EDO Slides 06 2017 1

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1
Seção 7.1: Introdução a Sistemas de Equações 
Diferenciais Ordinárias Lineares de Primeira Ordem
Um sistema de EDOs de primeira ordem simultâneas tem a 
forma geral: 
onde cada xk é uma função de t. Se cada Fk é uma função 
linear de x1, x2, …, xn, então o sistema de equações é dito 
linear, de outra forma ele é não-linear. 
Sistemas de EDOs de ordem mais elevada podem ser 
definidos de forma similar. 
),,,(
),,,(
),,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
xxxtFx
xxxtFx
xxxtFx







Exemplo 1
O movimento de um sistema massa-mola na Seção 3.8 foi 
descrito pela equação
Essa EDO de segunda ordem pode ser convertida em um 
sistema de EDOs de primeira ordem fazendo x1 = u e x2 = u'. 
Portanto 
ou 
0)(192)(16)(  tututu
019216 122
21


xxx
xx
122
21
19216 xxx
xx


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CEFET-RJ 2o.Semestre 2014
2
EDOs de N-ésima Ordem e 
Sistemas de EDOs Lineares de 1a. Ordem
O método ilustrado no exemplo anterior pode ser usado para 
transformar uma EDO de n-ésima ordem arbitrária 
em um sistema de n EDOs de primeira ordem definindo-se
A partir daí, tem-se
 )1()( ,,,,,  nn yyyytFy 
)1(
321 ,,,,
 nn yxyxyxyx 
),,,( 21
1
32
21
nn
nn
xxxtFx
xx
xx
xx







Solução de Sistemas de EDOs de 1a. Ordem
Um sistema de EDOs simultâneas de primeira ordem tem a 
forma geral
Ele tem uma solução em I:  < t <  se existem n funções 
que são diferenciáveis em I e satisfazem o sistema de 
equações em todos os pontos t em I. 
Condições iniciais podem ser prescritas para dar um PVI:
).,,,(
),,,(
21
2111
nnn
n
xxxtFx
xxxtFx





)(,),(),( 2211 txtxtx nn   
0
0
0
202
0
101 )(,,)(,)( nn xtxxtxxtx  
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Exemplo 2
A equação
pode ser escrita como um sistema de EDOs de primeira ordem 
fazendo x1 = y e x2 = y'. Daí 
Uma solução para esse sistema é
que é uma descrição paramétrica
para o círculo unitário.
20,0  tyy
12
21
xx
xx


20),cos(),sin( 21  ttxtx
Teorema 7.1.1
Sejam F1,…, Fn e F1/x1,…, F1/xn,…, Fn/ x1,…, Fn/xn, 
funções contínuas na região R do espaço t x1 x2…xn definido por  < t < , 1 < x1 < 1, …, n < xn < n, e seja o ponto
um ponto contido em R. Então em algum intervalo (t0 - h, t0 + 
h) existe uma solução única 
que satisfaz o PVI
 002010 ,,,, nxxxt 
)(,),(),( 2211 txtxtx nn   
),,,(
),,,(
),,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
xxxtFx
xxxtFx
xxxtFx







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Sistemas Lineares
Se cada Fk é uma função linear de x1, x2, …, xn, então o 
sistema de equações tem a forma geral
Se cada gk(t) é zero em I, então o sistema é homogêneo, de 
outro modo ele é dito não-homogêneo. 
)()()()(
)()()()(
)()()()(
2211
222221212
112121111
tgxtpxtpxtpx
tgxtpxtpxtpx
tgxtpxtpxtpx
nnnnnnn
nn
nn







Teorema 7.1.2
Sejam p11, p12,…, pnn, g1,…, gn funções contínuas em um 
intervalo I:  < t <  com t0 em I, e sejam
condições iniciais prescritas. Então existe uma solução única
que satisfaz o PVI, e existe em todo o intervalo I. 
00
2
0
1 ,,, nxxx 
)(,),(),( 2211 txtxtx nn   
)()()()(
)()()()(
)()()()(
2211
222221212
112121111
tgxtpxtpxtpx
tgxtpxtpxtpx
tgxtpxtpxtpx
nnnnnnn
nn
nn







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1
Seção 7.2: Matrizes (Revisão)
Por razões teóricas e computacionais, nós revisamos alguns 
resultados de Álgebra Linear nesta seção e na próxima. 
Uma matriz A é um arranjo retangular de m x n elementos, 
dispostos em m linhas e n colunas cuja denotação é 
Alguns exemplos de matrizes 2 x 2 são dados abaixo:
 











mnmm
n
n
ji
aaa
aaa
aaa
a




21
22221
11211
A












ii
i
CB
7654
231
,
42
31
,
43
21
A
Transposta
A transposta de A = (aij) é AT = (aji). 
Por exemplo, 






















mnnn
m
m
T
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa








21
22212
12111
21
22221
11211
AA


















63
52
41
654
321
,
42
31
43
21 TT BBAA
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Conjugada






















mnmm
n
n
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa








21
22221
11211
21
22221
11211
AA











443
321
443
321
i
i
i
i
AA
Adjunta Hermitiana
A adjunta hermitiana de A é ĀT , e é denotada por A*
Por exemplo, 






















mnnn
m
m
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa








21
22212
12111
*
21
22221
11211
AA











432
431
443
321 *
i
i
i
i
AA
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Matrizes Quadradas
Uma matriz quadrada A tem o mesmo número de linhas e 
colunas. Ou seja, A é n x n. Nesse caso, diz-se que A tem 
ordem n. 
Por exemplo, 











nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa




21
22221
11211
A












987
654
321
,
43
21
BA
Vetores
Um vetor coluna x é uma matriz n x 1. Por exemplo,
Um vetor linha x é uma matriz 1 x n. Por exemplo, 
Observar que y = xT, e que em geral, se x é um vetor coluna
x , então xT é um vetor linha. 









3
2
1
x
 321y
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4
A Matriz Zero
A matriz zero é definida por 0 = (0)mxn, cuja ordem mxn
depende do contexto. Por exemplo, 
,
00
00
00
,
000
000
,
00
00














 000
Igualdade (Identidade) de Matrizes
Duas matrizes A = (aij) e B = (bij) são iguais (ou idênticas) 
se aij = bij para todo i e j. Por exemplo, 
BABA 






43
21
,
43
21
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5
Multiplicação Matriz – Escalar
O produto de uma matriz A = (aij) e uma constante k é 
definida por kA = (kaij). Por exemplo, 









302520
15105
5
654
321
AA
Adição e Subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes m x n A = (aij) e B = (bij) é 
definida por A + B = (aij + bij). Por exemplo, 
A diferença de duas matrizes m x n A = (aij) e B = (bij) é 
definida por A - B = (aij - bij). Por exemplo,










1210
86
8765
,
43
21
BABA












44
44
87
65
,
43
21
BABA
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6
Multiplicação de Matrizes
O produto de uma matriz m x n A = (aij) e uma matriz n x r
B = (bij) é definida pela matriz C = (cij), onde 
Exemplos (obs.: AB não é necessariamente igual a BA):



n
k
kjikij bac
1














































417
15
61000512
340023
10
21
03
,
654
321
2014
1410
164122
12291
2511
115
16983
8341
42
31
,
43
21
CDDC
BA
ABBA
Multiplicação de Vetores
O produto escalar de dois vetores n x 1 x e y é definido como 
O produto interno de dois vetores n x 1 x e y é definido como
Por exemplo:



n
k
ji
T yx
1
yx
  


n
k
ji
T yx,
1
yxyx
  iiii,
iiii
i
i
i
T
T
2118)55)(3()32)(2()1)(1(
912)55)(3()32)(2()1)(1(
55
32
1
,
3
2
1























yxyx
yxyx
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Magnitude de um Vetor
A magnitude de um vetor n x 1 x é definida como 
Observar que usamos o fato de que se x = a + bi, então 
Por exemplo:
  2/1
1
2
2/1
1
2/1 || 



 

n
k
k
n
k
kk xxx,xxx
 
  3016941
)43)(43()2)(2()1)(1(
43
2
1
2/1











 ii,
i
xxxx
   222 xbabiabiaxx 
Ortogonalidade
Dois vetores n x 1 x e y são ortogonais se (x,y) = 0. 
Por exemplo:
  0)1)(3()4)(2()11)(1(
1
4
11
3
2
1



















 yxyx ,
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8
Matriz Identidade
A matriz identidade I é uma matriz n x n dada por
Para qualquer matriz quadrada A, tem-se que AI = IA = A. 
A ordem de I depende do contexto. Por exemplo, 











100
010
001




I




































987
654
321
987
654
321
100
010
001
,
43
21
10
01
43
21
IBAI
Matriz Inversa
Uma matriz quadrada A é não-singular, ou inversível, se 
existe uma matriz B tal que AB = BA = I. De outra forma, A é
singular. 
A matriz B, se ela existe, é única e é denotada por A-1 e é 
chamada matriz inversa de A. 
A matriz inversa A-1 existe se detA  0, e A-1 pode ser 
calculada por redução de linhas (também chamada de 
eliminação Gaussiana) da matriz aumentada (A|I), ver exemplo 
no slide seguinte. 
As três operações elementares sobre linhas:
Troca de posição de duas linhas.
Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
Substituição de linha pela soma dela com um múltiplo escalar de outra. 
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9
Exemplo: Cálculo da Matriz Inversa (1 de 2)
Use eliminação gaussiana para calcular a inversa da matriz A
abaixo, se ela existir. 
Solução: Se possível, usar operações elementares sobre linhas 
para reduzir (A|I), 
de modo que a parte à esquerda se torne a matriz identidade, e 
então a parte a direita seja a inversa A-1. (ver slide a seguir) 










834
301
210
A
  ,
100834
010301
001210









IA
Exemplo: Cálculo da Matriz Inversa (2 de 2)
Daí 
 






























































2/122/3100
142010
2/372/9001
143200
142010
010301
143200
001210
010301
140430
001210
010301
100834
001210
010301
100834
010301
001210
IA












2/122/3
142
2/372/9
1A
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10
Funções Matriciais
Os elementos de uma matriz podem ser funções de uma 
variável real. Nesse caso, escrevemos
Tal matriz é contínua em um ponto, ou em um intervalo
(a, b), se cada elemento é contínua nele. Similarmente, a 
diferenciação e integração se aplicam como:






















)()()(
)()()(
)()()(
)(,
)(
)(
)(
)(
21
22221
11211
2
1
tatata
tatata
tatata
t
tx
tx
tx
t
mnmm
n
n
m 



 Ax





  ba ijbaij dttadttdt
da
dt
d )()(, AA
Exemplo & Regras de Diferenciação
Exemplo:
Muitas das regras do Cálculo se aplicam. Por exemplo:
 
 
  






dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
BABAAB
BABA
CACCA constante matriz uma é onde,













 

41
0
)(
,
0sin
cos6
4cos
sin3
)(
3
0
2
dtt
t
tt
dt
d
t
tt
t
A
AA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) Prof. Marcos H. da Silva Bassani
CEFET-RJ 2o.Semestre 2014
1
Seção 7.3: Sistemas de Equações Lineares, 
Independência Linear, Autovalores
Um sistema de n equações lineares em n variaveis,
pode ser representada como uma equação matricial Ax = b:
Se b = 0, então o sistema é homogêneo; de outro modo, ele é 
dito não-homogêneo. 































nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa





2
1
2
1
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
,,22,11,
2,222,211,2
1,122,111,1
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa







Caso Não-singular
Se a matriz de coeficientes A é não-singular, então ela é 
inversível e a equação Ax = b pode ser resolvida como 
segue:
Se a inversa A-1 existe, ela é única. Portanto, a solução 
acima é única. Além disso, se b = 0, segue que a solução 
única para Ax = 0 é x = A-10 = 0. 
Logo se A é não-singular, então a única solução para 
Ax = 0 é a solução trivial x = 0. 
bAxbAIxbAAxAbAx 1111  
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2
Exemplo 1: Caso Não-singular (1 de 3)
Do exemplo anterior, sabemos que a matriz A abaixo é não-
singular com inversa A-1 dada abaixo:
Aplicando a operação de multiplicação de matriz, segue que 
a única solução de Ax = 0 é x = 0:





















 
2/122/3
142
2/372/9
,
834
301
210
1AA




























 
0
0
0
0
0
0
2/122/3
142
2/372/9
10Ax
Exemplo 1: Caso Não-singular (2 de 3)
Seja agora a solução do sistema linear não-homogêneo 
Ax =b abaixo usando A-1:
Esse sistema de equações pode ser reescrito como Ax = b, 
onde
Logo
0834
2301
220
321
321
321



xxx
xxx
xxx































 
7
12
23
0
2
2
2/122/3
142
2/372/9
1bAx




























0
2
2
,,
834
301
210
3
2
1
bxA
x
x
x
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3
Exemplo 1: Caso Não-singular (3 de 3)
Alternativamente, poderíamos resolver o sistema linear não-
homogêneo Ax = b abaixo por escalonamento.
Para tal, aplicamos operações elementares às linhas da matriz 
aumentada (A|b), ou seja: 
 






















 








 

































7
12
23
7
22
23
7100
2210
2301
14200
2210
2301
8430
2210
2301
0834
2210
2301
0834
2301
2210
3
32
31
x
bA
x
xx
xx
0834
2301
220
321
321
321



xxx
xxx
xxx
Caso Singular
Se a matriz de coeficientes A é singular, então A-1 não existe. 
Nesse caso, ou não existe qualquer solução para Ax = b, ou 
elas existem em número infinitamente grande. 
Além disso, o sistema homogêneo Ax = 0 tem mais de uma 
solução. Ou seja, além da solução trivial x = 0, existem 
soluções não-triviais em número infinitamente grande.
O caso não-homogêneo Ax = b não tem qualquer solução a 
menos que (b, y) = 0, para todos os vetores y satisfazendo 
A*y = 0, onde A* é a adjunta hermitiana de A. 
Nesse caso, Ax = b tem soluções (infinitas delas), cada uma 
na forma x = x(0) + , onde x(0) é uma solução particular de
Ax = b, e  é qualquer solução de Ax = 0.
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4
Exemplo 2: Caso Singular (1 de 3)
Resolver o sistema linear não-homogêneo Ax = b abaixo
usando eliminação por linhas:
Para tal, formar a matriz aumentada (A|b) e efetuar a
eliminação por linhas, usando operações elementares: 
 
) é (sistema solução nenhuma
10
153
12
1000
1530
1121
4000
1530
1121
3530
1530
1121
61060
1530
1121
1545
0651
1121
3
32
321
nteinconsiste
bA












 














































x
xx
xxx
1545
0651
1121
321
321
321



xxx
xxx
xxx
Exemplo 2: Caso Singular (2 de 3)
Resolver o sistema linear não-homogêneo Ax = b abaixo 
usando eliminação por linhas:
Reduzir a matriz aumentada (A|b) como a seguir: 
 
072
2
7
2
1000
530
121
2
5
2
1530
530
121
51060
530
121
545
651
121
123
123
12
1
13
12
1
13
12
1
3
2
1





















































bbb
bbb
bb
b
bb
bb
b
bb
bb
b
b
b
b
bA
3321
2321
1321
545
651
121
bxxx
bxxx
bxxx



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5
Exemplo 2: Caso Singular (3 de 3)
Do slide anterior, exigimos que
Por exemplo, supondo que 
Então a forma escalonada reduzida da matriz aumentada (A|b) é: 
ξxxxx 



































































)0(
3
3
3
3
3
32
321
123
12
1
3
5
7
0
0
1
1
3/5
3/7
0
0
1
3/5
3/71
00
053
112
2
7
2
1000
530
121
cx
x
x
x
x
xx
xxx
bbb
bb
b
072 123  bbb
5,1,1 321  bbb
Dependência e Independência Linear 
Um conjunto de vetores x(1), x(2),…, x(n) é linearmente
dependente se existem escalares c1, c2,…, cn, não todos
zero, tais que
Se a única solução de
é c1= c2 = …= cn = 0, então x(1), x(2),…, x(n) é linearmente
independente.
0xxx  )()2(2)1(1 nnccc 
0xxx  )()2(2)1(1 nnccc 
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6
Exemplo 3: Independência Linear (1 de 2)
Determine se os vetores seguintes são linearmente 
dependentes ou linearmente independentes. 
Precisamos resolver a equação vetorial
ou, equivalentemente, a equação matricial 































































0
0
0
834
301
210
0
0
0
8
3
2
3
0
1
4
1
0
3
2
1
21
c
c
c
ccc
0xxx  )3(3)2(2)1(1 ccc




























8
3
2
,
3
0
1
,
4
1
0
)3()2()1( xxx
Exemplo 3: Independência Linear (2 de 2)
Logo, reduzimos a matriz aumentada (A|b), como antes:
Portanto, a única solução é c1= c2 = …= cn = 0, e 
concluimos que os vetores originais são linearmente 
independentes. 
 
































0
0
0
0
02
03
0100
0210
0301
0834
0301
0210
3
32
31
c
bA
c
cc
cc
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Exemplo 4: Dependência Linear (1 de 2)
Determine se os vetores seguintes são linearmente 
dependentes ou linearmente independentes. 
Precisamos resolver a equação vetorial
ou, equivalentemente, a equação matricial 





























5
6
1
,
4
5
2
,
5
1
1
)3()2()1( xxx
0xxx  )3(3)2(2)1(1 ccc



































































0
0
0
545
651
121
0
0
0
5
6
1
4
5
2
5
1
1
3
2
1
321
c
c
c
ccc
Exemplo 4: Dependência Linear (2 de 2)
Logo, reduzimos a matriz aumentada (A|b), como antes:
E concluimos que os vetores originais são linearmente 
dependentes. Por exemplo, com k = 1 essa dependência é: 
 










































 













3
5
7
3
5
7
3/3/5
3/7
00
053
012
0000
0530
0121
0545
0651
0121
3
3
3
3
3
32
321
kcc
c
c
c
cc
ccc
cc
bA






































0
0
0
5
6
1
3
4
5
2
5
5
1
1
7
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8
Independência Linear e Inversibilidade
Com base nos dois exemplos anteriores:
A primeira matriz sabe-se ser não-singular, e seus vetores coluna são 
linearmente independentes. 
A segunda matriz sabe-se ser singular, e seus vetores coluna são 
linearmente dependentes.
Isso se verifica em geral: as colunas (ou linhas) de A são 
linearmente independentes somente se A é não-singular (ou 
seja, se A-1 existe).
Também, A é não-singular somente se detA  0, daí as colunas 
(ou linhas) de A são linearmente independentes se detA  0.
Além disso, se C = AB, então det(C) = det(A)det(B). Logo, se 
as colunas (ou linhas) de A e B são linearmente independentes, 
então as colunas (ou linhas) de C também o são. 
Dependência Linear & Funções Vetoriais
Sejam agora as funções vetoriais x(1)(t), x(2)(t),…, x(n)(t), onde
Como antes, x(1)(t), x(2)(t),…, x(n)(t) é linearmente dependente
em I se existem escalares c1, c2,…, cn, não todos zero, tais que
Caso contrário, x(1)(t), x(2)(t),…, x(n)(t) é linearmente 
independente em I.
Ver o livro-texto para mais discussões sobre isso! 
    ,,,,2,1,
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
)(
1











 Itnk
tx
tx
tx
t
k
m
k
k
k 

x
Ittctctc nn  todopara,)()()( )()2(2)1(1 0xxx 
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9
Autovalores e Autovetores
A equação Ax = y pode ser vista como uma transformação 
linear que mapeia (ou transforma) x em um novo vetor y. 
Vetores não-zero x que são transformados em múltiplos deles 
mesmos são importantes em muitas aplicações. 
Para determiná-los resolvemos Ax = x ou a forma equivalente 
(A-I)x = 0. Essa equação tem soluções não-zero se 
escolhemos  de tal modo que a matriz A-I é singular, ou seja 
se det(A-I) = 0. 
Os valores de  que são raízes do polinômio característico 
det(A-I) = 0 são chamados autovalores de A. O conjunto-
solução de (A-I)x = 0 para cada autovalor k , k = 1, 2, …, n é 
dito autoespaço de A associado ao autovalor k . Toda solução 
não-zero x de cada autoespaço é dito um autovetor de A. 
Exemplo 5: Autovalores (1 de 3)
Determinar os autovalores e autovetores da matriz A.
Solução: Escolhemos  de tal modo que det(A-I) = 0, ou seja:




 63
32
A
 
     
  
  7,30detLogo,
73214
3362
63
32
det
00
01
63
32
detdet
2



























IA
IA
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10
Exemplo 5: Autoespaços (2 de 3)
Para determinar os autoespaços de A associados a cada 
autovalor, temos de resolver (A-I)x = 0 para  = 3 e  = -7. 
Autoespaço de A associado a  = 3: Resolvemos
por escalonamento da matriz aumentada até a forma reduzida:
  
























0
0
93
31
0
0
363
332
2
1
2
1
x
x
x
x
0xIA 














 










1
3
 1comp.ex. livre,variável,
1
33
00
031
000
031
093
031
093
031
)1(
222
2
2)1(
2
21
xx xxx
x
x
x
xx
Exemplo 5: Autoespaços (3 de 3)
Autoespaço de A associado a  = -7: Resolvemos
por escalonamento da matriz aumentada até a forma reduzida:
  






















0
0
13
39
0
0
763
372
2
1
2
1
x
x
x
x
0xIA 






















3
1
3comexemplo,por
livre,variável,
1
3/13/1
00
03/11
000
03/11
013
03/11
013
039
)2(
2
22
2
2)2(
2
21
x
x
x
xx
x
x
x
xx
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11
Autovetores Normalizados
Do exemplo anterior, vimos que qualquer dos (infinitos) 
vetores não-zero do autoespaço de A associado a um dado 
autovalor são autovetores de A associados ao mesmo 
autovalor. No exemplo, eles diferem por um múltiplo 
escalar não-zero. Os autovetores são portanto determinados 
a menos de uma constante multiplicativa. 
Se essa constante é especificada de algum modo particular, 
então o autovetor é dito normalizado. 
Por exemplo, autovetores são algumas vezes normalizados 
escolhendo-se a constante multiplicativa de tal modo que 
||x|| = (x, x)½ = 1. 
Multiplicidades Algébrica e Geométrica
Na determinação dos autovalores  da matriz n x n A, 
resolvemos o polinômio característico det(A-I) = 0. 
Uma vez que isso envolve calcular o determinante de uma 
matriz n x n, o problema reduz-se a determinar as raízes de um 
polinômio de grau n. 
Denotamos essas raízes, ou autovalores, por 1, 2, …, n. 
Se uma raiz é repetida m vezes, então sua multiplicidade 
algébrica é m. Cada autovalor tem um autoespaço associado a 
ele de dimensão q no mínimo igual a 1 (um). Um autovalor de 
multiplicidade algébrica m tem autoespaço de dimensão q em 
que 1  q  m. A dimensão q de cada autoespaço é também 
chamada de multiplicidade geométrica do autovalor. 
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12
Autovetores e Independência Linear
Se um autovalor  tem multiplicidade algébrica 1, então ele 
é dito simples, e sua multiplicidade geométrica também é 1. 
Se cada autovalor de uma matriz A n x n é simples, então A
tem n autovalores distintos. Pode-se mostrar que quaisquer n
autovetores associados a autovalores distintos formam um 
conjunto linearmente independente. 
Se uma matriz A tem associado a ela um ou mais autovalores
repetidos, então podem existir menos que n autovetores
linearmente independentes já que, para cada autovalor 
repetido, podemos ter q < m. Isso pode levar a complicações 
na solução de sistemas de equações diferenciais. 
Exemplo 6: Autovalores (1 de 5)
Determinar os autovalores e autovetores da matriz A.
Solução: Escolhemos  de tal modo que det(A-I) = 0, ou seja:









011
101
110
A
 
  1,20detLogo,
)1)(2(
23
11
11
11
detdet
321
2
3






















IA
IA
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13
Exemplo 6: Autoespaços (2 de 5)
Autoespaço de A associado a  = 2: Resolvemos (A-I)x = 0
























































































1
1
1
 1exemplopor livre,variável,
1
1
1
00
011
011
0000
0110
0101
0000
0110
0211
0330
0330
0211
0112
0121
0211
0211
0121
0112
)1(
333
3
33
)1(
3
32
31
xx xxx
x
x
x
x
xx
xx
Exemplo 6: Autoespaços (3 de 5)
Autoespaço de A associado a  = -1: Resolvemos (A-I)x = 0













































 






















1
1
0
, 
1
0
1
exemplopor
livresvariáveisecom,
1
0
1
0
1
1
00
00
0111
0000
0000
0111
0111
0111
0111
)3()2(
3232
3
2
32
)2(
3
2
321
xx
x xxxx
x
x
xx
x
x
xxx
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14
Exemplo 6: Autovetores de A (4 de 5)
Portanto, 3 autovetores de A são:
onde x(2), x(3) são associados ao autovalor duplo  = - 1.
Pode-se mostrar que x(1), x(2), x(3) são linearmente 
independentes. 
Logo, A é uma matriz simétrica 3 x 3 (A = AT ) com 3 
autovalores reais e 3 autovetores linearmente independentes.





























1
1
0
, 
1
0
1
,
1
1
1
)3()2()1( xxx









011
101
110
A
Exemplo 6: Autovetores de A (5 de 5)
Observar que poderíamos ter escolhido
Nesse caso, os autovetores são ortogonais, já que
Logo, A é uma matriz simétrica 3 x 3 com 3 autovalores reais 
e 3 autovetores ortogonais linearmente independentes. 




























1
2
1
, 
1
0
1
,
1
1
1
)3()2()1( xxx
      0,,0,,0, )3()2()3()1()2()1(  xxxxxx
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15
Matrizes Hermitianas
Uma matriz auto-adjunta, ou Hermitian, satisfaz A = A*, 
onde lembramos que A* = AT . 
Logo, para uma matriz Hermitiana, aij = aji. 
Observar que se A tem elementos reais e é simétrica (ver 
último exemplo), então A é Hermitiana. 
Uma matriz Hermitiana A n x n tem as propriedades:
Todos os autovalores de A são reais.
Tem conjuntos completos de n autovetores linearmente independentes.
Se x(1) e x(2) são autovetores associados a autovalores diferentes de A, 
então x(1) e x(2) são ortogonais. 
Associado a um autovalor de multiplicidade algébrica m, é possível 
escolher m autovetores mutuamente ortogonais, e daí A tem conjuntos 
completos de n autovetores ortogonais linearmente independentes.
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1
Seção 7.4: Teoria Básica de Sistemas de 
Equações Lineares de 1a. Ordem
A teoria geral de um sistema de n equações lineares de 1a.ordem
é similar aquela de uma única equação linear de n-ésima ordem. 
Esse sistema pode ser escrito como x' = P(t)x + g(t), onde
)()()()(
)()()()(
)()()()(
2211
222221212
112121111
tgxtpxtpxtpx
tgxtpxtpxtpx
tgxtpxtpxtpx
nnnnnnn
nn
nn








































)()()(
)()()(
)()()(
)(,
)(
)(
)(
)(,
)(
)(
)(
)(
21
22221
11211
2
1
2
1
tptptp
tptptp
tptptp
t
tg
tg
tg
t
tx
tx
tx
t
nnnn
n
n
nn 



 Pgx
Soluções de um Sistema de EDO
Um vetor x = (t) é uma solução de x' = P(t)x + g(t) se os 
componentes de x,
satisfazem o sistema de equações em I:  < t < . 
Para comparação, lembre-se que x' = P(t)x + g(t) representa 
o sistema de equações
Assumindo P e g contínuas em I, tal solução existe pelo 
Teorema 7.1.2.
),(,),(),( 2211 txtxtx nn   
)()()()(
)()()()(
)()()()(
2211
222221212
112121111
tgxtpxtpxtpx
tgxtpxtpxtpx
tgxtpxtpxtpx
nnnnnnn
nn
nn







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2
Examplo 1
Considere a equação homogênea x' = P(t)x abaixo, com a 
solução x como indicado.
Para verificarmos que x é uma solução, substituimos x na 
equação e efetuamos as operações indicadas:
t
t
t
e
e
e
t 3
3
3
2
1
2
)(;
14
11









 xxx
xx 
















t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
3
3
3
3
3
3
2
3
6
3
214
11
14
11
Caso Homogêneo; Notação para Funções Vetoriais
Como nos Capítulos 3 e 4, examinamos primeiramente a 
equação homogênea geral x' = P(t)x.
Também, a seguinte notação para as funções vetoriais 
x(1), x(2),…, x(k),… será usada:
 ,
)(
)(
)(
)(,,
)(
)(
)(
)(,
)(
)(
)(
)( 2
1
)(
2
22
12
)2(
1
21
11
)1(

































tx
tx
tx
t
tx
tx
tx
t
tx
tx
tx
t
nn
n
n
k
nn
xxx
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3
Teorema 7.4.1
Se as funções vectoriais x(1) e x(2) são soluções do sistema x'
= P(t)x, então a combinação linear c1x(1) + c2x(2) é também 
uma solução para quaisquer constantes c1 e c2.
Nota: Aplicando repetidamente o resultado desse teorema, 
pode-se verificar que toda combinação linear finita
de soluções x(1), x(2),…, x(k) é uma solução para x' = P(t)x. 
)()()( )()2(2
)1(
1 tctctc
k
k xxxx  
Exemplo 2
Seja a equação homogênea x' = P(t)x abaixo, com as duas 
soluções x(1) e x(2) como indicado.
Então x = c1x(1) + c2x(2) é também uma solução:










 

t
t
t
t
e
e
t
e
e
t
2
)(,
2
)(;
14
11 )2(
3
3
)1( xxxx
x
x






































t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
ec
e
ec
ec
ec
ec
ec
ec
ec
ec
ec
26
3
26
3
214
11
214
11
14
11
23
3
1
2
2
3
1
3
1
2
2
3
1
3
1
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4
Teorema 7.4.2
Se x(1), x(2),…, x(n) são soluções linearmente independentes
do sistema x' = P(t)x para cada ponto em I:  < t < , então
cada solução x = (t) pode ser expressa de forma única na
forma
Se as soluções x(1),…, x(n) são linearmente independentes
para cada ponto em I:  < t < , então elas formam um 
conjunto fundamental de soluções em I, e a solução geral
é dada por
)()()( )()2(2
)1(
1 tctctc
n
nxxxx  
)()()( )()2(2
)1(
1 tctctc
n
nxxxx  
Wronskiano e Independência Linear
A demonstração do Teorema 7.4.2 usa o fato de que se x(1), 
x(2),…, x(n) são linearmente independentes em I, então 
det X(t)  0 em I, onde
O Wronskiano de x(1),…, x(n) é definido como 
W[x(1),…, x(n)](t) = det X(t). 
Segue daí que W[x(1),…, x(n)](t)  0 em I se, e somente se, 
x(1),…, x(n) são linearmente independentes para cada ponto 
em I. 
,
)()(
)()(
)(
1
111









txtx
txtx
t
nnn
n



X
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5
Teorema 7.4.3
Se x(1), x(2),…, x(n) são soluções do sistema x' = P(t)x em
I:  < t < , então o Wronskiano W[x(1),…, x(n)](t) é ou
identicamente zero em todo e qualquer ponto t de I ou, em
caso contrário, nunca igual a zero em I. 
Esse resultado permite-nos determinar se um dado conjunto
de soluções x(1), x(2),…, x(n) é um conjunto fundamental de 
soluções avaliando o Wronskiano W[x(1),…, x(n)](t) em
qualquer ponto t em  < t < . 
Teorema 7.4.4
Seja 
Sejam x(1), x(2),…, x(n) soluções do sistema x' = P(t)x,
 < t < , que satisfazem as condições iniciais
respectivamente, onde t0 é qualquer ponto em  < t < . 
Então x(1), x(2),…, x(n) formam um conjunto fundamental 
de soluções de x' = P(t)x.

































1
0
0
0
,,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
)()2()1( 

neee
,)(,,)( )(0
)()1(
0
)1( nn tt exex  
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1
Seção 7.5: Sistemas Lineares Homogêneos 
com Coeficientes Constantes
Consideramos aqui um sistema homogêneo de n equações 
lineares de primeira ordem com coeficientes reais constantes:
Esse sistema pode ser escrito como x' = Ax, onde
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax







2211
22221212
12121111






















nnnn
n
n
m aaa
aaa
aaa
tx
tx
tx
t





21
22221
11211
2
1
,
)(
)(
)(
)( Ax
Soluções de Equilíbrio
Observe que se n = 1, então o sistema se reduz a 
Lembre-se que x = 0 é a única solução de equilíbrio se a  0. 
Além disso, x = 0 é uma solução assintoticamente estável se 
a < 0, já que outras soluções se aproximam de x = 0 nesse 
caso. 
Por outro lado, x = 0 é uma solução instável se a > 0, já que 
outras soluções se afastam de x = 0 nesse caso. 
Para n > 1, soluções de equilíbrio são encontradas de forma 
similar resolvendo Ax = 0. Assumimos det A  0, de modo 
que x = 0 é a única solução. Determinar se x = 0 é estável ou 
instável assintoticamente é uma questão importante aqui 
também. 
atetxaxx  )(
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CEFET-RJ 2o.Semestre 2014
2
Plano de Fase
Quando n = 2, então o sistema se reduz a 
Esse caso pode ser visualizado no plano-x1x2 , que é 
chamado de plano de fase. 
No plano de fase , um campo de direções pode ser obtido 
avaliando-se Ax em muitos pontos e representando 
graficamente os vetores resultantes, que serão tangentes aos 
vetores solução. 
Um gráfico que mostra trajetórias representativas da solução 
é chamado um retrato de fases (phase portrait). 
Exemplos de planos de fase, campo de direções, e retrato 
de fases serão dados mais adiante nesta seção. 
2221212
2121111
xaxax
xaxax


Solução de Sistemas Homogêneos
Para construir uma solução geral para x' = Ax, assumimos 
uma solução da forma x = ert, onde o expoente r e o vetor 
constante  devem ser determinados. 
Substituindo x = ert em x' = Ax, obtemos
Portanto, para resolvermos um sistema de EDOs 
homogêneo x' = Ax, devemos encontrar os autovalores r e 
autovetores  de A.
Portanto x = ert é uma solução de x' = Ax desde que r seja 
um autovalor e  seja um autovetor (associado a r) da 
matriz de coeficientes A.
  0ξIAAξξAξξ  rreer rtrt
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3
Exemplo 1: Campo de Direções (1 de 9)
Seja a equação homogênea x' = Ax abaixo:
Um campo de direções para esse sistema é dado abaixo.
Substituindo x = ert para x, e reescrevendo o sistema como 
(A – rI)  = 0, obtemos:
xx 



14
11













0
0
14
11
1
1


r
r
Exemplo 1: Autovalores (2 de 9)
A solução tem a forma x = ert, onde r e  são determinados
resolvendo-se a equação
Esse é um problema de autovalor-autovetor. Soluções ξ
que não a trivial existem se a matriz A-rI é singular. Para que
isso ocorra, devemos ter det (A - rI) = 0. As raízes r desse
polinômio característico de grau 2 são dadas por:
Temos portanto dois autovalores distintos: r1 = 3 and r2 = -1. 













0
0
14
11
1
1


r
r
0)1)(3(324)1(
14
11 22 

rrrrr
r
r
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4
Exemplo 1: Primeiro Autovetor (3 de 9)
Devemos calcular os autoespaços associados a cada 
autovalor. Para o autovalor r1 = 3 temos:
escalonamento da matriz aumentada fornece: 
  
























0
0
24
12
0
0
314
131
2
1
2
1




0ξIA r
















 










2
1
exemplo,por,escolhemos3aoassociadode
umconstituiretaestasobrevetorqualquerenoretaumaépordefinidoO
real).valorqualquerassumirpode,logo(livrevariávelumaéonde,
2
1
2/1
2/1
000
02/11
000
02/11
024
02/11
024
012
)1(
2
22
2
2
21
21
ξautovalorAautovetor
ξautoespaço
ξ
r




Exemplo 1: Segundo Autovetor (4 de 9)
Autoespaço associado ao autovalor r2 = -1: De forma 
análoga ao slide anterior, resolvemos:
escalonando a matriz aumentada:
  






















0
0
24
12
0
0
114
111
2
1
2
1




0ξIA r






















2
1
escolhemoslivrevariável,
2
1
2/1
2/1
000
02/11
000
02/11
024
02/11
024
012
)2(
22
2
2
21
21
ξξ 



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5
Exemplo 1: Solução Geral (5 de 9)
As soluções correspondentes x = ert de x' = Ax são, portanto:
O Wronskiano dessas duas soluções é
Logo, {x(1), x(2)} é um conjunto fundamental de soluções, e 
a solução geral de x' = Ax é
tt etet 







2
1
)(,
2
1
)( )2(3)1( xx
  04
22
)(, 23
3
)2()1( 



t
tt
tt
e
ee
ee
tW xx
tt ecec
tctct









2
1
2
1
)()()(
2
3
1
)2(
2
)1(
1 xxx
Exemplo 1: Plano de Fase para x(1) (6 de 9)
Para visualizar a solução, seja primeiramente x = c1x(1):
Agora 
Logo, x(1) se encontra ao longo da reta x2 = 2x1, que é a reta 
através da origem na direção do primeiro autovetor (1)
Se a solução é a trajetória de partículas, com posição dada por 
(x1, x2), então ela está no Q1 quando c1 > 0, e no Q3 quando c1
< 0. Em qualquer dos casos, a partícula se move afastando-se 
da origem quando t aumenta. 
ttt ecxecxec
x
x
t 312
3
11
3
1
2
1)1( 2,
2
1
)( 





x
12
1
2
1
133
12
3
11 22
2, xx
c
x
c
xeecxecx ttt 
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6
Exemplo 1: Plano de Fase para x(2) (7 de 9)
A seguir, seja x = c2x(2):
Então x(2) se encontra ao longo da reta x2 = -2x1, que é a reta 
atravésda origem na direção do segundo autovetor (2).
Se a solução representa a trajetória de partículas, com posição 
dada por (x1, x2), então ele está no Q4 quando c2 > 0, e no Q2 
quando c2 < 0. 
Em qualquer dos casos, a partícula se move aproximando-se 
da origem quando t aumenta. 
ttt ecxecxec
x
x
t  






 22212
2
1)2( 2,
2
1
)(x
Exemplo 1: 
Plano de Fase para a Solução Geral (8 de 9)
A solução geral é x = c1x(1) + c2x(2): 
Quando t , c1x(1) é dominante e c2x(2) torna-se 
negligenciável. Logo, para c1  0, todas as soluções se 
aproximam assintoticamente da reta x2 = 2x1 quando t . 
Similarmente, para c2  0, todas
as soluções aproximam-se 
assintoticamente da reta x2 = -2x1
quando t  - . 
A origem é um ponto-de-sela
e é instável. Ver gráfico:
tt ecect 







2
1
2
1
)( 2
3
1x
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7
Exemplo 1: Gráfico no espaço-tempo para a 
Solução Geral (9 de 9)
A solução geral é x = c1x(1) + c2x(2), ou seja: 
Como uma alternativa ao gráfico do plano de fase, podemos
representar x1 ou x2 como uma função de t. Uns poucos
gráficos de x1 são mostrados abaixo. 
Observar que quando
c1 = 0, x1(t) = c2e-t  0 quando t . 
De outro modo, x1(t) = c1e3t + c2e-t
cresce ilimitadamente quando t . 
Gráficos de x2 são obtidos de forma
similar.















 


tt
tt
tt
ecec
ecec
tx
tx
ecect
2
3
1
2
3
1
2
1
2
3
1 22)(
)(
2
1
2
1
)(x
Exemplo 2: Campo de Direções (1 de 9)
Seja a equação homogênea x' = Ax abaixo:
Um campo de direções para esse sistema é dado abaixo.
Substituindo x = ert em x' = Ax para x, 
e reescrevendo o sistema
como (A - rI)  = 0, obtemos:
xx 





22
23













0
0
22
23
1
1


r
r
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8
Exemplo 2: Autovalores (2 de 9)
A soluções têm a forma x = ert, onde r e  são 
determinados resolvendo-se: 
Esse é um problema de autovalores-autovetores, e 
determinamos os autovalores r como as raízes do 
polinômio característico det (A - rI) = 0: 
Logo, A tem 2 autovalores distintos: r1 = -1 e r2 = -4. 
0)4)(1(452)2)(3(
22
23 2 
 rrrrrr
r
r













0
0
22
23
1
1


r
r
Exemplo 2: Autovetores Associados ao 
Primeiro Autovalor (3 de 9)
Autoespaço associado a r1 = -1: resolvemos
escalonando a matriz aumentada:
  
























0
0
12
22
0
0
122
213
2
1
2
1




0ξIA r














 










2
1
oEscolhemos
livre.variável,
2
1
2/2,Logo
2/2
000
02/21
012
02/21
012
022
)1(
22
2
2
ξautovetor
ξ
ξ



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9
Exemplo 2: Autovetores Associados ao 
Segundo Autovalor (4 de 9)
Autoespaço associado a r2 = -4: resolvemos
escalonando a matriz aumentada:
  






















0
0
22
21
0
0
422
243
2
1
2
1




0ξIA r


















1
2:oEscolhemos
livre.variável,
1
2,Logo
2
000
021
022
021
)2(
22
2
2
ξautovetor
ξ
ξ



Exemplo 2: Solução Geral (5 de 9)
As soluções correspondentes x = ert de x' = Ax são
O Wronskiano dessas duas soluções é 
Portanto, {x(1), x(2)} é um conjunto fundamental de soluções, 
e a solução geral de x' = Ax pode ser escrita como
tt etet 4)2()1(
1
2)(,
2
1
)(  





 xx
  03
2
2)(, 5
4
4
)2()1(  

t
tt
tt
e
ee
eetW xx
tt ecec
tctct
4
21
)2(
2
)1(
1
1
2
2
1
)()()(
 






 xxx
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10
Exemplo 2: Plano de Fase para x(1)(t) (6 de 9)
Para visualizar as soluções, seja primeiramente x = c1x(1):
Mas 
Logo x(1) encontra-se sobre a reta que é uma reta 
através da origem na direção do primeiro autovetor (1) .
Se a solução é a trajetória de uma partícula, com vetor de 
posição dado por (x1, x2), então a partícula está no Q1 quando c1
> 0, e no Q3 quando c1 < 0. 
Em qualquer dos casos, a partícula se move em direção à 
origem quando t aumenta. 
ttt ecxecxec
x
x
t  





 12111
2
1)1( 2,
2
1
)(x
12
1
2
1
1
1211 22
2, xx
c
x
c
xeecxecx ttt  
12 2xx 
Exemplo 2: Plano de Fase para x(2)(t) (7 de 9)
Seja então x = c2x(2):
Logo, x(2) se encontra sobre a reta , que é uma
reta através da origem na direção do autovetor (2) .
Se a solução é a trajetória de uma partícula, com vetor de 
posição dado por (x1, x2), então a partícula está no Q4 quando
c2 > 0, e no Q2 quando c2 < 0. 
Em qualquer dos casos, a partícula se move em direção à 
origem quando t aumenta. 
ttt ecxecxec
x
x
t 422
4
21
4
2
2
1)2( ,2
1
2)(  





x
12 2xx 
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11
Exemplo 2: 
Plano de Fase para a Solução Geral (8 de 9)
A solução geral é x = c1x(1) + c2x(2) , com 
Quando t , c1x(1) é o termo dominante e c2x(2) torna-se 
negligenciável. Logo, para c1  0, todas as soluções se 
aproximam assintoticamente da origem ao longo da reta
quando t . 
Similarmente, todas as soluções
são ilimitadas quando t  - . 
A origem é um nódulo, e 
é estável assintoticamente. 
tt etet 4)2()1(
1
2)(,
2
1
)(  





 xx
12 2xx 
Exemplo 2: Gráfico no espaço-tempo para a 
Solução Geral (9 de 9)
A solução geral é x = c1x(1) + c2x(2) , ou seja: 
Como uma alternativa ao gráfico do plano de fase, podemos
representar x1 ou x2 como uma função de t. Uns poucos
gráficos de x1(t) são mostrados abaixo. 
Gráficos de x2(t) são obtidos de forma
similar.














 


tt
tt
tt
ecec
ecec
tx
tx
ecect
4
21
4
21
2
14
21 2
2
)(
)(
1
2
2
1
)(x
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12
Sistemas 2 x 2: 
Autovalores Reais, Pontos-de-sela, e nódulo
Os dois exemplos anteriores demonstram os dois casos 
principais para um sistema real 2 x 2 com autovalores reais e 
distintos:
Os autovalores têm sinais opostos: a origem é um ponto-de-sela e é 
instável.
Os autovalores têm o mesmo sinal: a origem é um nódulo, e é 
assintoticamente estável, se os autovalores são negativos, ou instável , 
se os autovalores são positivos.
Autovalores, Autovetores, 
e Conjunto Fundamental de Soluções
Em geral, para um sistema linear real n x n x' = Ax:
Todos os autovalores são reais e diferentes um dos outros.
Alguns autovalores ocorrem em pares complexos conjugados.
Alguns autovalores são repetidos.
Se os autovaloresr1,…, rn são reais & distintos, então existem
n autovetores linearmente independentes (1),…, (n) associados
um-a-um a cada autovalor. As n soluções correspondentes de
x' = Ax são:
Usando o Wronskiano, pode-se mostrar que essas soluções são
linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto
fundamental de soluções. Logo, a solução geral é 
trnntr netet )()()1()1( )(,,)( 1 ξxξx  
trn
n
tr necec )()1(1 1 ξξx  
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13
Caso Hermitiano: Autovalores, Autovetores, 
e Conjunto Fundamental de Soluções
Se A é uma matriz Hermitiana n x n (real e simétrica), então 
todos os autovalores r1,…, rn são reais, embora alguns 
possam ser repetidos. 
Em qualquer caso, existem n autovetores linearmente 
independentes e ortogonais (1),…, (n) associados a r1,…, rn. 
As n soluções correspondentes de x' = Ax são
e formam um conjunto fundamental de soluções.
Logo, a solução geral é
trnntr netet )()()1()1( )(,,)( 1 ξxξx  
trn
n
tr necec )()1(1 1 ξξx  
Exemplo 3: Matriz Hermitiana (1 de 3)
Seja a equação homogênea x' = Ax definida abaixo:
Os autovalores foram calculados previamente (ver Seção 7.3) 
e são:
r1 = 2, r2 = -1, e r3 = -1. 
Os autovetores associados são: 
xx









011
101
110





























1
1
0
, 
1
0
1
,
1
1
1
)3()2()1( ξξξ
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14
Exemplo 3: Solução Geral (2 de 3)
As soluções que formam o conjunto fundamental de 
soluções são: 
A solução geral é escrita como: 
ttt eee 





























1
1
0
, 
1
0
1
,
1
1
1
)3()2(2)1( xxx
ttt ececec 





























1
1
0
 
1
0
1
1
1
1
32
2
1x
Exemplo 3: 
Comportamento da Solução Geral (3 de 3)
A solução geral é x = c1x(1) + c2x(2) + c3x(3), ou seja:
Quando t , c1x(1) é o termo dominante já que c2x(2) e c3x(3)
tornam-se negligenciáveis. 
Logo, para c1  0, todas as soluções x tornam-se ilimitadas 
quando t , enquanto para c1 = 0, todas as soluções x  0
quando t .
Os pontos iniciais que causam c1 = 0 são aqueles que se 
encontram no plano determinado pelos autovetores (2) e (3). 
Logo, as soluções que começam nesse plano se aproximam da 
origem quando t .
ttt ececec 





























1
1
0
 
1
0
1
1
1
1
32
2
1x
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15
Autovalores Complexos e 
Conjunto Fundamental de Soluções
Se alguns dos autovalores r1,…, rn ocorrem como pares 
conjugados complexos, mas de outra forma são distintos, então 
existem ainda n soluções linearmente independentes do tipo
que formam um conjunto fundamental de soluções. Alguns 
podem ter valores complexos, mas soluções de valor real 
podem ser obtidas a partir delas. Essa situação será examinada 
na Seção 7.6.
Se a matriz de coeficientes A é complexa, então autovalores
complexos não necessariamente ocorrem em pares conjugados, 
mas as soluções ainda terão a forma acima (se os autovalores
forem distintos) e essas soluções podem ter valores complexos. 
,)(,,)( )()()1()1( 1 trnntr netet ξxξx  
Autovalores Repetidos e 
Conjunto Fundamental de Soluções
Se alguns dos autovalores r1,…, rn são repetidos, então pode 
acontecer de não existirem n soluções linearmente 
independentes da forma
Para se obter um conjunto fundamental de soluções , pode-se 
fazer necessária a busca de soluções adicionais de outra forma. 
Essa situação é análoga àquela para uma equação linear de 
n-ésima ordem com coeficientes constantes, na qual uma raiz 
repetida dava lugar a soluções na forma 
Esse caso de autovalores repetidos é examinado na Seção 7.8. 
trnntr netet )()()1()1( )(,,)( 1 ξxξx  
,,, 2 rtrtrt ettee
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1
Seção 7.6: Autovalores Complexos
Seja, novamente, um sistema homogêneo de n equações 
lineares de primeira ordem com coeficientes reais constantes:
Esse sistema pode ser reescrito como x' = Ax, onde
nnnnnn
nn
nn
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax







2211
22221212
12121111






















nnnn
n
n
n aaa
aaa
aaa
tx
tx
tx
t





21
22221
11211
2
1
,
)(
)(
)(
)( Ax
Autovalores e Autovetores Complexos
em Pares Conjugados
Sabemos que x = ert é uma solução de x' = Ax, desde que r seja
um autovalor e  um autovetor associado de A.
Os autovalores r1,…, rn são as raízes de det(A-rI) = 0, e os
autovetores associados a cada autovalor satisfazem (A-rI)=0
Se A é real, então os coeficientes no polinômio característico
det(A-rI) = 0 são reais, e daí qualquer autovalor complexo deve
ocorrer em pares conjugados. Logo, se r1 =  + i é um autovalor,
então seu conjugado r2 =  - i também é um autovalor.
Os autovetores associados (1) e (2) existem em pares 
conjugados também. Para verificar isso, lembrar que todos os
elementos de A e I são reais, e daí
      0ξIA0ξIA0ξIA  )2(2)1(1)1(1 rrr
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2
Soluções Conjugadas
Segue do slide anterior que as soluções
correspondentes a esses autovalores e autovetores são pares 
conjugados também, já que
)1()1()2()2( 12 xξξx  trtr ee
trtr ee 21 )2()2()1()1( , ξxξx 
Soluções de Valor Real
Logo, para autovalores complexos conjugados r1 e r2 , as 
soluções correspondentes x(1) e x(2) são conjugados também.
Para obtermos soluções de valor real, usamos as partes real 
e imaginária quer de x(1) ou x(2). Para vermos isso, seja 
(1) = a + ib. Então
onde
são soluções de valor real de x' = Ax, e pode-se mostrar que 
são linearmente independentes. 
     
   
)()(
cossinsincos
sincos)1()1(
tit
ttiette
titeie
tt
tti
vu
baba
baξx


 




   ,cossin)(,sincos)( ttetttet tt   bavbau 
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3
Soluções Gerais
Para sumarizar, sejam r1 =  + i, r2 =  - i, e r3,…, rn todos 
autovalores reais e distintos de A. Sejam os autovetores 
correspondentes dados por
Então a solução geral de x' = Ax é 
onde
trn
n
tr necectctc )()3(321 3)()( ξξvux  
)()4()3()2()1( ,,,,, nii ξξξbaξbaξ 
   ttetttet tt   cossin)(,sincos)( bavbau 
Exemplo 1: Campo de Direções (1 de 7)
Seja a equação homogênea x' = Ax abaixo:
Um campo de direções para esse sistema é dado abaixo.
Substituindo x = ert para x, e reescrevendo o sistema como 
(A-rI) = 0, obtemos
xx 





2/11
12/1













0
0
2/11
12/1
1
1


r
r
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4
Exemplo 1: Autovalores Complexos (2 de 7)
Determinamos r resolvendo det(A-rI) = 0. Mas
Logo 
Portanto, os autovalores são r1 =-1/2 + i e r2 = -1/2 - i. 
 
4
512/1
2/11
12/1 22 

rrr
r
r
iir 
2
1
2
21
2
)4/5(411 2
Exemplo 1: Primeiro Autovetor (3 de 7)
Autoespaço para r1 = -1/2 + i: Resolver
por escalonamento da matriz aumentada:
Logo
 





































0
0
2
1
1
1
0
0
2
1
1
1
0
0
1
1
2/11
12/1






i
i
i
i
r
r
r 0ξIA













 i
ii
i
i 1)1(escolhemos
2
2)1(
000
01
01
01 ξξ 








1
0
0
1)1( iξ
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5
Exemplo 1: Segundo Autovetor (4 de 7)
Autoespaço para r1 = -1/2 - i: Resolvemos
por escalonamento da matriz aumentada:
Logo
 





































0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
2/11
12/1
2
1
2
1
1
1






i
i
i
i
r
r
r 0ξIA










 





i
ii
i
i 1)2(escolhemos
2
2)2(
000
01
01
01 ξξ 









1
0
0
1)2( iξ
Exemplo 1: Solução Geral (5 de 7)
As soluções x = ert correspondentes de x' = Ax são
O Wronskiano dessas duas soluções é
Logo u(t) e v(t) formam um conjunto fundamental de 
soluções de valor real de x' = Ax, com solução geral
x = c1u + c2v. 





























t
t
ettet
t
t
ettet
tt
tt
cos
sin
cos
1
0
sin
0
1
)(
sin
cos
sin
1
0
cos
0
1
)(
2/2/
2/2/
v
u
  0
cossin
sincos
)(,
2/2/
2/2/
)2()1( 



t
tt
tt
e
tete
tete
tW xx
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6
Exemplo 1: Plano de Fase (6 de 7)
Gráfico de soluções x no plano de fases é dado abaixo, com
A trajetória de cada solução se aproxima da origem na forma 
de uma espiral quando t , já que as coordenadas são 
produtos de fatores exponenciais decrescentes e senos e 
cosenos. 
O gráfico de u passa através de (1,0), 
já que u(0) = (1,0). Similarmente, o 
gráfico de v passa através de (0,1). 
A origem é um ponto espiral, e é
estável assintoticamente.










 



te
te
c
te
te
c
x
x
t
t
t
t
cos
sin
sin
cos
2/
2/
22/
2/
1
2
1x
Exemplo 1: Gráficos das componentes da 
solução como funções do tempo (7 de 7)
A solução geral é x = c1u + c2v:
Como uma alternativa ao gráfico no plano de fase, podemos 
representar graficamente x1 ou x2 como uma função de t. 
Uns poucos gráficos de x1 são dados abaixo, cada um deles 
uma oscilação decrescente quando
t .








 

tectec
tectec
tx
tx
tt
tt
cossin
sincos
)(
)(
2/
2
2/
1
2/
2
2/
1
2
1x
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7
Pontos Espirais, Centros, 
Autovalores, e Trajetórias
No exemplo anterior, a solução geral foi
A origem era um ponto espiral, e asintoticamente estável. 
Se a parte real do autovalor complexo é positiva, então as 
trajetórias espirais se afastam ilimitadas a partir da origem, 
logo a origem é um ponto espiral instável. 
Se a parte real do autovalor complexo é zero, então as 
trajetórias circundam a origem, nem se aproximando nem se 
afastando dela. Logo, a origem é chamada de um centro e é 
estável, mas não asintoticamente estável. As trajetórias são 
periódicas no tempo. 
A direção do movimento na trajetória depende dos elementos 
da matriz A. 










 



te
te
c
te
te
c
x
x
t
t
t
t
cos
sin
sin
cos
2/
2/
22/
2/
1
2
1x
Exemplo 2: 
Sistemas de Segunda Ordem com Parâmetro (1 de 2)
O sistema x' = Ax abaixo contém um parâmetro .
Substituindo x = ert para x e reescrevendo o sistema como 
(A-rI) = 0, obtemos
A seguir, resolva para r em termos de  :
xx 



 02
2













0
0
2
2
1
1


r
r
2
1644)(
2
2 22 
  rrrrr
r
r
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8
Exemplo 2: 
Análise dos Autovalores (2 de 2)
Os autovalores são dados pela fórmula quadrática acima.
Para  < -4, ambos autovalores são reais e negativos, e daí a 
origem é um nódulo asintoticamente estável. 
Para  > 4, ambos autovalores são reais e positivos, e daí a 
origem é um nódulo instável.
Para -4 <  < 0, os autovalores são complexos com uma parte 
real negativa, e daí a origem é um ponto espiral
asintoticamente estável.
Para 0 <  < 4, os autovalores são complexos com uma parte 
real positiva, e a origem é um ponto espiral instável.
Para  = 0, os autovalores são imaginários puros, a origem é 
um centro. As trajetórias são curvas fechadas em torno da 
origem e periódicas.
Para  =  4, autovalores reais & iguais, origem é um nódulo
(Seção 7.8)
2
162  r
Comportamento de Soluções de Segunda 
Ordem e Autovalores: Três Casos Principais
Para sistemas de segunda ordem, os três casos principais são:
Autovalores reais e com sinais opostos; x = 0 é um ponto-de-sela.
Autovalores reais, distintos e com mesmo sinal; x = 0 é um nódulo.
Autovalores complexos com parte real não nula; x = 0 é ponto espiral.
Outras possibilidades existem e ocorrem como transições entre 
dois dos casos listados acima: 
Um autovalor zero ocorre durante transição entre ponto-de-sela e nódulo. 
Autovalores iguais e reais ocorrem durante transição entre nódulos e 
pontos espirais. Autovalores imaginários puros ocorrem durante 
transição entre pontos espirais asintoticamente estável e instável. 
a
acbbr
2
42 
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1
Seção 7.7: Matrizes Fundamentais
Assuma que x(1)(t),…, x(n)(t) formam um conjunto fundamental 
de soluções da equação x' = P(t) x para  < t < . 
A matriz
cujas colunas são x(1)(t),…, x(n)(t), é uma matriz fundamental
para o sistema x' = P(t) x. Essa matriz é não-singular já que 
suas colunas são linearmente independentes, e daí det  0. 
Observar também que como x(1)(t),…, x(n)(t) são soluções de 
x' = P(t)x,  satisfaz a equação matricial diferencial ' = P(t).
,
)()(
)()(
)(
)()1(
)(
1
)1(
1









txtx
txtx
t
n
nn
n



Ψ
Exemplo 1:
Seja a equação homogênea x' = Ax abaixo:
Na Seção 7.5, determinamos as seguintes soluções 
fundamentais para esse sistema:
Logo, uma matriz fundamental para esse sistema é 
xx 



14
11
tt etet 







2
1
)(,
2
1
)( )2(3)1( xx




 

tt
tt
ee
ee
t
22
)( 3
3
Ψ
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2
Matrizes Fundamentais e Soluções Gerais
A solução geral de x'= P(t)x
pode ser expressa como x = (t)c, onde c é um vetor 
constante com componentes c1,…, cn , ou seja:
)()1(
1 )(
n
nctc xxx  

















n
n
nn
n
c
c
txtx
txtx
t 


 1
)()1(
)(
1
)1(
1
)()(
)()(
)( cΨx
Matrizes Fundamentais &
Problemas de Valor Inicial
Seja o problema de valor inicial
x' = P(t)x, x(t0) = x0
onde  < t0 <  e x0 é um vetor de valor inicial dado.
A solução tem a forma x = (t)c, daí escolhemos c de modo a 
satisfazer x(t0) = x0. 
Lembrando que (t0) é não-singular, segue que
Logo, a solução x = (t)c pode ser expressa como
0
0
10
0 )()( xΨcxcΨ tt 
0
0
1 )()( xΨΨx tt 
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3
Lembre-se: Teorema 7.4.4
Sejam 
e x(1),…, x(n) soluções de x' = P(t)x em I:  < t <  que 
satisfazem as condições iniciais, ou seja:
Então x(1),…, x(n) são soluções fundamentais de x' = P(t)x.

































1
0
0
0
,,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
)()2()1( 

neee
  0)(0)()1(0)1( ,)(,,)( ttt nn exex 
Matriz Fundamental & Teorema 7.4.4
Assuma que x(1)(t),…, x(n)(t) formam um conjunto fundamental 
de soluções que satisfaz o Teorema 7.4.4. Seja a matriz 
fundamental correspondente denotada por (t). Então as 
colunas de (t) são x(1)(t),…, x(n)(t), e daí
Logo -1(t0) = I, e a solução geral do PVI correspondente é 
Segue daí que, para qualquer matriz fundamental (t),
I











100
010
001
)( 0




t
00
0
1 )()()( xΦxΦΦx ttt  
)()()()()()( 0
100
0
1 tttttt   ΨΨΦxΦxΨΨx
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) Prof. Marcos H. da Silva Bassani
CEFET-RJ 2o.Semestre 2014
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A Matriz Fundamental 
& Condições Iniciais Variáveis
Logo, quando usamos a matrix fundamental (t), a solução 
geral para um PVI é 
Essa representação é útil se o mesmo sistema deve ser resolvido 
para muitas condições iniciais diferentes, tal como um sistema 
físico que pode ser iniciado de muitos estados iniciais 
diferentes. 
Também, uma vez que (t) seja determinada, a solução para 
cada conjunto de condições iniciais é encontrada por 
multiplicação de matriz, como indicado pela equação acima.
Portanto, (t) representa uma transformação linear da condição 
inicial x0 na solução x(t) no instante t. 
00
0
1 )()()( xΦxΦΦx ttt  
Exemplo 2: Encontrar (t) para Sistemas 2 x 2
(1 de 5)
Determinar (t) tal que (0) = I para o sistema abaixo. 
Solução: Primeiro, devemos obter x(1)(t) e x(2)(t) tais que
Sabemos de resultados anteriores que a solução geral é
Toda e qualquer solução pode ser expressa em termos da 
solução geral e usamos esse fato para encontrar x(1)(t) e x(2)(t). 
xx 



14
11
tt ecec 







2
1
2
1
2
3
1x







1
0
)0(,
0
1
)0( )2()1( xx
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Exemplo 2: Usar Solução Geral (2 de 5)
Logo, para determinar x(1)(t), exprimimos x(1)(t) em termos 
da solução geral
e então calculamos os coeficientes c1 e c2. 
Para tal, usamos as condições iniciais para obtermos
ou, equivalentemente, 
tt ecect 







2
1
2
1
)( 2
3
1
)1(x











0
1
2
1
2
1
)0( 21
)1( ccx











 0
1
22
11
2
1
c
c
Exemplo 2: Resolver para x(1)(t) (3 de 5)
Para determinar x(1)(t), resolvemos portanto
por escalonamento da matriz aumentada:
Logo
2/1
2/1
2/110
2/101
2/110
111
240
111
022
111
2
1

















c
c



















tt
tt
tt
ee
eeeet
3
3
3)1( 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1)(x











 0
1
22
11
2
1
c
c
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Exemplo 2: Resolver para x(2)(t) (4 de 5)
Para determinar x(2)(t), resolvemos de forma similar
por escalonamento da matriz aumentada:
Logo
4/1
4/1
4/110
4/101
4/110
011
140
011
122
011
2
1



















c
c





















tt
tt
tt
ee
ee
eet
2
1
2
1
4
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1)(
3
3
3)2(x











 1
0
22
11
2
1
c
c
Exemplo 2: Obtenção de (t) (5 de 5)
As colunas de (t) são dadas por x(1)(t) e x(2)(t), e portanto 
dos slides anteriores obtemos: 
Observa-se que (t) é mais complicada que (t) do 
Exemplo 1. Entretanto, agora que temos (t), é muito mais 
fácil determinar a solução para qualquer conjunto de 
condições iniciais













tttt
tttt
eeee
eeee
t
2
1
2
1
4
1
4
1
2
1
2
1
)(
33
33
Φ




 

tt
tt
ee
ee
t
22
)( 3
3
Ψ
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Funções Exponenciais Matriciais
Sejam os dois casos seguintes:
A solução para x' = ax, x(0) = x0, é x = x0eat, onde e0 = 1.
A solução para x' = Ax, x(0) = x0, é x = (t)x0, onde (0) = I. 
Comparando a forma e solução para ambos esses casos, 
podemos esperar que (t) tenha um caráter exponencial. 
De fato, demonstra-se que (t) = eAt, onde 
é uma função matricial bem definida que tem todas as 
propriedades usuais de uma função exponencial (ver livro-
texto para detalhes). 
Logo, a solução para x' = Ax, x(0) = x0, é x = eAtx0. 
 




10 !! n
nn
n
nn
t
n
t
n
te AIAA
Exemplo 3: Função Exponencial Matricial
Seja a matriz diagonal A abaixo. 
Então
Em geral,
Logo 






  


 t
t
n
n
n
n
nn
t
e
e
t
n
n
n
te
2
00 0
0
!/20
0!/1
!
AA




20
01
A
,
20
01
20
01
20
01
,
20
01
20
01
20
01
32
3
2
2 



















 AA



 nn 20
01
A
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Sistemas de Equações Acopladas
Lembrando que o sistema homogêneo com coeficientes 
constantes
escrito como x' = Ax com
é um sistema de equações acopladas que devem ser resolvidas 
simultaneamente para se encontrar todas as variáveis 
desconhecidas. 
,2211
12121111
nnnnnn
nn
xaxaxax
xaxaxax





,,
)(
)(
)(
1
1111


















nnn
n
n aa
aa
tx
tx
t



 Ax
Sistemas Não-Acoplados & Matrizes Diagonais
Por outro lado, se cada equação tem apenas uma variável, 
resolvida independentemente das outras equações, então a 
tarefa seria mais fácil. Nesse caso, o sistema teria a forma:
ou x' = Dx, onde