Lista 4 MA 327

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LISTA 4 – MA-327 – C/D/E 
1. Dadas as transformações lineares T, S e H em F ( R2 , R2 ) definidas por: T ( x, y ) = ( x, 2y ),
S ( x, y ) = ( y, x + y ) e H ( x, y ) = ( 0, x ) , prove que T, S e H são LI. 
2. Para cada uma das funções do exercício anterior, determine o conjunto imagem de E, onde E é a base
canônica do domínio R2 . Cada conjunto imagem obtido é uma base do contradomínio R 2 ?
3. Dadas T e S em F ( R2 , R2 ) definidas por: T ( x, y ) = ( x, x – y ) e S ( x, y ) = ( x + y, 2x ) determine
as funções T + S, T o S, S o T, T2 e S2 , se existirem, justificando.
4. Considere as funções T: R 2  R e S : R  R definidas por: T ( x, y ) = x + 2 y e S ( x ) = 2x.
Determine S o T e T o S , se possível. A função T + S pode ser definida? Justifique.
5. Se T: R2  R2 é dada por: T ( x, y ) = ( x, – y ) e K é o triângulo de vértices (– 1, 4), (3, 1) e ( 2, 6)
dê a imagem de K e represente graficamente. Qual é a interpretação geométrica de T ?
6. Encontre a transformação linear T: R2  R2 que representa a reflexão em relação à reta y = – x.
7. Encontre a expressão da projeção P: R3  R3 de um elemento do espaço R3 sobre o plano xy.
Identifique o núcleo N (P) e determine se P transforma base do domínio em base do contradomínio.
8. Uma transformação linear T: R2  R3 pode transformar uma base do domínio em uma base do
contradomínio? E se for T: Rm  Rn , como relacionar com as dimensões m e n ? Justifique.
9. Seja T: P3  P2 definida por: T ( p (t) ) = 2 p’( t ) + p (0) ( t –1 ). 
a) Determine o conjunto Im (T).
b) Dê a expressão de T ( p (t) ) quando p ( t ) = a + b t + c t2 + d t 3 e determine o núcleo de T. 
10. Em cada caso, dê exemplos, se possível, e justifique, caso contrário, de transformações lineares:
a) T: R3  R2 sobrejetora 
b) T: R3  R2 com N ( T ) = {(0,0,0)} 
c) T: R3  P3 sobrejetora 
d) T: R2  P1 com N (T ) = { (x, y) ; x = y } 
e) T: R3  R2 com (0,0)  Im ( T ) 
f) T: P2  R3 com Im ( T ) = { (x, y, z) ; z + x = 0}
g) T: M3x1  P2 com Im ( T ) = [ 1 + t, t + t2 ]
h) T: P2  R3 com dim N (T) = 1 e ( 0, 2, 1)  Im ( T ) 
i) T: M2x2 R3 com N ( T ) = conjunto das matrizes diagonais
11. Determine um operador linear de M2X2 cuja imagem tenha dimensão 2.
12. Determine um operador do R4 tal que o núcleo e a imagem tenham a mesma dimensão.
13. Determine um operador de P3 cujo núcleo tenha dimensão 1.
14. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n e seja T: V  V linear tal que Im (T) = N (T).
Mostre que n é par . Dê exemplo de uma transformação com estas características.
15. Seja T: V  W uma transformação linear com dim V > dim W.
 a) se {v1, ..., vn } é uma base de V então T(v1), ..., T (vn ) são LI ou LD ?
 b) prove que existe um vetor não nulo v em V tal que T (v) = 0, isto é, T não é injetora.
16. Seja T: V  W linear injetora. Mostre que T transforma conjuntos LI em conjuntos LI. Dê exemplo
mostrando que este resultado não é verdadeiro sem a hipótese “ injetora”.
17. Sejam V e W com dim V = dim W e T: V  W linear injetora. Mostre que T transforma uma base
de V numa base de W. Dê contra-exemplos quando pelo menos uma das hipóteses não se verifica.
18. Dê a matriz do operador linear T de M2X2 definido por T (A) = K A, em relação à base canônica,
sendo 
 K = 





12
11
19. Dar exemplos, em cada caso, de operadores lineares em R2 tais que; 
 a) T o T = 0 mas T  0 b) T o T = T mas T  0 e T  I
20. Sejam S = { BM2x2 ; B é diagonal } e L : P2  S a transformação linear cuja matriz relativa às
respectivas bases canônicas é 





 

502
131
A
a) ache L ( 1 ), L ( t ) e L ( t 2 ) b) determine L ( a + b t + c t 2 )
21. Mostre que a transformação linear T: P2  R3 definida por T ( p ) = ( p (0 ) , p (1) , p (–1) ) é
injetora e sobrejetora. Dê a matriz de T em relação às respectivas bases canônicas dos espaços.
22. Seja B = { u, v, w } uma base ordenada de um espaço vetorial V e sejam T e L operadores lineares
dados por: T (u) = u – v , T (v) = u + w , T (w) = v, L (u) = 2 u + w, L (v) = u e L (w) = v – 3 u .
Determine as matrizes de cada um dos operadores T e L em relação à base B.
23. Sejam V um espaço vetorial real de dimensão finita n e uma transformação linear T: V  V com a
seguinte condição: (*) T ( T v ) = 0 implica que T ( v ) = 0. Mostre que Im (T)  N (T) = { 0 } .
Interprete e reescreva a condição (*) em termos dos núcleos de T2 e de T.
24. Seja T o operador do R2 definido por T ( x, y ) = ( x – y , x + 2y ). Dê a expressão do operador L do
R2 cuja matriz em relação à base canônica é a transposta da matriz de T. (isto é, [L] = At onde A = [T])
25. Seja S o operador do P2 definido por S ( p ) = p’ + 3 p. Determine a expressão do operador L do P 2
cuja matriz em relação à base canônica é a transposta da matriz de S. ( isto é, [L] = At onde A = [T] )
26. Sejam L um operador linear em V e v  V com v  0. Considere o subespaço vetorial W de V
gerado por v, L(v) , L2 (v) , L3 (v) , ......... Determine o subespaço W, em cada caso: 
 a) V = R3 , L definido por L ( x, y, z ) = ( x, 0, 0 ) e v = ( 1, 0, 1).
b) V = P3 , L definido por L (p) = p’’ (segunda derivada) e v = t 3 .
c) V = M2x2 , L definido por L (A) = A t e v = 





 01
10
27. Seja S o operador do P1 definido por S ( p ) = p’ + 3 p. Se [ ]canBS = 




11
21
 ache a base B de P1 .
28. Sejam W o subespaço de P3 gerado por: B = { – 5 + t – 2 t 2 + t 3 ; 1 + 2 t – t 2 – 2 t 3 } e a
transformação linear T: W  P2 definida por: T ( p (t) ) = 2 p ’(t) + p (0) ( t –1 ).
 Seja  












41
14
21
B
DT a) Calcular [T (p) ] D sendo [ p ] B = 





1
2
 b) Se D = { t –1 , q 1 (t) , q 2 (t) } calcular 3 (q 1 (t) + q 2 (t) ).
 
 c) Determinar o núcleo N (T) e a imagem de T.
29. Sejam V = R com as operações usuais e W = R com as seguintes operações a  b = a + b + 2 e
r ⊙ a = r.a + 2 ( r – 1 ). Determine se T e S são transformações lineares ou não: T: V  W e S: V  W
 a  a – 2 a  2 a
 
 30. Sejam V = R++ com as operações a  b = a . b e r ⊙ a = a r e W = R com as operações usuais.
 Determine se T e S são transformações lineares ou não: T: V  W e S: V  W 
 a  a – 1 a  2 a 
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