerando a função relacionada
g(t) = uc(t) f (t - c), tal que: 
Logo g representa uma translação de f uma distância c na
direção positiva de t .
Na figura abaixo, o gráfico de f é dado à esquerda, e o gráfico
de g à direita.




ctctf
ct
tg
),(
,0
)(
Exemplo 2
Faça o esboço do gráfico de 
Solução: Lembre-se que uc(t) é definida por 
Logo
e daí o gráfico de g(t) é uma parábola deslocada. 
.0,)( onde),()1()( 21  tttftutftg




ct
ct
tuc ,1
,0
)(




1,)1(
10,0
)( 2 tt
t
tg
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4
Teorema 6.3.1
Se F(s) = L{f (t)} existe para s > a  0, e se c > 0, então
De outra forma, se f (t) = L-1{F(s)}, então
Logo, a translação de f (t) uma distância c na direção positiva 
de t corresponde a uma multiplicação de F(s) por e-cs.
    )()()()( sFetfLectftuL cscsc  
 )()()( 1 sFeLctftu csc 
Teorema 6.3.1: Resumo da Demonstração
Precisamos mostrar que
Usando a definição da Transformada de Laplace, obtém-se
 
)(
)(
)(
)(
)()()()(
0
0
)(
0
sFe
duufee
duufe
dtctfe
dtctftuectftuL
cs
sucs
cus
ctu
c
st
c
st
c

 
 
 
 









  )()()( sFectftuL csc 
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5
Exemplo 3
Determinar a transformada de Laplace de 
Solução: observar que
Portanto
)()1()( 1
2 tuttf 




1,)1(
10,0
)( 2 tt
t
tf
      3221 2)1)(()( setLettuLtfL
s
s

 
Exemplo 4
Calcular L{ f (t)}, onde f é definida por
Observar que f (t) = sin(t) + u/4(t) cos(t - /4), e




4/),4/cos(sin
4/0,sin
)( 

ttt
tt
tf
     
   
1
1
11
1
cossin
)4/cos()(sin)(
2
4/
2
4/
2
4/
4/








s
se
s
se
s
tLetL
ttuLtLtfL
s
s
s



 
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6
Exemplo 5
Determinar L-1{F(s)}, onde
Solução: 
4
73)(
s
esF
s
 373
4
71
4
1
4
7
1
4
1
7)(
6
1
2
1
!3
6
1!3
2
1
3)(




 













ttut
s
eL
s
L
s
eL
s
Ltf
s
s
Teorema 6.3.2
Se F(s) = L{f (t)} existe para s > a  0, e se c é uma constante, 
então
De outra forma, se f (t) = L-1{F(s)}, então
Logo, a multiplicação de f (t) por ect resulta na translação de 
F(s) uma distância c na direção positiva de t , e vice-versa.
Resumo da demonstração:
  cascsFtfeL ct  ),()(
 )()( 1 csFLtfect  
  )()()()(
0
)(
0
csFdttfedttfeetfeL tcsctstct     
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7
Exemplo 4
Determinar a transformada inversa de 
Para resolver, primeiro completamos o quadrado:
Já que 
segue que 
52
1)( 2 

ss
ssG
     41 1412 152 1)( 222     s sss sss ssG
     tetfesFLsGL tt 2cos)()1()( 11  
   t
s
sLsFLtf 2cos
4
)()( 2
11 





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1
Seção 6.4: Equações Diferenciais com 
Funções Forçadas Descontínuas 
Nesta seção são apresentados exemplos de problemas de valor 
inicial não-homogêneos em que as funções de força são 
descontínuas.
    00 0,0),( yyyytgcyybya 
Exemplo 1: problema de Valor Inicial (1 de 12)
Determinar a solução do problema de valor inicial
Tal problema de valor inicial é modelo para a resposta de um 
oscilador amortecido sujeito a g(t), ou a corrente em um 
circuito para uma voltagem de pulso unitário g(t). 





 20 e 50,0
205,1
)()()(
onde
0)0(,0)0(),(22
205 tt
t
tututg
yytgyyy
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2
Assumindo que as condições do Corolário 6.2.2 se verificam. 
Então
ou
Fazendo Y(s) = L{y}, 
Substituindo as condições iniciais, obtém-se
Logo
)}({)}({}{2}{}{2 205 tuLtuLyLyLyL 
   
s
eeyLyysLysyyLs
ss 205
2 }{2)0(}{)0(2)0(2}{2
 
      seeyyssYss ss 2052 )0(2)0(12)(22  
Exemplo 1: Transformada de Laplace (2 de 12)
    seesYss ss 2052 )(22  
  22)( 2
205



sss
eesY
ss
0)0(,0)0(),()(22 205  yytutuyyy
Temos
onde 
Se fazemos h(t) = L-1{H(s)}, então
pelo Teorema 6.3.1.
)20()()5()()( 205  thtuthtuty 
Exemplo 1: Fatorando Y(s) (3 de 12)
     )(22)( 2052
205
sHee
sss
eesY ss
ss




 22 1)( 2  ssssH
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3
Logo, decompomos H(s), como segue:
Essa decomposição em frações parciais implica que 
Portanto
Exemplo 1: Frações Parciais (4 de 12)
  2222 1)( 22  ss CBssAssssH
2/1,1,2/1
12)()2( 2


CBA
AsCAsBA
22
2/12/1)( 2 

ss
s
s
sH
Completando os quadrados,
Exemplo 1: Completando os quadrados (5 de12)
 
 
  





















16/154/1
4/14/1
2
12/1
16/154/1
2/1
2
12/1
16/1516/12/
2/1
2
12/1
12/
2/1
2
12/1
22
2/12/1)(
2
2
2
2
2
s
s
s
s
s
s
ss
s
s
ss
s
s
ss
s
s
sH
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4
Logo
e daí
Para h(t) como dada acima, e lembrando o resultado anterior, 
a solução do problema de valor inicial é então
Exemplo 1: Solução (6 de 12)
 
 
 
    












16/154/1
4/15
152
1
16/154/1
4/1
2
12/1
16/154/1
4/14/1
2
12/1)(
22
2
ss
s
s
s
s
s
sH






  tetesHLth tt
4
15sin
152
1
4
15cos
2
1
2
1)}({)( 4/4/1
)20()()5()()( 205  thtuthtut
Logo, a solução do problema de valor inicial é 
O gráfico dessa solução é dado abaixo.
Exemplo 1: Gráfico da Solução (7 de 12)
   415sen
152
1415cos
2
1
2
1)(
onde ),20()()5()()(
4/4/
205
teteth
thtuthtut
tt  

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5
A solução do PVI original pode ser visto como uma composição 
de três soluções separadas para três PVIs separados: 
Exemplo 1: PVIs Compostos (8 de 12)
)20()20(),20()20(,022:20
0)5(,0)5(,122:205
0)0(,0)0(,022:50
2323333
22222
11111
yyyyyyyt
yyyyyt
yyyyyt



Seja o primeiro problema de valor inicial
De um ponto-de-vista físico, o sistema está inicialmente em 
repouso, e já que não existe nenhuma força externa, ele 
permanece em repouso. 
Logo, a solução no intervalo [0, 5) é y1 = 0, e isso pode ser 
verificado analiticamente também. Ver gráficos abaixo. 
Exemplo 1: Primeiro PVI (9 de 12)
50;0)0(,0)0(,022 11111  tyyyyy
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6
Seja o segundo problema de valor inicial
Usando métodos do capítulo 3, a solução tem a forma
Fisicamente, o sistema responde com a soma de uma constante 
(a resposta a uma função de força constante) e uma oscilação 
amortecida no intervalo de tempo (5, 20). Ver gráfico abaixo.
Exemplo 1: Segundo PVI (10 de 12)
205;0)5()5(,0)5()5(,122 1212222  tyyyyyyy
    2/14/15sin4/15cos 4/24/12   tectecy tt
Seja o terceiro problema de valor inicial
Usando métodos do Capítulo 3, a solução tem a forma
Fisicamente, já que não há qualquer força externa, a resposta é 
uma oscilação amortecida em torno de y = 0 para t > 20. Ver 
gráficos abaixo.
Exemplo 1: Terceiro PVI (11 de 12)
   4/15sin4/15cos 4/24/13 tectecy tt  
20);20()20(),20()20(,022 2323333  tyyyyyyy
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7
A solução é
Pode-se mostrar que  e ' são contínuas em t = 5 e t = 20, e ''
tem um salto de 1/2 em t = 5 e um salto de –1/2 em t = 20:
Logo, o salto no termo de força g(t) nesses pontos é balanceado 
por um salto correspondente no termo de ordem mais alta 2y'' 
na EDO. 
Exemplo 1: Suavidade da Solução (12 de 12)
)20()()5()()( 205  thtuthtut
-.5072)(lim,-.0072)(lim
2/1)(lim,0)(lim
2020
55






tt
tt
tt
tt


Seja a EDO linear de segunda ordem geral
onde p e q são funções contínuas em algum intervalo (a, b) masg é apenas contínua por partes neste mesmo intervalo. 
Se y = (t) é uma solução, então  e  ' são contínuas em (a, b) 
mas  '' tem uma descontinuidade de salto nos mesmos pontos 
que g. 
Do mesmo modo para EDOs de ordem mais elevada, onde a 
derivada de maior ordem da solução tem uma descontinuidade 
de salto nos mesmos pontos que a função de força g , mas a 
solução propriamente dita e suas derivadas de ordem mais 
baixas são contínuas no intervalo (a, b). 
Suavidade da Solução em Geral
)()()( tgytqytpy 
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8
Determinar a solução para o problema de valor inicial
O gráfico da função de força
g(t) é dado à direita, e é
conhecido como carregamento
de rampa (“ramp loading”). 
 








10,1
10555
50,0
5
10)(
5
5)()(
onde
0)0(,0)0(),(4
105
t
tt
t
ttuttutg
yytgyy
Exemplo 2: Problema de Valor Inicial (1 de 12)
Assume-se que essa EDO tem uma solução y = (t) e que '(t) 
e ''(t) satisfaz as condições do Corolário 6.2.2. Logo
ou
Fazendo Y(s) = L{y}, e substituindo as condições iniciais,
Portanto
      5}10)({5}5)({}{4}{ 105  ttuLttuLyLyL
  2 1052 5}{4)0()0(}{ seeyLysyyLs
ss  
Exemplo 2: Transformada de Laplace (2 de 12)
    21052 5)(4 seesYs ss  
  45)( 22
105



ss
eesY
ss
0)0(,0)0(,
5
10)(
5
5)(4 105  yyttuttuyy
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9
Temos
onde 
Se fazemos h(t) = L-1{H(s)}, então
pelo Teorema 6.3.1.
 )10()()5()(
5
1)( 105  thtuthtuty 
Exemplo 2: Fatorando Y(s) (3 de 12)
   )(545)(
105
22
105
sHee
ss
eesY
ssss  

 41)( 22  sssH
Logo, decompomos H(s) como segue abaixo:
Essa decomposição em frações parciais implica 
Portanto
Exemplo 2: Frações Parciais (4 de 12)
  441)( 2222  s DCssBsAsssH
4/1,0,4/1,0
144)()( 23


DCBA
BAssDBsCA
4
4/14/1)( 22  sssH
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10
Portanto
e daí
Para h(t) dada acima, e lembrando os resultados anteriores, a 
solução do problema de valor inicial é então
Exemplo 2: Solução (5 de 12)
 ttsHLth 2sin
8
1
4
1)}({)( 1  







4
2
8
11
4
1
4
4/14/1)(
22
22
ss
ss
sH
 )10()()5()(
5
1)( 105  thtuthtuty 
Logo, a solução do problema de valor inicial é 
O gráfico dessa solução é dado abaixo.
Exemplo 2: Gráfico da Solução (6 de 12)
 
 ttth
thtuthtut
2sin
8
1
4
1)(
 where,)10()()5()(
5
1)( 105


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11
A solução do PVI original pode ser vista como composta de 
três soluções separadas para três PVIs separados (discutir): 
Exemplo 2: PVIs Compostos (7 de 12)
)10()10(),10()10(,14:10
0)5(,0)5(,5/)5(4:105
0)0(,0)0(,04:50
232333
2222
1111
yyyyyyt
yytyyt
yyyyt



Seja o primeiro problema de valor inicial
De um ponto-de-vista físico, o sistema está inicialmente em 
repouso e, desde que não haja qualquer força externa, ele 
permanece em repouso. 
Logo, a solução no intervalo [0, 5) é y1 = 0, e isso pode ser 
verificado analiticamente também. Ver gráfico abaixo. 
Exemplo 2: Primeiro PVI (8 de 12)
50;0)0(,0)0(,04 1111  tyyyy
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12
Seja o segundo problema de valor inicial
Usando os métodos do Capítulo 3, a solução tem a forma
Logo, a solução é uma oscilação em torno da reta (t – 5)/20, 
sobre o intervalo de tempo (5, 10). Ver gráfico abaixo.
Exemplo 2: Segundo PVI (9 de 12)
105;0)5(,0)5(,5/)5(4 2222  tyytyy
    4/120/2sin2cos 212  ttctcy
Seja o terceiro problema de valor inicial
Usando os métodos do Capítulo 3, a solução tem a forma
Logo,a solução é uma oscilação em torno de y = 1/4,para t > 10. 
Ver gráficos abaixo.
Exemplo 2: Terceiro PVI (10 de 12)
10);10()10(),10()10(,14 232333  tyyyyyy
    4/12sin2cos 213  tctcy
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13
Lembre-se que a solução do PVI é 
Para calcular a amplitude da oscilação estacionária eventual, 
localizamos um dos pontos de máximo ou mínimo para t > 10. 
Resolvendo y' = 0, o primeiro máximo é (10.642, 0.2979). 
Logo, a amplitude da oscilação é cerca de 0.0479.
Exemplo 2: Amplitude (11 de 12)
   ttththtuthtuty 2sin
8
1
4
1)( ,)10()()5()(
5
1)( 105  
A solução é
Nesse exemplo, a função de força g é contínua mas g' é 
descontínua em t = 5 e t = 10.
Segue que  e suas duas primeiras derivadas são contínuas em 
todos os pontos, mas ''' tem descontinuidades em t = 5 and 
t = 10 que correspondem às descontinuidades de g' .
Exemplo 2: Suavidade da Solução (12 de 12)
   ttththtuthtuty 2sin
8
1
4
1)( ,)10()()5()(
5
1)( 105 
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1
Seção 6.5: Funções Impulso 
Em algumas aplicações, é necessário lidar com fenômenos de 
natureza impulsiva. 
Por exemplo, um circuito elétrico ou sistema mecânico sujeito 
a uma voltagem ou força súbita g(t) de grande magnitude que 
atua num curto intervalo de tempo em torno de t0. A equação 
diferencial terá então a forma
 pequeno. é 0 e
 forma outra de,0
,grande
)(
onde
),(
00


 


 ttt
tg
tgcyybya
Medida do Impulso
Em um sistema mecânico, onde g(t) é uma força, o impulso
total dessa força é medida pela integral 
Observar que se g(t) tem a forma 
então
Em particular, se c = 1/(2), então I() = 1 (independente de  ).
    00 )()()( tt dttgdttgI

 
 forma outra de,0
,
)( 00
 tttc
tg
0,2)()()( 0
0
     cdttgdttgI tt
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2
Função Impulso Unitária
Assumir que a função de força d(t) tem a forma 
Então, como vimos, I() = 1. 
Estamos interessados em d(t) atuando
num intervalo de tempo mais curto e
mais curto (i.e.,   0). Ver gráfico.
Observar que d(t) torna-se mais alta e
mais estreita quando   0. Logo, para
t  0, tem-se

 
 forma outra de,0
,21
)(


t
td
1)(limand,0)(lim
00
   Itd
Função Delta de Dirac
Logo, para t  0, tem-se
A função de impulso unitário  é definida para ter as 
propriedades
A função de impulso unitário é um exemplo de uma função
generalizada e é comumente chamada de função delta de Dirac. 
Em geral, para uma função de impulso unitário em um ponto
arbitrário t0,
1)(lime,0)(lim
00
   Itd
1)(e,0 para0)(   dtttt 
1)(e, para0)( 000   dttttttt 
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3
Transformada de Laplace de  (1 de 2)
A Transformada de Laplace de  é tal que 
e, portanto
    0,)(lim)( 0000   tttdLttL 
 
    
00
0
0
00
0
0
0
0
)cosh(lim
)sinh(lim
2
lim
2
1lim
2
lim
2
1lim)(lim)(
0
00
00
00 000
stst
st
ssst
tsts
t
t
st
t
t
stst
e
s
sse
s
seee
s
e
ee
ss
e
dtedtttdettL
















 








 

 
















Transformada de Laplace de  (2 de 2)
A Transformada de Laplace de  é
Para a Transformada de Laplace de  em t0= 0, toma-se o 
limite como segue: 
Por exemplo, quando t0= 10, temos L{(t -10)} = e-10s. 
  0,)( 00 0   tettL st
    1lim)(lim)( 0
00 0
00
 
st
tt
ettdLtL 
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4
Produto de Funções Contínuas e 
O produto da função delta e uma função contínua f pode ser 
integrada, usando o teorema do valor médio para integrais: 
Portanto 
 
)(
*)(lim
)* onde( *)(2
2
1lim
)(
2
1lim
)()(lim)()(
0
0
000
0
000
0
0
tf
tf
ttttf
dttf
dttfttddttftt
t
t























)()()( 00 tfdttftt  
Seja a solução para o problema de valor inicial
Então
Fazendo Y(s) = L{y}, 
Substituindo as condições iniciais, obtemos
ou
)}7({}{2}{}{2  tLyLyLyL 
    sesYyssYysysYs 72 )(2)0()()0(2)0(2)(2 
Exemplo 1: Problema de Valor Inicial (1 de 3)
  sesYss 72 )(22 
22
)( 2
7


ss
esY
s
0)0(,0)0(),7(22  yytyyy 
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5
Temos
A expansão em frações parciais de Y(s) produz
e daí
Exemplo 1: Solução (2 de 3)
22
)( 2
7


ss
esY
s
  




16/154/1
4/15
152
)( 2
7
s
esY
s
   7
4
15sen)(
152
1)( 4/77   tetuty t
Com condições iniciais homogêneas em t = 0 e nenhuma 
excitação externa até t = 7, não há qualquer resposta em (0, 7). 
O impulso em t = 7 produz uma oscilação de amplitude 
decrescente que persiste indefinidamente. 
A resposta é contínua em t = 7 apesar da singularidade na 
função de força. Já que y' tem uma descontinuidade de salto 
em t = 7, y'' tem uma descontinuidade infinita lá. Logo, a 
singularidade na função de força é balanceada por uma 
singularidade correspondente em y''.
Exemplo 1: Comportamento da Solução (3 de 3)
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1
Seção 6.6: A Integral de Convolução 
Algumas vezes é possível escrever uma Transformada de 
Laplace H(s) como H(s) = F(s)G(s), onde F(s) e G(s) são as 
transformadas de funções conhecidas f e g, respectivamente.
Nesse caso, poderíamos esperar que H(s) fosse a transformada 
do produto de f e g. Ou seja, será que é válida a igualdade
H(s) = F(s)G(s) = L{f }L{g} = L{f g}?
No próximo slide damos um exemplo que mostra que essa 
igualdade não se verifica, e daí a transformada de Laplace não 
pode, geralmente, ser comutado com multiplicação ordinária. 
Nesta seção examinamos a convolução de f e g, que pode ser 
vista como um produto generalizado, e um para o qual a 
transformada de Laplace de fato comuta. 
Exemplo 1
Seja f (t) = 1 e g(t) = sin(t). Lembrar que as Transformadas de 
Laplace de f e g são 
Logo
e 
Portanto, para essas funções segue que 
   
1
1sen)()( 2  stLtgtfL
       
1
1sen)(,11)( 2  stLtgLsLtfL
     )()()()( tgLtfLtgtfL 
     11)()( 2  sstgLtfL
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2
Teorema 6.6.1
Suponha que tanto F(s) = L{f (t)} quanto G(s) = L{g(t)} 
existam para s > a  0. Então H(s) = F(s)G(s) = L{h(t)} para 
s > a, onde
A função h(t) é conhecida como a convolução de f e g e as 
integrais acima são conhecidas como integrais de convolução.
Obs.: a igualdade das duas integrais de convolução pode ser 
verificada fazendo a substituição u = t - . 
A integral de convolução define um “produto generalizado” e 
pode ser escrita como h(t) = ( f *g)(t). Ver livro-texto para 
mais detalhes.
  tt dtgtfdgtfth 00 )()()()()( 
Teorema 6.6.1 Resumo da Demonstração
 )(
)()(
)()(
)()(
)()()(
)()(
)()()()(
00
0 0
0
0
0 0
)(
0 0
thL
dtdgtfe
dtdgtfe
ddttfge
utdttfedg
duufedg
dgeduufesGsF
tst
t st
st
st
us
ssu



 






 
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  










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3
Exemplo 2
Determinar a Transformada de Laplace da função h dada 
abaixo.
Solução: Observar que f (t) = t e g(t) = sin2t, com
Portanto, pelo Teorema 6.6.1, 
4
2}2{sin)}({)(
1}{)}({)(
2
2


s
tLtgLsG
s
tLtfLsF
  t tdtth 0 2sin)()( 
   42)()()()( 22  sssGsFsHthL
Exemplo 3: Determinar a Transformada Inversa
(1 de 2)
Determinar a Transformada de Laplace inversa de H(s), dada 
abaixo.
Solução: Seja F(s) = 2/s2 e G(s) = 1/(s - 2), com
Portanto, pelo Teorema 6.6.1, 
 
  tesGLtg
tsFLtf
21
1
)()(
2)()(




)2(
2)( 2  sssH
    t detthsHL 0 21 )(2)()(  
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4
Exemplo 3: Solução h(t) (2 de 2)
Podemos integrar para simplificar h(t), como segue.
   
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
11
22)(2)(
2
222
222
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2




 


 



te
eettte
eetet
deete
dedetdetth
t
ttt
ttt
ttt
ttt




Determinar a solução do problema de valor inicial
Solução: 
ou
Fazendo Y(s) = L{y}, e substituindo as condições iniciais,
Portanto
)}({}{4}{ tgLyLyL 
  )(}{4)0()0(}{2 sGyLysyyLs 
Exemplo 4: Problema de Valor Inicial (1 de 4)
  )(13)(42 sGssYs 
4
)(
4
13)( 22 

s
sG
s
ssY
1)0(,3)0(),(4  yytgyy
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5
Temos
Portanto
Observar que, se g(t) é dada, então a integral de convolução 
pode ser avaliada. 
 dgtttty t )()(2sin
2
12sin
2
12cos3)(
0 
Exemplo 4: Solução (2 de 4)
)(
4
2
2
1
4
2
2
1
4
3
4
)(
4
13)(
222
22
sG
sss
s
s
sG
s
ssY












Lembre-se que a Transformada de Laplace da solução y é 
Observar que  (s) depende apenas dos coeficientes do sistema 
e condições iniciais, ao passo que  (s) depende apenas dos 
coeficientes do sistema e função de força g(t). 
Além disso, (t) = L-1{ (s)} é solução do PVI homogêneo 
enquanto (t) = L-1{ (s)} é solução do PVI não-homogêneo
Exemplo 4: 
Transformada de Laplace da Solução (3 de 4)
)()(
4
)(
4
13)( 22 sΨsΦs
sG
s
ssY 

1)0(,3)0(),(4  yytgyy
1)0(,3)0(,04  yyyy
0)0(,0)0(),(4  yytgyy
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6
Examinando  (s) mais de perto,
A função H(s) é conhecida como a função de transferência, e 
depende apenas dos coeficientes do sistema. 
A função G(s) depende apenas da solicitação externa g(t) 
aplicada ao sistema.
Se G(s) = 1, então g(t) = (t) e daí h(t) = L-1{H(s)} é solução do 
PVI não-homogêneo
Logo, h(t) é a resposta do sistema ao impulso unitário aplicado 
em t = 0.Daí h(t) é chamada de resposta impulsiva do sistema.
Exemplo 4: Função de Transferência (4 de 4)
4
1)( onde),()(
4
)()( 22  ssHsGsHs
sGsΨ
0)0(,0)0(),(4  yytyy 
Seja o problema de valor inicial geral:
Esse PVI é frequentemente chamado de problema input-
output. Os coeficientes a, b, c descrevem propriedades do 
sistema físico, e g(t) é o input do sistema. Os valores y0 e y0'
descrevem o estado inicial do sistema, e a solução y é o output
no instante t. 
Usando a transformada de Laplace, obtemos
ou 
Problema Input-Output (1 de 3)
00 )0(,)0(),( yyyytgcyybya 
    )()()0()()0()0()(2 sGscYyssYbysysYsa 
)()()()()( 22
00 sΨsΦ
cbsas
sG
cbsas
yaybassY 

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) Prof. Marcos H. da Silva Bassani
CEFET-RJ 2o. Semestre, 2014
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Temos
Como antes,  (s) depende apenas dos coeficientes do 
sistema e condições iniciais, enquanto  (s) depende apenas 
dos coeficientes do sistema e função de força g(t). 
Além disso, (t) = L-1{ (s)} é solução do PVI homogêneo 
enquanto (t) = L-1{ (s)} é solução do PVI não-homogêneo 
Transformada de Laplace da Solução (2 de 3)
00 )0(,)0(,0 yyyycyybya 
0)0(,0)0(),(  yytgcyybya
00 )0(,)0(),( yyyytgcyybya 
)()()()()( 22
00 sΨsΦ
cbsas
sG
cbsas
yaybassY 

Examinando  (s) mais de perto,
Como antes, H(s) é a função de transferência, e depende 
apenas dos coeficientes do sistema, enquanto G(s) depende 
apenas da solicitação externa g(t) aplicada ao sistema.
Logo, se G(s) = 1, então g(t) = (t) e daí h(t) = L-1{H(s)} é 
solução do PVI não-homogêneo
Portanto, h(t) é a resposta do sistema ao impulso unitário em t = 
0, e daí h(t) é chamada de resposta impulsiva do sistema, com
Função de Transferência (3 de 3)
0)0(,0)0(),(  yytcyybya 
cbsas
sHsGsH
cbsas
sGsΨ  22
1)( where),()()()(
   dgthsGsHLt t )()( )()()(
0
1   
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) Prof. Marcos H. da Silva Bassani
CEFET-RJ 2o. Semestre, 2014
	Capítulo 6: Transformadas de Laplace
	Seção 6.1null
	Seção 6.2null
	Tabela 6.2.1 Transformadas de Laplace Elementaresnull
	Seção 6.3null
	Seção 6.4null
	Seção 6.5null
	Seção 6.6null