EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º

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Equações e Sistemas de Primeiro Grau
Prof. Renato Paulucci
    Introdução
    Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3   (Não é igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e a > 0.
  
   Considere a equação 2x - 8 = 3x -10
   A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".
   Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.
 
                
   Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
 
	Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 
Resolução de Sistemas
 
    A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.
    Estudaremos a seguir alguns métodos:
 
Método de substituição
    Solução
determinamos o valor de x na 1ª equação. 
                        x = 4 - y
Substituímos esse valor na 2ª equação. 
                        2 . (4 - y) -3y = 3 
Resolvemos a equação formada. 
	8 - 2y -3y = 3     
8 - 2y -3y = 3
                                 -5y = -5   => Multiplicamos por -1 
5y = 5 
       
y = 1
Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. 
	x  + 1 =  4
x =  4 - 1
x = 3
A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). 
                                V = {(3, 1)}
Método da adição
   Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição. 
   Resolva o sistema abaixo:
   Solução
Adicionamos membros a membros as equações: 
                        
                           2x = 16
                            
                            x = 8
 
Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 
                            8 + y = 10 
                            y = 10 - 8
                            y = 2
        A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
                            V = {(8, 2)}
Equação do 2º grau
   Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com . Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 
Substituindo na fórmula:
= 
 e   
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
 »  x=2   
  
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 
3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 
   Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: » vazio 
Exercícios de Aplicação
01-(VUNESP-Ass. Adm-2008) Com a finalidade de angariar fundos para uma campanha assistencial, um colégio promoveu um baile, apurando o total de R$ 6.048,00. Os cavalheiros pagaram R$ 20,00 e as damas tiveram um desconto de 40% sobre esse preço. Por esse motivo, a razão entre o número de cavalheiros e o número de damas que compraram ingressos era de um para três. Nesse caso, o total dos ingressos vendidos foi
(A) 543. (B) 453. (C) 432. (D) 317. (E) 315.
02- (TRT-Aux. Judiciário-2004-CESPE)Suponha que 3 kg de café e 4 kg de açúcar custam R$ 34,00, e 2 kg de café e 2 kg de açúcar custam R$ 21,10. Com base nesses dados, julgue os itens subsequentes. A) O preço de 1 kg de café é 3 vezes superior ao preço de 1 kg de açúcar. B) O preço de 1 kg de açúcar é inferior a R$ 2,20. 
03- A diferença entre o quadrado de um número e onze é igual ao décuplo desse número. Qual é o número?
04- A diferença entre o quíntuplo de um número e seu quadrado é igual a quatro. Qual é o número?
05- A diferença entre o décuplo de um número e três, é igual ao produto do quadrado desse número por três. Qual é o número?
06- Ache dois números inteiros, positivos e consecutivos, sabendo que a soma de seus quadrados é 481.
07- Certo pai disse a seu filho: “Hoje, a minha idade é o quadrado da sua, mas daqui a 10 anos, a minha excederá a sua em 30 anos.” A soma das idades do pai e do filho, hoje, é: 
a) 90 anos b) 72 anos c) 56 anos d) 42 anos e) 30 anos
08- O quadrado de um número subtraído de 4 é igual a 12. Calcule o valor desse número. 
 
09- (Cesgranrio-Ag. Adm.-2005)
10- Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo pediram o mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o prato principal o grupo gastou R$ 56,00 e com a sobremesa R$ 35,00; cada sobremesa custou R$ 3,00 a menos do que o prato principal. 
a) Encontre o número de pessoas deste grupo.
b) Qual é o preço do prato principal? 
11- (VUNESP-Ag. Adm -2008)Para fazer o transporte de uma carga, uma empresa irá cobrar ototal de R$ 253,00. Esse preço varia de acordo com o peso da carga, e é composto de uma taxa fixa de R$ 58,00, acrescida de R$ 2,50 por quilograma transportado. O peso total dessa carga, em quilogramas, é
(A) 78.
(B) 75.
(C) 67.
(D) 65.
(E) 58.
12- (CETRO Concursos-Agente Auxiliar de Saúde-2006) Do salário de R$ 408,00 gasta-se 2/6 com alimentação, 1/6 com a farmácia e 1/6 com material escolar dos filhos. Sendo assim, para as demais despesas sobram
(A) R$ 166,00.
(B) R$ 156,00.
(C) R$ 146,00.
(D) R$ 136,00.
(E) R$ 126,00.
13-(CETRO Concursos-Agente Auxiliar de Saúde-2006) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 3/5 da estrada e a outra os 96 quilômetros restantes, a extensão dessa estrada é de
(A) 220 km. (B) 225 km. (C) 234 km. (D) 240 km. (E) 260 km.
14-(CETRO-Concursos) O pai de Carlos lhe deu R$ 330,00 de presente. Carlos com dó de seu irmão lhe deu R$ 45,00, para que ambos ficassem com a mesma quantia. Quanto o irmão de Carlos tinha?
R$ 187,50 
R$ 142,50
R$ 285,00
R$ 240,00
R$ 307,50
15) Num sítio existem patos e porcos, num total de 48 cabeças e 120 pés. Determine o número de porcos.
16- (VUNESP-AG. ADM -2009) Em uma rodovia, o pedágio custa R$ 2,00 por automóvel eR$ 1,00 por moto. Na segunda-feira, em meia hora, foram arrecadados R$ 1.230,00, tendo sido registrado um total de 650 veículos pagantes, sendo 60 caminhões leves e ônibus que pagaram R$ 4,00 cada um, e os demais, motos e automóveis. O total de motos que passaram pelo posto de pedágio, nessa meia hora, foi
(A) 150. (B) 190. (C) 290. (D) 295. (E) 400.
17-(Agente Comunitário de Saúde-Pref. De Rio Negrinho-2009) Um prêmio de R$ 500,00 foi repartido entre João, Pedro e Carlos. João recebeu R$ 60,00 a mais que Pedro, e Pedro, por sua vez, recebeu R$ 80,00 a menos que Carlos. O valor do prêmio de Carlos foi:
a) R$ 180,00 b) R$ 120,00 c) R$ 140,00 d) R$ 220,00 e) R$ 200,00
18- (Vunesp-Ag Fiscal-2008) Em um bazar beneficente, uma artesã fez um total de 85 peças para vender a R$ 29,00 cada. No último dia de vendas, com a intenção de vender todas as peças, reduziu o preço unitário para R$ 22,00 e conseguiu vender todas as peças. Tendo em vista que a arrecadação obtidacom a venda de todas as peças foi de R$ 2.213,00, no último dia da feira, essa artesã vendeu
(A) 56 peças. (B) 49 peças. (C) 46 peças. (D) 39 peças. (E) 36 peças.
19-(VUNESP-Ass. Adm-2008) Em janeiro de 2008, os setores A e B de uma fábrica tinham quantidades iguais de empregados. No final de junho, por questões financeiras, foram dispensados 3/8 dos empregados do setor A e 1/6 dos empregados do setor B. Sabendo-se que o setor A ficou com 10 empregados a menos do que o setor B, conclui-se que o número de funcionários que permaneceram trabalhando no setor B é
(A) 8. (B) 18. (C) 30. (D) 38. (E) 40.
20-(Téc. Radiologia-Vunesp-2009) A soma das idades de Maíra, Iara e Elisabete é 54 anos. Elisabete tem o dobro da idade de Maíra, e Iara é 6 anos mais velha do que Maíra. A idade de Elisabete é
(A) 30 anos. (B) 24 anos. (C) 18 anos. (D) 12 anos. (E) 10 anos.
21- (VUNESP-Ass. Adm-2008) Com a finalidade de angariar fundos para uma campanha assistencial, um colégio promoveu um baile, apurando o total de R$ 6.048,00. Os cavalheiros pagaram R$ 20,00 e as damas tiveram um desconto de 40% sobre esse preço. Por esse motivo, a razão entre o número de cavalheiros e o número de damas que compraram ingressos era de um para três. Nesse caso, o total dos ingressos vendidos foi
(A) 543. (B) 453. (C) 432. (D) 317. (E) 315.