MANUAL_MN_2015

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Maputo, Julho de 2015 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANUAL DA DISCIPLINA DE 
MÉTODOS NUMÉRICOS 
 
CAPÍTULO 1 – CÁLCULO COM NUMÉROS APROXIMADOS 
 
1.1 NOÇÃO DE ERRO 
Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrónicos ou métodos 
numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis 
erros envolvidos no processo. 
A análise dos resultados obtidos através de um método numérico representa 
uma etapa fundamental no processo das soluções numéricas. 
 
FONTES DE ERROS 
Dado um problema, para se chegar a um resultado numérico é necessário 
realizar uma sequência pré-estabelecida de passos. Em cada um destes passos 
pode existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo. 
Estes erros surgem basicamente de duas formas: aqueles inerentes `a 
formulação matemática do problema (relacionados `a aproximação da 
situação física e a erros nos dados) e aqueles que aparecem no processo de 
solução numérica (erros de truncamento e de arredondamento). 
Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituição de um processo 
infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito. 
 
Erros também podem surgir pelo facto que as operações aritméticas quase 
nunca podem ser efectuadas com precisão completa; estes são denominados 
de erros de arredondamento. A maioria dos números tem representações 
decimais infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se os dados de um 
problema podem ser expressos exactamente por representações decimais 
finitas, a divisão pode introduzir números que devem ser arredondados e a 
multiplicação pode produzir mais dígitos do que podem ser razoavelmente 
mantidos. 
Os tipos de arredondamento mais utilizados são: 
- tipo corte: as casas em excesso são simplesmente abandonadas; 
- para o número de máquina mais próximo: se a máquina trabalha com d 
algarismos significativos para a mantissa de um número, então analisa-se o 
algarismo de ordem d+1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade 
ao algarismo de ordem d; caso contrário, o algarismo de ordem d permanece 
inalterado. 
 
1.2 ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS 
ERRO ABSOLUTO 
A diferença entre um valor exacto x e sua aproximação 
_
x é dito erro absoluto 
o qual se denota por x∆ ou xε , isto é: 
_
xxx −=∆ 
Na prática, o valor exato é quase sempre não conhecido. Como o erro é 
definido por 
_
xxx −=∆ consequentemente também será não conhecido. 
Uma solução para este problema é ao invés de determinar o erro, determinar 
uma cota para o erro. Isso permitirá que, mesmo não conhecendo o erro, saber 
que ele está entre dois valores conhecidos. 
Dizemos que um número 0>ε é uma cota para o erro xε se εε <x 
 
 
 
Assim, mesmo não conhecendo o valor exacto, podemos afirmar que ele esta 
entre 
_
ε−x e 
_
ε+x que são valores conhecidos. 
 
É evidente que uma cota ε só tem algum valor prático se for maior que zero. 
 
ERRO RELATIVO 
Erro relativo é determinado pela divisão do erro absoluto de um número pelo 
seu valor aproximado: 
_
_
x
xx
Rx
−
= 
 
1.3 COMPARAÇÃO DE EXACTIDÃO 
Diz-se que a aproximação efectuada em relação a x é mais exacta que a de 
y se e somente se yx RR < 
1.4 PROPAGAÇÃO DE ERROS 
Sabendo que 
_
x é um valor aproximado de x . Como determinar )(xfy = ? Será 
que )(
__
xfy = é uma boa aproximação? 
 
 
)()()()(
____
xfxxfxfxfyyy −∆+=−=−=∆ 
 
 
Com base nesta premissa, pode-se constatar que o Majorante do erro 
absoluto da aproximação 
_
y de y é: 
xfy x ∆≤∆ *
max
´ 
 
Aplicando o resultado acima, para funções de várias variáveis, obteremos a 
fórmula abaixo que se designa por Fórmula Fundamental de Cálculo de 
Erros: 
nxxx xfxfxff n ∆++∆+∆≤∆ *...**
´
2
´
1
´
21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 EXERCICIOS 
1. Use a técnica de truncamento para aproximar π com quatro casas 
decimais, sabendo que: ...1415926535,3=π 
3. Que valor é mais exato quando se usam: 
• 3,14 Aproximado de π 
• 2,718 Aproximado de e 
4. Determine a área e o erro absoluto de um jardim trapezial, dado que: 
01,05 ±=a ; 02,015 ±=b e 01,04 ±=h 
5. Considerando a relação yze
y
x
t −+=
)cos(
, com os seguintes dados: 
110*37.1
%425.0
1.03.1
−±=
±=
±=
z
y
x
 
Determine o valor aproximado de t e o majorante do erro absoluto. 
6. O volume v de um líquido num tanque esférico de raio r está relacionado com a 
profundidade h do líquido da seguinte forma: 
 
 
 Calcule o volume do líquido e o erro absoluto para um tanque com profundidade 
5.0=h e raio 1=r sabendo que nas extração dos dados cometeu-se um erro de 
210− para cada um dos dados. 
7. Uma corrente eléctrica atravessa uma resistência R de 20 Ω . A resistência foi 
medida com um erro relativo que não excede 0.01. A intensidade da corrente I é 
de %103 ± A. Sabendo que a tensão da corrente é dada por V = R*I, determine o 
valor aproximado da tensão da corrente e o limite superior do erro absoluto. 
 
CAPÍTULO 2 – INTERPOLAÇÃO E APROXIMAÇÃO POLINOMIAL 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
Interpolação é o processo de estimar valores de uma função f para valores de 
x diferentes de ix , para ni ,...,0= , sabendo-se apenas os valores de )(xf nos pontos 
nxxx ,...,, 10 . A interpolação ajuda-nos a responder problemas do tipo: 
Qual é o valor de )( ixf para 21 xxx i << , dado que: 
x 
0x 1x 2x ….. nx 
)(xf )( 0xf )( 1xf )( 2xf …... )( nxf 
 
• Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra 
função g(x). 
• g(x) é escolhida entre uma classe de funções definidas a priori e que satisfaçam 
algumas propriedades. 
• A função g(x) é então usada em substituição à função f(x). 
 
A necessidade de se efectuar esta substituição surge em várias situações, como por 
exemplo: 
• Quando são conhecidos somente valores numéricos da função por um conjunto 
de pontos (não dispondo da sua forma analítica) e é necessário calcular o valor 
da função em um ponto não tabelado (exemplo anterior); 
• Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a 
diferenciação e a integração são difíceis ou impossíveis de serem realizadas. 
Neste caso, podemos então procurar uma outra função que seja aproximada a 
função dada e cujo o manuseio seja mais bem simples. 
 
As funções que substituem as funções dadas podem ser de tipos variados, tais como 
polinomiais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Neste capítulo, será 
considerado apenas o estudo das funções polinomiais. 
2.2 DEFINIÇÃO DO POLINÓMIO INTERPOLADOR 
A interpolação polinomial é de grande interesse do ponto de vista teórico e prático em 
áreas como teoria da aproximação, equações não lineares, integração e derivação 
numéricas e solução numérica de equações diferenciais e integrais. 
Dada uma função )(xf conhecida em n pontos ))(,( ii xfx , ni ,...,0= , o objectivo da 
interpolação polinomial consiste em determinar o polinómio de grau n≤ , 
n
nn xaxaxaaxp ++++= ...)(
2
210 , 
Que coincide com )(xf naqueles pontos, isto é, iin fxfxp == )()( , ni ,...,0=∀ 
Exemplo: 
Determinar o polinómio interpolador que aproxima )(xf dada na tabela seguinte: 
 
Neste caso, procuramos o polinómio 2210)( xaxaaxpn ++= que satisfaz a igualdade 
iin fxfxp == )()( , para 2,1,0=i . Ora: 
 
 
Consequentemente, o nosso polinómio interpolador é 22 3)( xxp −= 
 
2.3 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL DE LAGRANGE 
 
Seja dada a função )(xf abaixo: 
x 
0x 1x 2x ….. nx 
)(xf )( 0xf )( 1xf )( 2xf …... )( nxf 
 
Consideremos o seguinte: 
 
Onde: 
 
Então, o polinómio obtido através da aplicação de: 
 
Chama-se Polinómio de Lagrange e a interpolação recorrendo a este polinómio, 
chama-se interpolação polinomial de Lagrange. 
Exemplo: 
Dada a tabela da função )(xf : 
 
Obtenha o polinómio interpolador de Lagrange e o seu valor em 3=x . 
 
 
Passo 1: Procuramos 22102 )( xaxaaxp ++= , tal que: 
 
Passo 2: Determinar os polinómios 
 
 
Passo 3: Aplicar afórmula: 
 
O valor do polinómio no ponto 3=x é: 
 
 
2.4 INTERPOLAÇÃO DE NEWTON 
2.4.1 INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS 
De acordo com o teorema da unicidade do polinómio interpolador, toda interpolação 
de n pontos por um polinómio de grau n-1 é única e pode ser obtida pelo método de 
Lagrange. No entanto, existem outras maneiras de construir o polinómio p(x) que 
podem ser mais convenientes. Uma dessas maneiras é a interpolação de Newton, que 
permite a inserção de pontos adicionais de maneira simples e menos susceptível à 
deterioração por erros de arredondamento. O método consiste em determinar o 
seguinte polinómio: 
 
 
 
Por construção, o valor de p calculado em x =x0 é 
 
p(x0) = a0 
 
Além disso, como p(x) é o polinómio interpolador, p(x0) = f0, portanto, 
 
a0 = f(x0) 
 
Da mesma forma, 
 
 
 
ou seja, 
 
 
e assim por diante, os coeficientes são determinados recursivamente e o k-ésimo 
coeficiente é determinado em função dos pontos de interpolação e dos coeficientes 
anteriores pela expressão 
 
A fórmula acima pode ser convenientemente descrita através da notação de 
diferenças divididas. Seja a função f[xk; xk+1; : : : ; xl+1] definida pela relação de 
recorrência 
 
Assim, podemos verificar que 
 
Os coeficientes são calculados a partir da sequência de diferenças divididas 
calculadas recursivamente: 
 
 
Assim sendo, o polinómio passa a ser escrito da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Seja dada a seguinte função tabelada: 
 
Determine o polinómio interpolador de Newton recorrendo as diferenças divididas. 
 
Resolução: 
 
1. Construir a tabela de diferenças divididas 
 
2. Aplicar a fórmula de Newton 
 
 
 
 
 
 
2.4.2 INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS FINITAS 
Designa-se diferença finita descendente de primeira ordem de f (x) , para x = xi , à 
seguinte quantidade: 
 
De um modo geral, as diferenças descendentes de ordem k de f (x) , define-se por: 
 
As mesmas podem ser representadas em tabela, da seguinte forma: 
 
Quando os nós da interpolação x0 , x1 , x2 ,..., xn são igualmente espaçados, pode-se 
usar uma relação de modo a simplificar o polinómio interpolador. 
Tendo como base: x = x0 + q * h , então 
 
Onde: 
 
 
Surge a fórmula interpoladora de Gregory – Newton: 
 
 
Onde x ND é a marca da interpolação e é determinado escolhendo entre os xi o 
máximo inferior a x . 
 
 
 
 
Exemplo: 
Dada a função tabelada: 
 
1. Construir a tabela de diferenças finitas 
 
2. Determine f(1.5) recorrendo ao polinómio interpolador de Newton. 
 
 
 
2.6 EXERCICIOS 
1. Considere a seguinte tabela de valores de uma função :)(ℜ∈ Cf 
 
Determine o polinómio interpolador de f 
2. Seja dada a função tabelada: 
 
a) Determine o polinómio interpolador de Lagrange. 
b) Determine )5.3(f 
3. Use o polinómio interpolador de Lagrange para determinar )4.8(f se 
94410.16)1.8( =f , 56492.17)3.8( =f , 505115.18)6.8( =f e 82091.18)7.8( =f 
4. Determine o polinómio que interpola os seguintes valores: 
 
5. Conhecem-se as coordenadas de cinco pontos de uma curva plana que repre- 
senta uma região de uma peça em corte. Determine o polinómio de Lagrange de 
grau 4 que interpola a referida curva sabendo que os pontos de coordenadas 
conhecidas são: )2,1(1 =P , )1,2(2 =P , )1,3(3 =P , )5,2;4(4 =P e )4;5(5 =P 
Determine ainda valores aproximados para as ordenadas dos pontos cujas abcissas 
são 0, 2,5 e 6. 
 
 
6. Considere a tabela de valores da função f definida por xxf lg)( = , para x>0: 
 
a) Construa a tabela de diferenças divididas. 
b) Determine )05.2lg( utilizando o polinómio de Newton. 
7. Sabendo que 0)0( =sen , 
2
2)
4
( =πsen e 1)
2
( =πsen , determine usando a formula 
de interpolação de Newton o valor de )
3
(πsen . 
8. São dados os seguintes pontos onde x é a variável independente e y é dependente 
X 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 
Y 66 52 18 11 10 
Pede-se para determinar f(2.2) recorrendo a interpolação de newton com diferenças 
finitas. 
9. Um paraquedista realizou cinco saltos, saltando de alturas distintas em cada salto, 
foi testada a precisão de seus saltos em relação a um determinado alvo de raio 5 
m, de acordo com a altura. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa à 
circunferência. 
Altura (m) 1º salto de 
1500 
2º salto de 
1250 
3º salto 
de 1000 
4º salto de 
750 
5º salto de 
500 
Distância 
do alvo (m) 
35 25 15 10 7 
Levando em consideração os dados acima, a que provável distancia cairia o 
paraquedista se ele saltasse de uma altura de 850 m? 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 - DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
3.1 DERIVAÇÃO NUMÉRICA 
Derivar é geralmente mais fácil que integrar. A ideia deste método de aproximação é 
bastante simples, pois baseia-se em expansões em séries de Taylor. 
 
Considere a definição de derivada de uma função )(xf no ponto x : 
 
 
 
Esta expressão é uma aproximação para o valor exacto de )´(xf se h tende a zero. 
Para qualquer valor finito de h , um erro de truncamento é introduzido. A ordem da 
aproximação a diferenças pode ser obtida através de um desenvolvimento em série 
de Taylor de )( hxf + , por exemplo, em torno do ponto x . Desenvolvendo )( hxf + , 
obtém-se: 
 
 
 
e, portanto, 
 
Diz-se que a aproximação )´(xf é de primeira ordem em h e escreve-se: 
 
Fórmula da derivada 
com diferença 
ascendente ou avanço. 
 
Aproximações de primeira ordem em diferenças finitas podem ser obtidas para ixf )´( , 
conforme: 
 
 
 
 
 
 
 
De igual modo, recorrendo à série de Taylor tendo como base a diferença em atraso 
ou descendente, temos: 
 
)....."´(
6
)("
2
)(')()(
32
xf
h
xf
h
xhfxfhxf −+−=− 
 
 
Resolvendo a expresão acima em ordem de )´(xf , obtêm-se: 
 
)(
)()(
)(' hO
h
hxfxf
xf +
−−
= 
Fórmula da derivada com 
diferença descendente 
ou atraso 
 
Fórmulas com diferentes ordens de aproximação podem ser obtidas. A mais 
importante é a de segunda ordem ou centrada. Por expansões em série de Taylor em 
torno do ponto x resultam: 
 
 
Empregando o mesmo princípio, para as derivadas de ordem superior resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Seja dada a função tabelada abaixo: 
 
Determine )4.1´(f . 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
Seja f uma função contínua no intervalo [ ]ba; da qual se conhece uma primitiva F . 
Então o valor da integral definida de f pode ser calculada utilizando a fórmula de 
Newton-Leibnitz. 
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫ 
Em muitos casos a determinação de uma primitiva de f é muito difícil ou às vezes até 
impossível. Além disso, nos problemas práticos, quase sempre conhece-se apenas uma 
tabela da função f e para estes casos a ideia de primitiva carece de significado. Para 
esses casos os métodos de integração numérica são as ferramentas adequadas para 
determinar aproximações para os valores das integrais definidas. 
Os métodos de integração numérica como veremos a seguir consistem em determinar 
o valor de uma integral definida utilizando uma sequência de valores da função f . 
 
 
 
3.2.1 MÉTODO DE TRAPEZIO 
Seja dado o seguinte integral ∫=
b
a
dxxfI )( . A determinação da solução de I através 
do Método de Trapézio segue os seguintes passos: 
Passo 1: Escolher N e determinar 
N
ab
h
−
= 
Passo 2: Construir tabela através da determinação de ix e )( ixf : 
hiaxi *+= 
ax =0 
ix 0x 1x ………….. nx 
)( ixf )( 0xf )( 1xf )( nxf 
 
 
 
 
 
Passo 3: Determinação da solução aproximada através da fórmula: 
[ ]))(...)()((*2)()(
2
)( 1210 −+++++== ∫ nn
b
a
xfxfxfxfxf
h
dxxfI 
Passso 4 : Resposta 
 
 
3.2.2 MÉTODO DE SIMPSON 
 
Pressupostos: 
• N têm de ser um número par; 
• Quanto maior for o N melhor será a precisão da aproximação; 
 
Seja dado o seguinte integral ∫=
b
a
dxxfI )( . A determinação da solução de I através 
do Método de Simpson segue os seguintes passos: 
Passo 1: Escolher N e determinar 
N
abh
−
= 
Passo 2: Construir tabela através da determinação de ix e )( ixf : 
hiaxi *+= 
ax =0 
ix 0x 1x ………….. nx2 
)( ixf )( 0xf )( 1xf )( nxf 
 
Nota: 
nx2 - Significa último valor, isto é, trata-se de nx . A inclusão de 2n é para garantir que o 
n seja um número par. 
Passo 3: Determinação da solução aproximada através da fórmula: 
 
[ ]))(...)()((2))(...)()((4)()(
3
)( 242123120 nnn
b
a
xfxfxfxfxfxfxfxf
h
dxxfI +++++++++== −∫
 
Passso 4 : Resposta 
Exemplo: 
Determine o integral ∫=
6.1
1
dx
x
senx
I considerando 6=N 
Resolução: 
Passo 1: 6=N e 1.0
6
16.1
=
−
=h 
Passo 2: Tabela 
X 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 
F(x) 0.84147 0.81019 0.77670 0.74120 0.70389 0.66500 0.62473 
 
Passo 3: 
[ ] 44310.0)70389.077670.0(2)66500.074120.081019.0(462473.084147.0
3
1.0
=++++++== ∫
b
a
dx
x
senx
I
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 EXERCICIOS 
1. Calcule aproximação da segunda derivada de xxf 2cos)( = em x = 0.7, com 1.0=h 
2. Considere a seguinte tabela de dados: 
 
Determine )4.0´(f , )4.0´´(f e )4.0('´'f . 
3. Use a fórmula de Trapézios com 2=n para calcular a integral ∫ +−
2
0
3 )133( dxxx 
Compare seu resultado com o resultado exacto. 
4. Determine uma aproximação para 
4
π
 considerando que ∫ +
=
1
0
214 x
dxπ
e usando a 
fórmula do trapézio com 10=n . 
5. Um corpo se desloca ao longo do eixo Ox sob ação de uma força variável F. 
Calcular o trabalho realizado para se deslocar o corpo de 0=x até 5.3=x sendo 
dado: 
 
4. Calcule a integral abaixo por : 
 
 ∫
4
1
dxx 
 
 a) Regra dos Trapézios usando 4 subdivisões de [a,b] (6 casas decimais) 
5. Considere ∫
1
0
senxdx . Mostre que o resultado obtido pelo método de Simpson 
com h = 0.5 é próximo do resultado exato. 
 
 
 
 
6. Utilizando o método de Simpson, calcule numericamente a integral definida 
 
 a partir dos dados da seguinte tabela: 
 
Onde e = 2.718282 
7. Seja 
dyexf
x
y
∫=
0
cos)(
 
 
Use o método de 10-trapézio para calcular )5(f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 - ZEROS DE FUNÇÕES 
Dada uma função RRf →: , diz-se que Ra ∈ é um zero da função f se 0)( =af . 
Observe que determinar os zeros de uma função f é equivalente a determinar as 
raízes da equação 0)( =xf , ou seja determinar os valores de Rx ∈ que satisfazem 
0)( =xf . 
 
4.1 DELIMITAÇÃO DOS ZEROS DE UMA FUNÇÃO 
Dada uma função RRf →: , delimitar os zeros de f significa determinar intervalos 
);( ba que contenham os zeros de f . Existem dois métodos para resolver este problema, 
que são, Método Analítico e Gráfico. 
4.1.1 MÉTODO ANALÍTICO 
Este método é baseado no seguinte teorema: 
Seja RRf →: uma função contínua. Se existem dois valores a e b que pertencem a 
R , tal que 0)(*)( <bfaf , então existe um c que pertence ao intervalo );( ba : 0)( =cf . 
O Teorema acima assegura que f troca de sinal em );( ba , o que significa que existe 
pelo menos um zero de f nesse intervalo. 
Exemplo: 
Seja dada a seguinte função xxxf −= 3)( em R . Delimite os zeros de f . 
1. Vamos escolher de forma aleatória dois números que pertençam ao conjunto R 
2−=a e 2=b 
2. Verificar se o teorema é satisfeito nos pontos escolhidos através da seguinte 
condição: 0)(*)( <bfaf 
 6)2()2()2( 3 −=−−−=−f e 6)2()2()2( 3 =−=f 
Fazendo 036)2(*)2( <−=− ff . Assim sendo, f têm pelo menos um zero no 
intervalo )2;2(− 
4.1.2 MÉTODO GRÁFICO 
Tendo como base a definição de delimitação de zeros, para encontrar os intervalos 
que contém os zeros da função, o método gráfico sugere o seguinte: 
• Transformar f numa igualdade de duas funções )()( xhxg = que sem muito 
esforço se possam esboçar os seus gráficos; 
• Esboçar da melhor maneira possível os gráfico de g e h e determinar por 
inspecção os intervalos onde estão os pontos de intersecção de g e h . 
Exemplo: 
Delimitar os zeros de xxxf ln)( += 
• xxxxxf −=⇔=+⇔= ln0ln0)( 
• Vamos esboçar os gráficos 
 
• Pode-se notar que )1;0(∈x 
 
 
 
4.2 MÉTODO DE BISSECÇÃO 
Seja dada a seguinte função contínua RRf →: . Vamos supor que existe um intervalo 
);( 00 ba onde 0)(*)( 00 <bfaf . Pelo teorema visto no ponto 3.1, f contém pelo menos 
um zero em );( 00 ba . 
Para determinar o zero aproximado de f , pode-se utilizar o método de bissecção que 
consiste em determinar uma sequência de intervalos );( kk ba que satisfaçam a 
condição 0)(*)( <kk bfaf , onde tomará os seguintes valores Nk .......,4,3,2,1,0= . Esta 
determinação de intervalos é feita recorrendo a tabela abaixo: 
k 
ka kb 
k
kk
k
c
ba
c
+
= 
)(*)( kk cfaf 
 
2
kk ab −=ε 
 
 
Exemplo: 
Determinar a solução aproximada da seguinte função 5)( 2 −= xxf no intervalo [ ]3;2 
com erro igual a 1.0=ε 
 
4.3 MÉTODO ITERATIVO GERAL 
Seja dada uma função f e um intervalo que contém o zero da função [ ]ba; . Pretende-
se determinar a solução aproximada da função com erro inferior a ε recorrendo ao 
Método Iterativo Geral. 
De forma resumida, o método iterativo geral pode ser descrito como a sequência dos 
seguintes passos: 
Passo 1: Transformar f numa igualdade do tipo )(xx ϕ= : 
Passo 2: Verificar a convergência de )(xϕ recorrendo ao critério de convergência 
1|)(| ' <≤ Mxϕ 
Passo 3: Determinar FCex0 
Nota: Se 0x não for indicado, então, atribui-se o valor de a . 
Fórmula concreta (FC): )(1 mm xx ϕ=+ 
Passo 4: Tabela 
m mx 1+mx || 1 mm xx −= +ε 
 
 
Passo 5: R: 
_
_
ε±= xx 
Exemplo: 
Determine pelo método iterativo geral, com erro inferior a 1.0 , o zero aproximado da 
função xexxf ++= 1)( no intervalo [ ]1;2 −− . 
Resolução: 
1. Transformar f em )(xx ϕ= : 
1−−= xex 
2. Verificar a convergência de )(xϕ 
converge
e
eex
ex
Mx
x
x
1
1
|||)(|
)(
1|)(|
1'
'
'
<=≤−=
−=
<≤
−ϕ
ϕ
ϕ
 
3. Determinar :0 FCex 
1:
2
1
0
−−=
−=
+
mx
m exFC
x
 
4. Tabela 
m Xm Xm+1 E 
0 -2 -1,135335283 0,864664717 
1 -1,13533528 -1,321314372 0,185979089 
2 -1,32131437 -1,266784417 0,054529954 
 
Resposta: 1.03,1 ±−=x 
 
4.4 MÉTODO DAS SECANTES 
Apresentamos abaixo um exemplo do algoritmo do Método das Secantes. 
Calcule 5 com erro inferior a 0.01 no intervalo [ ]3;2 . Aplique o Método das Secantes. 
 
Resolução 
Dados: 
[ ]3;2
01.0
5)( 2
∈
=
−=
x
xxf
ε 
Passo 1: Hipóteses 
[ ]
02''
02'
3;2.'',',
≠=
≠=
f
xf
contfff
 
Passo 2: Determinação de 
0)3(*)2(2
0)3(''*)3(3
:
0
0
<=
>=
ffpqx
ffpqx
xex
F
F
 
Passo 3: Fórmula Concreta: 
)()(
)(*)(*
1
Fm
FmmF
m
xfxf
xfxxfx
x
−
−
=+ 
9
1543
2
2
1
−
−−
=+
m
mm
m
x
xx
x 
Passo 4: Tabela: 
m Xm Xm+1 E 
0 2,00000 2,20000 0,20000 
1 2,20000 2,23077 0,03077 
2 2,23077 2,23529 0,00452 
 
Passo 5: Resposta: 
01.024.2 ±=x 
 
 
4.5 MÉTODO DAS TANGENTES (NEWTON) 
 
Passo 1. Verificar Hipóteses 
 
[ ]
0''
0'
;.'',',
≠
≠
f
f
bacontfff
 
 
Passo 2. Determinar 0x 
 
[ ]:;0 bax ∈ 0)(''*)( >xfxf 
 
Passo 3: Fórmula concreta 
 
)('
)(
1
m
m
mm
xf
xf
xx −=+ 
 
Passo 4: Tabela 
m mx 1+mx |1| mm xx −= +ε 
 
 
 
Passo 5: Resposta 
 
Calcule 5 com erro inferior a 0.01 no intervalo [ ]3;2 . Aplique o Método das Tangentes. 
[ ]
32)3(''
4)3(
0)(''*)(
:min
02''
02'
3;2'',',
:
01.0
5)(
0
0
2
==
=
>
≠=
≠=
=
−=
xentãof
f
xfxf
xdeaçãoDeter
f
xf
contfff
Hip
xxf
ε
 
Tabela: 
M Xm Xm+1 E 
0 3,00000 2,33333 0,66667 
1 2,33333 2,23810 0,09524 
2 2,23810 2,23607 0,00203 
 
R% 01.024.2 ±=x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6 EXERCICIOS 
 
 
10. Utilizando o Método Iterativo, determine para 001,0=ε a solução da equação 
0)ln(2 =+ xx 
11. Seja 6)( 2 −= xxf e 10 =x . Use o método de Newton para determinar a solução 
aproximada. 
12. Pelo método das Secantes, determine uma aproximação para [ ]2;1∈x da função 
)cos()( xexf x −= − com erro 001,0=ε 
13. Use o método de Newton com 0001,0=ε para achar as soluções dosseguintes 
problemas: 
a) 0)(2.08.0 =−− xsenx ; 



∈
2
;0
π
x 
b) ;0)ln()2( 2 =−− xx [ ]2;1∈x 
 
14. Seja xexf x 3)( −= que tem zero em [ ]2;1 . Calcule usando o método das secantes 
uma aproximação para este zero tomando com 01,0=ε 
15. Considerando a seguinte equação: 05.0)cos(2 =− xex Utiliza como valor inicial 
5.00 =x . Aplique o método iterativo geral para determinar a solução da equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5 - RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
 
Estima-se que em 75% dos problemas científicos, a solução de um sistema linear de 
equações aparece em algum estágio da solução. Podemos, entre outros, citar os 
seguintes problemas: 
Interpolação, ajuste de curvas, solução de sistemas de equações não lineares, solução 
de equações diferenciais usando diferenças finitas e cálculo de autovalores e 
autovetores. 
Um sistema de equações lineares, às vezes simplesmente dito sistema linear, é uma 
equação do tipo bAx = . Usando os valores de A , x e b temos: 
 
 
 
Um sistema linear pode também ser representado na seguinte forma: 
 
Resolver o sistema de equações, significa determinar um vetor );....;;(
_
2
_
1
__
nxxxx = que 
satisfaça todas equações do sistema. 
Existem duas classes de métodos para solução de sistemas lineares. Os denominados 
métodos directos e os denominados métodos iterativos. A escolha de uma ou outra 
classe para a solução do sistema bAx = vai depender de características e 
propriedades da matriz A . 
 
5.1 MÉTODOS DIRECTOS 
Os métodos diretos são aqueles em que após um número finito de etapas e não se 
considerando os erros de arredondamento encontramos a solução do sistema. 
 
Um sistema linear da forma 
 
 
onde 0≠iia para i = 1, 2, . . . , n é dito um sistema triangular. Sua solução é dada por 
retro substituição através da fórmula de recorrência. 
 
Onde 
nn
n
n
a
b
x = . Este algoritmo pode ser incorporado ao método de eliminação de 
Gauss para encontrar a solução de um sistema. 
 
5.1.1 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 
Este é um esquema eficiente para resolver um sistema bAx = de n equações a n 
incógnitas de pequeno tamanho (ordem 10). O passo crucial é construir um sistema 
triangular superior '' bxA = equivalente que pode ser resolvido por retro substituição. 
Dois sistemas lineares de dimensão n x n são equivalentes desde que os seus conjuntos 
de soluções sejam os mesmos. Teoremas de álgebra linear mostram que quando certas 
operações são aplicadas a um dado sistema, os conjuntos soluções não muda. 
As seguintes operações, quando aplicadas a um sistema linear, resultam num sistema 
equivalente: 
• Mudança de ordem de duas equações. 
• Multiplicação de uma equação por uma constante não nula. 
• Adição de um múltiplo de uma equação a uma outra equação. 
 
Descreve-se, a seguir, o método de eliminação de Gauss para um sistema de ordem 3, 
sendo que o mesmo processo pode ser aplicado a sistemas de qualquer ordem. 
Assim, considere um sistema do tipo 
 
que pode ser representado pela matriz aumentada 
 
O objectivo é obter um sistema triangular da forma 
 
 
Para melhor perceber o método, a seguir apresenta-se um exemplo: 
Considere o sistema dado por 
 
 
Passo 1 
Podemos eliminar a incógnita x1 nas linha l2 e na linha l3 fazendo repectivamente as 
seguintes operações: 
 
teremos então o seguinte sistema equivalente 
 
 
 
Passo 2 
Vamos agora eliminar a incógnita x2 na linha l3 fazendo a seguinte operação: 
 
Teremos então o seguinte sistema equivalente 
 
 
Temos agora um sistema triangular que pode ser resolvido com o algoritmo da retro 
substituição. 
 
 
 
 
 
5.2 MÉTODOS ITERATIVOS 
 
Nesta secção descreve-se os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel. Tais 
métodos são eficazes para sistemas de grande porte, economizando tempo 
computacional, principalmente os esparsos, na qual os métodos directos são 
ineficientes. A técnica iterativa para resolver um sistema linear Ax = b de n×n 
elementos, será proposto da seguinte forma: parte-se de uma aproximação inicial X0 e 
então constrói-se consecutivamente os vetores x1, x2, ..., até que a condição de 
convergência seja satisfeita. 
 
5.2.1 MÉTODO DE JACOBI 
Considere o sistema: 
 
E exigindo que . 
 
Passo 1: Isola-se o vector X mediante a separação do elemento diagonal, conforme: 
 
Passo 2: Extrai-se a matriz G 
 
Passo 3: Verifica-se a convergência da transformação 
1<G 
 
Passo 4: Determina-se o vector inicial: 
);...;;( )0()0(2
)0(
10 nxxxX = 
Caso o problema não indique de forma explícita, nesta disciplina iremos adoptar a 
seguinte solução inicial: )0;...;0;0(0 =X 
Passo 5: Preenche-se a tabela recorrendo ao método de Jacobi que corresponde a 
resolver 











−−−=
−−−=
−−−=
−
−−
−
−−
−−
)...(
1
....
)....(
1
)...(
1
)1(
11
)1(
11
)(
)1(
2
)1(
1212
22
)(
2
)1(
1
)1(
2121
11
)(
1
k
nnn
k
nn
nn
k
n
k
nn
kk
k
nn
kk
xaxab
a
x
xaxab
a
x
xaxab
a
x
 
Até que o critério de convergência seja satisfeito. 
k )(
1
kx )(2
kx …. )(knx 
)1()( −− kk XX 
 
 
 
 
5.2.2 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
Seja dado o seguinte sistema: 
 
E exigindo que . O Método de Gauss Seidel para 
determinação da solução aproximada do sistema dado, compreende os seguintes 
passos: 
Passo 1: Isola-se o vector X mediante a separação do elemento diagonal, conforme: 
 
Passo 2: Extrai-se a matriz G 
 
Passo 3: Verifica-se a convergência da transformação 
1<G 
 
Passo 4: Determina-se o vector inicial: 
);...;;( )0()0(2
)0(
10 nxxxX = 
Caso o problema não indique de forma explícita, nesta disciplina iremos adoptar a 
seguinte solução inicial: )0;...;0;0(0 =X 
Passo 5: Preenche-se a tabela recorrendo ao método de Gauss-Seidel que 
corresponde a resolver 











−−−=
−−−=
−−−=
−−
−
−−
)...(
1
....
)....(
1
)...(
1
)(
11
)(
11
)(
)1(
2
)(
1212
22
)(
2
)1(
1
)1(
2121
11
)(
1
k
nnn
k
nn
nn
k
n
k
nn
kk
k
nn
kk
xaxab
a
x
xaxab
a
x
xaxab
a
x
 
Até que o critério de convergência seja satisfeito. 
k )(
1
kx )(2
kx …. )(knx 
)1()( −− kk XX 
 
 
 
 
Passo 6: R% );...;;( 2211 nn xxxxxxX ∆±∆±∆±= 
Exemplo: 
Pelo método de Gauss-Seidel, determine a solução do seguinte sistema de equações: 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de eliminação de Gauss 
 
2. Calcule a norma de A para as seguintes matrizes: 
 
3. Determine a inversa da matriz A 
 
4. Determine a solução do sistema Ax = b, sabendo que: 
 
5. Dado o sistema Ax = b, mostre que o método iterativo de Jacobi converge e 
determine a sua solução aproximada: 
 
6. Resolver o sistema linear abaixo, pelo método de Jacobi com chute inicial 
}{ 1,1,1,1)0( =x , tolerância 310−=ε : 
 
 
7. Resolver o sistema linear abaixo, pelo método de Gauss Seidel com chute inicial 
}{ 0,0,0,0)0( =x , tolerância 310−=ε : 
 
 
8. Considere o sistema linear Ax = b, onde: 
 
Pelo método de Gauss Seidel, determine a solução do sistema com erro 310 −=ε 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 6 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS (EDO´s) 
 
6.1 INTRODUÇÃO 
O estudo das equações diferenciais foi motivado inicialmente por problemas da física, 
ou seja problemas de mecânica, electricidade, termodinâmica, magnetismo etc. 
Actualmente muitas outras áreas do conhecimento têm a formulação teórica de seus 
problemas utilizando essas equações. Entre outras podemos destacar as seguintes 
áreas, Química, Ecologia, Biologia, Economia e Sociologia. 
 
Suponha RRf n →: e RRy →: , com derivadas até ordem n . Dizemos que uma 
equação diferencial ordinária tem ordem n se é uma equação que pode ser escrita 
como 
 
)´,...,,,( nn yyyxfy = ; =ny derivada de ordem n . 
Uma função )(xy ϕ= é dita como solução da equação acima se: 
a) )(xyϕ= possui derivadas até n ; 
b) ))(),....,(,( 1 xxxfy nn −= ϕϕ 
 
6.2 EDO´s DE PRIMEIRA ORDEM 
))(,(´ xyxfy = 
 
Seguem abaixo os métodos numéricos que nos ajudam a determinar as soluções 
aproximadas das EDO´s. 
 
6.2.1 MÉTODO DE EULER 
 
Passo 1: Extracção de dados 
Passo 2: Determinação das fórmulas concretas 
hxx kk +=+1 
);(*1 kkkk yxfhyy +=+ 
 
Passo 3: Tabela 
k 
kx ky 
 
 
 
 
Passo 4: Resposta 
 
Exemplo: 
Determine a solução da equação diferencial xyy −=' , com 1)0( =y no intervalo [ ]5.0;0 
e 1.0=h 
Resolução: 
Passo 1: Extracção de dados 
xyyxf −=);( 
00 =x 
10 =y 
1.0=h 
Passo 2: Determinação das fórmulas concretas 
1.011 +=↔+= ++ kkkk xxhxx 
kkkkkkkk yxyyyxfhyy **1.0);(* 11 −=↔+= ++ 
Passo 3: Tabela 
k 
kx ky 
0 0 1 
1 0.1 1 
2 0.2 0.99 
3 0.3 0.9702 
4 0.4 0.941094 
5 0.5 0.903450 
 
Passo 5: 903450.0=y 
 
6.2.2 MÉTODO DE RANGE KUTTA 4 – RK 4 
 
Passo 1: Extracção de dados 
Passo 2: Determinação das fórmulas concretas 
hxx ll +=+1 
)*2*2(*
6
43211 kkkk
h
yy ll ++++=+ 
 
34
23
12
1
*;(
)
2
;
2
(
)
2
;
2
(
);(
khyhxfk
k
h
y
h
xfk
k
h
y
h
xfk
yxfk
ll
ll
ll
ll
++=
++=
++=
=
 
Passo 3: Tabela 
k 
kx ky 1k 2k 3k 4k 
 
 
 
 
Passo 4: Resposta 
 
Exemplo 
Passo 1: Extracção de dados 
xyyxf −=);( 
00 =x 
10 =y 
1.0=h 
Passo 2: Determinação das fórmulas concretas 
1.011 +=↔+= ++ llll xxhxx 
)*2*2(*
6
43211 kkkk
h
yy ll ++++=+ 
)*1.0)(1.0(*;(
)*05.0)(05.0()
2
;
2
(
)*05.0)(05.0()
2
;
2
(
*);(
3434
2323
1212
11
kyxkkhyhxfk
kyxkk
h
y
h
xfk
kyxkk
h
y
h
xfk
yxkyxfk
llll
llll
llll
llll
++−=↔++=
++−=↔++=
++−=↔++=
−=↔=
 
Passo 3: Tabela 
k 
kx ky 1k 2k 3k 4k 
0 0 1 0 -0.05 -0.049875 -0.099501 
1 0.1 0.99502 -0.09950 -
0.148506 
-0.148138 -0.196040 
2 0.2 0.98019
9 
-0.196040 -
0.242599 
-0.242017 -0.256799 
3 0.3 0.95599
7 
-0.256799 -
0.329580 
-0.328831 -0.369246 
4 0.4 0.92311
6 
-0.329246 -
0.407094 
-0.406243 -0.441246 
5 0.5 0.88249
7 
-0.441246 -
0.473239 
-0.472359 -0.501157 
 
Passo 4: Resposta 
0.882497=y 
 
 
 
6.3 EXERCÍCIOS 
 
1. Determine a solução numérica aproximada da seguinte Equação Diferencial 
Ordinária, com o passo h = 0.2 
 
 
a) Pelo de Euler 
b) Pelo método de Runge – Kutta 4 
 
2. Considere a equação diferencial ordinária, dado por: 
 
Fazendo h = 0.1, determine a solução aproximada usando o método de Euler. 
 
3. Seja dada a equação 31' yxy −= com 1)0( =y no intervalo [0;5] e com N=5. 
Determine a solução aproximada pelo método de Runge Kutta – 4.