Integrais de linha

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Ca´lculo III
Departamento de Matema´tica - ICEx - UFMG
Marcelo Terra Cunha
Integral de Linha e Triedro de Frenet
Na aula anterior iniciamos o estudo das curvas parametrizadas. Em par-
ticular, interpretamos a derivada como vetor velocidade da curva, definimos
o vetor tangente unita´rio e aprendemos a calcular o comprimento do arco,
levando r´ primeira definic¸a˜o de uma integral de linha em nosso curso:
L =
∫
γ
ds =
∫ b
a
‖γ′ (t)‖ dt, (8.1)
onde γ : [a, b]→ Rn e´ uma curva.
Hoje vamos insistir em uma generalizac¸a˜o da eq. (8.1) e vamos tambe´m
explorar aquilo que a segunda derivada traz de informac¸a˜o sobre a curva.
8.1 Mais integrais de linha
E´ natural pensar que func¸o˜es podem ser definidas e integradas ao longo de
curvas. Por exemplo, podemos querer determinar o centro de massa de um
arame homogeˆneo. Ou, ao contra´rio, podemos conhecer a densidade de um
arame em termos de uma parametrizac¸a˜o espec´ıfica e desejarmos calcular
sua massa total. Ou ainda, podemos ter um fio condutor com resistividade
que varia ponto a ponto e queremos determinar o calor dissipado pelo fio,
quando uma certa voltagem e´ aplicada a`s suas extremidades. Ou mesmo
podemos querer calcular a altura me´dia de uma mola. Todas estas aplicac¸o˜es
involvera˜o o ca´lculo de integrais de linha.
Como foi dito na aula anterior, na fo´rmula (8.1) esta´vamos integrando a
func¸a˜o constante igual a 1 para obter apenas o comprimento do arco (compare
com o significado de fazer integrais duplas ou triplas da func¸a˜o constante
igual a 1). Nos exemplos acima, temos sempre uma curva parametrizada
γ : [a, b]→ Rn e uma func¸a˜o definida ao longo da curva. Esta func¸a˜o podera´
ser composta com a parametrizac¸a˜o dada, e assim∫
γ
f ds =
∫ b
a
f (γ (t)) ‖γ′ (t)‖ dt, (8.2)
1
onde novamente devemos reconhecer a estrutura usual das fo´rmulas de mu-
danc¸a de varia´veis. Aqui, neste caso, uma integral a ser calculada ao longo
do trac¸o da curva γ em Rn e´ transformada em uma integral no paraˆmetro t,
a ser calculada no intervalo [a, b] e onde ‖γ′‖ joga o papel do jacobiano, de
traduzir comprimentos (elementos de integrac¸a˜o) em varia´veis distintas.
E´ importante enfatizar quea definic¸a˜o dada pela eq. (8.2) so´ faz sentido
uma vez que o resultado na˜o depende da parametrizac¸a˜o escolhida, depen-
dendo apenas da condic¸a˜o de passarmos por cada trecho da curva uma u´nica
vez. De fato, esta integral de linha de func¸a˜o escalar na˜o depende nem mesmo
da orientac¸a˜o da curva.
Veremos mais adiante que ha´ outros objetos que podem ser integrados ao
longo de uma curva, e, por isso, o termo integral de linha tem mais de um
significado (dependendo sempre do contexto). Este aqui apresentado cumpre
muito bem o papel de generalizar as noc¸o˜es de integral mu´ltipla, tratando de
curvas em lugar de regio˜es do plano ou do espac¸o tridimensional.
Como um exemplo, pensemos em uma mola descrita parametricamente
por
h : [0, 10] → R3
t 7→ (R cos (2pit) , R sen (2pit) , Ht) ,
onde R e H sa˜o constantes positivas, com densidade linear de massa dada
por λ (x, y, z) = 20H − z. Queremos agora determinar a altura me´dia desta
mola.
Generalizando o que ja´ foi discutido sobre valores me´dios de func¸o˜es, esta
me´dia sera´ dada por
z¯ =
∫
h
zλ ds∫
h
λ ds
.
Para calcular ambas estas integrais usando a aparametrizac¸a˜o dada, depen-
demos de
h′ (t) = (−2piR sen (2pit) , 2piR cos (2pit) , H) ,
de onde
‖h′ (t)‖ =
√
4pi2R2 +H2,
2
que e´ uma constante, e de onde segue∫
h
zλ ds =
∫ 10
0
Ht (20H −Ht)
√
4pi2R2 +H2 dt
=
√
4pi2R2 +H2
[
20H2
t2
2
−H2 t
3
3
]t=10
t=0
=
√
4pi2R2 +H2 1000 H2
2
3
.
De mesma forma∫
h
λ ds =
∫ 10
0
(20H −Ht)
√
4pi2R2 +H2 dt
=
√
4pi2R2 +H2 150 H,
e assim
z¯ =
2000
450
H =
40
9
H.
8.2 Cinema´tica e Geometria da Segunda Derivada
Ja´ vimos que γ′ (t) tem uma parte geome´trica (sua direc¸a˜o) e uma parte
cinema´tica. Naturalmente, suas variac¸o˜es tambe´m apresentara˜o estes dois
aspectos de forma interdependente.
Na˜o deve ser surpresa que o vetor γ′′ (t) e´ chamado acelerac¸a˜o. E´ impor-
tante entender que o vetor acelerac¸a˜o tem dois componentes distintos: um
tangencial, ou seja, na direc¸a˜o de ~T , e outro normal, ou seja, perpendicular
ao vetor tangente. Seu componente tangencial e´ puramente cinema´tico: diz
se a velocidade escalar esta´ sendo aumentada ou diminu´ıda; ja´ seu compo-
nente normal traz informac¸a˜o geome´trica (a famosa acelerac¸a˜o centr´ıpeta).
No caso de curvas no espac¸o, a primeira informac¸a˜o geome´trica a´ı trazida
e´ justamente a direc¸a˜o do chamado vetor normal: ~N . No caso de curvas
planas, esta informac¸a˜o e´ apenas o sentido, ja´ que a direc¸a˜o ja´ fica definida
pelo fato de ser perpendicular ao vetor tangente.
Para traduzir esta discussa˜o em fo´rmulas, primeiro afirmamos que as re-
gras de derivac¸a˜o usuais continuam valendo, em particular a regra de Leibniz .
Assim, se escrevemos γ′ = v ~T (economizamos o paraˆmetro t na notac¸a˜o), ter-
emos
γ′′ = v′ ~T + v ~T ′, (8.3)
3
onde o primeiro termo claramente e´ tangencial. Para mostrar que o segundo
termo e´ perpendicular a ~T , recorremos a uma importante consequ¨eˆncia de ~T
ter norma constante. Como
d
dt
∥∥∥~T∥∥∥2 = 0
e ∥∥∥~T∥∥∥2 = ~T · ~T ,
segue
0 =
d
dt
~T · ~T = 2 ~T · d
~T
dt
,
ou seja,
d~T
dt
e´ sempre perpendicular a ~T . Se
d~T
dt
6= 0, fica definido um vetor
unita´rio de mesma direc¸a˜o e sentido que
d~T
dt
, que e´ o ja´ comentado vetor
normal a` curva γ naquele ponto, denotado ~N .
Claramente a derivada de ~T traz informac¸a˜o geome´trica. Pore´m, se essa
derivada e´ calculada com respeito a um paraˆmetro arbitra´rio, podemos obter
qualquer norma para este vetor. Para evitar esta arbitrariedade cinema´tica,
e obermos mais informac¸a˜o geome´trica, usamos a parametrizac¸a˜o por com-
primento de arco. Com respeito a ela, podemos escrever
d~T
ds
= k ~N,
com k > 0. Este nu´mero k e´ chamado a curvatura de γ naquele ponto.
Quanto maior a curvatura, mais rapidamente a direc¸a˜o tangente esta´ mu-
dando, e, intuitivamente, “mais curva” e´ γ.
Calcule a curvatura da circunfereˆncia e da he´lice apresentadas na aula
anterior para concluir porque o nu´mero k−1 e´ chamado raio de curvatura.
E´ importante notar que, embora a definic¸a˜o da curvatura utilize o paraˆmetro
de arco, na˜o e´ necessa´rio obter a parametrizac¸a˜o por comprimento de arco
para calcula´-la. Com efeito, pela regra da cadeia,
d
dt
~T =
d
ds
~T
ds
dt
,
4
e
ds
dt
nada mais e´ que a velocidade escalar (ou rapidez) apresentada na aula
anterior. Assim,
k =
∥∥∥d~Tdt ∥∥∥∥∥dγ
dt
∥∥ .
8.2.1 Triedro de Frenet
Se estivermos tratando de uma curva em R2,
{
~T , ~N
}
formam uma base, dita
adaptada a cada ponto da curva (para cada ponto da curva temos, em geral,
uma base diferente) e na˜o ha´ mais muito o que discutir.
Ja´ para curvas em R3, para cada ponto, os vetores ~T e ~N geram um plano
(paralelo a estes vetores e passando pelo ponto da curva). Este plano tem um
significado especial: e´ o plano que, na vizinhanc¸a daquele ponto, se encontra
mais pro´ximo de conter a curva. Este e´ o chamado plano osculador da curva,
naquele ponto.
Para descrever como o plano osculador muda ao longo da curva, e´ mais
simples dizer como varia o seu vetor normal. Para definir este vetor normal
ao plano osculador, basta fazermos
~B = ~T × ~N,
que e´ chamado o vetor binormal da curva γ, no ponto γ (t). O referencial
adaptado agora e´
{
~T , ~N, ~B
}
.
E´ fa´cil ver que
~B′ = ~T ′ × ~N + ~T × ~N ′ = ~T ×
(
a~T + b ~B
)
= −b ~N ;
este nu´mero b que aqui foi colocado como componente na direc¸a˜o ~B de ~N ′,
no caso de ser usado o paraˆmetro de arco s na parametrizac¸a˜o,e´ a chamada
torsa˜o1 da curva γ naquele ponto, e deve ser interpretada como quanto a
curva deixa de ser uma curva plana. A notac¸a˜o convencional para este
paraˆmetro b e´ τ , justamente para lembrar a palavra torsa˜o.
1Durante a aula, ao pular esta conta e ir direto para a eq. (8.4c), esqueci de colocar
o sinal apropriado. E´ apenas uma convenc¸a˜o, sem afetar o significado geome´trico, mas
convenc¸o˜es devem ser respeitadas...
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Em particular valem as equac¸o˜es
d
ds
~T = k ~N, (8.4a)
d
ds
~N = −k~T + τ ~B, (8.4b)
d
ds
~B = −τ ~N, (8.4c)
onde (8.4a) e´ essencialmente uma definic¸a˜o, (8.4c) foi deduzida acima e (8.4b)
e´ uma consequ¨eˆncia das outras duas e de ~N · ~T e ~N · ~B serem constantes
(deduza voceˆ mesmo).
Quem se interessar em aprofundar este assunto deve procurar saber mais
sobre Geometria Diferencial, por exemplo, fazendo a disciplina de Introduc¸a˜o
a` Geometria Diferencial, oferecida pelo Departamento de Matema´tica.
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