Cálculo de Profundidade com Logaritmos

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Logaritmos 
Josiane Ferzola Fagundes 
Marina Menna Barreto 
Reinaldo da Cruz Duarte 
Problema Inicial 
 Uma planta não pode viver a profundidades 
muito maiores que 10 m porque necessita de 
luz solar. 
 Suponha que num lago, a intensidade da luz 
se reduza 25% a cada metro de 
profundidade. 
 A que profundidade a luz se reduz a 10% da 
luz do dia? 
 
Idéia de Solução: 
Partindo-se de um modelo exponencial, do 
tipo y = yo . ax 
Onde: y é a luminosidade no ponto procurado 
 yo é a luminosidade na superfície 
 a é a taxa de decaimento solar 
 x é a profundidade que se quer encontrar 
Temos: 
 
10% = 100% (25%)x 
metros 
Um pouco da História dos 
Logaritmos... 
Muitos dos campos nos quais os cálculos 
numéricos são importantes, como a 
astronomia, a navegação, o comércio, a 
engenharia e a guerra fizeram com que as 
demandas para que estes cálculos se 
tornassem cada vez mais rápidos e 
precisos crescessem sempre 
continuamente. Quatro notáveis invenções 
vieram a atender sucessivamente essas 
demandas crescentes. 
 
 
 A notação hindo-arábica, as 
frações decimais, os logaritmos e 
os modernos computadores. 
 
 
 
 É hora de se considerar o 
terceiro destes grandes 
dispositivos poupadores de 
trabalho, os logaritmos, inventados 
por John Napier perto do início do 
séc. XVII. 
 324 
+ 245 
 569 
 324 
 x 245 
 +1620 
 +1296 
 + 648 
 79380 uma operação 
quatro operações 
O poder dos logaritmos, como instrumento de 
cálculo, repousa no fato de que eles reduzem 
multiplicações e divisões a simples operações de 
adição e multiplicação. 
 
 Como se dá isto ? 
 
 
 Pensemos, por exemplo, 
 em potências de 2 
 
 Observamos que quando multiplicamos 4 (=22) por 
32 (=25), obtemos como resultado 128. 
 
Mas, 128 é exatamente 27 ! 
 
 Podemos observar que, ao invés de fazermos 4 x 32, 
podemos simplesmente somar seus expoentes (2 + 5 = 7) e 
assim, construir uma tabela que faça qualquer produto de 
potências de 2! 
 
 
 
Podemos observar também que os números 
da primeira seqüência correspondem a 
uma progressão geométrica enquanto os 
números da segunda a uma progressão 
aritmética. 
 
 
 
 
Vamos chamar então de logaritmos os 
números da série aritmética e de 
antilogaritmos os números da série 
geométrica! Dizemos então que o 
logaritmo de 8 na base 2 é 3! 
 
 
 Tentemos agora fazer o mesmo 
para o nosso sistema de numeração 
decimal (base 10). 
 
 Para multiplicar 100 por 1000, basta 
somarmos seus logaritmos! 
 
antilog 
logaritmo 
 
Mas e se quisermos o produto 
de 2 por 3? 
 
Podemos observar que a nossa tabela 
nova não é muito útil já que não nos 
resolve um problema relativamente 
simples. 
 
 Devemos então melhorar esta tabela ! 
Vamos então reescrever a 
primeira parte da tabela: 
 Podemos ver facilmente que logaritmo de 3 
está certamente entre 0 e 1, já que 1 < 3 < 10. 
Observe o raciocínio e complete a tabela! 
 
 100,1 = número = 1,25 
Resumindo temos que, se tivermos um 
número x, que possa ser escrito como: 
 
 
 
 x = base
y (ex. 100 = 1) 
 
 
 
 log base x = y (ex. log 10 1 = 0) 
 
 Durante anos ensinou-se a calcular com 
logaritmos na escola de 2o grau ou no início 
dos cursos superiores de matemática; 
também por muitos anos a régua de cálculo 
logaritmica, foi o símbolo do estudante de 
engenharia no campus universitário. 
 
 Hoje porém com o advento das 
calculadoras portáteis, ninguém mais em sã 
consciência usa uma tábua de logaritmo ou 
uma régua de cálculo para fins 
computacionais. 
 
Nos perguntamos então por que 
continuamos a ensinar 
logaritmos nas Escolas e nas 
Universidades ? 
 
... Por que apesar dos logaritmos 
não serem mais necessários como 
facilitadores de cálculos, eles se 
tornaram um modelo conveniente 
de se expressar os mais diversos 
fenômenos da natureza. 
 
Vejamos alguns exemplos 
O som é toda variação na pressão do ar (ou outro 
meio elástico) capaz de impressionar o ouvido. 
 
 
A impressionalidade do ouvido é devida à sua 
capacidade de perceber a freqüência, a 
intensidade e a potência com que ocorrem tais 
variações. 
 
 
onde: 
 
dB = nível do som em decibéis 
 (intensidade sonora) 
 
 I = intensidade acústica 
 
 I0 = intensidade “zero” da 
 percepção humana 
 
Os logaritmos e os decibéis 
 
 
Devido ao seu enorme campo de 
variação*, estas grandezas são 
usualmente expressas em escala 
logaritmica. 
 
 
*Um murmúrio irradia uma potência de 0,000000001 watt, 
enquanto que um avião a jato ao decolar produz uma 
potência de 100000 watts. 
 
 
 
 
 
 
Usamos escalas logaritmicas para 
possibilitar uma melhor visualização 
do gráfico e para transformar 
algumas curvas em linhas retas. 
 
 
 
 
 
 Vejamos alguns exemplos 
 
 
 
 
Os Logaritmos no Curral 
 
 O consumo da ração alimentícia bovina 
é proporcional à superfície externa do 
corpo do animal. 
 
 Sabendo-se que um boi que pesa 
aproximadamente 630Kg necessita de 
13500 calorias de ração, perguntamos: 
 Quantas calorias provenientes da 
ração necessitará um boi que pesa 420 Kg? 
 
 Para resolvermos este problema, devemos 
utilizar além da álgebra a geometria. 
 
 De acordo com as condições do problema, as 
calorias que procuramos (x) são proporcionais à 
superfície externa (s) do corpo do animal: 
 
 
 
 
 onde s1 é a superfície 
 externa do boi que pesa 630 Kg. 
 
2
1
13500 s
sx

 A geometria nos ensina que as superfícies 
(s) de corpos semelhantes são proporcionais ao 
quadrado de suas medidas lineares (l), e os 
volumes (e, por conseguinte, o peso) são 
proporcionais ao cubo das medidas lineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
3
1
2
1
3
2
1
2
2
1
630
420
630
420

l
l
l
l
l
l
s
s
3
9
4
13500 x  9log4log
3
1
)13500log(log x
10300x
Os logaritmos e o pH 
O pH de uma solução aquosa nos diz o quanto 
ácida (H+) ou básica (OH-) é a solução. 
Podemos escrever também: 
 
pH = - log [H+] & pOH = - log [OH-] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se, da química que: [H+] x [OH-] = 10-14 
aplicando-se logaritmo dos dois lados temos: 
log[H+] + log[OH-] = log 10-14 
log[H+] + log[OH-] = -14 
-log[H+] - log[OH-] = 14 
 
pH + pOH = 14 
 
Observamos então que o pH é medido 
em escala logaritmica, onde cada 
unidade representa um fator de 10. 
 
Sabendo-se que o pH do café é 5 e o 
da água é 7. 
 
Pergunta-se: qual é o mais ácido e 
quantas vezes é mais ácido? 
pH café = 5 [H+] = 10-5 
 
 
 
pH água = 7 [H+] = 10-7 
 
logo o pH do café é: 
 
 vezes mais ácido que a água 
acidez 
100
10
10
7
5



Os logaritmos e os terremotos 
A escala Richter, usada para medir a 
magnitude dos terremotos, é uma escala 
logaritmica. Isto significa que as medidas 
de intensidade dos terremotos cresce 
exponencialmente 
Em 1906, em São Francisco (E.U.A) teve 
um terremoto (8,3 na escala Richter) que 
causou incêndio e destruição de quase 
toda a cidade. Em1989, também em São 
Francisco, um outro terremoto (7,1 na 
escala Richter) atingiu a cidade já 
reconstruida. 
 
Quantas vezes mais intenso foi o 
terremoto de 1906? 
Sugestões de exercícios 
1. Como calcular ? 
2. Calcular (6,21)8 : 
3. Como poderíamos saber se será possível 
fazer 250 em uma calculadora comum ? Isto 
é, quantos algarismos têm este número? 
4. O volume de uma esfera é dado por 
V=4R3 /3 onde R é o raio da esfera. 
Calcular o raio da esfera de volume 20cm3. 
 
 
3 2,15x
5. Calcular o valor de 
com aproximação de centésimos. 
 
6. Determinar qual é o tempo necessário 
para que um capital empregado a taxa de 
3% ao mês, com juros capitalizados 
mensalmente, triplique seu valor. 
 
7. Uma certa cultura de bactérias cresce 
segundo a lei N(t) = 2000 . 10 t/36, onde 
N(t) é número de bactérias após t horas. 
Quantas bactérias haverá após 3 horas? 
5 22 )73,1()4,3( A
8. (CESGRANRIO-77)As indicações R1 e R2 ,na escala 
Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela 
fórmula: 
 R1 - R2 = Log (M1/M2) 
onde M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos 
sob a forma de ondas que se propagam pela crosta 
terrestre. Houve dois terremotos : um correspondente a 
R1 = 8 e outro correspondente a R2 = 6. A razão M1/M2 é: 
a)2 b)log2 10 c)4/3 d)102 e)log (4/3) 
 
9. A expressão log 2 + log 3 + log 4 + log 5 equivale a: 
a)log 5! b) 5! Log 5 c)5 log 5! d) 5 + log 5 ! e)5 ! + log 5 
 
 
Encontre o erro... 
32
2
1
log3
2
1
log2
2
1
log
2
1
log
2
1
2
1
8
1
4
1
3232






































Dividimos ambos os 
membros por log(1/2) ?!? 
• JACOBS, HAROLD R., “Mathenatics: a human endeavor”, ed 
San Francisco, 1970 
• AGUIAR, ALBERTO F. A., XAVIER, AIRTON, 
RODRIGUES,JOSÉ, “Cálculo para ciências médicas e 
biológicas”, ed Harbra, São Paulo, 1988 
• IEZZI, GELSON, DOLCE, OSVALDO, MURAKAMI, CARLOS, 
”Fundamentos de Matemática Elementar - logaritmos (vol 2)”, 
ed Atual, S Paulo, 1997 
• SANTOS, ANTONIO L., “Olimpíadas de matemática do 
estado do Rio de Janeiro”, ed Atual/ SBM, S Paulo/Rio de 
Janeiro, 1996 
• GIOVANNI, JOSÉ R., BONJORNO, JOSÉ R., “Matemática 
-2o grau (vol 1)” ed FTD, S Paulo 
• CARNEIRO, VERA C., “Funções Elementares (100 situações-
problema de matemática)”, ed da Universidade, 1993 
Referência Bibliográfica 
“Chambered nautilus” é uma criatura 
marinha, que a medida que cresce 
desloca-se sucessivamente em direção 
à compartimentos de mesmo formato, 
com excessão do último, onde já 
atingiu seu tamanho máximo. 
 
A concha tem o formato de uma curva 
chamada ESPIRAL LOGARITMICA, 
que foi descoberta por Descartes. 
•http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/passa1f.html 
•FELTRE, Ricardo;YOSHINAGA, Setsuo “Físico-Química 
(vol3)” ed. Moderna, S.Paulo, 1977 
•HOGBEN, Lancelot “Maravilhas da matemática- influência 
e função da Matemática nos conhecimentos humanos” ed. 
Globo, P. Alegre,1952