Integração Numérica: Regra dos Trapézios e Regra de Simpson

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Integração 
Numérica
Integral
■ O conceito de integral esta ligado ao problema de 
determinar a área de uma figura plana qualquer. 
■ Integral de uma função f(x) no intervalo [a,b]
■ A integral da função f(x) é representada por F(x)
■ Em determinados casos, F(x) não pode ser 
calculada
■ Obter F(x) não é trivial. 
■ Nem sempre se tem a forma analítica da função 
a ser integrada, f(x), mas uma tabela de pontos 
que descreve o comportamento da função
■ Nestes casos, utilizamos a integração numérica
Integração Numérica
■ A solução numérica de uma integral é 
chamada de quadratura. Há dois 
métodos bastante empregados para 
calcular a quadratura de uma função que 
são chamadas regras de Newton-Cotes:
● Regra dos trapézios
● Regra de Simpson
Regra dos trapézios
■ substituição da função f(x) por um polinômio que a 
aproxime no intervalo [a, b] em pontos igualmente 
espaçados
■ O problema fica resolvido pela integração de um 
polinômio
■ Na regra dos trapézios, utiliza-se um polinômio 
interpolador de Lagrange do primeiro grau
onde
■ Integrando no intervalo [a,b] teremos
■ O que é a formula da área do trapézio, como 
mostrado na figura
onde 
■ Quanto for maior o intervalo, maior será o erro do 
método. Dessa forma, um melhoramento no método 
consiste em dividir o intervalo em vários pedaços, 
calcular a área de cada um deles e em seguida somar 
todos
■ Ex:Calcule a integral de no intervalo 
[0,1] com 10 subintervalos
Regra 1/3 de Simpson
■ podemos usar a fórmula de Lagrange para 
estabelecer a fórmula de integração 
resultante da aproximação de f(x) por um 
polinômio interpolador de grau 2
■ Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos:
◻ x0 = a
◻ x1 = x0 + h
◻ x2 = x0 + 2h = b
Regra 1/3 de Simpson
Resolvendo L0
Substituindo (x-x0)/h=y temos que dx = hdy. Daí, temos:
X-x1 =x0+yh-(x0+h)=(y-1)h
X-x2= x0+yh-(x0+2h)=(y-2)h
X=x0->y=0 e X=x2->y=2
Exemplo
■ Estimar o valor da integral de ex no 
intervalo [0,1] através da regra 1/3 de 
Simpson
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Exercício
■ Estimar a integral de e^x no intervalo de 
zero a um usando a regra 1/3 de Simpson 
repetida 3 vezes