EDO Slides 01 2017 1

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Capítulo 1 Introdução
1.1 Modelos Matemáticos Básicos; Campo de Direções
1.2 Soluções de Algumas Equações Diferenciais
1.3 Classificação de Equações Diferenciais
1.4 Anotações Históricas
1.1 Modelos Matemáticos Básicos e
Campos de Direções
Equações diferenciais são equações contendo derivadas. 
Abaixo são apresentados alguns exemplos de fenômenos 
físicos envolvendo taxas de variação:
Escoamento de fluidos
Movimento de sistemas mecânicos
Escoamento de corrente em circuitos elétricos
Dissipação de calor em objetos sólidos 
Ondas sísmicas
Dinâmica das populações
Uma equação diferencial que descreve um processo físico é 
chamada frequentemente de modelo matemático. 
Capítulo 1: Introdução Prof. Marcos H. da Silva Bassani
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Exemplo 1: Queda sob ação da gravidade
(1 de 4)
Objetivo: Formular uma equação diferencial descrevendo o 
movimento de um objeto em queda na atmosfera próxima ao 
nível do mar. 
Variáveis: tempo t, velocidade v
2a. Lei de Newton: F = ma = m(dv/dt) força resultante
Força da gravidade: F = mg força para baixo
Força de resistência do ar: F =  v força para cima
Então 
Tomando g = 9.8 m/sec2, m = 10 kg,  = 2 kg/sec, 
nós obtemos 
vmg
dt
dvm 
v
dt
dv 2.08.9 
Exemplo 1: Esboço do campo de direções 
(2 de 4)
Usando equação diferencial e tabela, plotar as inclinações 
(estimativas) no sistema de eixos abaixo. O gráfico 
resultante é chamado de um campo de direções. (Notar que 
os valores de v não dependem de t.)
v v'
0 9.8
5 8.8
10 7.8
15 6.8
20 5.8
25 4.8
30 3.8
35 2.8
40 1.8
45 0.8
50 -0.2
55 -1.2
60 -2.2
vv 2.08.9 
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Exemplo 1: 
Campo de Direções usando o Maple (3 de 4)
Amostra de comandos Maple para plotar o campo de 
direções:
Com o pacote DEtools:
DEplot(diff(v(t),t)=9.8-v(t)/5,v(t),
t=0..10,v=0..80,stepsize=.1,color=blue);
Quando for plotar o campo de direções, certifique-se de usar 
uma janela apropriada, de tal modo a mostrar todas as 
soluções de equilíbrio e os aspectos mais relevantes da 
solução.
vv 2.08.9 
Exemplo 1: 
Campo de Direções & Soluções de Equilíbrio (4 de 4)
Setas são mostradas tangentes às curvas de solução, e 
indicam onde a solução é crescente ou decrescente (e, através 
do seu comprimento, de quanto). 
Curvas horizontais são chamadas soluções de equilíbrio. 
Usar o gráfico abaixo para determinar a solução de 
equilíbrio, e então calcule-a analiticamente fazendo v' = 0.
49
2.0
8.9
02.08.9
:0Set




v
v
v
v
vv 2.08.9 
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Soluções de Equilíbrio
Em geral, para uma equação diferencial da forma 
determina-se as soluções de equilíbrio fazendo y' = 0 e 
resolvendo para y :
Exemplo: Calcule as soluções de equilíbrio das equações 
seguintes:
,bayy 
a
bty )(
)2(352  yyyyyyy
Exemplo 2: Análise Gráfica
Discutir o comportamento das soluções e a dependência do 
valor inicial y(0) para a equação abaixo, usando o campo de 
direções correspondente.
yy  2
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Exemplo 3: Análise Gráfica
Discutir o comportamento das soluções e a dependência do 
valor inicial y(0) para a equação abaixo, usando o campo de 
direções correspondente.
35  yy
Exemplo 4: 
Análise Gráfica para uma Equação Não-linear
Discutir o comportamento das soluções e a dependência do 
valor inicial y(0) para a equação abaixo, usando o campo de 
direções correspondente.
)2(  yyy
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Exemplo 5: Camundongos e Corujas (1 de 2)
Seja uma população de camundongos que se reproduz a 
uma taxa proporcional à população atual, com uma taxa 
constante igual a 0.5 camundongos/mês (assumindo 
nenhuma coruja presente).
Quando corujas estão presentes, elas comem 
camundongos. Suponha que as corujas comam 15 por dia 
(média). Escreva uma equação diferencial descrevendo a 
população de camundongos na presença de corujas 
(Assuma que existem 30 dias em um mês.) 
Solução: 
4505.0  p
dt
dp
Exemplo 5: Campo de Direções (2 de 2)
Discutir o comportamento das curvas de solução, e determine 
a solução de equilíbrio.
4505.0  pp
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Exemplo 6: Poluição da Água (1 de 2)
Um açude contém 10 000 galões de água e uma quantidade 
desconhecida de poluição. Água contendo 0,02 grama/galão de 
poluição escoa para o açude a uma taxa de 50 galões/min. A 
mistura escoa para fora a uma taxa igual, de modo que o nível 
do açude é constante. Assuma que a poluição é uniformemente 
espalhada através do açude.
Escreva uma equação diferencial para a quantidade de 
poluição em um instante de tempo qualquer dado.
Solução (Nota: as unidades devem ser consistentes)
yy
yy
005.01
min
gal50
gal10000
gram
min
gal50
gal
gram02.












Exemplo 6: Campo de Direções (2 de 2)
Discutir o comportamento das curvas de solução, e determine 
a solução de equilíbrio.
yy 005.01
 
 
 
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1.2 Soluções de Algumas Equações Diferenciais
Sejam as equações diferenciais dos problemas de queda-
livre e corujas/camundongos:
Essas equações têm a forma geral y' = ay - b
Podemos usar métodos de integração estudados em Cálculo
para resolver equações diferenciais com essa forma.
4505.0,2.08.9  ppvv
Exemplo 1: Camundongos e Corujas (1 de 3)
Para resolver a equação diferencial
nós usamos métodos de Cálculo, como segue.
Portanto, a solução é
onde k é uma constante.
4505.0  pp
 
CtCt
Ct
ekkepeep
epCtp
dt
p
dp
p
dtdpp
dt
dp





,900900
9005.0900ln
5.0
900
5.0
900
/9005.0
5.05.0
5.0
tkep 5.0900
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Exemplo 1: Curvas Integrais (2 de 3)
Portanto, existem soluções em número infinitamente grande 
para a equação, ou seja
já que k é uma constante arbitrária. 
Gráficos de soluções (curvas integrais) para vários valores de 
k, e campo de direções para a equação diferencial são dados 
abaixo.
Escolhendo k = 0, nós obtemos a solução de equilíbrio, 
enquanto para k  0, a solução diverge da solução de equilíbrio.
,9004505.0 5.0 tkeppp 
Exemplo 1: Condições Iniciais (3 de 3)
Uma equação diferencial frequentemente tem infinitas 
soluções. Se um ponto na curva de solução é conhecido, tal 
como uma condição inicial, então isso determina uma única 
solução.
Na equação diferencial do problema camundongo/coruja, 
suponha que sabemos que a população de camundongos é 
inicialmente de 850. Então p(0) = 850, e
tetp
k
kep
tketp
5.050900)(
:Solução
50
0900850)0(
5.0900)(




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3Solução para a Equação Geral
Para resolver a equação geral
usamos os métodos de Cálculo, como segue.
Portanto, a solução geral é
onde k é uma constante.
bayy 
CatCat
Cat
ekkeabyeeaby
eabyCtaaby
dta
aby
dya
aby
dtdy
a
bya
dt
dy




 


,//
//ln
//
/
,atke
a
by 
Problema de Valor Inicial
A seguir, resolvemos o problema de valor inicial
Do slide anterior, qualquer solução para a equação 
diferencial é
Usando a condição inicial para deterinar k, obtemos
e daí a solução do problema de valor inicial é
ate
a
by
a
by 

  0
0)0(, yybayy 
atkeaby 
a
bykke
a
byy  000)0(
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Solução de Equilíbrio
Recorde que para determinar a solução de equilíbrio, 
fazemos y' = 0 e resolvemos para y:
Do slide anterior, a solução para o problema de valor inicial
é:
Notar o comportamento da solução:
Se y0 = b/a, então y é constante, com y(t) = b/a
Se y0 > b/a e a > 0 , então y cresce exponencialmente sem limite
Se y0 > b/a e a < 0 , então y decresce exponencialmente para b/a 
Se y0 < b/a e a > 0 , então y decresce exponencialmente sem limite
Se y0 < b/a e a < 0 , então y cresce asintoticamente para b/a
a
btybayy
set  )(0
ate
a
by
a
by 

  0
Exemplo 2: Problema da Queda-livre (1 de 3)
Lembre-se do modelamento matemático do problema da 
queda de um objeto de 10 kg, assumindo um coeficiente de 
resistência do ar  = 2 kg/sec: 
Assuma que o objeto é abandonado de uma altura de 300 m 
acima do chão. 
(a) Determine a velocidade para qualquer instante t. 
(b) Quanto tempo leva até que ele atinja o chão e qual velocidade ele 
terá então? 
Para a parte (a), é necessário resolver o problema de valor 
inicial
Usando o resultado do slide anterior, obtém-se
0)0(,2.08.9  vvv
vdtdv 2.08.9/ 
 ttat eveve
a
by
a
by 2.2.0 1492.0
8.90
2.0
8.9  

 

 
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Exemplo 2: Gráficos da Parte (a) (2 de 3)
O gráfico da solução obtida na parte (a), juntamente com o 
campo de direções para a equação diferencial, é dada 
abaixo:
 tev
vvv
2.149
0)0(,2.08.9


Exemplo 2 Parte (b): 
Tempo e Velocidade de Impacto (3 de 3)
A seguir, dado que o objeto é abandonado de 300 m acima do chão, 
quanto tempo levará para ele atingir o chão, e qual sua velocidade no 
instante do impacto?
Solução: Seja s(t) a distância que o objeto terá caído no instante t. 
Segue de nossa solução para v(t) que
Seja T o tempo decorrido até o impacto com o chão. Então
Resolvendo a equação não-linear para T obtém-se
T  10.51 sec, daí resulta:
24524549)(2450)0(
24549)(4949)()(
2.
2.2.




t
tt
ettsCs
Cettsetvts
30024524549)( 2.   TeTTs
  ft/sec01.43149)51.10( )51.10(2.0  ev
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1.3 Classificação das Equações Diferenciais
O principal objetivo deste curso é discutir as propriedades 
das soluções de equações diferenciais, e apresentar os 
métodos mais comuns para se obter essas soluções 
(Métodos Analíticos) ou aproximações delas (Métodos 
Numéricos).
Para se obter uma visão geral dessa discussão, nessa seção 
são apresentadas várias formas com que se pode classificar 
as equações diferenciais:
• Quanto ao tipo: EDOs e EDPs
• Quanto à ordem
• Quanto à linearidade
• Quanto ao Grau (?) 
Equações Diferenciais Ordinárias
Quando a função desconhecida depende de uma única 
variável independente, apenas derivadas ordinárias 
aparecem na equação. 
Nesse caso, a equação é dita ser uma equação diferencial 
ordinária (EDO). 
As equações discutidas nas duas seções anteriores são 
equações diferenciais ordinárias. Por exemplo,
4505.0,2.08.9  p
dt
dpv
dt
dv
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Equações Diferenciais Parciais
Quando a função desconhecida depende de várias variáveis 
independentes, derivadas parciais aparecem na equação. 
Nesse caso, a equação é chamada de equação diferencial 
parcial (EDP). 
Exemplos: 
onda) da (equação 2
),(2
2
),(22
calor) do (equação ),(
2
2
),(22
t
txu
x
txua
t
txu
x
txu








Sistema de Equações Diferenciais
Uma outra classificação de equações diferenciais depende 
do número de funções desconhecidas que estão envolvidas.
Se existe uma única função desconhecida para ser 
descoberta, então uma equação é suficiente. Se existem duas 
ou mais funções desconhecidas, então um sistema de 
equações é necessário. 
Por exemplo, equações descrevendo o problema do tipo 
predador-presa têm a forma:
onde u(t) e v(t) são, respectivamente, as populações das 
espécies presa e predadora. As constantes a, c, , 
dependem da espécie em particular que está sendo estudada. 
Sistemas de equações são discutidos no Capítulo 7.
uvcvdtdv
uvuadtdu




/
/
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Ordem de uma Equação Diferencial
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da 
derivada mais elevada que aparece na equação.
Exemplos:
Estudaremos aqui equações diferenciais para as quais a 
derivada de ordem mais elevada pode ser isolada:
tuu
e
dt
yd
dt
yd
tyy
yy
yyxx
t
sin
1
023
03
2
2
2
4
4




 )1()( ,,,,,,)(  nn yyyyytfty 
Equações Diferenciais Lineares & Não-lineares
Uma equação diferencial ordinária
é dita linear se F é uma combinação linear das variáveis
Portanto a EDO linear geral tem a forma
Exemplo: Determine se as equações abaixo são lineares ou 
não-lineares.
tuuutuuut
dt
ydt
dt
yd
tyytyeyyy
yyxxyyxx
y
cos)sin()6(sin)5(1)4(
023)3(023)2(03)1(
2
2
2
4
4
2


  0,,,,,, )(  nyyyyytF 
)(,,,,, nyyyyy 
)()()()( )1(1
)(
0 tgytaytayta n
nn   
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Soluções para Equações Diferenciais
Uma solução (t) para uma equação diferencial
satisfaz a equação:
Exemplo: Verifique as soluções seguintes da EDO
ttyttyttyyy sin2)(,cos)(,sin)(;0 321 
 )1()( ,,,,,)(  nn yyyytfty 
 )1()( ,,,,,)(  nn tft  
Soluções para Equações Diferenciais
Três questões importantes no estudo de problemas 
envolvendo equações diferenciais:
Existe uma solução? (Existência)
Se existe solução, ela é única? (Unicidade)
Se existe uma solução, como ela pode ser determinada? 
(Solução Analítica, Aproximação Numérica, etc)
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1.4 Anotações Históricas
O desenvolvimento de equações diferenciais é uma parte 
significante do desenvolvimento geral da Matemática. 
Isaac Newton (1642-1727) nasceu na Inglaterra, e é conhecido 
pelo seu trabalho no desenvolvimento do Cálculo e de leis da 
Física (Mecânica), solução em séries de EDOS, 1665 –1690.
Gottfried Leibniz (1646-1716) nasceu em Leipzig, Germany.Ele é conhecido por seu trabalho no desenvolvimento do 
Cálculo (1684), da notação para derivadas (dy/dx), do método 
de separação de variáveis (1691) e outros métodos (1694) para 
a solução de EDOs de 1ª. Ordem.
A Família Bernoulli
Os irmãos Jakob Bernoulli (1654-1705) & Johann Bernoulli 
(1667-1748) foram ambos criados em Basel, Suíça.
Eles usaram o Cálculo Diferencial e Integral para a solução de 
problemas de Mecânica envolvendo equações diferenciais. 
Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Johann, é conhecido por 
seu trabalho sobre equações diferenciais parciais e 
aplicações, e funções de Bessel.
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Leonard Euler (1707-1783)
Leonard Euler (pronuncia-se “oiler”), cresceu próximo a Basel, Suíça, foi 
aluno de Johann Bernoulli e juntamente com o amigo Daniel Bernoulli foi 
para a Academia de St. Petersburg. É considerado o matemático mais 
prolífico de todos os tempos. A coleção de todos os seus trabalhos 
ocupam mais de 70 volumes.
Ele formulou problemas de Mecânica em linguagem matemática e 
desenvolveu métodos para solucioná-los. Sobre esse trabalho, falou 
Lagrange: “É o primeiro trabalho notável em que a Análise Matemática é 
aplicada à ciência do movimento”.
Entre outras coisas, ele também identificou o critério para que uma EDO 
de 1ª.ordem seja exata (1734), desenvolveu a teoria de fatores integrantes 
(1734), deu a solução geral de EDOs homogêneas com coeficientes 
constantes (1743), extendeu esse resultado para EDOs não-homogêneas 
(1950-51), aplicou series de potências na solução de EDOs (1750 em 
diante), métodos numéricos para EDOs (1768-69), contribuições no 
estudo de PDEs, e o primeiro tratamento sistemático do Cálculo de 
Variações.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).
Lagrange foi criado em Turin, Itália. Ele foi praticamente 
autodidata no início, e tornou-se professor de Matemática 
com 19 anos. 
Lagrange é famoso principalmente por seu trabalho 
monumental Mecanique analytique (1788) sobre Mecânica 
Newtoniana.
Lagrange mostrou que a solução geral de uma EDO linear e 
homogênea de n-ésima ordem é uma combinação linear de n
soluções linearmente independentes (1762-65). Ele deu um 
desenvolvimento completo do método de variação de 
parâmetros (1774-75). É também conhecido por seus 
trabalhos sobre EDPs e Cálculo de Variações. 
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Pierre-Simon de Laplace (1749-1827).
Laplace cresceu na Normandia mas foi para a França em 1768; 
marcou rapidamente os círculos científicos e venceu a eleição 
para a Académie des Sciences em 1773; seu trabalho mais 
marcante foi Traité de mécanique céleste, publicado em 5 
volumes (1799-1825).
A Equação de Laplace é uma EDP de fundamental 
importância para vários ramos da Física Aplicada. Laplace a 
estudou extensivamente em conexão com problemas 
envolvendo atração gravitacional.
A Transformação de Laplace é nomeada em sua homenagem 
(embora a aplicação desta na solução de equações diferenciais
tenha sido reconhecida apenas muito tempo depois).
Século XIX
Ao final do século XVIII muitos métodos elementares para a 
solução de EDOs já tinham sido descobertos.
No século XIX, o interesse se voltou para questões mais 
teóricas, como aquela da existência e unicidade de soluções, 
e o desenvolvimento de métodos menos elementares, como 
aqueles baseados em séries de potências (Capítulo 5).
A aplicação de séries de potências na solução de EDOs deu 
origem às funções especiais, que foram nomeadas de acordo 
com o tipo de EDO da qual ela é solução. São exemplos as 
funções de Bessel, os polinômios de Chebyshev, os 
polinômios de Legendre, os polinômios de Hermite, etc.
EDPs começaram a ser estudadas mais intensivamente 
também, já que seu papel crucial em Física Aplicada se 
tornou bastante evidente. 
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Século XX
Muitas equações diferenciais resistiram a uma solução por métodos 
analíticos. Já em 1900 muitos métodos razoavelmente eficazes de 
aproximação numérica existiam, mas sua implementação era bastante 
limitada pela necessidade de cálculos manuais ou utilização de 
“computadores” rudimentares. 
A partir da 2ª. metade do século XX, o desenvolvimento de computadores e 
algorítmos robustos viabilizaram a obtenção rotineira de soluções numéricas 
para muitas equações diferenciais. 
Além disso, o desenvolvimento de métodos geometricos ou topológicos na 
solução de equações diferenciais não-lineares ajudaram a promover um 
melhor entendimento qualitativo das soluções possíveis. Essa é uma técnica 
poderosa quando combinada a métodos analíticos ou numéricos na solução 
de problemas envolvendo equações diferenciais não-lineares. 
Computadores, Computação Gráfica, e softwares sofisticados têm permitido 
desenvolvimentos e interesse renovados em equações diferenciais não-
lineares, resultando em tópicos como caos, fractais, etc.
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