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nome do(s) autor(es) em ordem alfabética
PRODUÇÃO TEXTUAL INTERDISCIPLINAR EM GRUPO:
Estudo da queda de corpos
Cidade
2018
nome do(s) autor(es) em ordem alfabética
PRODUÇÃO TEXTUAL INTERDISCIPLINAR EM GRUPO:
Estudo da queda de corpos
Trabalho de produção textual interdisciplinar em grupo apresentado à Universidade Pitágoras Unopar, como requisito parcial para a obtenção de média semestral nas disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial; Cálculo Diferencial Integral II; Física Geral e Experimental: Mecânica; Algoritmos e Lógica de Programação; Ciências dos Materiais; Seminário Interdisciplinar III.
Orientador: Prof.
Cidade
2018
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 3
2 FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL: MECÂNICA 4
3 MODELAG EM MATEMÁTICA DO MOVIMENTO DE UM CORPO EM QUEDA LIVRE. 7
4 CÁLCULO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE. 12
5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 13
6 CIÊNCIAS DOS MATERIAIS 15
6.1 CANETAS 15
7 ALGORÍTIMO 17
8 CONCLUSÃO 19
REFERÊNCIAS 20
INTRODUÇÃO
Um italiano e físico chamado Galileu Galilei no século XVII percebeu que na superfície da terra todos os corpos caem em direção a terra com a mesma velocidade, que ele a chamou de aceleração da gravidade.
Ao largar um martelo e uma pena na mesma altura, podemos observar que o martelo chegará ao solo mais rápido, porque a condição para que a massa não a influencie no tempo de queda é que ela seja livre. Queda livre significa que ela se dá única e exclusivamente da gravidade e que nenhuma força atua a não ser da força da gravidade.
No experimento da pena e do martelo, não existe só a gravidade atuando nesses corpos puxando para baixo, existe a resistência do ar oferecendo um obstáculo à queda livre desses corpos. Resistência do ar significa que qualquer corpo ao se deslocar, ele tem que atravessar as moléculas de ar de modo que, acabam colidindo com as tais moléculas, que formam o ar, essas colisões acabam retardando a velocidade do corpo em queda livre. Dependendo da massa do corpo a influência que ele sofre varia. A pena, por ter uma massa menor, sofrerá com uma resistência do ar maior do que a do martelo, por isso chegará depois.
Na física a queda livre é uma particularização do movimento uniformemente que ajuda e muito também inclusive Engenharia, por isso este trabalho se justifica.
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL: MECÂNICA
Desde os tempos mais remotos o homem estuda os movimentos que ocorrem na natureza, e dentre todos sempre houve grande interesse pelo movimento de queda dos corpos quando são abandonados próximos à superfície da Terra. Se abandonarmos uma pedra de uma determinada altura, percebemos que seu movimento é acelerado, caso lancemos essa mesma pedra de baixo para cima percebemos que o movimento é retardado.
Durante muito tempo esses movimentos foram objetos de estudo dos estudiosos. Por volta de 300 anos antes de Cristo, existiu um filósofo grego chamado Aristóteles que acreditava que se abandonássemos dois corpos de massas diferentes, de uma mesma altura, o corpo mais pesado tocaria o solo primeiro, ou seja, o tempo de queda desses corpos seriam diferentes. Essa crença perdurou por muitos anos sem que ninguém procurasse verificar se realmente o que o filósofo dizia era mesmo verdade.
Por volta do século XVII, o físico Galileu Galilei, ao introduzir o método experimental, chegou à conclusão de que quando dois corpos de massas diferentes, desprezando a resistência do ar, são abandonados da mesma altura, ambos alcançam o solo no mesmo instante.
Conta a história que Galileu foi até o topo da Torre de Pisa, na Itália, e de lá realizou experimentos para comprovar sua afirmativa sobre o movimento de queda dos corpos. Ele abandonou várias esferas de massas diferentes e percebeu que elas atingiam o solo no mesmo instante. Mesmo após as evidências de suas experiências, muitos dos seguidores de Aristóteles não se convenceram, e Galileu foi alvo de perseguições em razão de suas ideias revolucionárias.
É importante deixar claro que a afirmativa de Galileu só é válida para queda de corpos que estão no vácuo, ou seja, livre da resistência do ar ou no ar e com resistência desprezível. Dessa forma o movimento vertical de qualquer corpo que se move nas proximidades da superfície da Terra, sob a influência unicamente da sua força peso, é chamado movimento de queda livre.
O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, no entanto, ocorre quando um corpo se desloca ao longo de uma trajetória retilínea, e com uma aceleração constante. Quer isto dizer que a velocidade do corpo apresenta sempre a mesma variação, a cada segundo que passa. Se um corpo apresenta Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, é possível caracterizar esse movimento em Acelerado ou Retardado, conforme a variação da velocidade do corpo.
O MRVU, é bastante utilizada na Engenharia Civil dentre as fórmulas utilizadas podemos citar:
As formulas que não possuem a aceleração (a) na função, ou seja, o movimento possui velocidade constante
MRU (Movimento Retilíneo Uniforme)
ΔV: Variação da Velocidade
ΔS: Variação do Espaço
Δt: Variação do tempo
V = ΔS/Δt
S = So + V*(tf - ti) ==> como na maioria dos casos partimos de um instante zero, então temos: S= So + Vt
MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado)
São aquelas formulas que possuem aceleração, ou seja, a velocidade não é constante.
a: aceleração
a = ΔV/Δt
V = Vo + at (eq. 1)
S = So + Vot + at²/2 (eq. 2)
V² = Vo² + 2*a*ΔS (Equação de Torricellli) (eq. 3)
A equação de Torricelli, pode ser facilmente deduzida substituindo (eq. 1) em (eq. 2).
Seguindo a premissa da interferência da massa do corpo na queda, pode-se afirmar que: A massa não interfere no tempo de queda e sim a força gravitacional da Terra que é sempre 10m/s².
Todos os objetos em queda livre, próximo da superfície da Terra estão sujeitos à resistência do ar, caem com a mesma aceleração porque o valor de g não depende da massa do grave, então sua forma ou composição não influenciam.
Sobre a aceleração da gravidade é possível dizer que: Ao falarmos sobre queda livre, ou movimento retilíneo vertical, e força da gravidade não podemos deixar de citar Newton, que observou como a existência de uma força que atraia os objetos para o solo através da análise da queda de uma maça.
Newton através de outras observações e análises também pôde notar que a atração exercida pela Terra sobre um objeto qualquer era da mesma natureza que a atração do Sol sobre a Terra. Ele também mostrou que as leis de Kepler são coerentes com uma força de atração gravitacional que depende diretamente das massas dos objetos que se atraem e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os centros dos mesmos e que, para calcular a força de gravidade sobre um objeto na superfície da Terra, podemos admitir que toda a massa da Terra está concentrada no seu centro.
Ele chegou à seguinte equação que representa a lei da gravitação universal:
[pic], onde
G = constante universal
M e m = massas dos dois corpos em questão
r = distância dos centros dos dois corpos.
Através dessa equação podemos calcular a aceleração da gravidade terrestre que é a aceleração sentida por um corpo em queda livre.
Para calcular a aceleração da gravidade temos que analisar se o local esta ao nível do mar, se sim, podemos estimar g por g = 9, 780327 (1 + 0,0053024 sin²2) {\displaystyle g_{\phi }=9,780327\left(1+0,0053024\sin ^{2}\phi -0,0000058\sin ^{2}2\phi \right)}em que: {\displaystyle g_{\phi }}g = aceleração em m/s² à latitude φ
A primeira correção refere-se a hipótese em que o ar é desprezível, considerando a altura em relação ao nível do mar, assim: {\displaystyle g_{\phi }=9,780318\left(1+0,0053024\sin ^{2}\phi -0,0000058\sin^{2}2\phi \right)-3,086\times 10^{-6}h}
G = 9,780318 (1+0,0053024 sin² - 0,0000058²) – 3,086 x 10
h = altura em metros, comparada ao nível do mar.
MODELAG EM MATEMÁTICA DO MOVIMENTO DE UM CORPO EM QUEDA LIVRE.
Para a etapa “Experimentação”, vocês deverão realizar um experimento com o objetivo de analisar a queda de 3 corpos com massa, composições e formatos diferentes. Utilizar como exemplo: uma esfera de metal, uma bola de ping pong, um cubo de isopor, ou qualquer outro material. Eles devem ser deixados para cair de uma mesma altura, com velocidade inicial zero. A altura deverá ser de, no mínimo, 4 metros.
É importante mencionar que, quanto maior a altura de onde o objeto será largado para cair, maior será o tempo de queda e, portanto, maior será o tempo em que a resistência do ar atuará no movimento. Isto ajudará muito na validação do modelo.
Logo, se vocês tiverem a possibilidade de trabalhar em uma altura maior, assegurando-se da segurança envolvida no processo, "melhores" serão os seus dados. Os dados que deverão ser coletados são: posição e tempo.
Para realização do experimento, foi utilizado um conjunto de painel vertical, um corpo de prova esférico de metal, uma bola de ping pong e um isopor.
Com o equipamento pronto e as instruções passadas, começamos a experiência, onde primeiramente colocamos os objetos na posição de largada, zeramos o cronometro e em seguida soltamos.
Foram geradas 5 medidas de tempo de cada objeto, num total de 15. Todas essas medidas foram anotadas, para futuramente calcular os valores de g, desvios absolutos (dA) e percentual (d%).
A variação de posição (∆y) é encontrada em função do descolamento atual e o anterior, pela fórmula:
∆y=y-y_o
E a gravidade é obtida a partir do tempo médio e da expressão:
∆y=y_o t- (gt^2) /2
Resultado e Análise de Dados Como já dito antes, na teoria, sabemos que um corpo está em Queda Livre faz um deslocamento (y) em uma trajetória linear vertical, com velocidade (v) e aceleração (g) em um determinado intervalo de tempo (t).
Aplicando esta teoria em experimento realizado em casa e após coletados os dados foram preenchidos a seguinte tabela:
t (s) ∆Y (cm) g exp (m/s²) d_a d_%
0,407 -0,8 9,65897772 -0,15102228 -15,102228
0,415 -0,8 9,29017274 -0,51982726 -51,982726
0,413 -0,8 9,38036806 -0,42963194 -42,963194
0,411 -0,8 9,47188331 -0,33811669 -33,811669
0,406 -0,8 9,70661749 -0,10338251 -10,338251
0,412 -0,8 9,42595909 -0,38404091 -38,404091
0,408 -0,8 9,61168781 -0,19831219 -19,831219
0,414 -0,8 9,335107 -0,474893 -47,4893
0,409 -0,8 9,56474435 -0,24525565 -24,525565
0,413 -0,8 9,38036806 -0,42963194 -42,963194
0,411 -0,8 9,47188331 -0,33811669 -33,811669
0,409 -0,8 9,56474435 -0,24525565 -24,525565
0,409 -0,8 9,56474435 -0,24525565 -24,525565
0,405 -0,8 9,75461058 -0,05538942 -5,5389422
0,409 -0,8 9,56474435 -0,24525565 -24,525565
Através da tabela percebeu-se que o valor gravitacional no momento do experimento é menor que o valor teórico da gravidade, 9,81 m/s². Isto devido à resistência do ar ser não desprezível no experimento.
Podemos observar também que a velocidade inicial do móvel é zero, portanto, no instante em que o objeto é solto e a aceleração da gravidade começa a atuar, a esfera é atraída gravitacionalmente até atingir o solo.
Figura 1: Experimento sendo realizado
Fonte: Própria
Gráfico 1. Movimento de queda livre realizado
Fonte: Própria
Gráfico 2. A dinâmica da queda
Fonte: Própria
Para velocidades inferiores a 86m /h a intensidade de Fr é dada pela impressão:
Fr. K.v
A seguir os dados obtidos através dos experimentos com 86km.
Esfera de metal
Nº | (m) | (m) | (m) | (s) | (s) | (s) | (s) | (s) | (m/s2) | () | () |
01 | 0,0800 | 0,200 | 0,100 | 0,156 | 0,156 | 0,155 | 0,155 | 0,0240 | 8,324 | 0 | 1,290 |
02 | 0,0800 | 0,300 | 0,200 | 0,215 | 0,213 | 0,215 | 0,214 | 0,0457 | 8,734 | 0 | 1,869 |
03 | 0,0800 | 0,400 | 0,300 | 0,259 | 0,259 | 0,260 | 0,259 | 0,0670 | 8,955 | 0 | 2,319 |
04 | 0,0800 | 0,500 | 0,400 | 0,298 | 0,298 | 0,299 | 0,298 | 0,088 | 9,090 | 0 | 2,708 |
05 | 0,0800 | 0,5600 | 0,500 | 0,332 | 0,331 | 0,331 | 0,331 | 0,10956 | 9,174 | 0 | 3,036 |
Média | 8,85 |
Ping Pong
Nº | (m) | (m) | (m) | (s) | (s) | (s) | (s) | (s) | (m/s2) | () | () |
01 | 0,0800 | 0,200 | 0,100 | 0,154 | 0,159 | 0,158 |
0,157 | 0,0246 | 8,33 | 0 | 1,307 |
02 | 0,0800 | 0,300 | 0,200 | 0,218 | 0,217 | 0,214 | 0,216 | 0,0466 | 8,695 | 0 | 1,878 |
03 | 0,0800 | 0,400 | 0,300 | 0,262 | 0,262 | 0,260 | 0,261 | 0,0466 | 8,823 | 0 | 2,302 |
04 | 0,0800 | 0,500 | 0,400 | 0,299 | 0,297 | 0,298 | 0,298 | 0,0888 | 9,090 | 0 | 2,708 |
05 | 0,0800 | 0,600 | 0,500 | 0,330 | 0,332 | 0,332 | 0,331 | 0,1095 | 9,174 | 0 | 3,036 |
Média | 8,82 |
Isopor
Nº | (m) | (m) | (m) | (s) | (s) | (s) | (s) | (s) | (m/s2) | () | () |
01 | 0,0800 | 0,200 | 0,100 | 0,151 | 0,158 | 0,156 |
0,157 | 0,0246 | 8,33 | 0 | 1,307 |
02 | 0,0800 | 0,300 | 0,200 | 0,218 | 0,217 | 0,214 | 0,216 | 0,0466 | 8,695 | 0 | 1,878 |
03 | 0,0800 | 0,400 | 0,300 | 0,262 | 0,262 | 0,260 | 0,261 | 0,0466 | 8,823 | 0 | 2,302 |
04 | 0,0800 | 0,500 | 0,400 | 0,299 | 0,297 | 0,298 | 0,298 | 0,0888 | 9,090 | 0 | 2,708 |
05 | 0,0800 | 0,600 | 0,500 | 0,330 | 0,332 | 0,332 | 0,331 | 0,1095 | 9,174 | 0 | 3,036 |
CÁLCULO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE.
| t1 /s | t2 /s | v1 / m s-1 | v2 / m s-1 | a/m s-2 | ā/m s-2 | Desvios absolutos | Incerteza absoluta | δ % |
m1(esfera)12,2 ±0.1g | 0.0248 | 0.0470 | 2,02 | 2,25 | 9,79 | 10,21 | 0,43 | 10,21±0,43 | 4,1% |
| 0.0250 | 0.0473 | 2,0 | 2,24 | 10,14 | | 0,07 | | |
| 0.0250 | 0.0473 | 2,0 | 2,24 | 10,14 | | 0,07 | | |
| 0.0252 | 0.0476 | 1,98 | 2,23 | 10,50 | | 0,29 | | |
| 0.0252 | 0.0476 | 1,98 | 2,23 | 10,5 | | 0,29 | | |
m2(esfera)27.4 ± 0.1g | 0.0252 | 0.0477 | 1,98 | 2,22 | 10,06 | 9,36 | 0,7 | 9,36±0,7 | 4,65% |
| 0.0250 | 0.0475 | 2,00 | 2,22 | 9,26 | | 0,1 | | |
| 0.0249 | 0.0473 | 2,01 | 2,23 | 9,30 | | 0,06 | | |
| 0.0249 | 0.0473 | 2,01 | 2,23 | 9,30 | | 0,06 | | |
| 0.0249 | 0.0474 | 2,01 | 2,22 | 8,86 | | 0,5 | | |
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
V: velocidade
t: tempo de queda
g: aceleração da gravidade
d: distância percorrida pelo corpo em queda
Exemplo 1
Um corpo é abandonado em queda livre de uma determinada altura e leva 6 segundos para chegar à superfície. Com qual velocidade o corpo chega ao solo? Considere g = 9,8 m/s²
Exemplo 2
Um tijolo cai de um edifício em construção e chega ao solo com uma velocidade de 30 m/s. Calcule a altura do edifício e o tempo de queda do tijolo. Considere g = 10 m/s.
V = g * t
V = 9,8 * 6
V = 58,8 m/s ou 211,68 Km/h
Equação horária do espaço na queda livre:
Onde:
g é a aceleração da gravidade
t é o tempo de queda.
S é a altura
Equação horária da velocidade na queda livre:
Onde: v é a velocidade
Equação de Torricelli para a queda livre.
Quando um corpo é arremessado para cima ou para baixo, com uma velocidade inicial não nula, chamamos o movimento de Lançamento vertical. Esse movimento também é um movimento uniformemente variado como na queda livre, em que a aceleração é a da gravidade.
Lançamento vertical para cima
À medida que um corpo lançado para cima sobe, sua velocidade escalar diminui até que se anule no ponto de altura máxima. Isso ocorre porque o movimento é retardado, ou seja, o movimento se dá contra a ação da gravidade.
CIÊNCIAS DOS MATERIAIS
Para este estudo foi utilizado somente caneta, porém de vários estilos, visto o pedido sobre criatividade.
Canetas
a – Plumas
Feitas de penas de aves, principalmente gansos, elas apareceram no início da era Cristã. Foram muito usadas até o século XIX, gerando um rico comércio de penas em todo o mundo. Entre 1800 e 1830, a cidade de São Petersburgo, na Rússia, chegou a enviar mais de 27 milhões de penas por ano para a Inglaterra.
b – Caneta-tinteiro
O primeiro modelo comercial foi criado peloamericano Lewis Edson Waterman em 1884. Mas, nas memórias da czarina russa Catarina, escritas em 1748, há uma menção a um instrumento parecido. No modelo de Waterman, a tinta era injetada no reservatório com um tipo de seringa. Os cartuchos descartáveis só começaram a ser vendidos em 1927.
c – Esferográfica
A ideia de usar na ponta da caneta uma pequena esfera de metal, molhada pela tinta que vem de um tubinho, surgiu no final do século XIX. O húngaro Lazlo Josef Biro aperfeiçoou a ideia e popularizou a esferográfica a partir de 1938. Em meados da década de 40, Biro passou a patente para o francês Marcel Bich, criador da Bic, que, hoje, vende 10 milhões de canetas por dia em todo o planeta.
d – Ponta porosa
Um modelo primitivo já era usado nos anos 40. O sistema atual, com ponta porosa feita de fibra sintética, foi apresentado pelo japonês Yukio Horie, em 1962. O produto foi aperfeiçoado e, em 1973, surgiu a Roller Ball, que unia o sistema da caneta de Horie com a esferográfica. Na Roller Ball, a tinta é absorvida por uma ponta porosa, que molha a parte traseira de uma pequena bolinha de metal.
ALGORÍTIMO
Para o cálculo e a análise dos corpos que estão à determinada altura da Terra, usa-se a equação:
Todo corpo colocado na superfície terrestre sofre a influência da força peso, que os atrai para o centro da Terra. É o caso, por exemplo, de um salto de paraquedas, onde os paraquedistas serão atraídos para a superfície. A representação matemática do fenômeno é dada pela seguinte equação:
P = m.g
P representa o peso do corpo, m a massa do corpo e g a aceleração da gravidade.
A Teoria de Newton diz que a força de atração gravitacional que existe entre a Terra e o corpo, é dada pela equação:
F= G m.M
R²
Existe ainda uma outra equação capaz de calcular a aceleração da gravidade em qualquer superfície planetária, onde g é a aceleração da gravidade da superfície do planeta em questão:
Superfície = G. M
R²
Forma Vetorial
A fórmula acima é simplificada e pode ser expressa mais propriamente pela seguinte, vetorialmente completa.
F12 = Gm1 m2 (r2 – r1)
(r2 – r1)³
F12 é a força exercida em m1 por m2
M1 e M2 são as massas
R1 E R2 são os vetores posição das duas massas respectivas
G é a constante gravitacional
CONCLUSÃO
De modo geral o trabalho atende as especificações desta instituição de ensino, onde o mesmo trouxe à tona todos os relacionados com o manual disponível.
O trabalho contou com 1 experimento com 3 corpos diferentes e os resultados foram vistos de modo geral, desde o tempo da queda até o cálculo final.
De modo geral contou-se com fundamentação teórica de artigos e autores acerca do desafio proposto, aumento a credibilidade do trabalho e dando embasamento ao conteúdo.
REFERÊNCIAS
Halliday, David; Renisck, Robert; Walker, Jeal, Fundamentos da física, vol. 2 Rio de Janeiro, LTC (2008) 8ª edição.
Kilhian, Kleber. EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar. disponível em: < http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/08/edo-queda-dos-corpos-com-resistencia-do.html > acesso em 11 de out de 2012, 15:27.
Sergio, Paulo. A velocidade terminal de um paraquedas . disponível em: < http//obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/05/equacao-do-movimento.html > acesso em 9 de out de 2012, 9:20.
Zill., Denis G. – Equações Diferenciais com aplicações em Modelagem. São Paulo, Thomson, 2003, pág 27-29, exercício 29 – Pág 106.
