Calculo diferencial varias variaveis aula 4

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Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 
 
 
 
 
 
Aula 4 
 
 
Professor Guilherme Lemermeier 
 
 
 
 
 
 
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Conversa Inicial 
Olá! Estamos em mais um encontro da disciplina Cálculo Diferencial e 
Integral a Várias Variáveis, hoje estudaremos os conceitos de Campos 
Vetoriais, Gradientes e Rotacional de um Campo Vetorial. Estes temas são de 
grande importância nas áreas técnicas como a Mecânica, Mecânica dos Fluidos, 
Resistência dos Materiais e Eletricidade. 
 
Prepare-se e bons estudos! 
 
Para complementar os seus estudos, você pode acessar 
na Biblioteca Virtual o livro “Cálculo B”, de Gonçalves & Fleming, 
2ª edição. 
 
 
Veja o que o professor Guilherme tem a dizer no material online! 
 
Contextualizando 
No estudo dos conceitos de Cálculo Diferencial e Integral de Várias 
Variáveis, veremos o “Gradiente”, que ao ser aplicado conjuntamente à ideia das 
curvas de nível nos trazem possíveis interpolações de resultados entre as 
curvas. Já o “Rotacional” de um campo vetorial nos remete ao estudo da 
Mecânica dos Fluidos, pois o resultado que teremos por meio do Cálculo será a 
aplicação do Teorema de Stokes. 
Estes e demais assuntos técnicos nortearão nosso conhecimento inicial 
sobre Cálculo Diferencial. Faça um bom proveito e em caso de dúvidas em 
algum tema, não pense duas vezes em retomá-lo! 
É muito importante que você se despeça deste encontro com todo 
o conteúdo muito claro. 
 
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Pesquise 
TEMA 1: Campos escalares e vetoriais 
Vamos dar início ao tema com a definição genérica para campo escalar, 
segundo Gonçalves (2007, p.192). 
Seja 𝐷 uma região no espaço tridimensional e seja 𝑓 uma função escalar definida 
em 𝐷. Então, a cada ponto 𝑃 ∈ 𝐷, 𝑓 associa uma única grandeza escalar 𝑓(𝑃). 
A região 𝐷, justamente com os valores de 𝑓 em cada um dos seus pontos, é 
chamada campo escalar. Dizemos também que 𝑓 define um campo escalar 𝐷. 
 
 
E o campo vetorial? Você sabe do que se trata? 
 
Vamos lá, de acordo com Gonçalves (2007, p.194): 
Seja 𝐷 uma região no espaço e seja 𝑓 uma função vetorial definida em 𝐷. Então 
cada ponto 𝑃 ∈ 𝐷, 𝑓 associa um único vetor 𝑓(𝐷). A região 𝐷, juntamente como 
os correspondentes vetores 𝑓(𝐷), constitui um campo vetorial. Dizemos também 
que 𝑓 define um campo vetorial sobre 𝐷. 
 
Você também vai precisar aprender como desenhar o campo vetorial, 
sobre isso, acesse o site a seguir! Tente fazer junto. 
https://www.youtube.com/watch?v=ppGUiMMuOiM 
 
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Antes de continuarmos, confira o texto a seguir do “Instituto Goiano de 
Matemática” que mostra um pouco mais sobre os campos escalares e os 
campos vetoriais. 
http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&
id=514%3Addir&catid=63%3Afuncoes2&Itemid=43 
 
Stewart (2013, p.948) nos explica o que é o ambiente bidimensional 
(lembrando que 𝐅 = 𝑓): 
Seja 𝐷 um conjunto de ℝ² (uma região plana). Um campo vetorial em ℝ² é uma 
função F que associa a cada ponto (𝑥, 𝑦) em 𝐷 um vetor bidimensional 𝐅(𝑥, 𝑦). 
 
E com isso, também, o ambiente tridimensional: 
Seja 𝐸 um conjunto de ℝ³ (uma região plana). Um campo vetorial em ℝ³ 
é uma função F que associa a cada ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) em 𝐸 um vetor bidimensional 
𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧). (STEWART, 2013, p.949) 
 
Vamos exemplificar? Solucione: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗, define um campo vetorial em ℝ². 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 2𝑦, 3𝑧), define um campo vetorial em ℝ³. 
 
 
 
 
 
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Tente praticar um pouco o que você aprendeu até aqui! 
Exercício 1. Esboce o diagrama que representaria o campo vetorial 
𝑓(𝑥, 𝑦). Quando 𝑓(𝑥, 𝑦) = −3𝑖 + 4𝑗: 
 
Resolução: 
 
 
Exercício 2. Esboce o campo vetorial 𝐅 desenhando o diagrama: 
𝐅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑖. (STEWART, 2014, p.952) 
 
Resolução: 
 
Assista no conteúdo online o que o professor Guilherme tem a nos dizer 
sobre este tema! 
 
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TEMA 2: Derivada direcional 
Vamos começar este tema já com um exercício, assista e anote as suas 
dúvidas: 
https://www.youtube.com/watch?v=l84cmUOtwnQ 
 
Entendeu? É sobre ela que vamos estudar nesta parte da aula: a derivada 
direcional! Esta, na definição de Gonçalves (2007, p.199): 
Consideremos um campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧). Escolhemos um ponto 𝑃 no 
espaço e uma direção em 𝑃, dada por um vetor unitário �⃗⃗�. Seja 𝐶 uma semi-reta 
cuja origem é 𝑃 e possui a direção de �⃗⃗� e seja 𝑄 um ponto sobre 𝐶 cuja distância 
de 𝑃 é 𝑠. 
 
Se existir o limite: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
𝑥→𝑜
𝑓(𝑄)−𝑓(𝑃)
𝑠
, ele será chamado derivada direcional 
de de 𝑓 em 𝑃, na direção de �⃗⃗�. Veja a seguir a ilustração dessa definição: 
 
 
E Stewart (2014, p.841), para um mesmo contexto, define a derivada 
direcional de 𝑓 em (𝑥0, 𝑦0) na direção do vetor unitário �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏) é 𝐷𝑥(𝑥0, 𝑦0) =
lim
ℎ→𝑜
𝑓(𝑥0+ℎ𝑎,𝑦0+ℎ𝑏)−𝑓(𝑥0,𝑦0)
ℎ
 se esse limite existir. 
 
 
 
 
 
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Vamos exemplificar? 
Calcule, usando a definição, a derivada do campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥² +
2𝑦², no ponto indicado e na direção 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 em . 
Resolução: 
Calculando o vetor unitário de 𝑣: 
�⃗⃗� =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
, �⃗⃗� =
(1,1)
√1²+1²
, �⃗⃗� = (
1
√2
,
1
√2
) 
 
Usando a definição: 
𝐷𝑥(𝑥0, 𝑦0) = lim
ℎ→𝑜
𝑓(𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
ℎ
 
 
Onde: 
 
(𝑎, 𝑏) = (
1
√2
,
1
√2
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Não pare por aqui! Complemente os seus estudos com o texto a seguir 
de Manoel Almeida, explicando mais um pouco derivadas direcionais. 
http://www.ebah.com.br/content/ABAAABs1sAG/derivadas-direcionais 
 
Agora que você já está fera no assunto, que tal tentar resolver mais dois 
exercícios? Veja as propostas a seguir. 
 
Exercício 3. Calcule, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦, no ponto indicado e na direção 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 em 𝑃(−1, 2). 
Resolução: Calculando o vetor unitário de 𝑣: 
�⃗⃗� =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
, �⃗⃗� =
(1,1)
√1²+1²
, �⃗⃗� = (
1
√2
,
1
√2
) 
 
Usando a definição 
 
𝐷𝑥(𝑥0, 𝑦0) = lim
ℎ→𝑜
𝑓(𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
ℎ
 
 
Onde: 
(𝑥0, 𝑦0) = (−1, 2) 
(𝑎, 𝑏) = (
1
√2
,
1
√2
) 
𝐷𝑥(−1, 2) = lim
ℎ→𝑜
𝑓 (−1 + ℎ
1
√2
, 2 + ℎ
1
√2
) − 𝑓(−1, 2)
ℎ
= 
= lim
ℎ→𝑜
 
[2(−1+ℎ
1
√2
)+(2+ℎ
1
√2
)²]−[2∙(−1)2+2]
ℎ
= = lim
ℎ→𝑜
 
3ℎ
√2
ℎ
=
3
√2
=
3√2
2
 
 
 
 
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Exercício 4. Calcule, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² − 𝑦², no ponto indicado e na direção 𝑣 = 2𝑖 + 2𝑗 em 𝑃(1, 2). 
 
Resolução: 
Calculando o vetor unitário de 𝑣: 
�⃗⃗� =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
, �⃗⃗� =
(2,2)
√2²+2²
, �⃗⃗� = (
1
√2
,
1
√2
) 
 
Usando a definição: 
 
𝐷𝑥(𝑥0, 𝑦0) = lim
ℎ→𝑜
𝑓(𝑥0 + ℎ𝑎, 𝑦0 + ℎ𝑏) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
ℎ
 
 
Onde: 
(𝑥0, 𝑦0) = (1, 2) 
(𝑎,𝑏) = (
1
√2
,
1
√2
) 
 
𝐷𝑥(1, 1) = lim
ℎ→𝑜
𝑓 (1 + ℎ
1
√2
, 2 + ℎ
1
√2
) − 𝑓(1, 2)
ℎ
= 
 
= lim
ℎ→𝑜
 
[(1 + ℎ
1
√2
) ² − (2 + ℎ
1
√2
) ²] − [1² − 2²]
ℎ
= 
 
= lim
ℎ→𝑜
 
[(1 +
2ℎ
√2
+
ℎ²
2 ) − (4 +
4ℎ
√2
+
ℎ²
2 )] −
[−3]
ℎ
= 
 
= lim
ℎ→𝑜
 
[−3 −
2ℎ
√2
] + 3
ℎ
= = lim
ℎ→𝑜
 
−
2ℎ
√2
ℎ
= −
2
√2
= −√2 
 
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Não deixe de conferir as palavras do professor Guilherme no conteúdo 
online, exemplificando esse tema! 
 
TEMA 3: Gradiente 
O gradiente de uma função escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), denotado por grad 𝑓, é um 
vetor definido como: grad𝑓 = ∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
A partir daqui vamos entender melhor suas aplicações, acompanhe... 
 
 
PROPRIEDADES: REGRAS ALGÉBRICAS PARA GRADIENTES 
 
Regra da soma: ∇(𝑓 + 𝑔) = ∇𝑓 + ∇𝑔 
Regra da diferença: ∇(𝑓 + 𝑔) = ∇𝑓 + ∇𝑔 
Regra da multiplicação por constante: ∇(𝑘𝑓) = 𝑘∇𝑓 (qualquer número k) 
Regra do produto: ∇(𝑓𝑔) = 𝑓∇g + 𝑔∇f 
Regra do quociente: ∇ (
𝑓
𝑔
) =
𝑔∇f+𝑓∇g
𝑔²
 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO GRADIENTE 
Segundo Thomas (2012, p.256), o plano tangente ao ponto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) 
na superfície de nível 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐 de uma função diferenciável 𝑓 é um plano 
passando por 𝑃0 normal a ∇𝑓|𝑃0. 
A reta normal da superfície em 𝑃0 é a reta passando por 𝑃0 paralela a 
∇𝑓|𝑃0. Em outras palavras, ∇𝑓 é normal a superfície de nível 𝑆 em um ponto 𝑃. 
 
Confira com o canal “Me Salva!” uma aplicação do vetor gradiente, 
exemplificando o que ele é, no site: 
https://www.youtube.com/watch?v=JphpwL7PAKc 
 
 
 
 
 
 
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Acompanhe mais um exemplo do vetor gradiente: 
Calculando: 
∇𝑓|𝑃0 = (2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + �⃗⃗�)𝑃0 = 2𝑖 + 4𝑗 + �⃗⃗� 
Resolução: 
2𝑖 + 4𝑗 + �⃗⃗� é o vetor normal à superfície 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) no ponto 𝑃(1, 2, 4) 
 
Segundo Gonçalves (2007, p.205), ainda podemos calcular a derivada 
direcional usando gradiente, veja: 
 
Suponha que 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) possui derivadas parciais de 1ª ordem contínuas e 
aplicando a regra da cadeia, temos: 
𝜕𝑓
𝜕𝑠
(𝑃) = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑠
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑠
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑠
�⃗⃗�) (𝑃) 
Sendo assim, 
𝜕𝑓
𝜕𝑠
(𝑃) = �⃗⃗� ∙ grad𝑓(𝑃) = �⃗⃗� ∙ ∇𝑓(𝑃) 
Para que você fixe a aplicação do vetor gradiente, pratique os dois exercícios a 
seguir. 
 
Exercício 5. Calcular o gradiente dos campos escalares: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 
 
Resolução: 
Aplicando a definição: 
grad𝑓 = ∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
Temos: 
grad𝑓 = ∇𝑓 = (𝑦 + 𝑧)𝑖 + (𝑥 + 𝑧)𝑗 + (𝑥 + 𝑦)�⃗⃗� 
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒2𝑥²+𝑦 
 
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Resolução: 
Aplicando a definição 
grad𝑓 = ∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 
Temos, 
grad𝑓 = ∇𝑓 = (𝑒2𝑥²+𝑦)(4𝑥)𝑖 + (𝑒2𝑥²+𝑦)𝑗 
 
Exercício 6. Calcule, a derivada direcional do campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥² +
2𝑦², no ponto indicado e na direção 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 em 𝑃(1, 1). 
Resolução: 
Calculando o vetor unitário de 𝑣: 
�⃗⃗� =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
, �⃗⃗� =
(1,1)
√1²+1²
, �⃗⃗� = (
1
√2
,
1
√2
) 
 
Usando a definição 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑠
(𝑃) = �⃗⃗� ∙ grad𝑓(𝑃) = �⃗⃗� ∙ ∇𝑓(𝑃) 
 
Onde: 
�⃗⃗� = (
1
√2
,
1
√2
) 
∇𝑓 = (4𝑥, 4𝑦) 
𝑃 = (1, 1) 
 
Então, 
𝜕𝑓
𝜕𝑠
(1,1) = (
1
√2
,
1
√2
) ∙ (4(1), 4(1)) = 
= (
1
√2
,
1
√2
) ∙ (4, 4) = 
=
4
√2
+
4
√2
= =
8
√2
= = 4√2 
 
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O professor Guilherme nos esclarece melhor o tema gradiente, veja no 
conteúdo online. 
 
TEMA 4: Divergência de um campo vetorial 
 
Seja 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 + 𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + 𝑓3(𝑥, 𝑦, 𝑧)�⃗⃗� um campo vetorial 
definido em um domínio 𝐷. Se existem e são contínuas as derivadas 
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓3
𝜕𝑧
, 
definimos a divergência do campo vetorial 𝑓, denotada por div𝑓, como função 
escalar (GONÇALVES, 2007, p.214). 
 
Exemplificando: 
Dado o campo vetorial 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥³𝑖 + 𝑥𝑦𝑧𝑗 + 𝑧²�⃗⃗�, calcular div𝑓. div𝑓 =
𝜕(2𝑥3)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝑥𝑦𝑧)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝑧2)
𝜕𝑧
 
div𝑓 = 6𝑥² + 𝑥𝑦 + 2𝑧 
Propriedades: 
a) div(𝑓 ± �⃗�) = div(𝑓) ± div(�⃗�) 
b) div(ℎ𝑓) = ℎdiv(𝑓) + gradℎ ∙ 𝑓 
 
Vamos iniciar este tema já praticando dois exercícios? Vamos lá! 
Exercício 7. Dado o campo vetorial 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥³𝑖 + 𝑥𝑦𝑧𝑗 + 𝑧²�⃗⃗�, calcular div𝑓. 
div𝑓 =
𝜕(2𝑥3)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝑥𝑦𝑧)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝑧2)
𝜕𝑧
 
 
div𝑓 = 6𝑥² + 𝑥𝑦 + 2𝑧 
 
Exercício 8. Dado o campo vetorial 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥𝑦𝑧𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑒𝑧²�⃗⃗�, calcular div𝑓. 
div𝑓 =
𝜕(4𝑥𝑦𝑧)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝑥𝑧)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝑒𝑧²)
𝜕𝑧
 
div𝑓 = 4𝑦𝑧 + 2𝑧𝑒𝑧² 
 
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“Tanto a divergência quanto o rotacional são operadores vetoriais, cujas 
propriedades são reveladas pela visualização de um campo de vetores como o 
fluxo de um líquido ou gás. Aqui focamos as propriedades geométricas da 
divergência; A divergência de um campo vetorial é relativamente fácil de 
compreender intuitivamente.” 
http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&
id=706:divergencia&catid=63:funcoes2 
 
Você já estudou o tema gradiente e logo vai estudar o rotacional, fique 
mais por dentro do assunto conferindo a leitura complementar a seguir. 
http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/
aula_08-1236/01.html 
 
No conteúdo online, assista o que o professor Guilherme tem a 
dizer! 
 
TEMA 5: Rotacional de um campo vetorial 
Iniciaremos este tema com uma prática: imagine uma tubulação de seção 
cilíndrica completamente cheia (um cano de água) passando um fluido (água). 
Esse tipo de escoamento tem uma característica bem interessante. O fluido 
tende a rotacionar, em torno do eixo central, no sentido anti-horário ao 
movimento de escoamento (Mecânica dos Fluidos – Teorema de Stokes). 
É nesse contexto que surge a aplicação do Rotacional de um Campo 
Vetorial, as partículas do fluido tendem a rodar em torno do eixo que aponta na 
direção de rot𝑓. 
 
 
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A seguir, clique no ícone para acessar o artigo “Rotação de Campos Vetoriais: 
Teorema de Stokes” e entender melhor sobre o assunto que estamos 
discutindo. 
http://www.mat.ufmg.br/~tcunha/CalcIII08/13Stokes.pdf 
 
Na definição de Gonçalves (2007, p.218), seja 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓1(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖 +
𝑓2(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗 + 𝑓3(𝑥, 𝑦, 𝑧)�⃗⃗� um campo vetorial definido em um domínio 𝐷, com 
derivadas de 1ª ordem contínuas em 𝐷. Definimos o rotacional de 𝑓, denotado 
por rot𝑓, como: 
rot𝑓 = ∇ × 𝑓 = ||
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑓1 𝑓2 𝑓3
|| 
Portanto, 
 
rot𝑓 = (
𝜕𝑓3
𝜕𝑦
−
𝜕𝑓2
𝜕𝑧
) 𝑖 + (
𝜕𝑓1
𝜕𝑧
−
𝜕𝑓3
𝜕𝑥
) 𝑗 + (
𝜕𝑓2
𝜕𝑥
−
𝜕𝑓1
𝜕𝑦
) �⃗⃗� 
 
Vamos à exemplificação! 
 
Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 2𝑦𝑧𝑗 + 𝑥𝑦𝑧�⃗⃗�, determine rot𝑓. 
Usando a definição: rot𝑓 = ∇ × 𝑓 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑓1 𝑓2 𝑓3
| 
 
Temos, 
rot𝑓 = ∇ × 𝑓 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥𝑧 2𝑦𝑧 𝑥𝑦𝑧
| = 
 
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= [
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥𝑦𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(2𝑦𝑧)] 𝑖 − [
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥𝑦𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥𝑧)] 𝑗 − [
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑦𝑧) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥𝑧)] �⃗⃗� = 
 
= [(𝑥𝑧) − (2𝑦)]𝑖 − [(𝑦𝑧) − (𝑥)]𝑗 − [0 − 0]�⃗⃗� = 
= [(𝑥𝑧) − (2𝑦)]𝑖 − [(𝑦𝑧) − (𝑥)]𝑗 
 
Observação: Pode-se interpretar fisicamente o rotacional como uma medida de 
movimento angular de um fluido, e a condição rot�⃗� = 0⃗⃗, para um campo de 
velocidade 𝑣, caracteriza os chamados fluxos irrotacionais. (GONÇALVES, 
2007, p.220) 
Para não sair desse tema com dúvidas, esclareça melhor sobre o 
Teorema de Stokes, assistindo ao vídeo do canal “Responde Aí” a seguir. 
Clique no ícone! 
https://www.youtube.com/watch?v=Q5Be94RW4NU 
 
Realize também dois exercícios: 
 
Exercício 9. Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦²𝑧𝑖 + 𝑥²𝑦𝑧𝑗 + 3𝑥𝑦�⃗⃗�, determine rot𝑓. 
Resolução: Usando a definição: rot𝑓 = ∇ × 𝑓 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑓1 𝑓2 𝑓3
| 
 
Temos, 
rot𝑓 = ∇ × 𝑓 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥𝑦²𝑧 𝑥²𝑦𝑧 3𝑥𝑦
| = 
 
= [
𝜕
𝜕𝑦
(3𝑥𝑦) −
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥²𝑦𝑧)] 𝑖 − [
𝜕
𝜕𝑥
(3𝑥𝑦) −
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥𝑦²𝑧)] 𝑗 − [
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥²𝑦𝑧) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥𝑦²𝑧)] �⃗⃗� = 
 
 
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= [(3𝑥) − (𝑥²𝑦)]𝑖 − [(3𝑦) − (𝑥𝑦²)]𝑗 − [2𝑥𝑦𝑧 − 2𝑥𝑦𝑧]�⃗⃗� = 
 
= [3𝑥 − 𝑥²𝑦]𝑖 − [3𝑦𝑥𝑦²]𝑗 
 
 
Exercício 10. Um escoamento é representado pelo campo de velocidade 𝑣 =
4𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�, determine rot𝑓. 
Usando a definição: rot𝑓 = ∇ × 𝑓 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑓1 𝑓2 𝑓3
| 
 
Temos, 
rot𝑓 = ∇ × 𝑓 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
4𝑥 2𝑦 𝑧
| = 
 
= [
𝜕
𝜕𝑦
(𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(2𝑦)] 𝑖 − [
𝜕
𝜕𝑥
(𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(4𝑥)] 𝑗 − [
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
(4𝑥)] �⃗⃗� = 
 
= [(0) − (0)]𝑖 − [(0) − (0)]𝑗 − [0 − 0]�⃗⃗� = 
 
= 0⃗⃗, (escoamento irrotacional) 
 
E para fechar esta fase, confira o vídeo com o professor Guilherme no 
conteúdo online! 
 
TEMA 6: Campos conservativos 
No último vídeo do tema “Rotacional de um campo vetorial” você viu um 
pouco sobre os campos conservativos, também conhecidos como 
independência do caminho, agora o estudaremos! 
 
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Segundo Gonçalves (2007, p.222), seja 𝑓 um campo vetorial em um 
domínio 𝑈. Se 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) é uma função diferenciável em 𝑈 tal que 𝑓 = grad𝑢, 
dizemos que 𝑓 é um campo conservativo ou um campo gradiente em 𝑈. A função 
𝑢 é chamada função potencial de 𝑓 em 𝑈. 
 
Essa definição em Thomas (2012, p.382) é dada como: 
Se �⃗� é um campo vetorial definido em 𝐷 e �⃗� = ∇𝑓 para alguma função 
escalar 𝑓 em 𝐷, então é chamada de função potencial para �⃗�. 
 
EXEMPLIFICANDO: 
O campo vetorial 𝑓 = (4𝑦 + 𝑦𝑧)𝑖 + (4𝑥 + 𝑥𝑧)𝑗 + (𝑥𝑦)�⃗⃗� é um campo 
conservativo. Pois, temos no gradiente da função 𝑢 = 4𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 a igualdade 
com 𝑓. 𝑢 = 4𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧. 
 
Pela definição: 
grad𝑓 = ∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
∇𝑢 =
𝜕(4𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧)
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕(4𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧)
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕(4𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧)
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
∇𝑓 = (4𝑦 + 𝑥𝑦)𝑖 + (4𝑥 + 𝑥𝑧)𝑗 + (𝑥𝑦)�⃗⃗� 
TEOREMA 
Em Gonçalves (2007, p.222), seja 𝑓 = (𝑓1, 𝑓2, 𝑓3) um campo vetorial 
contínuo em um domínio 𝑈, com derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em 
𝑈. Se 𝑓 admite uma função potencial 𝑢, então rot𝑓 = 0⃗⃗ para qualquer (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈
𝑈. 
Reciprocamente, se U for simplesmente conexo e (1) for verificada, 
então 𝑓 admite um função potencial 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) em 𝑈. 
 
 
Portanto, podemos dizer que 𝑢 é uma função potencial para 𝑓 . 
 
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Verifique se o campo vetorial 𝑓 = 𝑥²𝑖 + 2𝑥𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�𝑥² é um campo 
conservativo. 
rot𝑓 = ∇ × 𝑓 = |
|
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥² 2𝑥𝑦 𝑧
|
| = 
= [
𝜕
𝜕𝑦
(𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(2𝑥𝑦)] 𝑖 − [
𝜕
𝜕𝑥
(𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(𝑥²)] 𝑗 − [
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑥𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥²)] �⃗⃗� = 
= [(0) − (0)]𝑖 − [(0) − (0)]𝑗 − [2𝑦 − 0]�⃗⃗� = 
= −2𝑦�⃗⃗� 
Portanto, rot𝑓 ≠ 0 e dessa forma 𝑓 não é campo gradiente em ℝ³. 
 
MAIS UM EXEMPLO! 
Verifique se o campo vetorial 𝑓 = 4𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�, é um campo conservativo. 
rot𝑓 = ∇ × 𝑓 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
4𝑥 2𝑦 𝑧
| = 
= [
𝜕
𝜕𝑦
(𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(2𝑦)] 𝑖 − [
𝜕
𝜕𝑥
(𝑧) −
𝜕
𝜕𝑧
(4𝑥)] 𝑗 − [
𝜕
𝜕𝑥
(2𝑦) −
𝜕
𝜕𝑦
(4𝑥)] �⃗⃗� = 
= [(0) − (0)]𝑖 − [(0) − (0)]𝑗 − [0 − 0]�⃗⃗� = 
= 0⃗⃗ 
 Assim, verifica-se que 𝑓 é um campo conservativo, portanto, admite, pelo 
menos, uma função potencial. 
Os exemplos te auxiliarão em um melhor entendimento do conteúdo, 
porém, sempre que possível pesquise acerca do assunto nos meios que puder. 
Vamos dar continuidade ao assunto assistindo ao vídeo a seguir. 
https://www.youtube.com/watch?v=kUaYkCCP9rw 
 
CÁLCULO DA FUNÇÃO POTENCIAL 
 
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Pela própria definição, pode-se entender que a função parcial é a integral, 
de acordo com cada variável de integração. Confira na próxima tela! 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑓1 = 4𝑥 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑓2 = 2𝑦 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 𝑓3 = 𝑧 
 
Integrando 𝑓1, temos que 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥² + 𝑔(𝑦, 𝑧). Derivando 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) em 
relação a 𝑦, temos 𝑢𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 + 𝑔𝑦(𝑦, 𝑧). Comparando o resultado com 𝑓2. 
𝑓2 = 𝑔𝑦(𝑦, 𝑧) 
2𝑦 = 𝑔𝑦(𝑦, 𝑧). Portanto, 𝑔(𝑦, 𝑧) = 𝑦² + 𝑔(𝑧). Derivando 𝑔(𝑦, 𝑧) em relação 
a z, temos 𝑔𝑧(𝑦, 𝑧) = 0 + 𝑔′(𝑧). Logo, 𝑔
′(𝑧) = 𝑧, então 𝑔(𝑧) =
𝑧²
2
. 
 
Enfim, 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥2 + 𝑦² +
𝑧²
2
+ 𝐶 (escopo da função potencial) 
 
Este é o nosso último tema, confira no conteúdo online o que o 
professor Guilherme tem a nos mostrar! 
 
Na Prática 
O conteúdo dessa aula pode ser visto na ideia de calcular a temperatura 
entre isotermas (Campos Vetoriais). Também podemos ver a utilização do 
conceito de Rotacional de um Campo Vetorial na disciplina de Mecânica dos 
Fluidos e Eletricidade. 
Obviamente, não precisamos ficar restritos somente ao campo das 
engenharias. Podemos levar esse conteúdo para a estatística ao analisarmos o 
comportamento econômico. Há também a análise de correntes marítimas para 
pesca e/ou navegação. 
Assim, anote os pontos nos quais você ficou em dúvida e faça uma 
pesquisa sobre eles, de modo a se aprofundar no assunto e quem sabe até virar 
um expert! 
 
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Síntese 
Vimos as possíveis aplicações dos conceitos estudados, passando pelo 
campo das ferramentas de cálculo até a aplicação dentro das disciplinas técnicas 
da Engenharia. 
Os conceitos apresentados tais como Campos Vetoriais, Gradientes e 
Rotacional de um Campo Vetorial virão futuramente dentro das disciplinas 
técnicas como ferramentas de cálculo e análise das situações do dia a dia do 
Engenheiro. Quando apresentado o Campo Vetorial o intuito foi fazer com que o 
aluno dispusesse de ferramentas para analisar, sobretudo, os fenômenos físicos: 
densidade, deslocamento, variação de temperaturas, entre outros. 
Na leitura desta aula ficou evidente que a aplicabilidade desse conteúdoem disciplinas técnicas é intensa, portanto, merece um bom estudo. Caso você 
tenha ficado com dúvidas em algum ponto, não hesite em retomá-lo! 
 
Referências 
ANTON, H. Cálculo, Vol II. Porto Alegre: Bookman, 2000. 
GONÇALVES, M. B , FLEMMING, D. M.;Calculo B: Funções de várias variáveis, 
Integrais Múltiplas, Integrais Curvilíneas e Superfícies. São Paulo: Person, 2007. 
LEITHOLD, L. O Cálculo dom Geometria Analítica, Vol. 2. São Paulo: Harbra, 
1994. 
STEWART, J. Cálculo 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica 2. São Paulo: Makron, 
2007. 
THOMAS, G. B. Cálculo, vol 2. São Paulo: Pearson, 2012.