Introdução à Lógica: Sentenças e Proposições

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Professor Douglas Léo 
Raciocínio Lógico 
Teoria 
 
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ESTRUTURAS LÓGICAS 
LÓGICA SENTENCIAL OU PROPOSICIONAL 
SENTENÇAS 
• São expressões de um pensamento completo 
• São compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o 
sujeito). 
• As sentenças podem ser: 
• Declarativas 
- Afirmativas 
- Negativas 
• Imperativas 
• Exclamativas 
• Interrogativas 
 
PROPOSIÇÕES 
São sentenças declarativas que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas (V e 
F). 
 
SÃO EXEMPLOS DE PROPOSIÇÕES 
• Francisca está alegre. 
• Maria foi à feira. 
• Gilmar não é médico. 
• Almir é pedreiro. 
• O gato não comeu o rato. 
• A luz do quadro está acesa 
 
 
 
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A SENTENÇA PODE SER 
FECHADA: 
É uma sentença (proposição) que possui valor lógico definido. 
Ex : 2 < 7 (V) 
Ex : O Racismo no Brasil é crime afiançável. (F) 
 
ABERTA: 
São sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito. É uma sentença que não possui valor lógico definido. 
Ex: x > 7 
Ex: x + y é um número inteiro. 
Ex: Ele foi campeão mundial de luta livre em 2009. 
 
Sentenças que não são consideradas proposições: 
 INTERROGATIVAS: 
EX: “A chuva acabou?” 
 EXCLAMATIVAS: 
EX: “Maria é linda!” 
 IMPERATIVAS 
EX :“Em Brasília visite o Panteão da liberdade”. 
 ABERTAS: 
EX:“x é maior que 7” 
EX:“x + y é um número inteiro”. 
EX: Ele foi o melhor jogador de futebol 
do mundo. 
 
 
 
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EXPRESSÕES 
• O caderno de desenho. 
• Um excelente professor de Português. 
• A bola de futebol. 
• Um excelente livro de Informática. 
 
Princípios Fundamentais da Lógica 
• Princípio da não contradição. 
Uma proposição não pode ser verdadeira (V) e falsa (F) ao mesmo tempo. 
• Princípio do Terceiro Excluído. 
Uma proposição ou é verdadeira (V) ou falsa (F), isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. 
PROPOSIÇÕES 
Proposições Simples: 
As proposições simples não possuem outra proposição como parte integrante de si mesma. 
Exemplos: 
Marcos é arquiteto. 
Paula é estudiosa. 
 
 
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REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES 
CESPE 
As proposições simples são frequentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, A, B, C, P, Q, etc.... 
EXEMPLOS: 
A: Marcos não é arquiteto. 
B: Gabriela é estudiosa. 
 
OUTRAS BANCAS : 
FCC, FGV, ESAF, FUNIVERSA ETC… 
As proposições simples são simbolizadas por letras minúsculas do alfabeto, r, s, t, etc... 
Exemplos: 
p: Nicolas é o garoto mais belo da escola. 
q: Gustavo não gosta de brincar. 
r: Ariel é uma princesa. 
 
Negação da Proposição Simples 
SIMBOLOGIA: ~ (Til) OU¬(Modificador) 
 CESPE 
 A : Paulo é honesto. 
¬ A : Paulo não é honesto. 
¬ A : Não é verdade que Paulo é honesto. 
~ A : É falso que Paulo é honesto. 
~ A : É mentira que Paulo é honesto 
¬ A : Paulo é desonesto. 
 
 
 
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TABELA-VERDADE DE PROPOSIÇÕES SIMPLES 
2n Número de linhas da tabela-verdade (número de valorações) 
2n (Número de proposições simples) 
 
V ou F A tabela- verdade será sempre par 
 Arranjo: (AR)2,n = 2
n 
 
O Número de linhas das tabelas- verdades crescem segundo uma PG 
 Para n= 1,temos: Para n= 4,temos: 
 
Então teremos tabelas-verdades com: 
(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128……..) Linhas 
Arranjo: (AR)2,n = 2
n 
PG de Razão igual a 2 
 
 
 
 
 
 
 
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Como montar uma tabela-verdade 
 
 
 
 
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PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
As proposições compostas possuem outras proposições como parte integrante, ou seja, são conexões de 
proposições simples e são representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto. 
CONECTIVOS LÓGICOS 
e, ou; ou..ou; se,então; se, e somente se 
C: Sofia é bonita e Paula é estudiosa 
A: Se Sofia é bonita, então Paula é estudiosa. 
P: Sofia é bonita ou Paula é estudiosa. 
Q: Ou Sofia é bonita ou Paula é estudiosa. 
R: Sofia é bonita se, e somente se Paula é estudiosa. 
Conectivo: e ( ∧) conjunção 
 
OBS: No conectivo “e” (ʌ) a proposição Composta A ʌ B só será V, quando A e B forem ambas V, caso contrário 
será F. 
EXEMPLO 1: 
R: Brasília é a capital do Brasil. 
S: São Paulo é a capital da Argentina. 
A: Brasília é a capital do Brasil e São Paulo é a capital da Argentina. 
F A: R ʌ S 
 V F 
 
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EXEMPLO 2: 
Considere as proposições abaixo como verdadeiras: 
p: O gato late. v C: p ʌ q 
q: O cachorro mia v v 
v C: “O gato late e o cachorro mia”. 
 V v 
CONJUNÇÕES 
CONJUNÇÕES ADITIVAS: e; nem 
Ex 1: Paulo foi à feira e Maria ficou em casa 
Ex 2: Paulo não foi à praia, nem Marcos foi à praia. 
CONJUNÇÕES ADVERSATIVAS: 
Mas; porém; contudo; todavia; entretanto no entanto…etc. 
João estudou, mas não passou na prova 
João estudou e não passou na prova 
CONJUNÇÃO CONCESSIVA: Embora 
Embora Paulo não possa fumar, hoje ele fumou. 
Paulo não pode fumar e hoje ele fumou. 
Conectivo: ou ( V) Disjunção inclusiva 
 
 
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OBS 1: No conectivo “ou” (v) a proposição Composta A v B só será F, quando A e B forem ambas F, caso contrário 
será V. 
OBS 2: Pelo menos um for V, a proposição composta A v B será V 
EXEMPLO: 
R: Brasília é a capital do Brasil 
S: São Paulo é a capital da Argentina. 
A: Brasília é a capital do Brasil ou São Paulo é a capital da Argentina. 
V A: R V S 
 V F 
Conectivo: ou (V) Disjunção Exclusiva 
 
OBS: No conectivo ou…ou (V) a proposição Composta A V B só será V, quando A e B tiverem valores lógicos 
contrários, caso contrário será F. 
EXEMPLO 1: 
Ou Júlia é goiana ou ela é brasiliense 
 V F V F 
 
 
 
 
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Conectivo: Se, então (⟶) Condicional 
 
LEITURA: G⟶B 
• G condicional B 
• G implica B 
• Se G, então B 
• G, então B 
• Se G, B 
• Quando G, B 
• G, somentese B 
• Todo G é B 
 
Condição suficiente e necessária 
G⟶B 
G é condição suficiente para B 
B é condição necessária para G 
 Ou 
É suficiente G para B 
G B 
B 
 
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É necessário B para G 
 
S⟶M 
Onde: 
S é o antecedente 
M é o consequente 
 
 
 
 
EXEMPLO 1: 
• Se Paulo tem o nível superior, então ele tem o nível médio 
• Paulo ter o nível superior é condição suficiente para ele tenha o nível médio. 
• Paulo ter o nível médio é condição necessária para ele tenha o nível superior. 
• É suficiente Paulo ter o Nível superior para que ele tenha o nível médio 
• É necessário que Paulo tenha o nível médio para que ele tenha o Nível superior 
BICONDICIONAL 
Conectivo: Se, e somente se (⟷) 
Maria ficará feliz se,e somente se ela passar em concurso público. 
Conjuntos idênticos: F⊂P e P⊂F 
 
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OBS: No conectivo Se, e somente se (⟷) a proposição Composta F ⟷ P só será V, quando F e P tiverem valores 
lógicos iguais, caso contrário será F. 
LEITURAS: F⟷P 
• F se e só se P 
• Se F então P e se P então F. 
• F somente se P e P somente se F. 
• F é condição suficiente para P e P é condição suficiente para F. 
• P é condição necessária para F e F é condição necessária para P. 
• Todo F é P e todo P é F. 
• F é condição necessária e suficiente para P. 
• P é condição necessária e suficiente para F. 
EXEMPLO 
Maria ficará feliz se, e somente se ela passar em um concurso público. 
Leitura: Condição suficiente e necessária 
Maria ficar feliz é condição necessária e suficiente para ela passar em um concurso público. 
Maria passar em um concurso público é condição necessária e suficiente para ela ficar feliz.