Primeira Parcial

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1. De uma janela de um prédio, localizada a 20 m acima do solo, arremessa-se, verticalmente para cima, uma bola, com velocidade de 10 m/s.
Sabendo-se que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81 m/s2 , para baixo, determinar:
a) A velocidade v e a elevação y da bola, relativamente ao solo, para qualquer instante de tempo t.
b) A máxima elevação atingida pela bola e o correspondente instante de t.
c) o instante em que a bola atinge o solo e a sua correspondente velocidade.
d) Esboçar os gráficos y(t) e v(t).
Condição inicial:
Y0b = 20m
V0b = 10 m/s
a0b = -9,81 m/s2
a) Para posição em y e velocidade em função de t:
Yb = Y0b + V0b . t + (a . t2) /2
Yb = 20 + 10 . t + (-9,81 . t2) /2
Yb = 20 + 10 . t + (-4,905 . t2)
Vb = V0b + a . t
Vb = 10 -9,81 . t
b) para a máxima elevação e instante de t:
Ybmáx quando vb = 0
Vb = 10 -9,81 . t
0 = 10 -9,81 . t
10 = 9,81 . t
t = 10/9,81
t = 1,019s.
Yb = 20 + 10 . t + (-4,905 . t2)
Yb = 20 + 10 . 1,019 + (-4,905 . 1,0192)
Yb = 20 + 10,19 -5,093
Yb = 25,096m.
c) Para a bola chegando ao solo e sua velocidade:
Yb = 0
20 + 10 . t + (-4,905 . t2) = 0
t = (-b ± Δ) / 2.a
Δ = b2 – 4 . a . c
Δ = 102 – 4 . (-4,905) . 20 
Δ = 100 – 4 . (-4,905) . 20 
Δ = 492,4
t1 = (-10 + 492,4) / 2 . (-4,905)
t1 = (-10 + 22,19) / - 9,81
t1 = 12,19 / - 9,81
t1 = - 1,242s. 
t2 = (-10 - 492,4) / 2 . (-4,905)
t2 = (-10 - 22,19) / - 9,81
t2 = -32,19 / - 9,81
Vb = 10 -9,81 . t
Vb = 10 -9,81 . 3,281
Vb = -22,18 m/s.
d) gráficos :
2. O elevador E, mostrado na figura abaixo, parte do repouso e sobe com aceleração constante.
Se o contrapeso W se desloca 10 m em 40s, determinar:
a) A aceleração do elevador e do cabo C. - Resposta: ae = 0,0125 m/s2 , ac = 0,025 m/s2.
Ye = Yw =cte
Ve + Vw = 0
ae + aw = 0 .: aw = -ae
x = x0 + v0 + (ae . t2) / 2
10 = 0 + 0 + (ae . 402) / 2
800 ae = 10
ae = 10/800
ae = 0,0125 m/s2
ac = 2 . ae
ac = 2 . 0,0125
ac = 0,025 m/s2
b) A velocidade do elevador depois de 6s. - Resposta: Ve = 0,075 m/s.
Ve = ve0 + a . t
Ve = 0 + 0,0125 . 6 .: Ve = 0,075 m/s
3. Utiliza-se uma mola para frear um fardo de 60 kg que desliza sobre uma superfície horizontal. Por meio de cabos mantém-se a mola de constante k = 20 kN/m comprimida cerca de 120 mm. A velocidade do fardo na posição mostrada na figura é de 2,5 m/s. A deformação adicional que a mola sofre pelo impacto atinge o máximo de 40 mm. Determine:
a) O coeficiente de atrito dinâmico entre o fardo e o plano.
Resposta: = 0,498
b) A Velocidade do fardo quando retorna à posição original mostrada na figura.
Resposta: V3 = -1,51 m/s
+
DCL condição 1 ( coeficiente de atrito entre fardo e plano)
V
1 
= 2,5
V
2
 
= 0
N
0,64
600
P
F
at
V1 = 2,5 m/s
Fat = . N
Fat = 60 . 9,81 . 
Fat = 588,6 . 
Logo:
-Fat . 0,64 = ((m . V22) / 2) – ((m . V12) / 2)
V2 = 0
-588,6 . . 0,64 = ((60 . 02) / 2) – ((60 . 2,52) / 2)
-588,6 . . 0,64 = – 187,5
 = – 187,5 / (-588,6 . 0,64)
a) = 0,498.
+
P
0,64
F
at
V
2
 
= 0
600
U
m
V
3
 
=
 ?DCL da condição 2 (velocidade de retorno do fardo)
N
Um = (k .( x)2) / 2
Um = (20.000 .(0,16)2) / 2
Um = 256 J.
Fat = 588,6 . 0,498
Fat = 292,97 N
-Um + (Fat . 0,64) = (m . V32) / 2 – (m . V22) / 2
-256 + (292,97 . 0,64) = ((60. V32) / 2) – ((60 . 02) / 2)
- 256 +( 292,97 . 0,64) = (60 . V32) / 2
-68,5 . 2 = 60 . V32
-136,70 / 60 = V32
V32 = -2,2833
V3 = -2,2833
b) V3 = -1,51 m/s
4. Um colar de 3 kg que pode deslizar sem atrito está em repouso ( posição de equilíbrio) sobre uma mola. Ele é puxado para baixo comprimindo a mola em 150 mm e então é liberado.
h =
 ?
Posição 1 
–
 
altura 
mínim
a
Posição 2 – altura máxima
Posição intermediária
P
U
m
V =
 ?
DCL - deslocamento
Sabendo que a constante da mola é k = 2,6 kN/m, determine:
a) A altura máxima alcançada pelo colar em relação a sua posição de equilíbrio.
 Resposta: 0,993 m
b) A velocidade máxima do colar. 
 Resposta: 4,415 m/s
Um = (k . x2) / 2
Um = (2.600 . 0,152) / 2
Um = 29,25 J.
Um = m . g . h
29,25 = 3 . 9,81 . h
h = 29,25 / (3 . 9,81)
h = 0,993 m 
Energia cinética nas posições:
mín = T1 = (m . Vi2) / 2 .: Vi2 = 0 .: T1 =0
máx = T2 = (m . Vf2) / 2 .: Vf2 = 0 .: T2 =0
int = Tint = (m . Vint2) / 2 
Energia Cinética + Energia Potencial:
T1 + U1 = Tint + Uint
0 + 29,25 = (m . Vint2) / 2 + 0
29,25 = (3 . Vint2) / 2
29,25 = 1,5 . Vint2
Vint2 = 29,25 / 1,5
Vint = 19,5
Vint = 4,415 m/s