1ª Lista Álgebra linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI
INSTITUTO DE ENGENHARIA, CIEˆNCIA E TECNOLOGIA - IECT
CURSO DE CIEˆNCIA E TECNOLOGIA
1a Lista de CTJ002 - A´lgebra Linear 2015/I
1. Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens, 4× 3, 4× 5, 3× 5, 2× 5, e 3× 5.
Determine quais das seguintes expresso˜es matriciais sa˜o poss´ıveis e determine a respectiva ordem.
a) AE +B
′
.
b) C(D
′
+B).
c) AC +B.
d) E
′
(CB).
2. Encontre a matriz quadrada A = [aij], de ordem 4, cujas entradas satisfazem a condic¸a˜o dada.
a) aij = i+ j.
b) aij = i
j−1.
c) aij =
{
1 se |i− j| > 1
−1 se |i− j| ≤ 1 .
d) aij =

2i− 3j, se i < j
i2 + 2j, se i = j
−3i+ 4j, se i > j
.
3. Seja a matriz A =
[
2 −1
3 −2
]
, determine:
a) A2.
b) A3.
c) A33.
d) A42.
4. Determine os nu´meros reais x e y tais que[
x3 y2
y2 x2
]
+
[−x 3y
4y 2x
]
=
[
0 4
5 −1
]
.
5. Considere as matrizes
A =
 3 0−1 2
1 1
 , B = [4 −1
0 2
]
, C =
[
1 4 2
3 1 5
]
, D =
 1 5 2−1 0 1
3 2 4
 , E =
 6 1 3−1 1 2
4 1 3
 .
Calcule (quando poss´ıvel):
1
a) (2D
′ − E)A.
b) (4B)C + 2B.
c) (−AC)′ + 5D′ .
d) (BA
′ − 2C)′ .
e) B
′
(CC
′ − A′A).
f) D
′
E
′ − (ED)′ .
6. Sejam as matrizes A = AA
′
e B =
1
2
(B +B
′
)2. Mostre que A e B sa˜o sime´tricas e que A2 = A.
7. Dizemos que uma matriz A e´ ortogonal se, e somente se, AA
′
= I. Determine o nu´mero real m
de modo que a matriz M =
[−1 0
0 m
]
seja ortogonal.
8. Verifique quais das matrizes abaixo sa˜o ortogonais.
A =
[
0 1
1 0
]
, B =
[
1 −2
2 1
]
, C =
[
1
3
2
√
2
3
2
√
2
3
−1
3
]
.
9. Escreva cada um dos sistemas abaixo na forma matricial:
(a)

2x+ 3y − z = 1
3x+ 5y + 2z = 8
x− 2y − 3z = −1
(b)
{
5x− 2y = 4
3x− y = 3
(c)

2x− y − 3z = 5
3x− 2y + 2z = 5
5x− 3y − z = 16
10. Resolva os seguintes sistemas lineares:
(a)
{
5x− 2y = 4
3x− y = 3
(b)
{
2x− 3y = 7
3x+ 5y = 1
(c)

2x+ 3y − z = 1
3x+ 5y + 2z = 8
x− 2y − 3z = −1
(d)

2x− y − 3z = 5
3x− 2y + 2z = 5
5x− 3y − z = 16
2
(e)

x+ y + z = 0
2x+ y − z = 0
3x− y − 2z = 0
(f)

x+ 2y − z = 2
2x− y + z = 5
x+ 3y + 2z = 9
3x− y + 4z = 13
(g)

x+ 3y + 2z = 2
3x+ 5y + 4z = 4
5x+ 3y + 4z = −10
(h)

−x− y + 2z − 3t+ w = 0
x+ 2y − z + w = 0
x+ y − 2z − w = 0
z + t+ w = 0
11. Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
(i) uma u´nica soluc¸a˜o; (ii) infinitas soluc¸o˜es; (iii) nenhuma soluc¸a˜o.
(a)

x+ y − z = 1
2x+ 3y + kz = 3
x+ 2y + 3z = 2
(b)

x+ y + kz = 1
x+ y + z = 1
x+ y + z = k
(c)

x+ y − z = 1
2x+ 3y + kz = 3
x+ ky + 3z = 2
12. Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear admita soluc¸a˜o
na˜o trivial.
(a)

x− y − z = 0
x− 2y − 2z = 0
2x+ ky + z = 0
(b)

2x− 5y + 3z = 0
x+ y + z = 0
2x+ kz = 0
3
13. Considere a matriz A =
λ 0 11 λ− 1 0
0 0 λ+ 1
 , encontre os valores reais de λ para os quais o sistema
homogeˆneo AX = 0 admite apenas a soluc¸a˜o trivial.
14. Decida se as afirmativas sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando ou dando um contra exemplo.
( ) Se o sistema linear AX = 0 admite as soluc¸o˜es X1 e X2, enta˜o k1X1 + k2X2 tambe´m e´ uma
soluc¸a˜o, quaisquer que sejam os nu´meros x1 e x2.
( ) Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o sistema linear AX = 0 tenha somente a
soluc¸a˜o trivial e´ que detA 6= 0.
( ) Todo sistema linear homogeˆneo admite a soluc¸a˜o trivial.
( ) Se X1 e X2 sa˜o soluc¸o˜es do sistema linear AX = 0, enta˜o X1 − X2 tambe´m e´ soluc¸a˜o do
sistema AX = 0.
15. Calcule o determinante das matrizes abaixo:
a) A =
[
2 −1
2 5
]
.
b) B =
0 2 −13 1 4
1 5 1
 .
c) B =

0 2 −1 4
1 1 2 0
0 3 3 1
2 1 −2 0
 .
16. determine quais das matrizes abaixo sa˜o invert´ıveis.
A =
1 0 −19 −1 4
8 9 −1
 , B =
 4 2 8−2 1 −4
3 1 6
 , C =
−3 0 15 0 6
8 0 3
 .
17. Seja A =
a b cd e f
g h i
 . Supondo que det(A) = −9, obtenha:
(a) det(2A)
(b) det(A)−1
(c) det(3A−1).
18. Determine a inversa das seguintes matrizes, caso existam.
A =
[
1 1
2 3
]
, B =
1 2 60 1 5
2 3 7
 , C =
 2 5 5−1 −1 0
2 4 3
 , D =

1 3 1 1
2 5 2 2
1 3 8 9
1 3 2 2
 .
4
19. Mostre que se uma matriz invers´ıvel A satisfaz A2 − 3A+ I = 0, enta˜o A−1 = 3I − A.
20. Decida se as afirmativas sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando ou dando um contra exemplo.
( ) det(2A) = 2 det(A)
( ) det(I + A) = 1 + det(A)
( ) Se det(AA
′
) = 4, enta˜o det(A) = 2.
21. Uma refinaria de petro´leo processa dois tipos de petro´leo: com alto teor de enxofre e com baixo
teor de enxofre. Cada tonelada do petro´leo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de
mistura e 4 minutos no setor de refinaria; ja´ o petro´leo com alto teor necessita 4 minutos no setor
de mistura e 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura esta´ dispon´ıvel por 3 horas e o
setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de petro´leo devem ser processadas
de modo que os dois setores na˜o fiquem ociosos?
22. Um nutricionista esta´ elaborando uma refeic¸a˜o que contenha os alimentos A, B e C. Cada
grama do alimento A conte´m 2 unidades de prote´ına, 3 unidades de gordura e 4 unidades de
carboidratos. Cada grama do alimento B conte´m 3 unidades de prote´ına, 3 unidades de gordura
e 1 de carboidrato. Ja´ no alimento C, em cada grama, encontramos 3 unidades de prote´ına, 3
de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refeic¸a˜o deve fornecer exatamente 22 unidades de
prote´ına, 24 unidades de gordura e 17 unidades de carboidrato, quantos gramas de cada tipo de
alimento devem ser utilizados?
23. Uma mensagem contendo caracteres pode ser associada a uma matriz M fazendo uma corres-
pondeˆncia entre cada caracter da mensagem e cada elemento da matriz atrave´s da tabela abaixo:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
V W X Y Z . ! , -
22 23 24 25 26 27 28 29 30
Suponhamos que a nossa mensagem seja ”PUXA-VIDA”. Podemos formar a matriz 3 × 3P U XA − V
I D A
, que tem como matriz mensagem associada a matriz M =
16 21 241 30 22
9 4 1
.
De modo geral, para transmitir a mensagem de forma segura vamos utilizar a matriz chave
C =
 1 0 1−1 3 1
0 1 1
 para codificar a mensagem, onde C e´ uma matriz invers´ıvel e codificamos a
mensagem fazendo o produto M · C =
 −5 87 61−29 112 53
5 13 14
, onde M e´ a matriz da mensagem.
Transmitimos essa nova mensagem (na pra´tica, envia-se a cadeia de nu´meros -5 87 61 -29 112
53 5 13 14). O receptor recebera´ a matriz M ·C e tem a tabela de correpondeˆncia entre caracteres
e nu´meros. Para decodificar a mensagem e deve efetuar a multiplicac¸a˜o
(M · C) · C−1 = M.
5
(a) Voceˆ e´ o receptor e recebeu a mensagem codificada:
-16 63 26 -2 27 22 1 21 18 5 45 35 13 3 15 1 33 30 2 6 7 -14 73 44.
Utilizando a mesma matriz chave traduza a mensagem original.
(b) Aconteceu que o inimigo descobriu a sua chave. O seu comandante manda voceˆ substituir a
matriz chave por C =
1 1 −11 1 0
0 0 2
. Voceˆ transmite a mensagem ”CRETINO!!”a ele (codifi-
cada naturalmente). Por que na˜o sera´ poss´ıvel a ele decodificar a sua mensagem?
Bons estudos!
6