exe CALCULO NOMERICO

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ef.: 201409450858
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
		
	
	3,142
	 
	3,1416
	
	3,141
	
	3,1415
	
	3,14159
	
	 
	Ref.: 201408602255
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
		
	
	16/17
	
	- 2/16
	
	9/8
	 
	17/16
	
	2/16
	
	 
	Ref.: 201408537631
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	3
	
	-11
	 
	-7
	
	-3
	
	2
	
	 
	Ref.: 201408537633
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
		
	
	50x
	 
	1000 + 0,05x
	
	1000 - 0,05x
	
	1000
	
	1000 + 50x
	
	 
	Ref.: 201408537169
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2).
		
	 
	-3
	
	-7
	
	2
	
	-11
	
	3
	
	 
	Ref.: 201408673964
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento yde valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
		
	 
	Função quadrática.
	
	Função logaritma.
	
	Função exponencial.
	
	Função linear.
	
	Função afim.
	
	 
	Ref.: 201409459652
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
		
	
	1084
	 
	1085
	
	10860
	
	1086
	
	10085
	
	 
	Ref.: 201409053878
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
		
	 
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	 
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	Ref.: 201408697549
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	 
	0,55
	 
	1,14
	
	1,00
	
	1,85
	
	1,56
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo .
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	 
	Ref.: 201409053968
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	 
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	 
	Ref.: 201408668100
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que:
		
	 
	É a raiz real da função f(x)
	
	É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	Nada pode ser afirmado
	
	É o valor de f(x) quando x = 0
	
	É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
Explicação:
 No ponto em que a função cruza o eixo x , o valor da abcissa  x é denomindado raiz da função .  
	
	 
	Ref.: 201409042926
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
		
	
	Absoluto
	 
	De truncamento
	
	Relativo
	
	Percentual
	
	De modelo
	
	 
	Ref.: 201408580039
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
		
	
	Newton Raphson
	 
	Bisseção
	
	Gauss Jordan
	
	Ponto fixo
	
	Gauss Jacobi
	
Explicação:
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então divide-se esse  novo intervalo e refaz-seo teste  repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
	
	 
	Ref.: 201409450868
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
		
	
	0.25
	
	0,4
	
	1
	
	0.765625
	 
	0, 375
	
Explicação:
 f(x) = x3 - 9x + 3  ...   x0 =0     e    x1 =0,5 .      
f(0 ) = +3  positivo   e   f(0,5) =  0,125 - 4,5 +3 =  -1,375  negativo  ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro  x médio  : x2 =  0,25  ...  f (0,25)=  0,253  - 9. 0,25 +3 =  0,0156 + 0,75 = + 0,7656    valor positivo  . então novo intervalo com raiz é ( x2, 0,5 ) 
Segundo  x médio   x3 =  ( 0,25 + 0,5 ) /2 =  0,75/ 2 =  0,375  ..iteração pediada. 
 
	
	 
	Ref.: 201409054011
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃOpodemos afirmar:
		
	
	A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
	
	A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
	
	A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas.
	 
	A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
	
	A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
	
	 
	 8a Questão
	
	
	
	Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real?
		
	 
	(0, 0.5)
	
	(-0.5, 0)
	
	(1, 1.5)
	
	(0.5, 1)
	
	(1.5, 2)
	
Explicação:
Utilizar o teorema de Bolzano, testando qual das opções  resulta f(a). f(b < 0 .
f(x) = x3-8x+1   
para  x=0  resulta  f(0) =  +1  positivo
para x=0,5  resulta f(0,5) =  0,53 - 8.x0,5  +1 =  - 2,875 negativo  
Então o produto deses valores negativo e há pelo menos uma raiz nesse intervalo ou um número ímpar de raizes.
	ef.: 201409415660
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	 
	1.0800
	
	1.0746
	
	1.9876
	 
	1.0909
	
	1.0245
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	 
	Ref.: 201409450905
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
		
	
	-1
	
	-2
	 
	2
	 
	1
	
	1.75
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	 
	Ref.: 201409044160
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
		
	
	(-1, 0)
	
	(0, 1)
	 
	(2, 3)
	 
	(1, 2)
	
	(-2, -1)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
	 
	Ref.: 201409304174
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
		
	
	1,67
	
	1,70
	 
	1,77
	
	1,17
	
	1,87
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771
	
	 
	Ref.: 201408663692
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
		
	
	1,243
	 
	1,143
	
	2,443
	 
	2,143
	
	3,243
	
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
	
	 
	Ref.: 201409044170
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	
	Método das secantes
	
	Método do ponto fixo
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	Método de Pégasus
	
	Método da bisseção
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201409331508
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	 
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	 
	Ref.: 201409044164
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Seja a equação P(x) = 0. Se P(1) x P(3) < 0, o teorema de Bolzano afirma que:
		
	 
	a equação P(x) = 0 pode ter uma raiz real no intervalo (1, 3)
	 
	a equação P(x) = 0 tem uma raiz real no intervalo (1, 3)
	
	a equação P(x) = 0 não tem raiz real no intervalo (1, 3)
	
	nada pode-se afirmar a respeito das raízes reais no intervalo (1, 3)
	
	a equação P(x) = 0 tem duas raízes reais no intervalo (1, 3)
	
Explicação:
De acordo com o teorema de Bolzano, considerando um intervalo real (a,b) e uma função contínua f(x).
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo (a,b) para a equação f(x) = 0
Se f(a) x f(b) > 0, existe uma quantidade par de raízes reais (incluindo o zero, ou seja, nehuma) no intervalo (a,b) para a equação f(x) = 0
	
	Ref.: 201409304174
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raizaproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
		
	 
	1,77
	
	1,70
	
	1,17
	
	1,87
	
	1,67
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771
	
	 
	Ref.: 201409044170
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	
	Método do ponto fixo
	
	Método das secantes
	
	Método de Pégasus
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	Método da bisseção
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	 
	Ref.: 201409044164
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Seja a equação P(x) = 0. Se P(1) x P(3) < 0, o teorema de Bolzano afirma que:
		
	
	a equação P(x) = 0 não tem raiz real no intervalo (1, 3)
	
	a equação P(x) = 0 tem duas raízes reais no intervalo (1, 3)
	
	nada pode-se afirmar a respeito das raízes reais no intervalo (1, 3)
	
	a equação P(x) = 0 tem uma raiz real no intervalo (1, 3)
	 
	a equação P(x) = 0 pode ter uma raiz real no intervalo (1, 3)
	
Explicação:
De acordo com o teorema de Bolzano, considerando um intervalo real (a,b) e uma função contínua f(x).
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo (a,b) para a equação f(x) = 0
Se f(a) x f(b) > 0, existe uma quantidade par de raízes reais (incluindo o zero, ou seja, nehuma) no intervalo (a,b) para a equação f(x) = 0
	
	 
	Ref.: 201409415660
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	
	1.9876
	 
	1.0800
	
	1.0746
	
	1.0245
	
	1.0909
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	 
	Ref.: 201408663692
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
		
	 
	1,143
	
	3,243
	
	2,443
	
	2,143
	
	1,243
	
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
	
	 
	Ref.: 201409044160
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
		
	
	(-2, -1)
	
	(0, 1)
	
	(-1, 0)
	 
	(2, 3)
	
	(1, 2)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
	 
	Ref.: 201409331508
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	 
	Ref.: 201409462136
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
		
	
	
	 
	
	 
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
	Ref.: 201409451680
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
		
	 
	x = 9 ; y = 3
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	x = 2 ; y = -3
	 
	x = -2 ; y = 3
	
	x = 5 ; y = -7
	
	 
	Ref.: 201409450952
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
		
	 
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	 
	Ref.: 201409054067
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
		
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	Método do ponto fixo.
	
	Método da bisseção.
	 
	Método de Gauss-Jordan.
	
	Método da falsa-posição.
	
	 
	Ref.: 201409451692
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
		
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	 
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	 
	Ref.: 201408697554
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
		
	 
	Sempre são convergentes.
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	Apresentamum valor arbitrário inicial.
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	 
	Ref.: 201409443365
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	 
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	 
	Ref.: 201409450943
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
		
	 
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	 
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	 
	Ref.: 201409044203
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas paralelas distintas. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
		
	 
	apresenta ao menos uma solução
	
	apresenta uma única solução
	
	não apresenta solução
	
	nada pode ser afirmado.
	 
	apresenta infinitas soluções
	
Explicação:
Cada equação do sistema do primeiro grau é representada graficamente por uma reta. Como são duas retas paralelas, não existe encontro, ou seja, solução. Assim, o sistema é impossível.
	ef.: 201409451692
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
		
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	 
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	 
	Ref.: 201409451680
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
		
	
	x = 9 ; y = 3
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	x = 2 ; y = -3
	
	x = 5 ; y = -7
	 
	x = -2 ; y = 3
	
	 
	Ref.: 201408697554
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
		
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	 
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	 
	Sempre são convergentes.
	
	 
	Ref.: 201409443365
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	 
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	 
	Ref.: 201409054067
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
		
	
	Método do ponto fixo.
	
	Método da falsa-posição.
	 
	Método de Gauss-Jordan.
	
	Método da bisseção.
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	 
	Ref.: 201409044203
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas paralelas distintas. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
		
	 
	apresenta infinitas soluções
	
	nada pode ser afirmado.
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	não apresenta solução
	
	apresenta uma única solução
	
Explicação:
Cada equação do sistema do primeiro grau é representada graficamente por uma reta. Como são duas retas paralelas, não existe encontro, ou seja, solução. Assim, o sistema é impossível.
	
	 
	Ref.: 201409450943
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
		
	 
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	 
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	 
	Ref.: 201409459085
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dado o seguinte sistema linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z.
		
	
	x=-2, y=4, z=-6.
	
	x=3, y=1, z=2.
	 
	x=1, y=2, z=3.
	 
	x=-3, y=1, z=-2.
	
	x=2, y=4, z=6.
	
Explicação: x=1, y=2, z=3.
AVALIAÇÃO 01
	
	
	1a Questão (Ref.:201409450858)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
		
	
	3,14159
	
	3,1415
	
	3,142
	
	3,141
	 
	3,1416
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201408537631)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
		
	
	3
	
	2
	
	-3
	 
	-7
	
	-11
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201409054011)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar:
		
	
	A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas.
	
	A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
	
	A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
	
	A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
	 
	A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201409304233)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real?
		
	 
	(-0.5, 0)
	
	(1.5, 2)
	
	(0.5, 1)
	
	(1, 1.5)
	 
	(0, 0.5)
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201408663692)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
		
	
	2,443
	
	3,243
	 
	1,143
	
	1,243
	
	2,143
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201408537753)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto,existe um requisito a ser atendido:
		
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	 
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	 
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201409450952)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
		
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	 
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201409450943)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
		
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	 
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201409054104)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
		
	
	Função exponencial.
	 
	Função quadrática.
	
	Função logarítmica.
	 
	Função linear.
	
	Função cúbica.
	
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201408585476)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
		
	
	grau 32
	
	grau 15
	
	grau 31
	 
	grau 30
	
	grau 20
	
	1a Questão (Ref.:201409450858)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
		
	
	3,141
	
	3,14159
	
	3,142
	
	3,1415
	 
	3,1416
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201408537631)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
		
	
	-11
	
	2
	 
	-7
	
	-3
	
	3
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201408662495)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
		
	
	2
	
	5
	
	10
	 
	9
	
	18
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201409053968)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	 
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201408579729)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
		
	
	Ponto fixo
	
	Gauss Jacobi
	
	Bisseção 
	 
	Newton Raphson 
	
	Gauss Jordan
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201409450905)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
		
	
	-1
	
	1
	 
	2
	
	-2
	
	1.75
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201409451692)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
		
	 
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201409459085)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dado o seguinte sistema linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z.
		
	
	x=-2, y=4, z=-6.
	
	x=3, y=1, z=2.
	
	x=-3, y=1, z=-2.
	
	x=2, y=4, z=6.
	 
	x=1, y=2, z=3.
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201408537673)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
		
	
	0,023 E 0,023
	
	0,013 E 0,013
	
	0,026 E 0,026
	
	0,023 E 0,026
	 
	0,026 E 0,023
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201409054051)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
		
	 
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.